2021年全国中考数学真题分类汇编--三角形：解直角三角形（老师版）.pdf

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1、2021全国中考真题分类汇编（三角形）-解直角三角形一、选择题1.（2021 深圳）计算|1-tan60|的 值 为（）【解答】CA.1/3 B.0 C./3 1 D.1-32.（2021湖北省宜昌市）如图，4B C 的顶点是正方形网格的格点，则 cosNABC的值为A.返 B.返 C.A D.3 2 3 3【分析】由图可知，可把/A 3 C 放在RtzXAB。中，利用勾股定理可求出斜边A 8 的长,再利用余弦的定义可得cosNABC=VD=二=返.A B 3A/2 2AAB=VAD2+B D2=V32+32=32,cosZABC=2.A B 3 /2 2故选：B.法二、在 Rt/VLBO 中

2、，Z A D B=90 ,A D=B D 3,./A B=/8A O=45,/.cos Z A B C=cos45 2故选：B.3.（2021山东省泰安市）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡A D行 走 130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在 E 点测得该建筑物顶端C的仰角为60,建筑物底端8 的俯角为45,点 A、B、C、。、E 在同一平面内，斜坡AO 的坡度/=1:2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物B C的高度约为（参考数据：731,732）（）DDA.136.6 米B.86.7

3、米C.186.7 米 D.86.6 米【分析】作力于H,延长。E 交 8 c 于尸.则四边形。”8尸是矩形，在中求出DH,再在RtAEFB中求出E F,在Rt/XE F C中求出C F即可解决问题.【解答】解：如图作于H,延长。E 交 BC于尸.DH在 Rt/XAQH 中，AO=130 米，DH：A H=：2.4,：.D H=5 Q（米），四边形。H8尸是矩形，：.B F=D H=5 0（米），在 中，N BE F=45,：.E F=B F=50,在 RtZsEFC 中，FC=EF tan60,.C F=5O X E 七86.6（米），：.B C=B F+C F=36.6（米）.故选：A4（2

4、021湖北省随州市）如图，某梯子长1 0米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为a时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点8处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 夕，已知s i n c=c o s，=,则梯子顶端上升了（）A.1 米 B.1.5 米 C.2 米 D.2.5 米5.（2021株洲市）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面4于点A,BE与水平线4的夹角为a（a W 9 0）,EFHIJH2,若A B =L 4米，B E =2 米,车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.当a =9 0 时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口;当a =4 5

5、时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口;当a =60 时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则 上 述 说 法 正 确 个 数 为（）【答案】CD.3个6.（2021浙江省金华市）如图是一架人字梯，已知A B=A C=2米，A C与地面B C的夹角为a,则两梯脚之间的距离8（：为（）A-r c a KB CA.4cosa 米 B.4sina 米 C.4tana 米 D.-米cos a【分析】直接利用等腰三角形的性质得出M=O C,再利用锐角三角函数关系得出O C 的长，即可得出答案。【解答】解：过点A 作BC于点D,：A B=A C=2 米,AOJ_BC,：.BD=DC,cosa=DC=DC

6、AC 2.。=2（?0$：1（米），B C=2DC=2 2cosa=4cosa（米）。故选：A.AerCcB D C7.（2021浙江省温州市）.图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，NA JIICME.7 cL图1A.+1 B.sin2a+lsin2 a【分析】在 RtA O/lB中，sina=01O+BCZMOC2,代入即可得出答案.【解答】解：,AB=BC=1,O B=a,则O C?的 值 为（）;图2C.-+1 D.cos2a+lcos2 aZ可 得O B的长度，在 RtAOBC中，根据勾股定理3在 R t Z X OAB 中，s i

7、 na=M,OB：.O B=.s i nC L在 R t a OBC 中，O B3+BC2 O C2,二（一）2+22=l+1.s i n。s i n5 C l故选：A.8.（2 0 2 1 重庆市B）如图，在建筑物A B左侧距楼底B点水平距离1 50 米的C处有一山坡,斜 坡 C 的坡度（或坡比）为 i=l：2.4,坡顶。到 B C的垂直距离 E=50 米（点 A,B,C,D,E 在同一平面内），在点。处测得建筑物顶A 点的仰角为50。，则建筑物A B 的高度 约 为（）（参考数据：s 加 50。乜）.77；c o s 50 M）.64；t o/750=1.1 9）A.69.2 米 B.73

