2021年广东省春季高考数学模拟试卷九（解析版）.pdf

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1、2021年广东春季高考数学模拟试卷（9）解析版注：本卷共2 2 小题，满 分 1 5 0分。一、单 选 题（本大题共1 5小题，每小题6分，满分9 0分）1.已知集合4 =冬储,（）,8 =1,2 ,若 A cB =l ,则实数。的 值 为（）A.-1 B.0 C.1 D.1【答案】A【解析】【分析】根据A cB =l ,得 IGA,根据元素的互异性可知a=-l【详解】因为A C3=1 ,所以l e A，又a丰心、所以a H O f l a w l,所以=i，所以。=一1 （。=1 已舍），此时满足4cB =1 .故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题

2、.2 .若函数=/+（2。-1）+1 在区间（-8,2 上是减函数，则实数。的取值范围是（）一 3 ）（3-A.一-,+oo B.-oo,一 一 C._ 2 ）2 _【答案】B【解析】【分析】1-2(7比较抛物线的对称轴和区间的关系得-2,即可求得答案.2【详解】函数y =%2 +(2 a-l)x +l是开口向上的抛物线，对称轴为x =-21-2。保证在区间(-8,2 上是减函数，则-223 f 3 Q W-即。-00,-.2 2 J故选:B.【点睛】本题考查了根据二次函数单调区间判断参数范围，掌握二次函数图像特征是解题关键，属于基础题.3.函数/(x)=l ar+2 x-6的零点一定位于区间

3、()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】B【解析】【分析】函数f(x)=l nx +2 x-6在其定义域上连续，同时可判断f (2)0；从而可得解.【详解】函数f (x)=l nx +2 x-6在其定义域上连续,2f(2)=ln2+22-6=ln2-2V0,f(3)=ln3+23-6=ln30；故函数f(x)=lnx+2 x-6的零点在区间(2,3)上，故选B.【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题.4.已知向量值=(45皿。,1一8 5。),5=(1,2),若 小6=2,则 一 =()2sm a cos a

4、2 1A.1 B.1 C.-D.-7 2【答案】A【解析】【分析】1 sin cy cos n利用石 的坐标运算列方程求出tana=-：,再将；-变形，用ta n a表示出来，代入2 2sin a-c o s ata n a的值即可.【详解】由 Z.B=-2，得4sina 2(1 cosa)=-2,整理得tana=-1,2一,sinacosa tana-5 1所以 二-=-r=-=1，2 sin a-co s a 2 tan a-2故选：A.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.5.在中，角 A 8,C 的对边分别为a,4 c,若，=贝(!c o s B=()4。

5、3b4 3 3 4A.一一 B一 C一 D.-5 5 4 5【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得3sin8sinA=4sinA 8s5,化简后求出tan B，然后求出co sB 即可.【详解】sin A cos B*/-=-，/.3sin Bsin A=4sin Acos B,4。3b：sin A 0,.3sin B=4cos B,4 3tan B=,二.cos B=.3 5故选5.【点睛】本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系，属于基础题.6.下面结论正确的是()A.若四边形ABCO内一点。满 足 函+反=砺+而，则 A8CO是平行四边形B.若,B是单位向量，a=bC.1 =(3,5

6、),1=(6,1 0),则 和*可以作为一组基底.D.若a-c=石 c，贝 U万=54【答案】A【解析】【分析】对A化简向量式可得B A C D，可确定ABC。是平行四边形；对B由单位向量的定义进行判断；对C按基底的性质判断；对D根据数量积的定义判断；【详解】由 砺+反=砺+历，得 而=丽，故四边形ABC）是平行四边形，A正确；单位向量未规定方向，故万,5不一定相等，B错误；,=（3,5）,=（6,10）,则 =备,冢和共线,不能作为一组基底，C错误;若则I/I cos=b cos ,即万在守方向的投影与b在守方向的投影相等，不一定有=5,D错误.故选：A.【点睛】本题考查了向量的概念，向量的

7、共线，数量积的定义，属于基础题.7.如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，依次类推，根据图案中点的排列规律，第10个图形由多少个点组成（）(1)(2)(3)(4)A.89 B.91 C.95【答案】B【解析】【分析】利用累加法求出数列的通项公式即可求解.【详解】记此图案的点数为 q,q=l则 4 =3 1 =2 =2 x 1,%=7 3 =4 =2 x 2,%=1 3 7 =6 =2 x 3 ,4一%=2 x(n-l),将上式相加可得an _%=2(1 +2 +3 +-1)=2 x-

