2021年全国中考数学真题分项汇编-31规律探究题（解析版）.pdf

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1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题31规律探究题一、单选题,1,1 ,11.（2021湖北鄂州市中考真题）已知4 为 实 数，规定运算：为=1一一，%=1一，%=1一一，a a2 a?。5=1一2，。”=1 一、一.按上述方法计算：当 4=3 时，021的值等于（）【答案】D【分析】当4=3 时，计算出 ，会发现呈周期性出现，即可得到旬）21的值.【详解】2 1解：时，计算出/=5，。4=3,.,会发现是以：3,2,-!，循环出现的规律，32.-2021=3x 6 7 3+2,._ 242021=。2=，故选：D.【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过

2、条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答.2.（2021湖北中考真题）将 从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4 行第3 列的数为2 7,则位于第32行 第 13列的数是（）A.2025B.2023C.2021D.2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第行，第列的数据为：即可得第3 2 行，第 3 2 列的数据为：2 x3 2 x(3 2-1)+1=1 9 8 5,再依次加2,到第3 2 行，第 1 3 列的数据，即可.【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第行，第列的数据为：2 n(-D+l.第 3 2 行,第 3 2 列的数据为：2

3、x3 2 x(3 2-1)+1=1 9 8 5,根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,，第 3 2 行，第 1 3 列的数据为：1 9 8 5+2 x(3 2-1 3)=2 0 2 3,故选：B.【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题.1 3 7 9 113.(2021山东济宁市中考真题)按规律排列的一组数据：一，,一,其中内应2 5 17 26 37填的数是()25八51A.-B.C.一D.31192【答案】D【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方+1,根据规律即可得到答案.【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母

4、为序号的平方+1,第 个数据为：年2一一 1当=3时w的分子为5,分母为3 2+1 =1 0，这个数 为 以=110 2故选：D.【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键.4.(2021湖北中考真题)根据图中数字的规律，若第个图中的4 =1 4 3,则。的 值 为()A.1 0 0【答 案】B【分 析】分别分析的规律、2的规律、q的规律，再 找 、p、?之间的联系即可.【详 解】解：根据图中数据可知:=1,2,3,4,/?=12,22,32,42,q =2?-1,3 2 -1,4 2 -1,5 2-1,.则.=2,4 =(+1)2 -1,.第 个图 中 的 q =1

5、4 3,q =(+1)2 _ =1 4 3,解 得：=11或 =一 1 3(不符合题意，舍去)二 p=n2=1 2 1,故 选：B.【点 睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键.5.（2 0 2 1 山东临沂市中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后 来 较 慢，实 际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系.下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可 计 算 3 2 m g 镭 缩 减 为 I m g 所 用 的 时 间 大 约 是（）C.8100年【答 案】CD.9720年【分 析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案.【

6、详 解】解：由图可知:1 6 2 0年 时，镭质量缩减为原来的,再 经 过1 6 2 0年，即 当3 2 4 0年 时，镭 质 量 缩 减 为 原 来 的=最，再 经 过1 6 2 0 x2=3 2 4 0年，即 当4 8 6 0年 时，镭质量缩减为原来的=*,.再经过1 6 2 0 x4=6 4 8 0年，即 当8 1 0 0年 时，镭质量缩减为原来的二=-,25 32此时 3 2 x-=1 m g,故 选C.【点 睛】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键.6.（2021四川达州市中考真题）在平面直角坐标系中，等 边A 4 O 3如图放置，点A的坐标为（1,0）,每一

7、次 将A A 0 8绕 着 点。逆 时 针 方 向 旋 转6 0。，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到A 4,O A，第二次 旋 转 后 得 到A O B z，依 次 类 推，则 点 的 坐 标 为（）当A.(-22020,-V 3X22020)B.(2202,-V 3 x 22021)C.(22020,-V 3X22020)D.(-220I I,-5/3X22021)【答案】C【分析】由题意，点 A 每 6 次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2 倍即可解决问题.【详解】解：由题意，点 A 每 6 次绕原点循环一周，2021+6=371 5,4 冈点在第四象限，0 =22()2 Z