8、.1 米 C.80.0 米 D.85.7 米【分析】利用斜坡C。的 坡 度（或坡比）为 i=l：2.4,求出CE 的长，从而得出8 E,再利用3?50。即可求出A B的长.【解答】解：斜坡CQ的 坡 度（或坡比）为，=1：2.4,：.D E：C E=5：1 2,：D E=50,：.CE=U 0,V BC=1 50,.B=1 50-1 2 0=30,/.AB=3250X30+50=85.7.故选：D.9.（2 0 2 1 重庆市A）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站M A和/V D.甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60,测得点C距离通信基站M A的水平距离C B为 30,

9、”；乙在另一座山脚点F处测得点尸距离通信基站N D的水平距离F E为5 0 m,测得山坡。尸的坡度i=l：1.2 5.若 N D =，D E,氤 C,B,E,尸在同一水平线上，则两个通8信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（）（参考数据：72 1.41,73 1.73）A.9.0m B.1 2.8/n C.1 3.1/w D.22.1m【答案】c【解析】【分析】分 别 解 直 角 三 角 形 和 RtA M B C,求出N E 和 M B 的长度，作差即可.【详解】解：庄=50 机，O F 的坡度i=l：1.2 5,DE:E F=1:1.2 5.解得 E=40 m,ND=-DE=25m,8NE=

10、ND+DE=65m,V Z MC B =6Q,B C =30m,MB =B C-t a n 60 =3 0G 机，顶端M 与顶端N 的高度差为N E MB =65 30 73故选：C.1 0.（2 0 2 1 湖北省十堰市）如图，小明利用一个锐角是30。的三角板测量操场旗杆的高度,已知他与旗杆之间的水平距离5 C为 1 5m,A B 为L 5 m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A.B.5 G mC.15 G mD.【答案】D【解析】【分析】先根据题意得出A D的长，在R t A A E D中利用锐角三角函数的定义求出ED的长,由 CE=CD+O E 即可得出结论.【详解】解

11、：ABL BC,D E BC,AD/BC,，四边形ABC Z）是矩形,V BC=1 5m,AB=l.5m,：.AD=BC=5m,D C=AB=.5m,在用?1 ）中,V ZE AD=30 ,AQ=1 5m,/.D=AD*t a n30 0 =5 X：.C E=C D+D E=故选：D.1 1.（2 0 2 1 福建省）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得N4=60 ,Z C=90 ,A C=2 k m.据此，可求得学校与工厂之间的距离A B 等 于（）1 3A.2k mB.3k mC.2y/3k m D.4k m1 2.（2 0

12、2 1 云南省）在 4BC 中，NA8C=90 .若 AC=1 0 0,s i i V l=g，则 AB 的长是（）5A.2 2.B.2 1 c.60 D.803 51 3.（2 0 2 1 吉林省长春市）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B 两点间的距离为30 米，Z A =E =2 x C E x B H2 2易得。=4,A E =3,BE=9,C E =4 /i o9x 4 9A/104 而 一 1 02 C E =亚=亚BC 1 0 5 506.（2 0 2 1 四川省乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30。，她朝石碑

13、前行5 米到达点。处，又测得石顶A点的仰角为6 0,那么石碑的高度A3 的长=米.（结果保留根号）【答案】巫2【解析】【分析】先根据已知条件得出 A OC 是等腰三角形，再利用A B=s i 6 0 义4。计算即可【详解】解：由题意可知：ZA=30 ,ZADB=60Q：.ZCAD=30a.A OC 是等腰三角形，.ZM=OC 又。C=5 米故A D=5米在用 A Q B 中，ZADB=60/.AB=si n 60a XAD=-x 5=-米2 2故答案为：巫27.2 0 2 1 湖北省荆州市）如 图 1 是一台手机支架，图 2是其侧面示意图，AB,3 c 可分别绕点 A,B 转 动,测量知 B

