圆知识点总结办公文档工作总结 办公文档工作总结 .pdf

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1、圆知识点总结 一、圆的概念 集合形式的概念：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；二、圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及其推论可概括为：过圆心

2、垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 三、圆心角定理 圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD 圆心角的度数与它所对弧的度数相等。三、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角。2、圆周角定

3、理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。3、圆周角定理的推论 点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆

4、心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并推论 1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。推论 2：同弧或等弧上所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论 3：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 4：圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC 推论 5：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。四、三角形外接圆和内切圆（1）

5、三角形的外接圆 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对

6、应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，任何一个三角形都有且只有一个外心。锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。（2）三角形的内切圆及有关计算 与三角形各边都想切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等。任何一个三角形都有且

7、只有一个内心，三角形的内心在三角形的内部。ABC中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径 r=2cba。SABC=)(21cbar，其中 a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径。五、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点C在圆内；2、点在圆上 dr 点B在圆上；3、点在圆外 dr 点A在圆外；（2）直线与圆的位置关系 rddCBAO点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平

8、分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点；（3）圆与圆的位置关系 外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图

9、 3）有两个交点 RrdRr ；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；六、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 drd=rrd图1rRd图3rRd图2rRd图4rRd图5rRd点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及

10、其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 证明切线的方法：已知直线过圆上点，作连接证明垂直；未知直线过圆上点，作垂直证明等于半径 补充：点到直线的距离公式 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过

11、圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。（3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 七、弧长和扇形面积 1、弧长公式：n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为180rnl 2、扇形面积公式：lRRnS213602扇（其中 n 是扇形的圆心角度NMAOPBAO点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心

12、是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并数，R是扇形的半径，l 是扇形的弧长。）3、圆锥的侧面积：rlrlS221（其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。）八、补充（1）相交弦定理：圆内

13、两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PAPC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线 DECBPAO点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴

14、对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并 PC PBPD PE（5）弦切角定理 弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，

15、叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：BAC=ADC （5）两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点 12O O垂直平分AB（6）圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。BAO1O2点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图

16、形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并（7）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlR n：圆心角 R：扇形多对

17、应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h（3）圆锥侧面展开图 SSS侧表底=2Rrr 圆锥的体积：213Vr h 九、正多边形与圆（1）与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距 正多边形的内切圆的半径叫做这个正多边形的边心距。4、中心角 B1RrCBAO点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的

18、直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。正多边形的每个中心角都等于360。5、正多边

19、形的对称性 正多边形都是轴对称图形。（一个正 n 边形共有 n 条对称轴，）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等。当边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。（2）圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2OD BD OB；（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:

20、2AB OB OA.十、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明 点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组

21、量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆

22、的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线 12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线 13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边 2、圆中较特殊的辅助线 1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线 2)将割线、相交弦补充完整 3)作辅助圆 点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂

23、径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并 点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心定长为半径的圆二圆的对称性圆的轴对称性圆是轴对称图形每一条直径所在的直线都是它的对称轴圆的中心对称性圆是中心对称图形圆心是它的对称中心三垂径定理及其推论垂径定理直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其推论可概括为过圆心垂直于弦直径平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三推论圆的两条平行弦距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等此定理也称推定理即上述四个结论中只要知道其中的个相等则可以推出其它的个结论即弧弧圆心角的度数与它所对弧的度数相等三圆周角定理及其推论圆周角顶点在圆上并