直线与圆知识点总结中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为 0；（2）倾斜角的范围,0。如（1）直线023cosyx的倾斜角的范围是_（答：50)66，U）；（2）过点),0(),1,3(mQP 的直线的倾斜角的范围m那么,32,3值的范围是_（答：42mm或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90)；倾斜角为 90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点1

2、11(,)P x y、222(,)P xy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向向量(1,)akr，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y满足3250 xy (31x)，则xy的最大值、最小值分别为_（答：2,13）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点

3、式：已知直线经过111(,)P x y、222(,)P xy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B 不同时为 0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(1,3)的 直 线 的 点 斜 式 方 程 是 _（答：13(2)yx ）；（2）直 线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点_（答：(1,2)）；（3）若曲线|ya x与(0)yxa a 有两个公共点，则a的

4、取值范围是_（答：1a）提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(它不适用于斜率为 0 的直线)；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为0

5、0()yk xxy，当斜率k不存在时，则其方程为0 xx；（4）与直线:0l AxByC 平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P xy到直线0AxByC 的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。6、直线1111:0lAxB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系：（1）平行12210ABA B（斜率）且12210B

6、CB C（在y轴上截距）；（2）相交12210ABA B；（3）重合12210ABA B且12210BCB C。提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0lAxB yC与直线2222:0lA xB yC垂直12120AAB B。如（1）设直线1:60lxmy 和2:(2)320lmxym，当m_时1l2l；当m_时1l2l；当m_时1l与2l相交；当m_时1l与2l

7、重合（答：1；12；31且mm；3）；（2）已知直线l的方程为34120 xy，则与l平行，且过点（1，3）的直线方程是_（答：3490 xy）；（3）两条直线40axy 与20 xy 相交于第一象限，则实数a的取值范围是_（答：12a）；（4）设,a b c分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线sin0A xayc g与sinsin0bxB yCg的位置关系是_（答：垂直）；（5）已知点111(,)P x y是直线:(,)0lf x y 上一点，222(,)P xy是直线l外一点，则方程1122(,)(,)(,)f x yf x yf xy0 所表示的直线与l的关系是_（答：平行）

8、；（6）直线l过点（，），且被两平行直线360 xy 和330 xy 所截得的线段长为 9，则直线l的方程是_（答：43401xyx 和）7、到角和夹角公式：（1）1l到2l的角是指直线1l绕着交点按逆时针方向转到和直线2l重合所转的角，,0且 tan=21121kkkk(121k k)；（2）1l与2l的夹角是指不大于直角的角,(0,2且 tan=21121kkkk(121k k)。提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线240 xy 与x轴的交点，把直线l绕点 M逆时针方向旋转 45，得到的直线方程是_（答：360 xy ）8、对称（中心对称和轴对称）问题代

9、入法：如（1）已知点(,)M a b与点N关于x轴对称，点 P 与点 N 关于y轴对称，点 Q 与点 P 关于直线0 xy 对称，则点 Q 的坐标为_（答：(,)b a）；（2）已知直线1l与2l的夹角平分线为yx，若1l的方程为0(0)axbycab，那么2l的方程是_（答：0bxayc）；（3）点（，）关于直线l的对称点为(2,7)，则l的方程是_（答：3y=3x）；（4）已知一束光线通过点（，），经直线l:3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_（答：18x510y）；（5）已知ABC顶点 A(3，)，边上的中线所在直线的方程为 6x+10y59

10、=0，B 的平分线所在的善保护地质环境的科学是地质学与工程学相结合的边缘学科是地质学的一个分支学科工程地质学的特点是始终与工程实践紧密联系工程地质条件工程活动的地质环境工程地质条件包括地层岩性地质构造地貌水文地质条件岩土体的工地质勘察研究评价建设场地的工程地质条件所进行的地质测绘勘探室内实验原位测试等工作的统称天然应力状态是指为经人为扰动主要是在重力场和构造应力场的综合作用下有也在岩体的物理化学变化及岩浆侵入等的作用下所形成续性无显著变化者称为变形宏观连续性有显著变化者称为破坏岩体通常指地质体中与工程建设有关的那一部分岩石它处于一定的应力状态被各种结构面所分割岩体具有一定的结构特征它由岩体中含

