第四章平面向量复习讲义中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、 第 1 节 平面向量的概念及线性运算 考纲 了然于胸 1了解向量的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何意义 要点梳理 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如 a，AB 零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作 0 单位向量 给定一个非零向量 a，与 a同向且模为 1 的向量，叫做向量 a的单位向量，可记作 a0.a0a|a|共线(平行)向量 如果向量的基线

2、互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量 a与 b平行记作 ab 相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如ABa 相反向量 与向量 a反向且等长的向量，叫做 a 的相反向量 记作a 2向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法 求 a与 b的相反向量b的和的运算叫做 a与 b的差 三角形法则 aba(b)数乘 求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|a|；(2)当 0 时，a的方向与 a的方向相同；当 0，若(a2b)(2ab)，则 x 的值为()A4 B8 C0 D

3、2 5若平面向量 b与向量 a(1，2)的夹角是 180，且|b|3 5，则 b等于()A(3,6)B(3，6)C(6，3)D(6,3)6(2016 九江模拟)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则 PQ等于_ 7(2015 高考新课标卷)设向量 a，b不平行，向量 ab与 a2b平行，则实数 _.8 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 p(ac，b)，q(ba，ca)，且 pq，则角 C_.9已知 a(1,0)，b(2,1)求(1)|a3b|；(2)当 k为何实数时，kab与 a3b平行，平行时它们是同向还是反向

4、？10(2016 莱芜一模)如 图，已知OCB 中，点 C 是以 A为中点的点 B 的对称点，D 是将OB分为 21 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设OAa，OB b.(1)用 a和 b表示向量OC、DC；(2)若OE OA，求实数 的值 能力提升组 11非零不共线向量OA、OB，且 2OPxOAyOB，若PA AB(R)，则点 Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20 B2xy10 Cx2y20 D2xy20 12(2016 朝阳一模)在ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 中点，AN AB AC，则 的值为()A.12 B.13 C.14 D1 13在ABC 中，

5、点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC3CD，点 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合)，若AOxAB(1x)AC，则 x 的取值范围是()A(0，12)B(0，13)C(12，0)D(13，0)14(2016 成都市调研)设 G 为ABC 的重心，若ABC 所在平面内一点 P 满足PA2BP2CP 0，则|AP|AG|的值等于_ 15已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OMt1OAt2AB.(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t11 时，不论 t2为何实数，A，B，M 三点共线 第 3 节 平面向量的数量积及应用 考纲 了然于胸 1理解平面向量

6、数量积的含义及物理意义；2了解平面向量的数量积与向量投影的关系；理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的有关概念名称向量零向量单位向量要点梳理定义具有大小和方做向量的单位向量可记作备注如记作共线平行向量如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行向量与平行记作相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量相反向量与向量反向且等长的向量叫做的相反向相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则当时的方向与的数乘求实数与向量的积的运算方向相同当时的方向与的方向相反当时平行向量基本定理如果

7、则反之如果且则一定存在唯一一个实数使质疑探究当时一定有吗提示不一定当时3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系 要点梳理 1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a和 b，作OAa，OBb，如图所示，则AOB 叫做向量 a与 b的夹角，也可记作a，b.(2)范围：向量夹角 的范围是0，a与 b同向时，夹角 0；a与 b反向时，夹角 .(3)垂直关系：如果非零向量 a与 b的夹角是 90，我们说 a与 b垂直，记作 ab.2平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量 a和 b，它们的夹角为 ，则向量 a与

8、 b的数量积是数量|a|b|cos ，记作 a b，即 a b|a|b|cos .(2)向量的投影：设 为 a与 b的夹角，则向量 a在 b方向上的投影是|a|cos ；向量 b在 a方向上的投影是|b|cos .(3)数量积的几何意义：数量积 a b等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cos 的乘积.3平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a、b的夹角.向量表示 坐标表示 数量积 a b|a|b|cos a bx1x2y1y2 模|a|a a|a|x21y21 夹角 cos a b|a|b|cos x1x2y1y2x21y

9、21x22y22 ab的充要条件 a b0 x1x2y1y20|a b|与|a|b|的关系|a b|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22 4平面向量数量积的运算律 已知向量 a、b、c和实数 ，则：(1)交换律：a bb a；(2)结合律：(a)b(a b)a(b)；(3)分配律：(ab)ca cb c.质疑探究：对于非零向量 a、b、c.(1)若 a cb c，则 ab吗？(2)(a b)ca(b c)恒成立吗？提示：(1)不一定有 ab，因为 a cb cc(ab)0，即 c 与 ab 垂直，但不一定有 ab.因此向量数量积不满足消去律(2)因

