直线的参数方程教案中学教育高考中学教育高中教育.pdf
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1、学习好资料 欢迎下载 直线的参数方程 教学目标:1.联系数轴、向量等知识,推导出直线的参数方程,并进行简单应用,体会直线参数方程在解决问题中的作用 2.通过直线参数方程的推导与应用,培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想 3.通过建立直线参数方程的过程,激发求知欲,培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度 教学重点:联系数轴、向量等知识,写出直线的参数方程 教学难点:通过向量法,建立参数t(数轴上的点坐标)与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系 教学方式:启发、探究、交流与讨论.教学手段:多媒体课件 教学过程:一、回忆旧
2、知,做好铺垫 教师提出问题:1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程 2.直线的方向向量的概念 3.在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么?4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点,请写出直线的方程 学习好资料 欢迎下载 5.如何建立直线的参数方程?这些问题先由学生思考,回答,教师补充完善,问题 5 不急于让学生回答,先引起学生的思考【设计意图】通过回忆所学知识,为学生推导直线的参数方程做好准备 二、直线参数方程探究 1回顾数轴,引出向量 数轴是怎样建立的?数轴上点的坐标的几何意义是什么?教师提问后,让学生思考并回答问题 教师引导学生明确:如果数轴原点为 O,数 1 所对应的点为
3、A,数轴上点 M的坐标为t,那么:OA为数轴的单位方向向量,OA方向与数轴的正方向一致,且OMtOA;当OM与OA方向一致时(即OM的方向与数轴正方向一致时),0t;当OM与OA方向相反时(即OM的方向与数轴正方向相反时),0t;当 M与 O重合时,0t;|OMt教师用几何画板软件演示上述过程 【设计意图】回顾数轴概念,通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义,为选择参数做准备 线参数方程在解决问题中的作用通过直线参数方程的推导与应用培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力进一步体会运动与变化数形结合转化类比等数学思想通过建立直线参数方程的过程激发求知欲培养积极探索勇于钻研上的点坐标与点在
4、直角坐标系中的坐标之间的联系教学方式启发探究交流与讨论教学手段多媒体课件教学过程一回忆旧知做好铺垫教师提出问题曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程直线的方向向量的概念在平面直角坐标系中建立直线的参数方程这些问题先由学生思考回答教师补充完善问题不急于让学生回答先引起学生的思考设计意图通过回忆所学知识为学生推导直线的参数方程做好准备二直线参数方程探究回顾数轴引出向量数轴是怎样建立的数轴上学习好资料 欢迎下载 2.类比分析,异曲同工 问题:(1)类比数轴概念,平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴?(2)把直线当成数轴后,直线上任意一点就有两种坐标怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标
5、之间的关系?教师提出问题后,引导学生思考并得出以下结论:选取直线l上的定点0M为原点,与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为 0 时)或向右(l的倾斜角为 0 时)的单位向量e确定直线l的正方向,同时在直线l上确定进行度量的单位长度,这时直线l就变成了数轴于是,直线l上的点就有了两种坐标(一维坐标和二维坐标)在规定数轴的单位长度和方向时,与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致,有利于建立两种坐标之间的联系【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴,为建立直线参数方程作准备 3.选好参数,柳暗花明 问题(1):当点 M在直线l上运动时,点M满
6、足怎样的几何条件?让学生充分思考后,教师引导学生得出结论:将直线l当成数轴后,直线l上点 M运动就等价于向量0M M变化,但无论向量怎样变化,都有0M Mte 因此点 M在数轴上的坐标t决定了点M的位置,从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程【设计意图】明确参数 问题(2):如何确定直线l的单位方向向量e?教师启发学生:如果所有单位向量起点相同,那么终点的集合就是一个圆为了研究问题方便,可以把起点放在原点,这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆因此在单位圆线参数方程在解决问题中的作用通过直线参数方程的推导与应用培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力进一步体会运动与变化数形结合转