8、xOAo2i=60,点 仆。的横坐标为|X 2202,-22020,纵坐标为-更 X 2202,-/3X22020,2 2(2 吗 -73X 22020),故选：C.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型.7.(2021广西玉林市中考真题)观察下列树枝分杈的规律图，若 第 个 图树枝数用工表示，则 L-L =()第I个图X=1 第2个图匕=3 筲3个图乂=7 第 1 个图匕=15A.1 5 x 24 B.3 1 x 24 C.3 3 x 24 D.6 3 x 24【答 案】B【分 析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝

9、分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规 律 工=2 -1,代入规律求解即可.【详 解】解：由图可得到：X =2-1 =1匕=2?-1=3工=2 3-1 =7L =2 4 1 =1 5匕=21则：n =29-l,：.Y9-Y4=29-1-24+1 =31X24,故答案选：B.【点 睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.二、填空题8.（2 0 2 1贵州铜仁市中考真题）观察下列各项：2-,3!，4 ，则第项是_2 4 8 1 6【答 案】+【分 析】根据已知可得出规律：第一项：=第二项：2工=2+1，第三项：3=3+，即可得出结2 21 4 22

10、8 T果.【详解】解：根据题意可知：第一项：1=1 +-,2 21第二项：2工=2 +3,4 2-第三项：3 =3+-,8 23第四项：4 1 =4 +1，1 6 2则第项 是 +王；故答案为：7 7 T-2【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键.9.（2 0 2 1陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为匚n二【答案】-2【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条时角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a的值.【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条

11、对角线上的：个数字之和均为一1 6+1 =-6,6+a+2=6，a=-2，故答案为：一2.【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功.10.(2021湖南怀化市中考真题)观察等式：2+2 2 =232,2+22+23=24-2.2+22+23+24=25-2.已知按一定规律排列的一组数：2必，2，2102.2吃，若2m=，用 含 加 的 代 数 式 表 示 这 组 数 的 和 是.【答案】m2-m【分析】根据规律将2，210.2 02.，用含用的代数式表示，

12、再计算2+)+2的和，即可计算2m+213+213+-叶2|缈的和.【详解】由题意规律可得：2+22+2 3 +.+299=，0_2.二2+22+2,+2+2=21=%=2%，.-2+22+22+.-+2+2,(X,=2,0,-2.21 0 1=2+22+23+-+2w+2,0 0+2=w+m=2m=2/.21 0 2=2+22+23+-+2+2|00+210|+2=w+m+2w=4w=22w.2|0 3=2+22+23+-+299+2100+21 0 1+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.二星9 9 =299 根.故2 00+210 +210 +2=20m+2m+.+.令 2+

13、2+2?+2=S21+22+23+.+2100=25(2)-，得2 J =S.+2 0 1+210 +2=2m+2 +2wW=（2,（x,一 1）机=-m故答案为：/根.【点本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.11.（2021江苏扬州市中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1,3,6,10.将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为.【答案】1 27 5【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为（+1）,2再判断其中能被3整除的数，得

14、到每3个数中，都有2 个能被3整除，再计算出第3 3 个能被3整除的数所在组，为原数列中第5 0 个数，代入计算即可.【详解】解：第个图形中的黑色圆点的个数为：I，第个图形中的黑色圆点的个数为：（1 +2）丝=3,2第个图形中的黑色圆点的个数为：（3）X3=6,2第个图形中的黑色圆点的个数为：（4）x4制0,2第个图形中的黑色圆点的个数 为 也 士。，2则这列数为 1,3,6,1 0,1 5,21,28,3 6,4 5,5 5,6 6,7 8,9 1,其中每3个数中，都有2 个能被3整除，3 3:2=1 6 L1 6 x 3+2=5 0,则第33 个被3 整除的数为原数列中第50个数，即 二

