2021年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷（含解析）.pdf

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1、2021年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷一、选 择 题（每小题3 分）.1.数轴上点A表示的数是-2,将 点 A在数轴上向右平移五个单位长度得到点B,则 点B表示的数是（）A.-7 C.-32.我市四月份某一周每天的最高气温（单位：）如下：2 0、2 1、2 2、2 2、2 4、2 5、2 7.则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A.2 2,2 4B.2 4,2 4C.2 2,2 2D.2 5,2 23 .下列运算正确的是（A.x3,xi=x12(-2X3)2=4 KC.(a-b)2=a2-b24.在 A B C 中，D、E分别是A B、AC的中点，则 A O E 与 A B C

2、 的面积之比为（）5 .为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，2 4 小时运转，该条生产线计划加工3 2 0 万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.2 5 倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x万支疫苗，则可列方程为（）.320 320 0X 1.25x口 3205x 3205xD.-=-3X 1.25x 320 320 cx 1.25xn 3205x 3205xx 1.25x6.清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象.汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了（）千米.以千

3、米20|X；!0 03 L5 2；/小时A.1 2 0B.1 3 0C.1 4 0D.1 5 07.正边形的边长为m那么它的半径为（)aaA.360sin-nB.180sin-nC.2sin,180nD.2sin-3608.已知二次函数y=-/+力 x+c的顶点为（,5）那么关于x 的一元二次方程-x?+bx+c-4=0 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定9.O P 与 x 轴相交于A（1,0）、B（4,0）,与 y 轴相切于点。（0,2）,则 的 半 径是（）A.2.5B.3C.3.5D.5n10.如图，函数了=侬2+饭+。经 过 点（3

4、,0）,对称轴为直线x=l,下列结论：b2-4ac0；ahc0；9。-3b+c=0；5a+h+c=0；若点 A（。+1,y）、B（+2,”），则 刃-”0.其中结论的正确的有（）A 1个 B 2 个 C 3 个 D.4 个二、填 空 题（每小题3 分）.911.已知尤为自然数，代 数 式 有 意 义 时，x 可取_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （只需填满足条件的V 4-x一个自然数）.12.点。在NAOB的平分线上，CM _LO3,。=13,O M=5,则 点。到射线0 4 的距离为.13.分解因式：x3-4xy2=.14.如图，已知坐标原点。为平行四边形A3CO的对角线A

5、C的中点，顶点A 的横坐标为4,A。平行x 轴，且 A。长为5.若平行四边形面积为1 0,则顶点5 的坐标为.1 5 .将长为2 0 c m的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y （。加），扇形半径为x（。），且0 x 10,则y与x的函数关系式为.16.如图，N A=9 0,AB=5,AC=1 2,点。为动点，连 接8。、CD,N B Q C始终保持为9 0 ,线段A C 8。相交于点E,则里的最大值为BE-三、解 答 题（本大题共9 小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解方程组:x-3y=33x+y=ll18.如图，已知菱形AB C Q,点E和点F分别在B C、

6、C D .,且 B E=D F,连接AE,A F.求证：N B A E=N D A F.（1）化 简7;（2）若“+4 a+4=4,求 T的值.20.广州市各校学生都积极参加志愿者活动，某校为了解九年级学生一学期参加志愿者活动时 间（单位：h）的情况，从该校九年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成不完整的频数分布表.组别 志愿时间（小时）频数 频率A 组 0 4 5 2 0.052 组54 10m0.125C组10 r.(1)尺规作图：以A C为直径作。0,与 A B 交于点尸(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求证：C E 是。的切线；(3)若。与直线/相交于点A/、N (在

7、N 的 上 方)，若超4=2,求 M F的长.A D E B2 3 .在平面直角坐标系中，直 线 小y=-x+8与y轴交于点(0,2),且与双曲线xW 0)有交点.(1)求b的值和k的取值范围；(2)直线人绕 点(I,1)顺时针旋转9 0。得到直线自 请直接写出直线A的解析式；(3)在(2)的条件下，直线/2与双曲线的交点为点P,且点P的横坐标为1.点4 B在直线/2上，点A的纵坐标为2,B的纵坐标为m(mW当，过A、B两点分别作X轴的平行线交双曲线于点C、D,连 接C O、D O,记2 0 0、AO C的面积分别为S、S,S 2,若 求/的 取 值 范 围.S22 4 .如图，等边三角形A

