2021年全国高考数学模拟试卷（文科）（全国Ⅲ卷）附答案解析.pdf

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1、2021年全国高考数学模拟试卷（文科）（全国巾卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.有下列四个命题：若x y 0,则x,y同正或同负；周长相等的两个三角形全等：若mWO,则2-2刀+巾=0有实数解；若4 U B=B,则4=B.其中真命题个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.据记载，欧拉公式e i x =co s x +i s讥x（x e R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x =7T时，得到一个令人着迷的优美恒等式e市+1=0,将数学中五个重要的数（自然对数的底e,圆周率兀，虚数单位i,自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家

2、评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，若复数e%的共规复数为5,贝氏=（）A V 2 V 2,r j V 2,V 2.72,72.n V 2 V 5.A.-1 D.-1-1 C.-1-1 D.-12 2 2 2 2 2 2 23 .长方体A B CD-4B 1GD1中，AB=AAt=2,AD=1,E为C G的中点，则异面直线B G与4E所成角的余弦值为4.平面向量2=（1,2）,b=（-2,x），若五与B共线，则 等于（）A.4 B.4 C.1 D.25.角谷猜想，也叫3 n+1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它

3、除以2,如此循环最终都能够得到1.如：取n=6,根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1,共9个数.若n =5,根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（）6 .已知段慧为等差数列，其公差为-2,且 是。3与。9的等比中项，Sn为电谴的前n项和（糜纪N*）,贝US。的值为（）A.-110 B,-90 C.90 D.1107.已知直线m：丫 =2乂 +1与直线正：y=-2x+1,则()A.m,n平行 B.m,n垂直C.m,n关于x轴对称 D.m,n关于y轴对称8.已知a=log55 b=logi-,c=(|)5,则a,b,c的大小关系是()A.a

4、 b c B.b a c C.b c a D.c b a9.设徽用睥苫为两两不重合的平面，匕啕翔为两两不重合的直线，给出下列四个命题:(1)若徽1.器理1 苫，则磁,静鼾;(2)若 踞 弓 龌，糜丁耀，跖幡视撒篦飘，则糜盛.耕；(3)若糜密都，修写版，则E篇理；(4)若您 副=曰，鼾c 涉=：踹，算招 藤=既，曰离*，则嬲离糜.其中正确的命题是()A.B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)10.定义在实数集R函数/(X)满足/(x)+/(x+2)=0,且/(x-l)为奇函数，现有以下三种叙述：(1)8是函数f(x)的一个周期；(2)f(x)的图象关于点(3,0)对称；(3)/0)是偶

5、函数.其中正确的是()A.(3)B.(1)(2)C.D.(3)11.双曲线提一卷=1 9 0/0)的一条渐近线被圆此(X-8)2+y2=25截得的弦长为6,则双曲线的离心率为()A.2 B.V3 C.4 D.2312.函数/(%)=cos(x+)在其定义域上是()A.奇函数 B.偶函数C.既非奇函数也非偶函数 D.不能确定二、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 3.已知实数x,y满足不等式|x|+|y|W 2,且z=2x-y的最大值为t,则m 4 1时、也的取值范围是_ _ _ _ _ _14.已知 即 等比数列是正项数列，且a?=1，其前3项的和为S3,4 W S3恒成立，贝 的最

6、大值为15.己知a,b为正实数，直线y=x-a 与曲线y=ln(x+6)相切，则 力 的 取 值 范 围 是.16.设4B是平面谢的斜线段，力为斜足，若点P在平面题内运动，使得 力BP的面积为定值，则动点P的轨迹是一三、解答题(本大题共7 小题，共 82.()分)17.己知 A BC的三内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,a=g,b=2,向量记=(一1,遮)，n (cosA,sinA),且记 n=1.(1)求角A；S、+l+sin2 B（2）求 cos2B-siMB的值.18.“赣南脐橙名扬天下”，每年脐橙成熟的季节，各大销售商，线上线下发挥各自优势销售脐橙.某电商统计了2016至2020