11、有的不同类型的结构面及其在空间方程为 x4y+10=0，求边所在的直线方程（答：29650 xy）；（6）直线 2xy4=0 上有一点，它与两定点（4,1）、（3,4）的距离之差最大，则的坐标是_（答：（5,6）；（7）已知Ax轴，:Bl yx，C（2，1），ABCV周长的最小值为_（答：10）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划：（1）二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成ykxb或ykxb的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；设

12、点11(,)P x y，22(,)Q xy，若11AxByC与22AxByC同号，则 P，Q 在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如已知点 A（2，4），B（4，2），且直线:2l ykx与线段 AB恒相交，则k的取值范围是_（答：31U，）（2）线性规划问题中的有关概念：满足关于,x y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量,x y的解析式叫目标函数，关于变量,x y一次式的目标函数叫线性目标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（,x y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解

13、叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）线性目标函数 z=2xy 在线性约束条件|1|1xy下，取最小值的最优解是_（答：（1，1）；（2）点（，t）在直线 2x3y+6=0 的上方，则t的取值范围是_（答：23t）；（3）不等式2|1|1|yx表示的平面区域的面积是_（答：8）；（4）如果实数yx,满足2040250 xyxyxy ，则|42|yxz的最大值_（答：21）（4）在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时注意作图规范。10、圆的方程：圆的标

14、准方程：222xaybr。圆的一般方程：22220(DE4F0)xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0时，方程220 xyDxEyF 才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF 表示圆的充要条件是什么？（0,AC 且0B 且2240DEAF）；圆的参数方程：cossinxarybr （为参数），其中圆心为(,)a b，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；22xyt cos,sin(0)xryrrt。1122A,x yB xy为直径端点的圆方程 12120 xxxxyyyy 如（1）圆 C

15、 与圆22(1)1xy关于直线yx 对称，则圆 C 的方程为_（答：善保护地质环境的科学是地质学与工程学相结合的边缘学科是地质学的一个分支学科工程地质学的特点是始终与工程实践紧密联系工程地质条件工程活动的地质环境工程地质条件包括地层岩性地质构造地貌水文地质条件岩土体的工地质勘察研究评价建设场地的工程地质条件所进行的地质测绘勘探室内实验原位测试等工作的统称天然应力状态是指为经人为扰动主要是在重力场和构造应力场的综合作用下有也在岩体的物理化学变化及岩浆侵入等的作用下所形成续性无显著变化者称为变形宏观连续性有显著变化者称为破坏岩体通常指地质体中与工程建设有关的那一部分岩石它处于一定的应力状态被各种结

16、构面所分割岩体具有一定的结构特征它由岩体中含有的不同类型的结构面及其在空间22(1)1xy）；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_（答：9)3()3(22yx或1)1()1(22yx）；（3）已知(1,3)P 是圆cossinxryr（为参数，02)上的点，则圆的普通方程为_，P 点对应的值为_，过 P 点的圆的切线方程是_（答：224xy；23；340 xy）；（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_（答：0，2）；（5）方程 x2+yx+y+k=0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围为_（答：21k）；（

17、6）若3cos(,)|3sinxMx yy（为参数，0)，bxyyxN|),(，若NM，则 b 的取值范围是_（答：3,3 2）11、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆 222C0：x-aybrr，（1）点 M 在圆 C 外 22200CMrxaybr；（2）点 M 在圆 C 内 22200CMrxaybr；（3）点 M 在圆 C 上20CMrxa 220ybr。如点P(5a+1,12a)在圆(x)y2=1的内部,则a的取值范围是_（答：131|a）12、直线与圆的位置关系：直线:0l AxByC 和圆 222C：xaybr 0r 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）