8、A B E和矩形A2 C Z)有共同的外接圆。O,且4 8=3 0.(1)求证：Z C E =1 2 0 ；(2)在劣弧篇上有动点凡 连接O F、CF、BF,O F分别交4 E、4 8于点M、P,C F 交B E 于点、N.设 MNF与 C C F的周长分别为C i和Ci,试判断Ci-G的值是否发生变化，若不变则求出该值；若变化请说明理由；若PN=5,求8尸的长.2 5 .如图，已知抛物线y=x2+bx+c过 点A(1,0)、点 B(-5,0),点尸是抛物线上x轴下方的一个动点，连接P A,过点A作A Q L P A交抛物线于点Q,作直线P Q.(1)求抛物线的解析式；(2)若点尸的坐标为(-

9、3,-8),求点Q 的坐标；(3)判断在点P 运动过程中，直线PQ是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选 择 题（每小题3 分）.1 .数轴上点A 表示的数是-2,将 点 A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点B,则 点B表示的数是（）A.-7 B.7 C.-3 D.3解：YA 表示的数是-2,将点A 在数轴上向右平移五个单位长度得到点B,.点8表示的数是-2+5=3,故选：D.2 .我市四月份某一周每天的最高气温（单位：）如下：2 0、2 1、2 2、2 2、2 4、2 5、2 7.则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A.2 2,2 4 B.2

10、 4,2 4 C.2 2,2 2 D.2 5,2 2解：2 2 出现了 2次，出现的次数最多，则众数是2 2；把这组数据从小到大排列2 0、2 1、2 2、2 2、2 4、2 5、2 7,最中间的数是2 2,则中位数是2 2；故选：C.3 .下列运算正确的是（）A.日 产;”B.（-2A3）2=4/C.（a -b）2=a2-b2 D.xy-r-=2xy解：A.不符合题意；B.（-2 x3）=（-2）2（x3）三 4 八 符 合 题 意；C.（“3 2=标-2 处 以 不符合题意；D.x2y-r-xzy*2x=2xy,不符合题意.2x-故选：B.4 .在 ABC 中，D、E分别是A B、A C的

11、中点，则与 ABC 的面积之比为（）解：由题意得。E为aA B C的中位线，那么。E 8 C,D E：B C=1：2.，A A DEA A B C.AD E与aA B C的周长之比为1：2,.AD E与 A B C的面积之比为1：4,即工.4故选：B.5 .为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，2 4小时运转，该条生产线计划加工3 2 0万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.2 5倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x万支疫苗，则可列方程为（）A320 320 cX 1.25xn 3205x 3205xD.-=-gX 1.25x 320 32

12、0 0 x 1.25xc 320-5x 320-5x nx 1.25x解：.原计划每天生产x万支疫苗，五天后以原来速度的1.2 5倍生产，五天后每天生产1.2 5 x万支疫苗，依题意，得：320-5X斗哈+3x 1.25x故选：D.6 .清明节期间，小海自驾去某地祭祖，如图是他们汽车行驶的路程y （千米）与汽车行驶时间x （小时）之间的函数图象.汽车行驶2小时到达目的地，这时汽车行驶了（）解：如图所示:设A B段的函数解析式是ykx+b,；y=fcv+匕的图象过 4（0.5,20）,B（1.5,100）,.f 0.5 k +b=2 0 A n z a f k=8 0 1.5 k+b=1 0 0

13、 l b=-2 0：.AB段函数的解析式是y=80 x-20,:汽车行驶2 小时到达目的地，y=80X2-20=140（千米），即这时汽车行驶了 140千米.故选：C.7.正边形的边长为“，那么它的半径为（）a aA.3 6 0 B.1 8 0 s i n-s i n-n naC.n.1 8 0 z s m-nD.2 s i n3 6 0 n解：设 AB是正多边形的一条边，过 点。作 OCLAB于点C.n在直角AOC 中，sinZAOC=,0A1 QA0J AC=OA sin Z A O C=R sin1QUna，R=c .1 8 0 2 s m-n8.已知二次函数y=-x2+bx+c的顶点为