7、这五年的销售情况(将2016年视为第一年)，如表：年份工12345销量y(千斤)578.59.510(1)若每年的销量y与年份x具有较强线性相关性，求y关于光的线性回归方程，并估计今年(2021年)能销售出多少千斤？(2)根据目前树上的挂果形势，今年的脐橙又将是一个丰收年，该电商为了吸引新老客户，打算在脐橙开采时实施一元一份的“秒杀”抢购活动(每人只有一次机会)，每份n 斤(n e N,n 2 2).现有甲、乙两人将参加这一抢购活动，若他们抢购成功的概率分为p,q,当 =_ 三,q=雪r 4n 九2 4n记两人共抢购到X斤，求X的数学期望E(X),当E(X)取最大值时n的值.附：回归方程；=b

8、x+a，其中6=鼻 狞 丝 尹=之 玛 里.19.如图，四棱锥P-4 8 C D 中，A BCD为矩形，PA D为等腰直角三角形，Z.APD=9 0,面PA D 1 面ABCD,E、尸 分别为PC和BD的中点.(1)证明：EF面PA D；(2)证明：面PDC1面PA D.20.已知f(久)=ln(l x)+a/+x 当a=泄，试判断f(x)的单调性.(2)当a 0时,Vx e(0,1),f(x)1-21.已知4(xi，y j,B(%2，y2)是抛物线f=4x上相异两点，且满足与+x2-2.(1)48的中垂线经过点2(0,2),求直线A的方程；(n)ZB的中垂线交x轴于点M,AA MB的面积的最

9、大值及此时直线A B的方程.22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2sin6,e e 0,2兀).(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D,使它到直线，：=y3t+V3；为参数，t e R)的距离最短，并求出点。的(y=3t+2直角坐标.23.(1)已知、y都是正实数，求证：%3+y3 x2y 4-xy2；(2)若不等式|a-1|2 3x+1+J3y+1+，3z+1对满足。+y+z=1的一切正实数式,y,z恒成立，求实数Q的取值范围.参考答案及解析1.答案：c解析：解：若x y 0,则X,y 同正或同负，即同号，

10、故正确；周长相等的两个三角形全等，显然错误；若m W 0,=4-4m 0,则x?-2x+m=0有实数解，故正确；若4 U B =B,则A a A u B =B,故正确.故选：C.由 砂 0判断即可；根据全等的定义判断；根据一元二次方程根的判断；集合交集，并集的概念判断.考查了三角形全等，一元二次方程根的判断，集合的交集，并集.属于基础题型，应熟练掌握.2.答案：D解析：解：复数e=cos+isin巳=噬+立i,4 4 2 2则共轨复数为5=立 在i,2 2故选：0.复 数/=cos-isin-,进而得出共知复数为34 4本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.答案：

11、B解析：试题分析：建立坐标系如图.则4(1,0,0),F(0,2,1),B(1,2,0),加(0,2,2).翦=(-1,0,2)，嬴=(-1,2,1)，所以异面直线BC1与4E所成角的余弦值为遮.：1 0故选B。考点：本题主要考查正方体几何特征，角的计算。点评：简单题，正方体具备了建立空间直角坐标系的“天然条件”，因此，利用空间向量解题较为方便。4.答案：A解 析:解：平面向量五=(1,2),b=(2,%)当五与B共线时，1-x-(-2)x(-2)=0,解得x=4.故选：A.根据平面向量的共线定理，列出方程即可求出x的值.本题考查了平面向量共线定理的坐标表示与应用问题，是基础题目.5.答案：C

12、解析：解：若7 1 =5,根据上述过程得出的整数有：5,16,8,4,2,1,随机选取两个不同的数，基本事件总数n=Cg=15,这两个数都是偶数包含的基本事件个数6=戏=6,则这两个数都是偶数的概率为p=；=郎=|.故选：C.根据上述过程得出所有的整数，从而随机选取两个不同的数，基本事件总数n=Cl=1 5,这两个数都是偶数包含的基本事件个数m=废=6,由此能求出这两个数都是偶数的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.答案：D解析：试题分析：因为翻滑 为等差数列，其公差为-2,所以-4d=+8,+2d=a7-4,又 是 与 的 等 比 中 项，所以。

13、7=8,%=20,S1O的值，10%普一 姆=1 1 0,故选Do考点：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等比中项的概念。点评：小综合题，本题综合考查差数列的通项公式、求和公式以及等比中项的概念，解题思路比较明确，先 通 过 是 与 的 等 比 中 项，确定等差数列项的关系。7.答案：D解析：解：因为rn,n都经过点(0,1),且斜率互为相反数，所以m,n关于y轴对称.故选：D.根据m,n都经过点(0,1),且斜率互为相反数，即可判断出结论.本题考查了直线方程及其对称，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.答案：C解 析:解：a=2og5V5=b=logg=log23 e(1,2