10、为(a b)c与向量 c共线，(b c)a与向量 a共线所以(a b)c与 a(b c)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律 5向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题 理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的有关概念名称向量零向量单位向量要点梳理定义具有大小和方做向量的单位向量可记作备注如记作共线平行向量如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行向量与平行记作相等向量同向且等长的有

11、向线段表示同一向量或相等的向量相反向量与向量反向且等长的向量叫做的相反向相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则当时的方向与的数乘求实数与向量的积的运算方向相同当时的方向与的方向相反当时平行向量基本定理如果则反之如果且则一定存在唯一一个实数使质疑探究当时一定有吗提示不一定当时6平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积即 WF s|F|s|cos (为 F 与 s的夹角)小题查验 1下面结论正确的个数有()(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而

12、不是向量(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量(3)由 a b0 可得 a 0或 b 0.(4)(a b)ca(b c)(5)两个向量的夹角的范围是0，2 A1 B2 C3 D5 2(2015 高考山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD()A32a2 B34a2 C.34a2 D.32a2 3已知|a|4，|b|3，a与 b的夹角为 120，则 b在 a方向上的投影为()A2 B.32 C2 D32 4设向量 a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.5已知向量 a、b满足(a2b)(ab)6，且|a|1

13、，|b|2，则 a与 b的夹角为_ 考点一 平面向量的数量积的运算(基础型考点自主练透)方法链接 向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a b|a|ba，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2.提醒(1)在向量数量积的运算中，若 a ba c(a 0)，则不一定得到 bc.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a b)c不一定等于 a(b c)题组集训 1(2016 南昌市模拟)已知向量 e1(cos 4，sin 3)，e2(2sin 4，4co

14、s 3)，则 e1 e2_.2(2016 昆明市调研)已知向量 a，b 的夹角为 120，且|a|1，|b|2，则向量 ab 在向量 ab 方向上的投影是_ 3(2016 石家庄市质检)在矩形 ABCD 中，AB2，BC1，E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE AF的最大值为_ 考点二 平面向量数量积的性质(高频型考点多角探明)考情聚焦 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题归纳起来常见理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及

15、其几何意义向量的有关概念名称向量零向量单位向量要点梳理定义具有大小和方做向量的单位向量可记作备注如记作共线平行向量如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行向量与平行记作相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量相反向量与向量反向且等长的向量叫做的相反向相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则当时的方向与的数乘求实数与向量的积的运算方向相同当时的方向与的方向相反当时平行向量基本定理如果则反之如果且则一定存在唯一一个实数使质疑探究当时一定有吗提示不一定当时的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直 角度一 平面向量的模 1已知平面向量 a，b 的

16、夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC 中，AB2a2b，AC2a6b，D 为 BC 中点，则|AD|等于()A2 B4 C6 D8 2(2014 北京高考)已知向量 a，b满足|a|1，b(2,1)，且 ab 0(R)，则|_.角度二 平面向量的夹角 3向量 a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则 a，b的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56 4(2014 江西高考)已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，且 cos 13，向量 a3e12e2与 b3e1e2的夹角为 ，则cos _.角度三 平面向量的垂直 5(2014 重庆高考)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c

17、(2,1)，且(2a3b)c，则实数 k()A92 B0 C3 D.152 6在直角三角形 ABC 中，已知AB(2,3)，AC(1，k)，则 k的值为_ 通关锦囊 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos a b|a|b|，要注意 0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：aba b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2a a|a|2或|a|aa.|a b|a b2 a2 2a bb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.题组集训 1(2016 石家庄质检)已知向量 a、b的夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|

18、()A3 2 B2 2 C.2 D1 2(2016 武汉调研)已知向量 a，b，满足|a|3，|b|2 3，且 a(ab)，则 a与 b的夹角为()A.2 B.23 C.34 D.56 考点三 数量积的综合应用(重点型考点师生共研)【例】(1)已知向量 a，b是夹角为 60 的两个单位向量，向量 a b(R)与向量 a2b垂直，则实数 的值为()A1 B1 C2 D0(2)(2016 郑州市质检)在ABC 中，若AB2AB ACBA BCCA CB，则ABC 是()A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形【名师说“法”】(1)若 a，b为非零向量，则 aba b0；若非零向量 a

19、(x1，y)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径 理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的有关概念名称向量零向量单位向量要点梳理定义具有大小和方做向量的单位向量可记作备注如记作共线平行向量如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行向量与平行记作相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量相反向量与向量反向且等长的向量叫做的相反向相反向量的和的运算叫做与的差三角

20、形法则当时的方向与的数乘求实数与向量的积的运算方向相同当时的方向与的方向相反当时平行向量基本定理如果则反之如果且则一定存在唯一一个实数使质疑探究当时一定有吗提示不一定当时(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题 跟踪训练(1)(2016 荆州质检)已知向量 a与 b的夹角是23，且|a|1，|b|4，若(2a b)a，则实数 _.(2)(2016 厦门质检)已知点 O，N，P 在ABC 所在的平面内，且|OA|OB|OC|，NANBNC0，PA PBPB PCPC PA，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心