14、C=8 cm,A B=1 6 c m.当 A B,B C 转动到/B A E=6 0 ,Z A B C=50 时，点 C到 AE的距离为 6.3 cm.（结果保留小数点后一位，参考数据：s i n 7 0 亡0.94,正 心 1.7 3）图2【分析】通过作垂线构造直角三角形，在在R t/V IB M 中，求出在R t Z8 C 中，求出B D,即可求出C N,从而解决问题.【解答】解：如图，过点8、C分别作AE的垂线，垂足分别为例、N,过 点 C作 C D J_B M,垂足为。，在 Rt/ABM 中，V ZB A =6 0 ,A B=1 6,.,.B M=s i n 6 0 16=8Cem）,

15、Z A B M=900-6 0 =30 ,在 R t z XB C Q 中，Z D B C Z A B C-Z A B M=5 0Q-30 =2 0 ,；.N BCD=90-2 0 =7 0 ,又：8 C=8,.*.B D=s i n 7 0 X 8 0.94 X8=7.52 (cm),:.C N=D M=B M -BD=8 -7.52 弋6.3(cm),即点C到A E的距离约为6.3cm,故答案为：6.3.图28.（2021四川省广元市）如图，在4 x 4的正方形网格图中，已知点A、B、C、。、。均在格点上，其 中A、B、。又 在。上，点E是 线 段C D与。的 交 点.则N5AE的正切值【

16、分 析】由 题意易得8。=4,BC=2,ZDBC=90,ZBAE=ZBDC,然后根据三角函数可进行求解.【详 解】解：由题意得：BD=4,BC=2,NQBC=90,ZBAE=ZBDC,：.tan NBAE=tan ZBDCBD 2故 答 案 为 .29.（2021四川省乐山市）在HAABC中，NC=9 O.有 一 个 锐 角 为60,AB=4.若点 尸 在 直 线AB上（不 与 点A、B重 合），且NPCB=3 0 ,则C P的长为一.【答 案】百 或2百 或2【解 析】【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可.详解】解：情 形1：ZA=60。，则4 8 =30,NPCB=30。，

17、ZACP=60。，/./XACP是等边三角形，Z.CP=ACA3=2；2情形2：ZB=6 0 ,则ZA=30,BC=2,AC=2百,；NPCB=30。，：.C P A B,：.-A C B C -A B C P,解得CP=/5；2 2情形 3：ZB=6 0 ,则ZA=30,BC=2,AC=2百,ZPCB=30,CP=AC=2 6故答案为：6 或 2 G 或 2.10.（2021新疆）如图，已知正方形ABC。边 长 1,E为AB边上一点,以点。为中心,AP 2将 D 4 E 按逆时针方向旋转得ADCF,连接EF,分刖交BD,8 于点M,N.若=-,DN 5则 sin AEDM=.11.（2021

18、湖北省黄冈市）如图，建筑物BC上有一高为8机的旗杆A 8,从。处观测旗杆顶部A 的仰角为53,则建筑物BC的高约为 24.2？（结果保留小数点后一位）.（参考数据：sin53 弋0.80,cos53 g 0.60,tan53=1.33)【分析】根据正切的定义列出关于X的方程，解方程即可.【解答】解：在 RtZ8C中，NBDC=45 ,贝 I BC=CD,设 B C=C O=x,贝 ij4C=x+8,在 RtACD 中，ta n/A O C=i,CD x则 x+8=xtan53,；.x+8=1.33x1.x24.1(zn),故建筑物B C的高约为24.2/n,故答案为：24.2.12.（2021

19、广西玉林市）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A,3 处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西400方向航行，则乙船沿,方向航行.【答案】北偏东50（或东偏北40）13.（2021浙江省宁波市）如图，在矩形A B C。中，点 E 在边A B 上，A B E C 与AFEC关于直线E C 对称，点 8 的对称点尸在边A O 上，G 为 C O 中点，连结B G 分别与C E,C F交于M,N两点，若BM=B E,MG=,则BN的长为sin NAFE的值为【答案】(1).2 (2).V

