直线与双曲线位置关系典例精析中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、 直线和双曲线的位置关系 一、要点精讲 1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2弦长公式：设直线 y kx b 交双曲线于 P1 x1,y1 ，P2 x2,y2，则 P1P2 x1 x2 1 k 2 1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2 ，或 P1P2 y1 y2 1 1 1 1 y1 y2 2 4y1 y2 k 0 k 2 k 2 二、基础自测 1经过点 P 1,2 且与双曲线 4x2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（）2 (A)4 条(B)3 条 (C)2 条 (D)1 条 2直线 y=kx 与双曲线 4x2 y2 16 不可能（）（A）相交 （B）只有一个交点 （C）相

2、离 （D）有两个公共 点 3过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 y2 x 2 的通径长是 16 1 9 (A)9(B)9(C)9(D)10 4 2 4 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线，则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数 为 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与 双曲线不是相切 5经过双曲线 x2 y2 8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长 是 6直线 l 在双曲线 x2 y2 1上截得的弦长为 4，且 l 的斜率为 2，求直线 l 的方程 3 2 三、典例精析 题型一：直

3、线与双曲线的位置关系 1.如果直线 y kx 1 与双曲线 x 2 y 2 4 没有公共点，求 k 的取值范围 有两个公 共点呢？解，所以=(b)2 4 0，所以 b 2，e c a2 b2 1 (b)2 5，故选 D.a a a a a 2(2010 安徽)若直线 ykx2 与双曲线 x2 y2 6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是()A.15,15 B.0,15 C.15,0 D.15,1 3 3 3 3 3 ykx 2，1 k 2 0 2 2 16k 2 4 1 k 2 10 0 解：由 得(1 k)x ，解 x2y2 6 4kx 10 0 x1 x2 0 x1x2 0 15

4、得 3 k0 进行验证即可 6.双曲线方程为 3x 2 y2 3.问：以定点 B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存 在，请说明理由 7、已知中心在原点，顶点 A1,A2 在 x 轴上，离心率为 21 的双曲线经过点 P(6,6)3 （）求双曲线的方程；（）动直线 l 经过 A1PA2 的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M,N，问是否存在直线 l 使 G 平分线段 MN。试证明你的结论。题型三：求双曲线方程 8.已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 P，到双曲线两个焦点的距离分别为 4 和 8，直线 y x 2 被双曲线截得的弦长为 20 2，求此双曲线的标准方程

5、9、设双曲线 C:x2 y 2 1 a 0 与直线 l:x y 1相交于不同的点 A、B.a2 求双曲线 C 的离心率 e的取值范围；设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 PA 5 PB，求 a 的值。2 12 解：(1)将 y x 1 代入双曲线 x2 y2 1 中得 (1 a2)x 2 2a2x 2a2 0 a 由题设条件知，1 a20 ，解得 0a0?1 12 1，a 6 0a 2 且 e 2.或二基础自测经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有条条条条直线与双曲线不可能相交只有一个交点相离有两个公共点过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径则双曲线的通径长是若一直线平

6、行于双曲线与双曲线不是相切经过双曲线的右焦点且斜率为的直线被双曲线截得的线段的长是直线在双曲线三典例精析上截得的弦长为且的斜率为求直线的方程题型一直线与双曲线的位置关系如果直线与双曲线没有公共点求的取值范围有两们的方程题型二直线与双曲线的相交弦问题解有且只有一个公共点的直线有几条分别求出过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦求的周长为双曲线的右焦点已知双曲线方程为求以定点为中点的弦所在的直线方程解圆锥曲线与直线相交所 (2)设 A(x 1，1)，B(x 2，2，P(0,1)5 ，(x 1，1 1)5 2，y y)PA 12PB y 12(x y2 1)x1 5 x2，12 x1、x2 是方程的两根，且

7、 2 17 x2 2a2 2，5 2 2a2 2，1 a 0，12 x2 12 1 a 1 a 消去 x2 得，2a2 289 a0，a 17 2 60，.1a 13 10.已知双曲线的焦点为 F1 c,0，F2 c,0，过 F2 且斜率为 3 的直线交双曲线于 5 P、Q两点，若 OP OQ (其中 O 为原点），PQ 4，求双曲线方程。11.双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l1，l 2，经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1，l 2 于 A，B 两点已知 OA、AB、OB 成等差数列，且 BF 与 FA 同向 （）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲

8、线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 解：（）设 OA m d ，AB m，OB m d 由勾股定理可得：(m d)2 m2(m d)2 得：d 1 m，tan AOF b，tan AOB tan 2 AOF AB 4 4 2 b a OA 3 4，解得 b 1,则离心率 e 5 由倍角公式 a 2 b 3 a 2 2 1 a （）过 F 直线方程为 y a(x c),与双曲线方程 x2 y2 1 联立，将 a 2b，b a2 b2 c 5b 代入，化简有 152 x2 8 5 x 21 0 a 2 a 2 4 1 x1 x2 1(x1 x2)2 4x1x2 4b b b b 或二基础自测

9、经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有条条条条直线与双曲线不可能相交只有一个交点相离有两个公共点过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径则双曲线的通径长是若一直线平行于双曲线与双曲线不是相切经过双曲线的右焦点且斜率为的直线被双曲线截得的线段的长是直线在双曲线三典例精析上截得的弦长为且的斜率为求直线的方程题型一直线与双曲线的位置关系如果直线与双曲线没有公共点求的取值范围有两们的方程题型二直线与双曲线的相交弦问题解有且只有一个公共点的直线有几条分别求出过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦求的周长为双曲线的右焦点已知双曲线方程为求以定点为中点的弦所在的直线方程解圆锥曲线与直线相交所 2

10、2 将数值代入，有 45 32 5b 4 28b,解得 b 3 故所求的双曲线方程为 15 5 x2 y2 1。36 9 x2 y2 12、已知双曲线 a2 b21(ba0)，O 为坐标原点，离心率 e 2，点 M(5，3)在双曲线上 1(1)求双曲线的方程；(2)若直线 l 与双曲线交于 P，Q 两点，且 OP OQ 0.求|OP|2 1|OQ|2 的值 解：，2 2 2 2，双曲线方程为 x2 y2 2 2(1)，c a 3a 1，即 3x y e 2 c 2a b 2 2 a 3a 3a2.点 M(5，3)在双曲线上，15 33a2.a2 4.x2 y2 所求双曲线的方程为 4 121.

11、x2 y2 (2)设直线 OP 的方程为 y kx(k0)，联立 4 121，得 x2 12 2 2 12 k 1 1 3 k2|OP|2 x2 y2 2.则 OQ 的方程为 y x，y2 12k k 3 k 3 k 2 12 1 1 2 1 11 2 2 1 k 2 2 12 k 3 k 3k 同理有|OQ|3 1 3k21，|OP|2|OQ|2 12 k2 1 k2 2 2k2 1 2 6.12 k 1 13(2012 上海)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x2 y2 1.(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴 或二基础自

12、测经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有条条条条直线与双曲线不可能相交只有一个交点相离有两个公共点过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径则双曲线的通径长是若一直线平行于双曲线与双曲线不是相切经过双曲线的右焦点且斜率为的直线被双曲线截得的线段的长是直线在双曲线三典例精析上截得的弦长为且的斜率为求直线的方程题型一直线与双曲线的位置关系如果直线与双曲线没有公共点求的取值范围有两们的方程题型二直线与双曲线的相交弦问题解有且只有一个公共点的直线有几条分别求出过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦求的周长为双曲线的右焦点已知双曲线方程为求以定点为中点的弦所在的直线方程解圆锥曲线与直线相交所 围

13、成的三角形的面积；(2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点若 l 与圆 x2 y21 相切，求证：OP OQ；(3)设椭圆 C2：4x2 y2 1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点，且 OM ON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值 解：(1)双曲线 C1：x2 y2 1，左顶点 A 2,0 ，渐近线方程为：y 2x.1 2 2 过点 A 与渐近线 y 2x 平行的直线方程为 2 y2 x 2 ，即 y 2x1.y 2x y 2 1 2 4 解方程组，得 y 2x 1 1.所求三角形的面积为 S 2|OA|y|8.y 2 (2)证明：设直线 PQ 的方程是 ，直线

14、PQ 与已知圆相切，|b|1，y x b 2 即 b2 2.由 y x b 得 x2 2bx b2 10.设 P(x1，1、2，2)，则 x1x2 2b 2x2 y2 1 y)Q(x y x1x2 1 b2 又 y1y2(x1b)(x2 b)，OP OQ x1 x2 y1y2 2x1 x2 b(x1 x2)b2 2(1 b2)2b2 b2 b2 2 1.故 OP OQ.2(3)证明：当直线 ON 垂直于 x 轴时，|ON|1，|OM|2，则 O 到直线 MN 的 3 距离为 3.当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 y kx(显然 k 2)，2 1 y kx x2 1 4