8、=-所以q =n2-n +lf所以0=1 0 2 1 0 +1 =9 1.6故选：B【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了基本运算能力，属于基础题.1 28.已知实数加，满足2加+=2,其中加 0,则一+一的最小值为()m nA.4 B.6 C.8 D.12【答案】A【解析】实数 加，满足2机+孔=2,其中/.1 F2 =1 (小2/7 7 +r i、)(/1 F2、)=1 (,4彳 d-n-1-4-)八、1 (4 +2./-In-4-m-)x =4,当且仅当，m n 2 m n 2 m n 2 nn 4/7 7 1 2-=，2 m +=2,即=2加=2时取等号 一 +的最小值是4.

9、所以A选项是正确的.m n m n点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件2 m+=2化1 1 9 1 1 2为 1,即一(2 m+7 i)=1,I(2/+)(I).2 m n 2 m n9.下列说法不正确的是()A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B.同一平面的两条垂线一定共面；C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D.过一条直线

10、有且只有一个平面与已知平面垂直.【答案】D【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书有垂直放在桌上就明确了1 0.已知点P是直线3 x +4 y +5 =o上的动点，点。为圆(x 2+(y 2=4的动点，则归。|的最小值为().1 9 9 5 2 9A.B.C.D.5 5 9 5【答案】B【解析】【分析】由俎意可知.户 目 内最小伤为囤心到 线的距离减去+役的立即为所求【详解】解：圆(万一2)2+(y 2)2 =4的圆心为(2,2),半径为2,则圆心到直线3 x+4 y +5 =0的距离为16+8+51 =,5 51

11、Q o所以|P Q|的最小值为 彳-2 =不故 选:B.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题1 1.用系统抽样方法从编号为1,2,3,，7 0()的学生中抽样5 0人，若第2段中编号为2 0的学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为()A.4 8 B.6 2 C.7 6 D.9 0【答案】B【解析】8【分析】根据系统抽样等距性，结合等差数列求解编号.【详解】根据系统抽样等距性，所以各段中被抽中的学生编号依次构成公差 为 黑=14的等差数列，因此第5 段中被抽中的学生编号为20+（5-2）x14=62,故选：B【点睛】本题考查系统抽样

12、，考查基本分析求解能力，属基础题.1 2.把一个正四面体的骰子（它的4个面上分别写有1,2,3,4）随机抛两次，记第一次的底面上的点数大于第二次的底面上的点数为事件A,则事件A的概率为（）【答案】C【解析】【分析】根据枚举法列出所以的基本事件，再分析概率即可.【详解】设第一次的底面上的点数为横坐标，第二次的底面上的点数为纵坐标，列出如下的表格，共 16个点,事件4 对应的点有6 个，所以事件A 的概率为一=一 .16 812341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

13、故选：c【点睛】本题主要考查了利用枚举法求解古典概型的问题，属于基础题.1 3.已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（）【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为R =0，再根据体积公式可得答案.7 T【详解】设正方体的棱长为“，则圆柱的高为。，设圆柱的底面半径为R,则正方体的侧面积为4 a 2,圆柱的侧面积为2 万,所以4a2=2兀Ra,所以R=,7 110=-rr所以正方体和圆柱的体积之比为一，2 丫TIR-a 7ta-4故选：B.【点睛】本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题.1 4.已知%是公差为

14、2 的等差数列，S “为 q的前项和.若%,生，%成 等 比 数 列，贝!$=()7A.-B.42 C.49 D.73【答案】B【解析】【分析】由%，%，4 7成等比数列，可得42=4弓7,再利用等差数列的通项公式化简可得4 =。，再利用等差数列前项和公式即可得57.【详解】因为的，5 7成等比数列，所以 内2 =a2.%7,又 凡 是公差为2的等差数列，所以(q +4 1)2 =(4 +d)(q +1 6 4)即(t Z j +8)=(4 +2)(4 +3 2)即 1 6 q=3 4 ,可得：q=0,7x6所以 S?=7 4+-y-x d =7x0+42=42,故选：B【点睛】本题主要考查了

15、等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.1 5.函数y=2凶sin2x的图象可能是【答案】D【解析】兀分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(一，兀)上的符号，即可判断选择.2详解：令/(x)=2Wsin2x,因为xe R,/(x)=2岗 sin2(x)=-则 sin 2x=-/(x),所以/(x)=2W sin 2 x为奇函数，排除选项A.B；因为x吗，兀)时，/(x)0,则 a 是第 象限角.【答案】第三象限角【解析】试题分析：当 s i na 0,可知a是第一或第三象限角，所以当s i na 0,则 a是第三象限角.考点：三角函数值的象限符号.17.已知向量3、b 满