20、2-1【解析】【分析】由与AFEC关于直线EC对称，矩形ABCD,证明AB E C F E C,再证明B C N A C F D,可得BN=C D,再 求 解。=2,即 可 得3 N的 长；先证明AFESK BG,可 得：,设 BM=x,则CG BGBE=BM=FE=x,BG=x+l,AE=2 x,再列方程，求解X,即可得到答案.【详解】解：3EC与 fE C关于直线EC对称，矩形ABC。，:.AB E C F E C,ZABC=ZADC=NBCD=90。,：.ZEBC=ZEFC=90,NBEC=ZFEC,BE=FE,BC=FC,BM=BE,NBEM=ZBME,ZFEC=ZBME,EF/MN,

21、:B N C =NEFC=90。,:.NBNC=NFDC=90。,-.ZB C D 90,：.NNBC+NBCN=90=NBCN+NDCF,：.ZNBC=ZDCF,:ABCNACFD,：.BN=CD,矩形 ABC。，AB/CD,AD/BC,：.NBEM=NGCM,;NBEM=ZBME=4CMG,MG=1,G 为 CD 的中点，ZGMC=ZGCM,:.CG=MG=l,CD=2,BN=2.如图，;BM=BE=FE,MN/EF,四边形ABC。都是矩形,AB=CD,AD/BC,ZA=ZBCG=90,ZAEF=NABG,ZAFE+NAEF=90=ZABG+ZCBG,：.ZAFE=NCBG,.AFEsCB

22、G,AE EF 而一 法 设 BM=x,则 BE BM=FE=x,BG=X +1,AE=2 x,2-x x:.-=-,1 x+1解得：x=Ji,经检验：X =土&是原方程的根，但x=-血 不合题意，舍去,.AE=2-C,E F =&./4 Z 7 Z 7 _ _ _ 仄 1sin NAFE=j=，2-1.EF V2故答案为：2,V 2-1.14.（2021湖北省黄石市）如图，直立于地面上的电线杆A 3,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是6 C、C D,测得BC=5米，CD=4米，ZBCZ）=1 5 0,在。处测得电线杆顶端A的仰角为45。，则 电 线 杆 的 高 度 约 为 米.（参考数

23、据：加 =1.414,/3 1.732，结果按四舍五入保留一位小数）【答案】10.5【解析】【分析】延长A。交BC的延长线于E,作。尸，BE于F,根据直角三角形的性质和勾股定理求出。F、CF的长，根据正切的定义求出E F,得到BE的长，根据正切的定义解答即可.【详解】解：延长4。交BC的延长线于E,作于F,VZBC)=150,；./D C尸 =3 0,又 CO=4,.o尸=2,C F 7CDP-DF2=2 5由题意得NE=45。，:.EF=DF=2,：.BE=BC+CF+EF=5+2+2 3=7+2 百，：.AB=BExt(mE=(7+26)x l司0.5 米，故答案为：10515.(2021

24、 湖北省江汉油田)如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s,从 A 处沿水平方向飞行至B 处需10s，同时在地面C 处分别测得A 处的仰角为75,8 处的仰角为30。.则这架无人机的飞行高度大约是 m(V 3 1,732,【答案】20【解析】【分析】过点A 作8 c 于点。，过点5 作水平线的垂线，垂足为点E，先解直角三角形求出6 0,8 的长，从而可得8 C,再根据直角三角形的性质求出BE的长即可得.【详解】解：如图，过点A 作 4)，8 c 于点。，过点5 作水平线的垂线，垂足为点,水平线由题意得：A5=3 xl0 =30(m),ZACE=75,ZBCE=30,A