14、(1,5）,那么关于x 的一元二次方程-/+6x+c-4=0 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定解：设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,则 y (x-1)2+5=-x2+2x+4,贝！I-N+/x+c-4=0 化为-x2+2x=0,解得x=0或2,故选：A.9.0P与x轴相交于A (1,0)、B (4,0),与y轴相切于点C (0,2),则QP的半径是()A.2.5 B.3 C.3.5 D.5解：过点P作尸C48于 ,连接P A、PC,；O P与y轴相切于点C,；.P C _ L y 轴，二四边形C O D P为矩形，：.PD=OC=

15、2,VA (I,0)、B (4,0),.,.A 8=3,：PDL AB,1 2：.AD=A B=,2 2O P 的半径=+A D 2=2.5,1 0.如图，函数y=a y 2+b x+c经 过 点(3,0),对称轴为直线x=l,下列结论：b2-4 a c 0；abc0；9。-3 6+c=0；5 a+b+c=0；若点 A (a+1,y i)、B(a+2,”)，则 其 中 结 论 的 正 确 的 有()A.1 个B.2个C.3 个D.4 个解：:抛物线与X轴有两个交点，Ab2-4ac0,.正确；,抛物线开口向上，抛物线对称轴在y 轴右侧，.b与a异 号,即 b VO,抛物线与y 轴交点在x 轴下方

16、，A c 0,正确；;抛物线对称轴为x=l,与 x轴的一个交点为（3,0）,抛物线与、轴的另一个交点为（-1,0）,抛物线开口向上，在对称轴左侧y随 x增大而减小，当 x=-3 时，y 0,9a-3 Z?+c 0,，错误；;抛物线与x轴的一个交点为（3,0）,/.9+3。+。=0,抛物线对称轴为x=l,:.b=-2a,.5+A+c=0,正确；(),:.1 0,解得：x4,.X可取2（答案不唯一）.故答案为：2（答案不唯一）.12.点 C 在N A 08的平分线上，C M L O B,OC=13,O M=5,则点C 到射线OA的距离为12.解：过 C 作 CF_LA。于凡；OC为/A O B 的

17、平分线，C M 1 O B,:.CM=CF,：OC=13,OM=5,CM=、O C2-OM=12,A CF=12,故答案为：12.1 3.分解因式：3-4 冲2=x(x+2y)(x-2y)解：原式=x(/-4中)x(x+2y)(x-2 y),故答案为：x(x+2y)(x-2y)14.如图，已知坐标原点O 为平行四边形ABC。的对角线AC的中点，顶点A 的横坐标为4,AO平行x轴，且 AO长为5.若平行四边形面积为10,则顶点3的 坐 标 为(1,-1)解：如图，连接BD,设 4。与 y 轴交于点M,:点 A的横坐标为4,A。平行x轴，且 AD长为5.点。的横坐标为-1,平行四边形A B C D

18、的面积为10,AXADXOM=X 10,2 4.点 0(-1,1),V四边形A B C D是平行四边形，:BO=DO,:.点 B(1,-1),故答案为：(1,-1).15 .将 长 为 20c 机的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y (s?),且 O V x V I O,则 y 与无的函数关系式为y=-以+.解：由 题 意 扇 形 的 面 积(20-2x)=-/+10 x.故答案为：y=x2+10 x.16 .如图，N A=9 0,AB=5,A C=1 2,点。为动点，连接 8。、为 9 0 ,线段A C、8。相交于点E,则空的最大值为 4-B E -5-扇形半径为x (c m),CD,N8D

19、C始终保持解：V ZA=9 0,A B=5,4 c=12,.，BC=yj A B?+A C 2 r 5 2+12 2=13 ,设 A E=x,则 CE=12-JGB =VAB2+AE2=V52+X2=VX2+25-V Z B D C=Z A=9 0 ,/CE D=/BE A,:.ACEDSABEA,嘴谭，即忘丁哉，x(12-x)DE=/23+2 5.D E=X(12-X)丽 X2+25DEBE令:.k(N+25)=X(12-x)整理，得：(Z+l)N-1级+25&=0,VA=(-12)2-4 X ()l+l)X 25k 2,.25公+25 0 3 6 W 0,令 25k2+25k-3 6=0,

20、解得：无2=一 盘，5 5根据二次函数z=25 R+25 k-3 6的性质可知：当z W O时，-5 5 里的最大值为占BE 5另解：如图：。始终保持为9 0 ,线段A C、8。相交于点E,.点。在以B C为直径的圆的劣弧前上运动，过点D作D F V A C于F,：.ZDFE=ZBAC=9 0 ,：4DE F=4BE A,:.D E F sX B E k,DE=DF=DF丽 一 屈 一 可.当D F 最大时，黑的值最大，BE当。运动到劣弧总的中点力处时，。尸最大，连 接 0。交月C 于 尸，则 0 V A C,且 尸 为 4 c 的中点,1 RA OF=A B=2,2 2：.D F=0 D -