21、、重心、垂心 D外心、重心、内心 易错警示 8 数量积的正负与向量夹角关系不清 典例(2016 江西省七校联考)已知 a(3,2)，b(2，1)，若向量 ab 与 a b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_ 易错分析 此题易忽略 1 时，有 ab与 a b同向 防范措施 向量数量积正负与向量夹角是钝角、锐角不等价，如：m n0 时，其m，n可为锐角，也可为 0，m n0，其m，n可为钝角，也可为.此类题要考虑 m 与 n 共线情况 课堂小结【方法与技巧】1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 2求向量模的常用方法：利用公

22、式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算 3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 4向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 5以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法 6向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题【失误与防范】1(1)0 与实数 0

23、 的区别：0a 00，a(a)00，a 00 0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系 2a b0 不能推出 a 0或 b 0，因为 a b0 时，有可能 ab.3a ba c(a 0)不能推出 bc，即消去律不成立 4注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价 5注意向量共线和两直线平行的关系；两向量 a，b夹角为锐角和 a b0 不等价 课时活页作业(二十六)基础训练组 1已知向量 a(1，1)，b(2，x)，若 a b1，则 x 等于()理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向

24、量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的有关概念名称向量零向量单位向量要点梳理定义具有大小和方做向量的单位向量可记作备注如记作共线平行向量如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行向量与平行记作相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量相反向量与向量反向且等长的向量叫做的相反向相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则当时的方向与的数乘求实数与向量的积的运算方向相同当时的方向与的方向相反当时平行向量基本定理如果则反之如果且则一定存在唯一一个实数使质疑探究当时一定有吗提示不一定当时A1 B12 C.12 D1 2(2015 高考福建卷)已知非零向量 a，b满足|a|2

25、23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a与 b的夹角为()A.4 B.2 C.34 D 3设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab|等于()A.5 B.10 C2 5 D10 4(2016 西安质检)在四边形 ABCD 中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为()A.5 B2 5 C5 D10 5ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2，OAABAC0，且|OA|AB|，则CA在CB方向上的投影为()A1 B2 C.3 D3 6(2014 四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，

26、则m_.7在四边形 ABCD 中，ABDC(1,1)，1|BA|BA1|BC|BC3|BD|BD，则四边形 ABCD 的面积为_ 8(2015 高考天津卷)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点 E 和 F 分别在线段BC 和 DC 上，且BE BC，DF19DC，则AE AF的最小值为_ 9已知|a|4，|b|8，a与 b的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当 k为何值时，(a2b)(kab)?10在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 a(1，2)，又点 A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)(0 2)(1)若AB

27、a，且|AB|5|OA|，求向量OB；(2)若向量AC与向量 a共线，当 k4，且 tsin 取最大值 4 时，求OA OC.能力提升组 11在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA(2,2)，OB(4,1)，在 x 轴上取一点 P，使AP BP有最小值，则 P 点的坐标是()A(3,0)B(2,0)C(3,0)D(4,0)12(2016 昆明质检)在直角三角形 ABC 中，C2，AC3，取点 D 使BD2DA，那么CD CA()A3 B4 C5 D6 13在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，点 E 在线段 AB上运动，则EC EM的取值范围是()A12，2 B

28、0，32 C12，32 D0,1 14质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2成 60 角，且 F1，F2理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的有关概念名称向量零向量单位向量要点梳理定义具有大小和方做向量的单位向量可记作备注如记作共线平行向量如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行向量与平行记作相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量相反向量与向量反向且等长的向量叫做的相反向相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则

29、当时的方向与的数乘求实数与向量的积的运算方向相同当时的方向与的方向相反当时平行向量基本定理如果则反之如果且则一定存在唯一一个实数使质疑探究当时一定有吗提示不一定当时的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为_ 15(2016 西城二模)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(cos ，2sin )，B(sin ，0)，其中 R.(1)当 23时，求向量AB的坐标；(2)当 0，2时，求|AB|的最大值 理解向量的几何表示掌握向量加法减法的运算并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义向量的有关概念名称向量零向量单位向量要点梳理定义具有大小和方做向量的单位向量可记作备注如记作共线平行向量如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行向量与平行记作相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量相反向量与向量反向且等长的向量叫做的相反向相反向量的和的运算叫做与的差三角形法则当时的方向与的数乘求实数与向量的积的运算方向相同当时的方向与的方向相反当时平行向量基本定理如果则反之如果且则一定存在唯一一个实数使质疑探究当时一定有吗提示不一定当时