25、B/CE,ZACB=ZACE-ZBCE=45,ZABC=NBCE=30,在 RtAABO中，AO=gAB=1 5 m,B D=A B-c o sZ A B C =1 5 m.A)在 心 A C。中，C D=-=1 5m,t a n Z A C B：.BC=BO+C D=(1 5 6 +1 5)m,在 R NB C E 中,B E =B C=15 t15 20(m)，即这架无人机的飞行高度大约是2 0 m,故答案为：2 0.1 6.（2 0 2 1 江苏省无锡市）一条上山直道的坡度为1：7,沿这条直道上山，每 前 进 1 0 0米所上升的高度为 1 0 后 米.【分析】设上升的高度为x米，根据坡

26、度的概念得到水平距离为7 x 米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.【解答】解：设上升的高度为x米，.上山直道的坡度为1：7,水平距离为7 x 米，由勾股定理得：?+（7 x）2=1 0（）2,解得：%1 10A/2 X 2=-I 0 V 2 （舍去），故答案为：1 0 我.1 7.（2 0 2 1 浙江省衢州卷）图 1 是某折叠式靠背椅实物图，图 2 是椅子打开时的侧面示意图，椅面C E 与地面平行，支撑杆A O,可绕连接点。转动，且。4 =08,椅面底部有一根可以绕点”转动的连杆H D,点H是C。的中点，出,E B 均与地面垂直,测得F A=54 c m ,E B=4 5c m ,A

27、B=4 8 c m .（1）椅 面 C E 的长度为 c m.（2）如图3,椅子折叠时，连杆”。绕着支点，带动支撑杆A Q,8 C 转动合拢，椅面和连杆 夹 角 的 度 数 达 到 最 小 值 3 0。时，A,8两点间的距离为 c m （结果精确到0.1 c m）.（参考数据：s in 1 5 0.2 6,c o s 1 5 0.9 7,t a n l 5 0.2 7 ）图 1图 2图 3【答 案】(1).40(2).12.5三、解答题1.（2021 安徽省）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示,已 知 四 边 形 为 矩 形，点8、C分 别 在E尸、。尸上，ZAB

28、C=90,ZBAD =53,AB 10cm,BC 6cm.求 零 件 的 截 面 面 积.参 考 数 据：sin53O.8O,cos53 0.60.【答 案】53.76cm2【解 析】【分 析】首 先 证 明NBA=/B C尸=53。，通过 解 用 人 钻 石 和 用 户，求 出AE,BE,CF,B F,再 根 据S四 边 形Meo=S矩 形 w o -S RABE-ABCF 计算求解即可.【详 解】解：如图,8 四边形AEH为矩形，N84 =53,：.EF/AB,NE也 =90.NEBA=53ZABC9Q0,:.ZEBA+ZFBC=90,:NEFD=90。二 NFBC+NBCF=90。:.N

29、EBA=NBCF=53。在 Rt/ABE 中，AB-l()cm.sin 53=一a 0.8ABA=AB sin53=8(cm)BE又 cos530=0.6AB：.BE-AB cos 53=6(cm)同理可得 BF=BC sin 53=y (cm),CF=BC-cos 530=y (cm)一S四边形48CO=S矩形4EF0-S&ABE-AfiCF=8x(6+竺)x8x6e史5 2 2 5 553.76(cm2)答：零件的截面面积为53.76cM2.（2021岳阳市）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高3 c =8 0 m,坡面A8的

30、坡度i =1:0.7(注:从山顶3处测得河岸和对岸厂的俯角分别为N D 5 E =4 5。，/D B F =31.(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度.(结果精确到0.1 m)(参考数据：s i n 3 1 M).5 2,co s 3 1 X).86,t a n 3 1 0.6 0)【答案】(1)24m；(2)53.3m3.(2 0 2 1 江苏省连云港)我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将 鱼 竿 摆 成 如 图1所 示.已 知A 3 =4.8m,鱼竿尾端A离岸边0.4 m,即A D =0.4 m .海面与地面AO平行且相距1.2