7、化类比等数学思想通过建立直线参数方程的过程激发求知欲培养积极探索勇于钻研上的点坐标与点在直角坐标系中的坐标之间的联系教学方式启发探究交流与讨论教学手段多媒体课件教学过程一回忆旧知做好铺垫教师提出问题曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程直线的方向向量的概念在平面直角坐标系中建立直线的参数方程这些问题先由学生思考回答教师补充完善问题不急于让学生回答先引起学生的思考设计意图通过回忆所学知识为学生推导直线的参数方程做好准备二直线参数方程探究回顾数轴引出向量数轴是怎样建立的数轴上学习好资料 欢迎下载 中来确定直线的单位方向向量 教师引导学生确定单位方向向量,在此基础上启发学生得出(cos,sin)e,
8、从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定 当0 时,sin0,所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上【设计意图】综合运用所学知识,获取直线的方向向量,培养学生探索精神,体会数形结合思想 4.等价转化,深入探究 问题:如果点0M,M 的坐标分别为00(,)(,)xyx y、,怎样用参数t表示,x y?教师启发学生回顾向量的坐标表示,待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流过程如下:因为(cos,sin)e,(0,)),00000(,)(,)(,)MMxyx yx x y y,0/M Me又,所以存在实数tR,使得0M Mte,即 00(,)(cos,sin)xxyyt 于是0cosxxt
9、,0sinyyt,即0cosxxt,0sinyyt 因此,经过定点00(,)M xy,倾斜角为的直线的参数方程为 sincos00tyytxx (t为参数)教师提出如下问题让学生加强认识:直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量?参数t的取值范围是什么?参数t的几何意义是什么?线参数方程在解决问题中的作用通过直线参数方程的推导与应用培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力进一步体会运动与变化数形结合转化类比等数学思想通过建立直线参数方程的过程激发求知欲培养积极探索勇于钻研上的点坐标与点在直角坐标系中的坐标之间的联系教学方式启发探究交流与讨论教学手段多媒体课件教学过程一回忆旧知做好铺垫教师提出
10、问题曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程直线的方向向量的概念在平面直角坐标系中建立直线的参数方程这些问题先由学生思考回答教师补充完善问题不急于让学生回答先引起学生的思考设计意图通过回忆所学知识为学生推导直线的参数方程做好准备二直线参数方程探究回顾数轴引出向量数轴是怎样建立的数轴上学习好资料 欢迎下载 总结如下:00,xy,是常量,,x y t是变量;tR;由于|1e,且0M Mte,得到0M Mt,因此t表示直线上的动点 M 到定点0M的距离当0M M的方向与数轴(直线)正方向相同时,0t;当0M M的方向与数轴(直线)正方向相反时,0t;当0t 时,点 M与点0M重合【设计意图】把向量转化
11、为坐标,获得了直线的参数方程,在此基础上分析直线参数方程的特点,体会参数的几何意义 三、运用知识,培养能力 例 1.已知直线:10l xy 与抛物线2yx交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度和点(1,2)M 到 A,B 两点的距离之积 先由学生思考并动手解决,教师适时点拨、引导,鼓励一题多解,学生可能有以下解法:解法一:由210 xyyx ,得210(*)xx 设11(,)A x y,22(,)B xy,由韦达定理得:121211xxxx ,2212121()42510ABkxxx x 由(*)解得12151522xx,12353522yy,所以15 3515 35(,)(,)2222AB
12、,线参数方程在解决问题中的作用通过直线参数方程的推导与应用培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力进一步体会运动与变化数形结合转化类比等数学思想通过建立直线参数方程的过程激发求知欲培养积极探索勇于钻研上的点坐标与点在直角坐标系中的坐标之间的联系教学方式启发探究交流与讨论教学手段多媒体课件教学过程一回忆旧知做好铺垫教师提出问题曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程直线的方向向量的概念在平面直角坐标系中建立直线的参数方程这些问题先由学生思考回答教师补充完善问题不急于让学生回答先引起学生的思考设计意图通过回忆所学知识为学生推导直线的参数方程做好准备二直线参数方程探究回顾数轴引出向量数轴是怎样建立
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