15、寸 =1275,故答案为：1275.【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.12.(2021甘肃武威市中考真题)一组按规律排列的代数式：a+2b,a2-2 b a3+2b5,a4-2 b1,.则第个式子是.【答案】1)，2/t【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中匕的次数是序号的2 倍减 1,而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号.【详解】解：当为奇数时，(1)向=1；当为偶数时，(-1)，+，=-1,.第 n 个式子是：屋+(-1)，+，?.故答案为：an+(-2)n+，?b2n-【点睛】本题考查了

16、多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键.13.(2021江西中考真题)下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作 详解九章算法中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是.11 11 2 11 _ 3 11 4 6 4 1【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和.【详 解】解：通过观察杨辉三角发现每个数字等于它上方相邻两数之和的规律,例 如：第3行 中 的2,等 于 它 上 方 两 个 相 邻 的 数1,1相加，即：2=1 +1；第4行 中 的3,等于它上方两个相邻的数2,1相加，即：3=2+1；由此规律：故空缺数等于它上方两

17、个相邻的数1，2相 加，即空缺数为：3,故答案是：3.【点 睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题.14.(2021浙江嘉兴市中考真题)观察下列等式：1 =/一。之，3=22-12,5=32 2 2,按此规律，则第 个 等 式 为2-1 =.【答 案】2 _(_ 1广【分 析】第 一 个 底 数 是 从1开始连续的自然数的平方，减 去 从0开始连续的自然数的平方，与 从1开始连续的奇数相 同，由此规律得出答案即可.【详 解】解：1=1202,3=22-!2.5=32-22.第 个 等 式为：2n-l=2-(n-l)2故答案是：n 1).【点 睛

18、】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键.15.（2021黑龙江中考真题）如图，3 条直线两两相交最多有3 个交点，4 条直线两两相交最多有6 个交点,按照这样的规律，则 20条直线两两相交最多有 个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出几条直线相交最多有的交点个数公式：1）.【详解】解：2 条直线相交有1 个交点：3 条直线相交最多有1 +2=3=；X3X2 个交点；4 条直线相交最多有1 +2+3=6=；X4X3个交点；5 条直线相交最多有l+2+3+4=10=g x 5 x 4 个交点；2 0 条宜线相交最多 有:x20

19、 xl9=190.故答案为：190.【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有工 （-1）.216.（2021四川中考真题）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3 根火柴棍，拼第二个图形共需要5 根火柴棍；拼第三个图形共需要7 根火柴棍；照这样拼图，则第个图形需要_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 根火柴棍.【答案】2 +1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可.【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+

20、2 x 2=7根火柴棍，拼成第n个图形共需要3+2 x （-1）=2 +1根火柴棍,故答案为：2 n+l.【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题.17.（2021四川中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第 一 个图形共有210个小球.（第1个图）（第2个图）（第3个图）（第4个图）【答案】2 0【分析】根据已知图形得出第个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+-+=-iL,列一元二次方程求解可得.【详解】解：.第1个图形中黑色三角形的个数1,第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2,第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3,第

21、4个图形中黑色三角形的个数1 0=1+2+3+4,（+1）.第个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+”=I2当共有2 1 0个小球时，”（+1）=2 1 0.2解得：=2 0或-2 1（不合题意，舍去），.第2 0个图形共有2 1 0个小球.故答案为：2 0.【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+.+n.18.（2021湖南常德市中考真题）如图中的三个图形都是边长为1 的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1 x 1个正方形，所有线段的和为4,第二个图形有2 x 2个小正方形，所有线段的和为12,第三个图形有3 x 3

22、个小正方形，所有线段的和为24,按此规律，则 第 个 网 格 所 有 线 段 的 和 为.（用含”的代数式表示）【答案】2n2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第个图案的规律为S =4 +2 x（-l）,得出结论即可.【详解】解：观察图形可知:第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数H=4x1=2x2x1,第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数52=6x2=2*3x2,第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数S3=8X3=2X4X3,第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数S4=10 x4=2x5x4,由此发现规律是：第个图案由2个小正方形