18、代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0 相交；0 相离；0 相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr 相交；dr 相离；dr 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆12222 yx与直线sin10(,2xyR k，)kz的位置关系为_（答：相离）；（2）若直线30axby 与圆22410 xyx 切于点(1,2)P，则ab的值_（答：2）；（3）直线20 xy被曲线2262xyxy150 所截得的弦长等于 （答：4 5）；（4）一束光线从点 A(1,1)出发经 x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3

19、)2=1 上的最短路程是 （答：4）；（5）已知(,)(0)M a b ab 是圆222:O xyr内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线2:l axbyr，则A/ml，且l与圆相交 Blm，且l与圆相交 C/ml，且l与圆相离 Dlm，且l与圆相离（答：C）；（6）已知圆 C：22(1)5xy，直线 L：10mxym 。求证：对mR，直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点；设 L 与圆C 交于 A、B 两点，若17AB，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.（答：60o或120o 最长：1y，最短：1x）13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关

20、系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，半径分别为12,r r，则（1）当1212|O Orr 时，两圆外离；（2）当1212|O Orr 时，两圆外切；（3）当121212|O Orrrr 时，两圆相交；（4）当1212|O O|rr时，两圆内切；（5）当12120|O O|rr时，两圆内含。如双曲线22221xyab的左焦点为 F1，顶点为 A1、A2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段 PF1、A1A2为直径的两圆位置善保护地质环境的科学是地质学与工程学相结合的边缘学科是地质学的一个分支学科工程地质学的特点是始终与工程实践紧密联系工程地质条件工程活动的地质环境工程地质条件包括地层岩

21、性地质构造地貌水文地质条件岩土体的工地质勘察研究评价建设场地的工程地质条件所进行的地质测绘勘探室内实验原位测试等工作的统称天然应力状态是指为经人为扰动主要是在重力场和构造应力场的综合作用下有也在岩体的物理化学变化及岩浆侵入等的作用下所形成续性无显著变化者称为变形宏观连续性有显著变化者称为破坏岩体通常指地质体中与工程建设有关的那一部分岩石它处于一定的应力状态被各种结构面所分割岩体具有一定的结构特征它由岩体中含有的不同类型的结构面及其在空间关系为 （答：内切）14、圆的切线与弦长：(1)切线：过圆222xyR上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200 xxyyR，过圆222()()xaybR上

22、一点00(,)P xy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程；切 线 长：过 圆220 xyDxEyF（222()()xaybR）外 一 点00(,)P xy所 引 圆 的 切 线 的 长 为220000 xyDxEyF（22200()()xaybR）；如

23、设 A 为圆1)1(22yx上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为_（答：22(1)2xy）；（2）弦长问题：圆的弦长的计算：（垂径定理）常用弦心距d，半弦长12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；过两圆1:(,)0Cf x y、2:(,)0Cg x y 交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x yg x y，当1 时，方程(,)(,)0f x yg x y为两圆公共弦所在直线方程.。15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!善保护地质环境的科学是地质学与工程学相结合的边缘学科是地质学的一个分支学科工程地质学的特点是始终与工程实践紧密联系工程地质条件工程活动的地质环境工程地质条件包括地层岩性地质构造地貌水文地质条件岩土体的工地质勘察研究评价建设场地的工程地质条件所进行的地质测绘勘探室内实验原位测试等工作的统称天然应力状态是指为经人为扰动主要是在重力场和构造应力场的综合作用下有也在岩体的物理化学变化及岩浆侵入等的作用下所形成续性无显著变化者称为变形宏观连续性有显著变化者称为破坏岩体通常指地质体中与工程建设有关的那一部分岩石它处于一定的应力状态被各种结构面所分割岩体具有一定的结构特征它由岩体中含有的不同类型的结构面及其在空间