项式定理公开课教案中学教育中学中学教育中学课件.pdf

《项式定理公开课教案中学教育中学中学教育中学课件.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《项式定理公开课教案中学教育中学中学教育中学课件.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、二项式定理公开课教案 1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点：二项式定理的发现。三、教学过程 1、情景设置 问题 1：若今天是星期一，再过 30 天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30 被 7 除后算余数”是多少。问题 2：若今天是星期一，再过)(8Nnn天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“nn)17(8被 7 除后算余数”是多少，也就是研究)()(Nnban的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授 第一步：让学生展开 baba1)(2222)(bababa；32232333)()()(babbaababab

2、a；43223434464)()()(babbabaabababa 5432234555510105)()()(babbababaabababa 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题 1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题 2：以5)(ba 的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期回答：展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；展开式

3、的项数比乘方指数多 1 项；展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式：nnnnnnbbababaaba33221)(（）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开7)(ba 教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人

4、帕斯卡三角早 400 多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑 如何展开100)(ba 以及)()(Nnban呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授 师：为了寻找规律，我们将)()()()(4bababababa中第一个括号中的字母分别记成11,ba；第二个括号中的字母分别记成22,ba；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：)()()()(443322114bababababa 4321aaaa 4a 1432243134214321baa

5、abaaabaaabaaa ba3 214331424132324142314321bbaabbaabbaabbaabbaabbaa 22ba 3214421343124321bbbabbbabbbabbba 3ab 4321bbbb 4b（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）问题 1：以22ba项为例，有几种情况相乘均可得到22ba项？这里的字母ba,各来自哪个括号？问题 2：既然以上的字母ba,分别来自 4 个不同的括号，22ba项的系数你能用组合数来表

6、示吗？今天是星期一再过天后是星期几怎么算预期回答星期三将问题转化为求被除后算余数是多少问题若今天是星期一再过预期回答将问题转化为求天后是星期几怎么算被除后算余数是多少也就是研究的展开式是什么这就是本节课要学的出以上数据上下行之间的规律预期回答下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和的展开式为例说出各项字母排的规律项数与乘方指数的关问题以系展开式第二项的系数与乘方指数的关系预期回答展开式每一项的项的系数等于乘方指数初步归纳出下式设计意图以上呈现给学生的由系数排成的三角形起到了先行组织者的作用虽然教师将此三角形模型以定论的形式呈现给学生但是它毕竟不是最后的结果而是一种寻找系数规律的有

7、效工具便于学问题 3：你能将问题 2 所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有 4 个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？）问题 4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：4322344)()()()(babbabaabababababa 括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理板书课题：)()(222110NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn。3、深化认识 请学生总结：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？二项式定理展开式的

8、结构特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）4、巩固应用【例 1】展开4)11(x 6)12(xx 【例 2】求7)21(x的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。求9)1(xx 的展开式中含3x项的系数。变式：在二项式定理中，令xba,1，得到怎样的公式？nnnrrnnnnxCxCxCxCx2211)1(思考：?210nnrnnnnCCCCC为什么？今天是星期一再过天后是星

9、期几怎么算预期回答星期三将问题转化为求被除后算余数是多少问题若今天是星期一再过预期回答将问题转化为求天后是星期几怎么算被除后算余数是多少也就是研究的展开式是什么这就是本节课要学的出以上数据上下行之间的规律预期回答下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和的展开式为例说出各项字母排的规律项数与乘方指数的关问题以系展开式第二项的系数与乘方指数的关系预期回答展开式每一项的项的系数等于乘方指数初步归纳出下式设计意图以上呈现给学生的由系数排成的三角形起到了先行组织者的作用虽然教师将此三角形模型以定论的形式呈现给学生但是它毕竟不是最后的结果而是一种寻找系数规律的有效工具便于学?21nnrnnn

10、CCCC【例 3】解决起始问题：nnnnnnnnnnCCCC777)17(81110，前面是 7 的倍数，因此余数为1nnC，故应该为星期二。说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结 本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。二项式定理的表达式以及展开式的通项，要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。二项式定理 由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；从上述过程中可以发现，(a+b)n是 n 个(

11、a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选 a 或选 b，而且每个(a+b)中的 a 或 b 选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。探索(a+b)4的展开式的形式。4 个括号中取 a 和取 b 的个数和为 4，即每一项的形式是 a4-kbk，（1）k=0 时，a4-kbk=a4，四个括号中全都取 a，相当于取 0 个 b，有 C40项 a4，即 a4的系数为得：C40；（2）k=1 时，四个括号中有 1 个取 b，剩下的 3 个取 a，得：C41a3C33b（3）k=1 时，四个括号中有 2 个取 b，剩下的 2 个

12、取 a，得：C42a2C22b2（4）k=3 时，四个括号中有 3 个取 b，剩下的 1 个取 a，得：C43aC11b3（5）k=4 时，四个括号中全都取b，得：C44b4(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4(a+b)n的展开式又是什么呢？猜想：)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 证明：对（a+b）n分类，按 b 可以分 n+1 类，不取 b：Cn0an；取 1 个 b：Cn1an-1b；取 2 个 b：Cn1an-2b2；(k+1)取 k 个 b：Cnkan-kbk；今天是星期一再过天后是星期几怎么算预期回答星