31、 m ,即。(1)如 图1,在无鱼上钩时，海面上方的鱼线8 c与海面 C的夹角N B C =3 7,海面下方的鱼线C O与海面”C垂直，鱼竿AB与地面AO的夹角Z B M =2 2.求点。到岸边D H的距离；(2)如图2,在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角N 84 )=5 3,此时鱼线被拉直，鱼线3 0 =5.4 6 m,点。恰好位于海面.求点。到岸边。的距离.(参考数据：3 4 3 3 1 5s i n 3 7 =co s 5 3 a ,co s 3 70 -s i n 5 3 ,t a n 3 7 ,s i n 2 2 =-,co s 22,5 5 4 8 1 6t a n 22-)5【答案】

32、(1)8.1 m；(2)4.5 8m【解析】【分析】(1)过点3作3F_LCH,垂足为尸，延长4。交3E于点E，构建用Z X A B E和RtABFC,在RfABE中,根据三角函数的定义与三角函数值求出B E力 再用BE+EF求 出 B F,在 RtABFC中，根据三角函数的定义与三角函数值求出F C,用CF+AE-AD=CH;(2)过点B作BN LOH,垂足为N,延长AO交6N于点M，构建吊AA B M和RtABNO,在放 A B M中，根据5 3 和AB的长求出B例和AM,利用8M+M/V求出B N,在 中 利 用 勾 股 定 理 求 出ON,最后用H V+O N求出OH.则AE18 F，

33、垂足为E.由 COS/8 A E =4 ABA fco s 2 2 =4.8 1 5 -E 16-即 A E=4.5,DE=AE-AD=4.5-0A=4A,由s i n ZR 4 E =BE,.s i n 2 2 =B生EAB 4.83 BE-=，即 3 E =1.8,8 4.8/.BF=BE+EF=l.8+l.2=3.BF 3又 tanNBCQ=,；.tan370=CF CF3 3-=,即C E=4,4 CFCH=C F +/E=b +QE=4 +4.1 =8.1,即C到岸边的距离为8.1加.（2）过点3作5 N J _ O，垂足为N,延长AO交BN于点，则A M B N,垂足为M.由 co

34、 s Z小B A“M,=-A-M-,；.co s 5C3C=-A-M-AB 4.8.3 A M 一-5 4.8即 AM=2.88,DM=A M-A D =2.83-0A=2A8.由 s i n/B A M =AB：.s i n 5 3 B MT8.4 B M-=-5 4.8即 3M=3.84,B N =BM+M/V=3.84+1.2 =5.0 4.O N =yi O Br-BN2=4 5.4 6 2 -5.0 4 2 =74 4 1 =2.1,OH=ON+HN=ON+DM=4.5 8,即点。到岸边的距离为4.5 8m.4.（2 0 2 1江苏省南京市）如图，为了测量河对岸两点A,B之间的距离，

35、在河岸这边取点C,。.测 得 C Z）=80 m,Z A C。=90 ,/B C D =4 5,Z A D C =1 91 7,/5 g=5 6。1 9,设A,B,C,。在同一平面内，求A,8两点之间的距离.（参考数据：t a n 1 9 1 7r 0.3 5,t a n 5 6 1 9f 1.5 0.）【答案】5 2 m【解析】【分析】作B E V C D于E,作BF C 4交C A延长线于F.先证明四边形CE BF是正方形，设C E=B E=x m 根据三角函数表示出OE,根据C =8 0 m列方程求出C E=B E=4 8 m,进而求出CF=BF=48m,解直角三角形A C。求出A C,

36、得到A F,根据勾股定理即可求出A B,问题得解.【详解】解：如图，作B E J_ C。于E,作B F _ LC A交C 4延长线于足.8=9 0 ,四边形C E 8 尸是矩形，-.,BErCD,NBCD=45,：.NBCE=/CBE=45,:.CE=BE,矩形C E B 尸是正方形.设 CE=BE=xm,在 Rt ZSB OE 中,xDE=BEt a n ZBDE t a n 56 1 9 2=-x m,3CD=8 0 m,x H x 8 0,3解得x=4 8,：.C E=B E=4 8 m,:四边形C E 8 F 是正方形,C F=B 尸=4 8 m,在 Rt/ACD 中，AC=C D.t