15、k2 则直线 OM 的方程为 y kx.由 4x2 y 2 1 得 y2 k 2 k 2 4 或二基础自测经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有条条条条直线与双曲线不可能相交只有一个交点相离有两个公共点过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径则双曲线的通径长是若一直线平行于双曲线与双曲线不是相切经过双曲线的右焦点且斜率为的直线被双曲线截得的线段的长是直线在双曲线三典例精析上截得的弦长为且的斜率为求直线的方程题型一直线与双曲线的位置关系如果直线与双曲线没有公共点求的取值范围有两们的方程题型二直线与双曲线的相交弦问题解有且只有一个公共点的直线有几条分别求出过双曲线的左焦点作倾斜角

16、为的弦求的周长为双曲线的右焦点已知双曲线方程为求以定点为中点的弦所在的直线方程解圆锥曲线与直线相交所|ON|2 1 k2 1 k2.设 O 到直线 MN 的距离为 d.2.同理|OM|2 2 4 k 2k 1 1 1 1 2 3k2 3 3 (|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，2 2|ON|2 1 3，即 d 3.d|OM|k 综上，O 到直线 MN 的距离是定值 五、能力提升 1若不论 k 为何值，直线 y=k(x-2)+b 与双曲线 x 2 y 2 1 总有公共点，则 b 的取 值范围是（）(A)3,3(B)3,3(C)2,2 (D)2,2 2过双曲线 x 2y 2 1 交双

17、曲线于 A、B 两点，若|AB|=4，则 2 的右焦点 F 作直线 l 这样的直线 l 有（）(A)1 条 (B)2 条(C)3 条 (D)4 条 3过点 P 1,b 的直线 l 与双曲线 x2 y2 1 a 0,b 0 有且仅有一个公共点，且 a a2 b2 这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（）(A)2(B)4(C)1 或 2(D)2 或 4 4.已知双曲线 x2 y2 1 a 0,b 0 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45 的直 a 2 b2 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）(A)(1，2(B)（1，2)(C)2，+)(D)(2

18、，+)6直线 l:y kx 2 与双曲线 C:x2 y2 6 的右支交于不同两点，则 k 的取值范围 是 7.已知倾斜角为 的直线 l 被双曲线 x 2 4 y2 60 截得的弦长 AB 8 2，求直线 l 4 或二基础自测经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有条条条条直线与双曲线不可能相交只有一个交点相离有两个公共点过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径则双曲线的通径长是若一直线平行于双曲线与双曲线不是相切经过双曲线的右焦点且斜率为的直线被双曲线截得的线段的长是直线在双曲线三典例精析上截得的弦长为且的斜率为求直线的方程题型一直线与双曲线的位置关系如果直线与双曲线没有公共点

19、求的取值范围有两们的方程题型二直线与双曲线的相交弦问题解有且只有一个公共点的直线有几条分别求出过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦求的周长为双曲线的右焦点已知双曲线方程为求以定点为中点的弦所在的直线方程解圆锥曲线与直线相交所 的方程 8.设直线 l:y 3x 1与双曲线于 x2 y2 1 a 0,b 0 相交于 A、B 两点，且弦 AB a2 b2 中点的横坐标为 1 2 2(1)求 a2 的值；(2)求双曲线离心率 b 9.已知双曲线 x 2 y2 1 a 0,b 0 的离心率 e 1 2，左、右焦点分别为 F1、F2，a 2 b2 左准线为 l，能否在双曲线的左支上找到一点 P，使得 PF1 是

20、 P 到 l 的距离 d 与 PF2 的等比中项？或二基础自测经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有条条条条直线与双曲线不可能相交只有一个交点相离有两个公共点过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径则双曲线的通径长是若一直线平行于双曲线与双曲线不是相切经过双曲线的右焦点且斜率为的直线被双曲线截得的线段的长是直线在双曲线三典例精析上截得的弦长为且的斜率为求直线的方程题型一直线与双曲线的位置关系如果直线与双曲线没有公共点求的取值范围有两们的方程题型二直线与双曲线的相交弦问题解有且只有一个公共点的直线有几条分别求出过双曲线的左焦点作倾斜角为的弦求的周长为双曲线的右焦点已知双曲线方程为求以定点为中点的弦所在的直线方程解圆锥曲线与直线相交所