考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结 来源：文都教育 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。第一节 导数 1基本概念（1）定义 0000000000()()()()()|(|)()limlimlimx xx xxxxf xxf xf xf xdydf xyfxdxdxxxxx 或 注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数 0000000()()()()()limlimxxxf xxf xf xf xfxx

2、xx .0000000()()()()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx .0()fx存在00()()fxfx.（3）导数的几何应用 曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线方程：000()()()yf xfxxx.法线方程：0001()()()yf xxxfx.2基本公式（1）0C （2）1()aaxax（3）()lnxxaaa（特例()xxee）（4）1(log)(0,1)lnaxaaxa（5）(sin)cosxx （6）(cos)sinxx （7）2(tan)secxx （8）2(cot)cscxx （9）(sec)sectanxxx （10）(csc)c

3、sccotxxx （11）21(arcsin)1xx （12）21(arccos)1xx （13）21(arctan)1xx （14）21(arccot)1xx （1522221ln()xxaxa 3函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则()uvuv ()uvu vuv 2()uu vuvvv（2）复合函数求导法则-链式法则 设(),()yf u ux，则()yfx的导数为：()()()fxfxx.例 5 求函数21sinxye的导数.（3）反函数的求导法则 设()yf x的反函数为()xg y，两者均可导，且()0fx，则 11()()()gyfxfg y.（4）隐函数求导 设函数()yf

4、 x由方程(,)0F x y 所确定，求y的方法有两种：直接求导法和公式法xyFyF.（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4高阶导数 本概念基本公式一定要掌握牢固常规方法和做题思路要非常熟练下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结供广大考生参考第一节导数基本概念定义或注可导必连续连续不一定可导注分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义则复合函数求导法则链式法则设则的导数为例求函数的导数反函数的求导法则设的反函数为两者均可导且则隐函数求导设函数由方程所确定求的方法有两种直接求导法和公式法对数求导法适用于若干因子连乘及幂指函数高阶导数二函数的增量可表示为其中是与无关的常数则称函数在点可

5、微并且称为的微分记作则注可导与可微的关系一元函数在点可微微分为函数在可导且微分的几何意义微分的计算基本微分公式微分运算法则四则运算法则一阶微分形式不变若二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1）()()ln(0)xnxnaaaa 特别地，(n)()xxee（2）()(sin)sin()2nnkxkkxn （3）()(cos)cos()2nnkxkkxn（4）()1(1)!ln(1)(1)(1)nnnnxx（5）()()(1)(2)(1)knk nxk kkknx L（6）莱布尼茨公式：()()()0()nnkn kknkuvC uv，其中(0)(0),uu vv 第二节 微分 1定义

6、 背景：函数的增量()()yf xxf x .定义：如果函数的增量y可表示为()yA xox ，其中A是与x无关的常数，则称函数()yf x在点0 x可微，并且称A x为x的微分，记作dy，则dyA x.注：,ydyxdx 2可导与可微的关系 一元函数()f x在点0 x可微，微分为dyA x 函数()f x在0 x可导，且0()Afx.3微分的几何意义 4微分的计算 （1）基本微分公式()dyfx dx.（2）微分运算法则 四则运算法则 本概念基本公式一定要掌握牢固常规方法和做题思路要非常熟练下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结供广大考生参考第一节导数基本概念定义或注可导必连续连续不一定

7、可导注分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义则复合函数求导法则链式法则设则的导数为例求函数的导数反函数的求导法则设的反函数为两者均可导且则隐函数求导设函数由方程所确定求的方法有两种直接求导法和公式法对数求导法适用于若干因子连乘及幂指函数高阶导数二函数的增量可表示为其中是与无关的常数则称函数在点可微并且称为的微分记作则注可导与可微的关系一元函数在点可微微分为函数在可导且微分的几何意义微分的计算基本微分公式微分运算法则四则运算法则一阶微分形式不变若()d uvdudv duvvduudv 2()uvduudvdvv 一阶微分形式不变 若u为自变量，(),()()yf u dyfuufu du；若

8、u为中间变量，()yf u，()ux，()()()dyfux dxfu du.本概念基本公式一定要掌握牢固常规方法和做题思路要非常熟练下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结供广大考生参考第一节导数基本概念定义或注可导必连续连续不一定可导注分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义则复合函数求导法则链式法则设则的导数为例求函数的导数反函数的求导法则设的反函数为两者均可导且则隐函数求导设函数由方程所确定求的方法有两种直接求导法和公式法对数求导法适用于若干因子连乘及幂指函数高阶导数二函数的增量可表示为其中是与无关的常数则称函数在点可微并且称为的微分记作则注可导与可微的关系一元函数在点可微微分为函数在可导且微分的几何意义微分的计算基本微分公式微分运算法则四则运算法则一阶微分形式不变若