21、OF=-=4,2 2 D E _ Dy Fy _ 4*BE 引坐 的 最 大 值 为&BE 5三、解 答 题（本大题共9 小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解方程组:解:fx-3 y=-3 QI3 x+y=llx-3y=-33x+y=ll给式两边同时乘以3,得 9x+3y=33,+得，10 x=30,解得工=3,把犬=3 代入式中,得 9+y=11,解得y=2,所以方程组得解为 .1 y=218.如图，已知菱形AB CD,点E和点F分别在8 C、C D上，且 B E=D F,连接AE,A F.求证：N B A E=N D A F.【解答】证明：四边形AB C。是

22、菱形,：.ABAD,N B=N D,在AAB E和A。/中，AB=AD.NAQM=90=/A F C,：.MN/CF,:./FM N=N C FM,-F N=C M 二?S+亩=禄宿即命=南，：.M F=C N=y).图32 3.在平面直角坐标系中，直 线 小 丫=7+万与旷轴交于点（0,2）,且与双曲线y 音（&W 0）有交点.（1）求。的值和A 的取值范围；（2）直线/1绕 点（1,1）顺时针旋转9 0得到直线b,请直接写出直线/2的解析式；（3）在（2）的条件下，直线七与双曲线的交点为点P,且点P的横坐标为1.点 A、B在直线/2上，点 A的纵坐标为2,8 的纵坐标为“（mW 当，过 A

23、、B两点分别作2 5X 轴的平行线交双曲线于点C、D,连 接 C。、D O,记 200、Z V I O C 的面积分别为S、S,S 2,若 t 廿，求，的取值范围.S2解：（1）将 点（0,2）的坐标代入y=-x+h 得：2=0+4解得6=2,故直线/i 的表达式为y=-x+2,当上V0 时，反比例函数在二、四象限，则两个函数必然相交；联立两个函数表达式并整理得：x2-2x+k=G,.=4-4右0,解得二W 1,故 0V Z W1,综上，女的取值范围为左0或0V/W1；(2)由直线人的表达式知，点(1,1)在改直线上，并且该点为人在第一象限内线段的中点，而直线人和x轴负半轴的夹角为45 ,直线

24、/i绕 点(1,1)顺时针旋转9 0得到直线3则直线/2为一、三象限角平分线，故h的表达式为尸X；(3)当x=l时，yxl,故点P的坐标为(1,1),将点尸的坐标代入反比例函数表达式得：k=,故反比例函数表达式为y=,X.,点A的纵坐标为2,8的纵坐标为7,这两点都在直线/2上，故点3(?，点A(2,2),则点C、。的坐标分别为(2,)、(一，m),2 m.W z n w g,则点B在点P的下方，2 5则 S XB D X-X(m)X tn(1 ,2 2 m 2同理可得5 2=4-2 ,2 5A.25 424.如图，等边三角形A B E和矩形4 B C D有共同的外接圆。0,且4B=30.(1

25、)求证：Z C E D=120 ；(2)在劣弧篇上有动点居 连接。尸、CF、B F,。产分别交A E、A B于点M、P,C F 交B E于点、N.设 M N F与 C D F的周长分别为G和C 2,试判断C2-G的值是否发生变化，若不变则求出该值；若变化请说明理由：若PN=5,求B F的长.；等边三角形A A B E和矩形A 8C D,：.ZD AB=ZC BA=90c,NEAB=NEBA=60,J.Z D A E Z D A B-ZEAB30,NCBE=/CBA-/EBA=30,:.NDOE=NEOC=60,*/OD=OE=OC,：./D O E 和 E O C都是等边三角形，.ZDEO=Z

26、CEO=60,Z CED=ZDEO+ZCEO=120 ；(2)C 2-G的值为30,不变，理由如下：连接A C、B D,。历、O N,如图：E：.B D和AC是直径，V ZD E C=120,ZAEB=60,AZDE4+ZCEB=60,VAD=BC,：.ZDE A=ZC E B=30,而NOEO=NCEO=60,NCBE=30,A ZDE A=ZO EA=ZCE B=ZOEB=30,ZECB=180-NCEB-NCBE=120。,ZACB=ZECB-ZECO=60,QOE和EOC都是等边三角形，:.CE=OE=DE,在CEN和OEN中，C E =0E,Z C E B=Z 0E B，E N=E