14、),c=(l)j e(,1),则b c a.故选：C.利用对数函数和指数函数的性质分别确定a,b,c的范围即可求解.本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用9.答案：D解析：试题分析：(1)不正确，面畿W 理可能相交。(2)不正确，当直线啕平行时，畿w 理还可能相交；根据面面平行的判定定理只有当啕M 相交时，藤密理。(3)正确，根据面面平行定义可知事 与鼾无公共点，即可知左麓柳。(4)正确，因为徽=上可知左二嫌，又因为金感篇，雄=%，则醐群砥o综上可得D 正确。考点：1线面位置关系、面面位置关系；2线面平行、面面平行的判定；3线面平行的性质

15、定理。10.答案：D解析：解：对于(1)：:/(x)+f(x+2)=0,1 +2)=f*+4)=/(%),函数f(x)的一个周期为4,.8是函数/(%)的一个周期，故(1)正确；对于(2)：/(x-1)为奇函数，并结合(1)得：函数f(x)的图象关于点(3,0)对称，故(2)正确；对于(3)：结合(1),(2)得(3)正确;故选：D.首先，根据/(x)+/(%4-2)=0,得到f(x +4)=f(x),函数/(%)的一个周期为4,然后，结合/(x -1)为奇函数，进一步判断即可.本题重点考查了奇函数的性质、周期性、对称性等知识，属于中档题.11.答案：D解析：解：双曲线捺一卷=1(1 0/0)

16、的 一条渐近线方程为块+町=0,渐近线被圆M：(%-8)2+y2=25截得的弦长为6,.4=4,a2=3b2,:.c2=4 b2,C 2V3e=-=.a 3故选：D.求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：Q -8产+y2=25截得的弦长为6,可 得 方 普 =4,即可求出双曲线的离心率.本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用.12.答案：A解析：解:函数f。)=cos(x+)=-Sinx,所以/(x)在其定义域上是奇函数.故选：A.根据三角函数的诱导公式化简函数f(x),即可得出它的性质是什么.本题考查了三角函数的诱导公式与三角函数的图象与性质的问题，是基础题目.13.

17、答案:(co,0 U 32,4-oo)解析：解：作出不等式组|x|+|y|).,m-l m-1 m-1当m 1 时，8(?n 1H+2)N 8(2 J(m -1)4-2)N 3 2,等号成乂的体积是m=2,当m 1时，8(m-1+土 +2)=-8-(m -1)-2)。，1 ai=a3=a2q=q，S3=%+%+劭=十+q+1，由基本不等式可得;+q+l 2 2 3+1=3,当 且 仅 当:q,即q=l 时，上式取等号，故S3=：+q+l 有最小值3,要使;IW S3恒成，只需;IW 3即可，故;I的最大值为3故答案为：3由题意设等比数列 斯 的公比为q，q 。，可得S3=a i+a2+a 3=

18、，q+l，由基本不等式可得S3的最小值，由恒成立可得答案.本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及基本不等式和恒成立问题，属中档题.15.答案：(0,1)解析：解：函数的导数为丫=长=1,即无=l-b,切点为(1 一b,0),代入y=x-Q,得a+b=l,a、b为正实数，.a (0,1),则卫，1+b 2-a令g(a)=三 贝 W(a)=爆，则函数g(a)为(0,1)的增函数，鼻 6(0,1).故答案为：(0,1).求函数的导数，可得切线的斜率和切点，求得a+b=l,0 a l,构造函数g(a)=,判断函数的单调性即可得到范围.本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之

19、间的关系是解决本题的关键.16.答案：椭圆解析：试题分析：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，因为三角形面积为定值，以A B为底，则底边长一定，从而可得P到直线4B的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以4B为轴线的圆柱面，与平面a 的交线，且a 与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P 的轨迹为椭圆.考点：本题主要考查了平面与圆柱面的截面性质的判断点评：解决此类问题意截面与圆柱的轴线的不同位置时得到的截面形状也不同17.答案：解：向量沅=(-1,6),n=(cosA,sinA),且M 元=1,3sinA-cosA=1,-sin(/I-J)=I，(2)：a=V15，b=