23、组成，共用的木条根数S=2（+D =2 1+2”,故答案为：2n2+2n.【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键.19.（202卜贵州毕节市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 乂（1,1）在直线/:y =x上，过 点 作N M JI，交x轴于点过点作轴，交直线/于点N?；过 点 愀 作N2M?,交x轴于点加2；过点“2作 知2 2，轴，交直线/于点N3；按此作法进行下去，则点加2021的坐标为【答案】（22021-0）.【分析】根据题目所给的解析式，求 出 对 应 的 坐 标，然后根据规律求出M”的坐标，最后根据题目要求求事最后答案即可.【详解】解：如

24、图，过点N作轴于M将1=1代入直线解析式y =%中得y =1：.OM=MN=,AMON=45。:/ONM=9 0 ON=NM、；ONLNMiOM=MMt=1/.的坐标为（2,0）同理可以求出加2的坐标为（%0）同理可以求出加3的坐标为（8,0）同理可以求出Mn的坐标为（2，0）加2。21 的坐标为（22 0 2 1.0）故答案为：（2 2 2 1 ,o）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.2 0.（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点 在 直 线/：y=g x上，点用的横坐标为2,过点作耳4,X轴，垂足为A1,以A 4为边向右作正方形A B|G

25、 4,延长A2G交直线/于点层；以A2名 为边向右作正方形A282c2A3,延长A 3 G交直线/于点用；按照这个规律进行下去，点 与0 2 I的坐标为,【分析】由题意分别求出4、A2、4、A4 4、Bi、&、Bi.B4Bn、的坐标，根据规律进而可求解.【详解】解：点石在直线/：y=gx上，点 区的横坐标为2,过点B 作耳&J.X轴，垂足为A，二 A(2,0),4(2,1),.山 尸1,根据题意，0 A 2=2+1=3,3A A2(3,0),B2(3,-),同理，同(3,0),同 昌3,2 2 42 7 2 7 2 74 4 oQ/l-l OH-!QW-1由此规律，可得：A,(J,0),B“U

26、),r i 2 -2，/“2-2 2 i/22 0 2 1-1 2021-1一 2 0 2 1(2 2 0 2 1 2，22 0 2 1-1-)即为(3 2 0 2 0 3 2 0 2 02 2 0 1 9 9 2 2 0 2 0),o2020 O2020故答案为：(萍，萍)【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键.21.(2021湖北中考真题)如图，在平面直角坐标系中，动点尸从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点6 (-1,-1);接着水平向右平移2 个单位长度，再竖直向上平

27、移2个单位长度得到点外；接着水平向左平移3 个单位长度，再竖直向下平移3 个单位长度得到点鸟；接着水平向右平移4 个单位长度，再竖直向上平移4 个单位长度得到点舄，按此作法进行下去，则点心)21的坐标为.【答案】(T O I LT011)【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点鸟，4,舄，鸟的坐标，再归纳类推出一般规律即可得.【详解】解：由题意得:6(1 +2,-1 +2),即鸟(1,1),吕(1-3-3),即吕(-2,-2),心(一2+4,2+4),即舄(2,2),4(2 5,2 5),即鸟(一 3,3),观察可知，点 的坐标为(-L T),其中1=2x1 1，点鸟的坐标为(-2,-2),其

28、中3=2 x 2-1,点 4 的坐标为(3,3),其中5=2 x 3-l,归纳类推得：点号“T的坐标为（一 九,一 ）,其中为正整数,.2021=2x1011-1,二点6 02i的坐标为（T 01L T 011），故答案为：（-1011,-1011）.【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键.22.（2021伯蒙古通辽市冲考真题）如图，AO A M，为人鸟，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A，A,4，A“都在x轴上，点 与，鸟，鸟,，8“都在反比例函数y=（x 0）的图象上，则点B“的坐标为.（用含有正整数的式子表示）X【答案】解得 6=2

29、.直线 B2的解析式为y=x-2y=x-21丫 =一X解得=及+1,-.B2（7 2+1,7 2-1）&A,=2%,=22 2.点&（2血,0）.A2AB3为等腰三角形设直线4 2 B,3的解析式为y=x+b0=2 0+4解得a=一2拉直线42层 的解析式为y=x-2 j，y=x-2/2 1 =一I X解得x=G +0综上可得：点4（i，i），点 名（、回+1,夜1）,点 员（百+J 5,g3）总结规律可得 纥 坐 标 为：（M+J R.G-J K）故答案为：+【点 睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标，解答本题的关键是找出其中的规律求出坐标.2 3.（