27、N:.CENQAOEN(S A S),:.CN=ON,NCON=NOCN,同理。M=OM,/O D M=/D O M,：/O D M=/B C F,:C O N+/D O M=N O CN+/O DM=4O C N+/BC F=ZACB=60,而 NDOE=NEOC=60,A ZDOE+ZEOC+ZCON-ZDOM=SO,M、。、N共线，:CN+DM=MN,：.Ci-C=(FC+CD+DF)-(FN+MN+MF)=(FN+CN+CD+DM+MF)-(FN+MN+MF)=CD,矩形 ABC。，A8=30,CQ=AB=30,AC2-Ci=30；如图：:NDEC=120,：.ZDFC=60=A AB

28、E,:N、P、尸、B共圆,：ZDFB=ZDAB=90,：.ZPNB=90,：ZPBN=60Q,P N=5,.BP=10,A8=30,：.AP=20,V Z Z)A E=Z D E A=3 0o,：.AD=DE=OD=OA,：.ZADO=60,在 R t Z A 3Q 中，A B=30,MO=+船=1 0 F t a n o U,)/J=VAP2+AD2=1。AAsinZAPD=2/21,DP 7.sin/BPF=逅l,7.8。为直径，：.ZBFP=90,R t Z B P 尸中，s i n Z B P F=,BP.V21_BF-，7 10.p c-10721 Dr-.72 5.如图，已知抛物线

29、yx2+bx+c过 点 A (1,0)、点 8(-5,0),点 P是抛物线上x轴下方的一个动点，连接P A,过点A作 A Q J _ P A 交抛物线于点Q,作直线P Q.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的坐标为(-3,-8),求点。的坐标；(3)判断在点P运动过程中，直线PQ是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标；若不存在，请说明理由.解：(1).抛物线 y=N+法+c 过点 A (1,0)、点 8 (-5,0),.(l+b+c=OI25-5 b+c=0解 得:b=4 ,lc=-5.抛物线的解析式为：)，=/+4x-5；(2)如图，设 Q(m,/n2+4 w-5),过点P 作 PEJ_A

30、B于点E,过 点。作 QFJ_AB于点F,ZAEP=Z.AFQ=90,QF=ni2+4m-5,AF=-m,点P 的坐标为(-3,-8),:.PE=8,AE=4,*：AQ1PA,：.ZPAQ=90,：.ZPAE+ZQAF=90,.,NQAb+NA。尸=90,NPAE=NAQF,：.PAE/AQFfAQF =A E 即：m2+4 m-5 =A；A F PE 1-m 8解得：，i=l(舍 去)，m i-当 m=,AF=1 -(=13,22 2(3)点尸运动过程中，直线尸Q 恒过定点(-5,1).设直线 P。解析式为 y=px+q,P(xp,yp),Q(x,y ),：P(XP,yP),Q(M，yQ)是

31、直线PQ与抛物线y=/+4x-5 的交点,.*.x2+4x-5=px+q,即 N+(4-p)x-5-q=0,；XP+XQ=P-4,XPXQ=-5-q,如图，过点P 作 PELA8于点E,过点。作。尸，A 3于点尸，则 AE=1 -xp,PE=-yp,AF=1 -XQ,QF=yQ1yp=pxp+q,yQ=px()+q9QF=AE 叩 YQ 一 l-xpAF PE .l-xQ-yp:.(1-xp)(1-XQ)ypyQ=-Cpxp+q)(pxo+q),1 -(Xp+XQ)+XpXQ=-p2XpXQ+pq(Xp+XQ)+而，A 1+(pq T)(XP+XQ)+(p2+l)(XPXQ)+,2=0,:.1+(pq-1)(p-4)+(p2+l)(-5-/)+q2=o,:.(p+q)(q-5p-1)=0,+q#0,:q-5p-1=0,.g=5p+l,:.直线P Q的解析式为y=px+5p+l,当 x=-5 时，y=-5p+5p+l=l,直线PQ 恒 过 点(-5,1),故点P 运动过程中，直线P。恒过定点(-5,1).