37、 a n ZADC=8 0 x t a n 1 9 1 7 8 0 x 0.35=28 m,：.AF=CF-AC=20m,.在 尸中，AB=JAF2+BF2=A/202+482=52，A,3 两点之间的距离是52m.5.（20 21 宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点尸处测得正前方水平地 面 上 某 建 筑 物 的 顶 端 A的俯角为30。，面向A 8 方向继续飞行5 米，测得该建筑物底端8的俯角为4 5。，已知建筑物AB的高为3 米，求无人机飞行的高度（结果精确到1 米，参考数 据:0 B 1.4 1 4,如=1.7 32）.【答案】无人机飞行的高度约为14米.【解析】【分析

38、】延 长 P。，B A,相交于点E,根据NBQE=45。可 设 B E=Q E=x,进而可分别表示出 PE=x+5,A E=x-3,再根据 s in/4 P E=4 ,NAPE=30 即可列出方程上 =且，P Ex+5 3由此求解即可.【详解】解：如图，延长PQ,B A,相交于点E,由题意可得：ABL P Q,N E=90,又；N B Q E=45,：.BE=Q E,设 BE=Q E=x,;P Q=5,AB=3,：.P E=x+5f A E=x-3fV ZE=90,A E.si n ZAP E=-,P EV ZAPE=30,/.sin30=x+5 3解得：X=4 7 3+7-14,答：无人机飞

39、行的高度约为14米.6.（2021湖南省常德市）今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗。处的仰角为4 5 ,站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23。，已知小明目高AE=1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高班=1.8米，距小明24.2米,求国旗的宽度C O是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据：sin 23 0.3907,cos 23 0.9205,tan 23 0.4245）【答案】国旗的宽度C O是1.6米.【解析】【分析】首先分析图形，根 据 题 意 构 造 直

40、 角 三 角 形.解 直 角 三 角 形 得DM的长，即可求出O G,再解三角三角形CNF得CN的长，即可求出C G,利 用CG-OG即可求解.【详解】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形，.ME=G4=15.8（米），/N=GB=G4+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=L4（米），NG=BF=1.8（米），在 Rt/DME 中，N D M E =90,N D E F=45N E D M =45=ME=15.8（米），/.D G =D M+M G =15.S+1A=11.2（米）；在 RtACNF 中,NCNP=90。,NOW =23C N：.tan 23=,即 C7V

41、=HV tan 230=40 x0.4245。17.0（米），F NCG=CN+NG=17.0+1.8=18.8（米），二 C=C G-D G =18.8-17.2=1.6（米）答：国旗的宽度。是1.6米.7.（2021怀化市）政府将要在某学校大楼前修一座大桥.如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部。处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角/EAB,N E4c分别为6 7 和22,宋老师说现在我能算出将要修的大 桥B C的长了.同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1 米）.其中 sin67 弋 2,cos67 弋_ _,tan

42、67 弋 2,sin22 弋旦，cos22 弋至，tan221 3 1 3 5 8 1 62【分析】过 C 作 CFLAE于 F,则F C=A D=2 0米，A F=D C,由锐角三角函数定义分别求出AF、3。的长，即可解决问题.【解答】解：过 C 作 CFLAE于尸，如图所示:在 RtzXACF 中，ZAC=22,V tan Z A C=-=tan22,A F 5：.DC=AF-FC50（米），2在 RtA4B。中，/ABD=/EAB=67 ,；tanNA8O=tan22 心 理，B D 5（米），12 3：.B C=D C -B D=50-25.41.7（米），3即大桥BC的长约为41.7

43、米.8.2021江西省）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄8 C与手臂M C始终在同一直线上，枪身8 4与额头保持垂直.量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA=S.5cm.（1）求N A 8C的度数：（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为35cm.在图2中,若测得NBMN=68.6,小红与测温员之间距离为50a”.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4 0.92,cos66.4 0.40,sin