30、2 0 2 1山东蒲泽市中考真题）如 图，一次函数.丫=%与 反 比 例 函 数y =（x0）的图象交于点A,X过 点A作ABLOA,交x轴 于 点8；作8 A/O 4,交反比例函数图象于点A“过 点A 1作A耳，人田交x轴 于 点B；再 作B&I B A,交反比例函数图象于点4,依次进行下去.则 点 0 2 1的横坐标为.【答 案】7 2 0 2 2 +7 2 0 2 1【分 析】由 点A是 直 线y =x与双曲线 丫=的交 点，即可求出点A的坐标，且 可 知4 4 0 5=4 5。，乂 可知XA A。是等腰直角三角形，再 结 合 网/。4可 知 网 耳 是等腰直角三角形，同理可知图中所有三

31、角形都是等腰点角 不 形，由求的坐标，即 右的坐 1-1.2,3 ），桢想到这 点A,。AI121C2（1 2 1,即 过4作A,C“J_x轴.设A的纵坐标 为 仍（加 0）,则A 1的横坐标为2 +加，再 利 用 点A在双曲线上即可 求 解A 1坐 标，同 理 可 得 劣0 2 1的坐标.【详 解】解：过4作A,G _L x轴于点c.点A是直线y =x与双曲线y =L的交点Xy=x/1x=l.0）,则4的横坐标为2+犯 点A在双曲线上町（2+町）=1解 得 见=7 2-1设4的纵坐标为m,（m 0）,则A,的横坐标为2 +2 m,+?=2 7 2 +in,（2也+/%）=1解 得 电=6-近

32、同理可得心3=4-J5由以上规律知：mn=jn+y/n7 7 1,0 21=,2 0 2 2-4 2 0 2 1 即 A2 O 2 1 的纵坐标为而 正-7 5而 的 横 坐 标 为J2 O 2 2、2 O 2 1=7 2 0 2 2 +7 2 0 2 1故答案是：J2 0 2 2+J2 0 2 1 .【点睛】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探 究，属于综合几何题型，难度偏大.解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律.2 4.（2 0 2 1山东中考真 题）如 图，点 用 在 直 线=上，点 用 的 横

33、坐 标 为2,过 点 与 作4_U ,交x轴 于 点4，以A与 为 边，向右作正方形4g与G，延 长B2 cl交 工轴 于 点 儿；以4鸟 为 边，向右作正方形4名4。2,延 长4c 2交X轴 于 点4 3；以4名 为 边，向右作正方形4员8 4 c3,延 长 的4c 3交X轴于点&；.；按照这个规律进行下去，则 第n个 正 方 形4纥 用+1 G的边长为（结 果 用 含 正 整 数”【分 析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第 个正方形的边长.【详解】解：.点与在 直 线=上，点 用的横坐标为2,点 用 纵坐标为I.0 4

34、=V22+l2=底分别过 耳，4作X轴的垂线，分别交于。，4,2,下图只显示一条;NBQA=NC、DB=90,NBQD=幺g。,我用。6火仙4。片 类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有0D 2 0B.GA CA 不妨设第i个至第个正方形的边长分别用：4,4,，/“来表示，通过计算得:0Bt _ V54=4+G 4 =3，V5 3-x-2 2 24=4+0 2 4 3 =%=旦02 21+以4=老按照这个规律进行下去，则第n个正方形4纥纥的边长为Y 5xf32(2/V 5 I故答案是：x.2【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从

