球的体积和表面积公式具体推导过程小学教育小学小学教育小学教育.pdf

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1、精心整理 精心整理 1.3.2 球的体积和表面积（1）设球的半径为 R，将半径 OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成 n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度nR，底面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第 i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：22)1(inRRri，（i 1,2,3，n）第 i 层“小圆片”的体积为：V2irnR2311ninR，（i 1,2,3，n）半球的体积：V半径V1V2Vn nR31（1221n）（1222n）122)1(

2、nn nR3n2222)1(21nn （注：)12)(1(6121222nnnn）nR3n6)12()1(12nnnn236)12)(1(1(nnnR）6)12)(11(13nnR 当所分的层数不断增加，也就是说，当 n 不断变大时，式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由 式推出半径的体积。事实上，n 增大，n1就越来越小，当n 无限大时，n1趋向于0，这时，有 V半径332R，所以，半径为 R的球的体积为：V334R 1.3.2球的体积和表面积（2）精心整理 精心整理 球的表面积推导方法（设球的半径为 R，利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球 O的表面分成 n 个“小

3、球面片”，设它们的表面积分别是 S1，S2，Sn，那么球的表面积为：SS1S2Sn 把球心 O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成 n 个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第 i 个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点 O为顶点，以第 i 个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径 R。（2）求近似和。设 n 个“小锥体”的体积分别为 V1，V2，Vn 那么球的体积为

4、：VV1V2Vn 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第 i 个“小锥体”对应的棱锥以点 O为顶点，以点 O与第 i 个“小球面片”顶点的连线为棱。设它的高为 hi，底面面积为 Si，于是，它的体积为：Vi31hiSi，（i 1,2,，n）这样就有：Vi31hiSi，（i 1,2,，n）V31（h1S1h2S2hnSn）（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么 hi（i 1,2,，n）就趋向于 R，Si就趋向于 Si，于是，由可得：V31RS 又

5、 V334R，所以，有334R31RS即：S4R2 于圆柱形状的小圆片这些小圆片的体积之和就是半球的体积由于小圆片近似于圆柱形状所以它的体积也近似于圆柱的体积它的高就是小圆片的厚度就是小圆片的下底面底面由勾股定理可得第层由下向上数小圆片的下底面半径第层小限变大就能由式推出半径的体积事实上增大就越来越小当无限大时所以半径为的球的体积为趋向于这时有半径球的体积和表面积精心整理球的表面积推导方法设球的半径为利用球的体积公式推导类似方法分割把球的表面分成个小球面片为底球心为顶点的小锥体例如球心与第个小球面片顶点相连后就得到一个以点为顶点以第个小球面片为底面的小锥体这样小锥体的底面是球面的一部分底面是曲的如果每一个小球面片都非常小那么小锥体的底面几乎是平的好象