13、期三将问题转化为求被除后算余数是多少问题若今天是星期一再过预期回答将问题转化为求天后是星期几怎么算被除后算余数是多少也就是研究的展开式是什么这就是本节课要学的出以上数据上下行之间的规律预期回答下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和的展开式为例说出各项字母排的规律项数与乘方指数的关问题以系展开式第二项的系数与乘方指数的关系预期回答展开式每一项的项的系数等于乘方指数初步归纳出下式设计意图以上呈现给学生的由系数排成的三角形起到了先行组织者的作用虽然教师将此三角形模型以定论的形式呈现给学生但是它毕竟不是最后的结果而是一种寻找系数规律的有效工具便于学(n+1)取 n 个 b：Cnnbn；

14、然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+knCan-kbk+nnCbn(n N+)这就是二项式定理。它有n+1项，各项的系数(0,1,)rnCrnL叫二项式系数，rn rrnC ab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第 k+1 项：1rn rrrnTC ab 二项式定理中，设1,abx，则1(1)1nrrnnnxC xC xx LL 你怎么记忆这个公式？项数:共 n+1 项,是关于 a 与 b 的 n 次齐次多项式；指数:a 的指数从 n 逐项递减到 0，是降幂排列；b的指数从 0 逐项递增到 n，是升幂排列。例 1 求61(2)xx

15、的展开式 解：66311(2)(21)xxxx 61524332216666631(2)(2)(2)(2)(2)(2)1xCxCxCxCxCxx 32236012164192240160 xxxxxx 例 2（1）求7(12)x的展开式的第 4 项的系数；（2）求91()xx的展开式中 x3的系数及二项式系数 解：(1+2x)7的展开式的第四项是3333 17(2)280TCxx，(1+2x)7的展开式的第四项的系数是280（2）91()xx的展开式的通项是99 21991()(1)rrrrrrrTC xC xx，9-2r=3,r=3，x3的系数339(1)84C，x3的二项式系数3984C

16、今天是星期一再过天后是星期几怎么算预期回答星期三将问题转化为求被除后算余数是多少问题若今天是星期一再过预期回答将问题转化为求天后是星期几怎么算被除后算余数是多少也就是研究的展开式是什么这就是本节课要学的出以上数据上下行之间的规律预期回答下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和的展开式为例说出各项字母排的规律项数与乘方指数的关问题以系展开式第二项的系数与乘方指数的关系预期回答展开式每一项的项的系数等于乘方指数初步归纳出下式设计意图以上呈现给学生的由系数排成的三角形起到了先行组织者的作用虽然教师将此三角形模型以定论的形式呈现给学生但是它毕竟不是最后的结果而是一种寻找系数规律的有效工具

17、便于学例 3 求12()xa的展开式中的倒数第4项；求93()3xx的展开式常数项；解：12()xa的展开式中共 13 项，它的倒数第 4 项是第 10 项，912 99339399 11212220TC xaC x ax a 3992921993()()33rrrrrrrxTCCxx，当390,62rr时展开式是常数项，即常数项为637932268TC；“杨辉三角”1)(ba 1 1 2)(ba 1 2 1 3)(ba 1 3 3 1 4)(ba 1 4 6 4 1 5)(ba 1 5 10 10 5 1 6)(ba 1 6 15 20 15 6 1 这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”

18、。“杨辉三角”的特征：表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当 n 不大时，可以根据这个表来求二项式系数。设表中不为 1 的数 Crn+1,那么它肩上的两个数分别为Cnn-1，Cnr，所以 Crn+1=Cnn-1+Cnr。详解九章算术中的“杨辉三角”如右图。二项式系数的性质 nba)(展开式的二项式系数依次是 nnnnnC,C,C,C210 今天是星期一再过天后是星期几怎么算预期回答星期三将问题转化为求被除后算余数是多少问题若今天是星期一再过预期回答将问题转化为求天后是星期几怎么算被除后算余数是多少也就是研究的展开式是什么这就是本节课要学的出以上数据上下行之间

19、的规律预期回答下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和的展开式为例说出各项字母排的规律项数与乘方指数的关问题以系展开式第二项的系数与乘方指数的关系预期回答展开式每一项的项的系数等于乘方指数初步归纳出下式设计意图以上呈现给学生的由系数排成的三角形起到了先行组织者的作用虽然教师将此三角形模型以定论的形式呈现给学生但是它毕竟不是最后的结果而是一种寻找系数规律的有效工具便于学从函数角度看，rnC可看成是以 r 为自变量的函数 f(x)，其定义域 是n,2,1,0，对于确定的 n，还可以画出它的图象；例如，当 n=6 时，其图象是 7 个孤立的点（如图）对称性 与首末两端“等距离”的两个二

20、项式系数相等（mn mnnCC）直线2nr 是图象的对称轴 增减性与最大值1(1)(2)(1)1!kknnn nnnknkCCkk L，knC相对于1knC的增减情况由1nkk 决定，1112nknkk ，当12nk时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值 各二项式系数和：1(1)1nrrnnnxC xC xx LL，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC LL 今天是星期一再过天后是星期几怎么算预期回答星期三将问题转化为求被除后算余数是多少问题若今天是星期一再过预期回答将问题转化为求天后是星期几怎么算被除后算余数是多少也就是研究的展开式是什么这就是本节课要学的出以上数据上下行之间的规律预期回答下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和的展开式为例说出各项字母排的规律项数与乘方指数的关问题以系展开式第二项的系数与乘方指数的关系预期回答展开式每一项的项的系数等于乘方指数初步归纳出下式设计意图以上呈现给学生的由系数排成的三角形起到了先行组织者的作用虽然教师将此三角形模型以定论的形式呈现给学生但是它毕竟不是最后的结果而是一种寻找系数规律的有效工具便于学