44、23.6 0.40,1.414）图1图2【分析】过点8作8_LM P,垂足为H,根据解直角三角形c o s/8 M H=l=四 旦=0.4,B M 42即可计算出N B M H的度数，再根据平行线的性质即可算出N A 3C的度数；（2）根 据（1）中的结论和已知条件可计算出/N M/的度数，根据三角函数即可算出的长度，再根据已知条件即可算出P K的长度，即可得出答案.【解答】解：过点B作垂足为“，过点M作M/LF G,垂足为/,过点P作PK，。其垂足为K,：MP=25.3cm,BA=H P=8.5cm,：.M H=M P -H P=253-8.5=16.8（cm）,在 中,cos Z B M

45、H=H I=J=0.4,B M 42/B M H=66.4,：AB/MP,：.ZB M H+ZA B C=S 0,/.ZA B C=180-66.4=113.6；(2)，NA8C=180-NBM=180-66.4=113.6.N8MN=68.6,N8M=66.4,NNM/=180-NBMN-NBMH=180-68.6-66.4=45,*MN=28cm,.cos45=圆 _=圆_,M N 28M/F 9.74cm,KI=50cm,PK=KI-M I-M P=50-19.74-25.3=4.965.0(c/n),.此时枪身端点A 与小红额头的距离是在规定范围内.测 量 枪 抬 DC 测量员G E图

46、 39.（2021山东省聊城市）时代中学组织学生进行红色研学活动.学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口 A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西3 7 方向走200米到达人民英雄雕塑。处，最后从。处回到A 处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东6 5 方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）.（参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75,sin650=0.91,cos650.42,tan652.14）【答案】420米【解析】【分析】过D点分别作DE BC,D F A B,垂足分别是

47、点E,点F.由三角函数可求CE120,D E 1 6 0.可 证 四 边 形 尸 是 矩 形，可求4尸=140,在R/AAO尸中，利用三角函数可求 O F=A F t a n 65%29 9.60.,可求 BC=BE+CE420(米).【详解】解：过。点分别作。E _ L8 C,D F A B,垂足分别是点E,点 F.由题意得，N C D E =37。.在 R A C Q E 中C F D FV sin 37=,cos 37。=。=200,C D C D.CE=200 sin 37。a 200 x 0.60=120,DE=200-cos 37 200 x 0.80=160.A B BC,D E

48、 BC,D F 1 A B,Z B =Z D E B =Z D F B =90.四边形B E D F是矩形，：.BE=DF,B F=)E=160,.A F=A f i-B F=300-160=140.D F在 RtxADF 中，t a n 65=-,A F：.=A F-t a n 65%140 x 2.14=29 9.60.：.B C=B E+C E=29 9.60+1 20=420（米）.所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米.10.（2021山东省临沂市）（7 分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已 知 CM=

49、3 w,C0=5m,D0=3m,NA O =7 0 ,汽车从A处前行多少米才能发现C 处的儿童（结果保留整数）？（参考数据:s i n 3 7 0.6 0,c o s 3 7 =0.8 0,t a n 3 7 =0.7 5；s i n 7 0 =0.9 4,c o s 7 0 0.3 4,t a n 7 0 0 =2.7 5)【分析】利用勾股定理求出0M,证明 C O M s a B O Q,求 出B D,在A。中，利用三角函数 的 定 义 求 出 即可.【解答】解：C M=3，O C=5m,：.0W=7OC2-CM2=4（）,：A C MO=Z B DO=W ,N C O M=N B O D

50、,：.AC0MSAB0D,.CM ON Pn 3 4BD OD BD 3.8 0=2=2.2 5 Cm),4；.t a n NA OO=t a n 7 0 DO即AB+BD=AB+2.25=2.7 5 (m),DO 3解得：AB=6m,汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童.1 1.（2021陕西省）一座吊桥的钢索立柱A。两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度.他们测得/ABO 为 3 0 ,由于8、D 两点间的距离不易测得，发现N 4C O 恰好为4 5 ,点 B与点C 之间的距离约为16%己知B、C、。共 线（结果保留根号）【分析】本题设A O=x，