35、中去找计算第w个正方形边长的方法与技巧.k25.(2021湖北中考真题)如图，过反比例函数y=7(Z0,x0)图象上的四点，P2,P3,巴分别作X轴的垂线，垂足分别为A,4，A 3,4，再过4，P?，6，巴分别作y轴，6 4，鸟4，A 4的垂线，构造了四个相邻的矩 形.若 这四个矩形的面积从左到右依次为S1,52,S3,S4,。4=A 4=4A3 =4A4,则S1与s4的数量关系为.-【答案】5,=4S4.【分析】设。4=A&=4 4 =44=3 则 OA2=2，OA3=3m,OA4=4 m,由点：，P2,P3,乙都在反比例b k k k k函数y=（左0,x0）图象上，可求得4片=一，AA=

36、,4舄=,根据矩形的x m 2 m 3m A mk k k k k面积公式可得&=04 4 4 =%一=%,S2=W A,P2=m =一，二 一，m 2m 2 3 m 3k kS4=A3A4-A4P4=m-,由此即可得S1=4S4.4 m 4【详解】设。A=4 4 =A2A3 =4 4=?，则 OA2=2m,。4=3/，O A4=4ni,k,.点q，P”Py&都 在反比例函数丁 =?左 0/0）图象上，,=4鸟=白，=4，4乙=事，m 2m 3m 4mk k k k k I S =.Al=m=k,82=44.=_，S3=A2 A3 A3A=机=一,m 2m 2 3m 3门 4 c k k邑=A

37、3A4-A4P4=m-=94m 4*S =4s4.故答案为：E=4S4.【点睛】k k本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象匕点的特征求得4 4=、4 6=、m 2mA =,幺 是 解 决问题的关键.3m 4m26.（2021四川）如图，在平面直角坐标系中，A5 J.y轴，垂足为B,将绕点A逆时针旋转到3的位置，使点8的对应点月落在直线y=-x上，再 将 绕 点 片 逆 时 针 旋 转 到 A g O）的位置，43使点。的对应点。2也落在直线y=-X上，以此进行下去若点B的坐标为（0,3）,则点4的纵坐标【分析】计 算 出 的 各 边，根据旋转的性质，求出。8 1,B B，得出

38、规律，求出O国”再根据一次函数图像上的点求出点B2 I的纵坐标即可.【详解】解：轴，点 B (0,3),3,0 8=3,则点A的纵坐标为3,代入 =一工兀3得：3 =%,得：x=4 即 4 (-4,3),4：.OB=3,AB=4,0 4=3 2+4 2 =5,由旋转可知：OB=OB=OiB=OiBr=.=3,O A=O M=C M 1=5,AB=AB-AB=A2B2=.=4f：.O B i=O A+A B i=4+5=9,8/3=3+4+5=1 2,/.OB2I=OBI+BIB2I=9+(2 1-1)2 x 1 2=1 2 9,设 6 2 1(a,W。)则 O 2 i=J/=1 2 9 ,解得

39、：4=一 段 或 半(舍)，H l l3 3 (516 3 8 7 刖 上 ,山广乂 3 8 7贝J 一 二。=一二x 二工-,即点Bi的纵坐标为-，4 4 A；再 延 长 至4，使以A2G为一边，在CG的延长线上作菱形A G G a，连接A A?,得到A A A 4 按此规律，得到AA()2OD2()2OAo2i，记的面积为S,AAQ劣的面积为52 A420 2 0 3 0 2 0 4 m的面积为【答案】24减.百【分析】由题意易得NBC=60,A5=4 0 =8=1,则有为等边三角形，同理可得 Q i A.4 0 2 0 2 0 2 0%)2 1都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式

40、可得5 =二叵，S,=6 由此规4-律可得S,然后问题可求解.【详解】解：.四边形ABQD是菱形，二 4 8 =AD=CO=1,AD/BC,AB/CD,/ZABC=120。，ZBCD=60,ZADA,=NBCD=60,=CD,0A=AD,ADA,为等边三角形，同理可得AAQi4.40202020402l都为等边三角形，过点B作BE L C D于点E,如图所示：/3BE=B C sin NBCD=，2s、=S3=A3D；=乂4。=.：，由此规律可得：S”=百 22H-4,S2tm=6x22x2021=2郎86；故答案为2皿3 8 .6.【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角