16、足，|=2,且 /=一1，贝！=.【答案】5【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a-a-b的值.【详解】由平面向量数量积的运算性质可得7 伍 9 =7%=22（1）=5.故答案为:5.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算性质计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于基础题.%,3,18.不 等 式 组,x+y.O,表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 等 于.x-y +2.O【答 案】16【解 析】【分 析】画出可行域并计算出三条直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算出平面区域的面积.【详 解】画出可行域如下图所示，经 计 算 得4（-1,1）,3（3,3）,。（3,5）,围

17、成的区域为一角形/13。，故面积为 g x（5+3）x（3+l）=16.故填：16.【点睛】本小题主要考查线性约束条件表示区域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.141 9.魏晋时期数学家刘徽在他的著作 九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为工：4.若“牟合方盖”的体积为y ,则 正 方 体 的 外 接 球 的 表 面 积 为.【答案】12万【解析】【分析】根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线

18、，即可求解.【详解】因为“牟合方盖”的体积为 华，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖 的体积之比应为万：4,7t 16 4所以正方体的内切球的体积V w =x、=万，4 3 3所以内切球的半径厂=1，所以正方体的棱长为2,所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即2R =2百，所以R =有，所以正方体的外接球的表面积为S =4%R 2=4万（、公尸=12万.故答案为：12人【点睛】本题以数学文化为背景，考查正方体与球的“内切”“外接”问题，掌握它们之间的关系是解题的关键，属于基础题.三、解答题2 0.已知函数/(x)=W sin2x+cos2x-I(xeR).(1)写出函数/(x)的最小正

19、周期以及单调递增区间；(2)在AABC中，角A 8,C所对的边分别为。，若/(B)=0,丽 而=g,且a+c=4,求匕的值.71 71.一【答案】(1)T=TT,k7t ,k7t+,Z eZ：(2)b=y73 6【解析】【分析】(1)利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性直接求解即可;uir uim 3(2)由/(3)=0可以求出8,再 由 平 面 向 量 的 数 量 积 的 定 义 可 由=求出“c的值，结合a+c=4、余弦定理可以求出的值.【详解】解：/(x)=2sin(2x+看1,所以“X)的最小正周期T市=乃，F l 7Z 7Z)72k7r-2x-k7V

20、 x【详 解】V P A=A D=2,F 为 P D 中点、,/.A F P D.R 4，平面 A B C。，又C D u 平面 A B C D：.P A L C D.V AD CD,E4c/ir=A,.C O _ L 平 面 如 ).V 4 尸u 平面P A D.A F V C D.P D o C D D A F A.PCD.(2)取 P C 的中点 G,连接 E G、G F ,则 G 尸 C O，G F =-C D.2又4 8，EA=-C D ,J.A E/G F,A E =G F 一.四边形A E G 尸为平行四边形.2EG/A F-由(1)人/,平 面/5。，G E _ L 平面尸C

21、D，E G 为三棱锥E P f T 的高.又G F =A F =E G =0,P F =g p D =丘.SNCF=；PFCD=2.得三棱锥尸一七户C的体积V =-SXPCF.G=,3 CF 3【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算2 2.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产K千件，需另投入成本为C(x),当年产18量 不 足8 0千件 时，C（x）=1.r2+1

22、0 x（万 元）.当 年 产 量 不 小 于8 0千件时，C（x）=5 1x+U幽 14 5 0 （万 元）.每 件 商 品 售 价 为0.0 5万 元.通 过 市 场 分 析，该厂生产的商品x能全部售完.（1）写 出 年 利 润L（x）（万 元）关 于 年 产 量x（千 件）的函数解析式;（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【答 案】（1）L（无）=1 ,+4 0 x 20 0,0 x 8 0(1 0 0 0 0125 0-1 x+【解 析】【分 析】（1）根据题意，分0 x 8 0，x N 8（）两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果;（2）根 据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详 解】解（1）因为每件商品售价为0.0 5万 元,则x千件商品销售额为0.0 5 xl0 0 0 x万元、依题意得:当0 x v8 0时，L(x)=(0.0 5 x 10 0 0 x)-(-x2+10 xj-20 0 =-x2+4 0 x-20 0.当 x N 8 0 时，L(x)=(0.0 5 x 1 O O O x)(5 lx+一 14 5 0 1 20 0 =125 0 1x+1229 2)