20、2,.c bsinA 1smF=_ _ =_v b(、x)J =1-x+x +1=1-x=1-x0时，当 6(-8,0)时，f(x)0,f(x)单调递增.当x 6(1-.1)时，/(%)f(0)=0,所以不成立若1 一点=0时,即a=3时，由(1)得f(x)在(一8,1)单调递减.所以/(X)/(0)=。对V x e(0,1)成立若1-或 0时,即0 a :时,当x (8,1-点)时,f(x)0,f(%)单调递减.当x C(l-.O)时,0,f(x)单调递增.当 W (0,1)时,f(x)0,/(%)单调递减.所以/(x)/(0)=0对V x G (0,1)成立.综上所述：0 /(0)=0对x

21、 (-8,0)成立即ln(l-X)+#+x 0令 =一；得也(1+；)_；_：6 N*v n 7 n 2 n2所以ln(|)_：ln(|)I n _：一；,，v n 7 n 2 n2以上n个式子累加得l n(l +n)-(l+#+.+；)-注+,+)一 式1 +n+育“+7)=-5(1 +1一/5一”+工_；)=1一g.解析：(1)当a =：时，/(x)=l n(l-x)+1 x2+x,求导数，判断导数小于0,即可判断/(x)的单调性.(2)求导数，分类讨论，判断函数的单调性，V x e(o,l),/(x)0成立，求a的取值范围.(3)证明In(手)一 空 后*,利用叠加法，即可证明结论.本题

22、考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题.21.答案：解：方法一：(/)当4B垂直于x轴时，显然不符合题意，所以设直线4B的方程为y=kx+b,代入方程y2=4%得：k2x2+(2kb 4)x 4-h2=0,4-2kb n+%2=k2 2,得：b=l-k,直线AB的方程为y=k(x-l)+p48中点的横坐标为1,.48中点的坐标为(13)4 8的中垂线方程为y=一 知-1)+器=一+看4B的中垂线经过点尸(0,2),故：=2,得/c=|二直线AB的方程为y=Z 6(H)由(/)可知4 B的中垂线方程为y=一扛+看 M点的坐

23、标为(3,0)因 为 直 线 的 方 程 为i x -k y +2-k2=0,M到直线AB的距离d=邑 普 守=空 手Vk4+k2 k 由 7；4r 八试y J y+2-八。,.4 8-2k2yi+y2=0 yiy2=下-，A B =J i +=lyi-y2=4 VLiSMMB-4(1+妥)J l 一 丧,设 J l 一 专=t，则 t 此时直线4 B 的方程为3 x V 3 y-1 =o.(本题若运用基本不等式解决，也同样给分)法二：(1)根据题意设4 B 的中点为Q(l,t),则欧B=7 =7x2 xl c由P、Q 两点得4 8 中垂线的斜率为k =t-2,由(t _ 2)-：=-l,得t

24、 =/直 线 的 方 程 为 y=g(2)由(1)知直线A B 的方程为y-t =-1),力 B中垂线方程为y-t =-1 (x -1),中垂线交x 轴于点M(3,0),点M到直线A B 的距离为d =2=V t T 4,Vt2+4由 y _ t =1Q _ 1)得：4X2 _ 8x+(t2 _ 2)2 :0,l y2=4%AB=J l +1|X i -x2|=V(t2+4)(4-t2)，%1 +x2=2,XiX2=(：)2S =AB-d=W(+4)2(4 Y)=7(t2 +4)2(8 ,2 t 2)0,x +y 0,x3+y3-x2y xy2 0,x3+y3 x2y+x y2；.(5 分)(

25、2)解：由题意，根据柯西不等式有(，3x +1+(3y +1+V 3z +l)2 (l2+l2+l2)(V 3x +l)z+(J3y+1)2+(V 3z +l)2 =3 3(x +y +z)+3 =3 x 6 =18,V 3x +1+J3y +1+V 3z +1 3近，a,2 3/2+1 或a 1 3V 2a 的取值范围是(-8,1-3V 2 U 1+3V 2,+0 0).(5 分)解析：(1)利用作差法，因式分解，即可得到结论；(2)根据柯西不等式证明V 3x +1+(3y +1+(3z +1 3V L 利用|a-1|2 V 3x +1+(3y +1+73z+1对满足x +y +z =1的一切正实数x,y,z恒成立，可得|a-l|N 3近，从而可求实数a的取值范围.本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键.