41、函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.2 9.（2 0 2 1 吉林长春市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形A O5 的斜边04 在 y轴上，0 A =2,点 3 在第一象限.标记点3 的位置后，将AAQB沿 X轴正方向平移至AA O/I的位置，使 4。经过点8,再标记点用的位置，继续平移至 A2 Q B2 的位置，使&。2经过点B 1,此时点层的坐标为【答案】（3,1）【分析】根据已知条件结合等腰直角二角形的性质先求出点B（1,1）,点 名（2,1）,即可得出点8 向右每次平移1 个单位长度，而B2为点B 向右平移2个单位后的点，根据点平移规

42、律即可得到答案【详解】如图过点B 作 /A O B为等腰直角三.角形，斜 边 O A 在 y 轴 上，Q 4 =2BC=11 CO=BO,=.”(1,1)AAOB向右平移至,点B在 a a 上，同理可得点用 的 坐标为(2,1)每 次 向 右 平 移 I 个单位，即 点 3 向右每次平移1个单位，庆 为 点 B 向 右 平 移 2 个单位后的点.华 点的坐标为(3,1)故答案为：(3,1)【点 睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换一平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减.30.(2021湖北

43、荆门市中考真题)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第行第列.12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15【答 案】64 5【分 析】找到第行第列的数字，找到规律，代 入 2021即可求解【详 解】通过观察发现:1=13=1+26=1+2+31 0=1+2+3+4故第行第列数字为：-(l +n)n.2则第n行 第1列数字为：1(1 +n)n一(一 1),即|n(n-l)+l设2 0 2 1是 第 行 第列的数字，贝!|：nn-V)+m =2 0 2 l(w n)2即“(-l)+2%=40 42,可以看作两个连续的整数的乘积，6 32=39 6 9,6 4?=40

44、 9 6,加,为正整数，.=6 4当 =6 4 时，m=5故答案为：6 4,5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键.31.(2 0 2 1湖南湘西土家族苗族自治州中考真题)古希腊数学家把1,3,6,1 0,1 5,2 1,这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为6 =1,第二个图形表示的三角形数记为。2 =3，则第 个图形表示的三角形数%=_.(用含的式子表达)2【分 析】由题意易得4=1,4=1 +2=3,”3=1+2+3=6,%=1+

45、2+3+4=10：:然 后由此规律可得第个图形表示的三角形数.【详 解】解：由图及题意可得:q=l,%=1+2=3,%=1+2+3=6,a4=1+2+3+4=10；（1 +第”个图形表示的三角形 数4 =1+2+3+4+2）故，答案，为，（1 +）2【点 睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可.32.（2021内蒙古鄂尔多斯市中考真题）将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“O”的个数，则 第 3 0 个“龟图，中有 个“O”.OOOOOOOOo oOo o o oOOOOOOOOoo o oo(1)(2)(3)(4)【答

46、案】875【分 析】设第个“龟图”中有小个（为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“O”个数的变化可找出变化规律“知=+5（为正整数）“，再代入=30即可得出结论.【详 解】解:设 第 个“龟图”中 有 小 个“O”（为正整数）.观 察 图 形，可 知:0=1+2+2=5,。2=1+3+司+2=7,“3=1+4+22+2=11,4=1+5+32+2=17,/.an=l+（n+1）+（H-1）2+2=n2-n+5（为正整数），Ao=3O2-3O+5=875.故答案是：8 75.【点本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“O”个数的变化找出变化规律“如=-+5（为正整数）”是解题的关键.3

47、3.（2021黑龙江绥化市中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图中有1 个三角形，图中有5 个三角形，图中有11个三角形，图中有19个三角形，依此规律，则第个图形中三角形个数是.AAAAA A A 第个图形 【答案】n2+n 1【分析】此题只需分成上卜两部分即可找到其中规律，上方的规律为（/），卜方规律为J i z,结合两部分即可得出答案.【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4n-,下半部规律为：居 2 2、32、42n2,.上下两部分统一规律为：川+_ 1 .故 答 案 为:n2+n 【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上卜两部分分别研究.