2021年全国高考数学信息试卷（文科）（一）附答案解析.pdf

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1、2021年全国高考数学信息试卷（文科）（一）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1 .已知集合4=x e Z|-2 -2%0 .则4 n CRB=（）A.-1 B.-2,1,0 C.-2,-1 D.-1,0 2.等差数列册 中，已知。1=，&+。5=4,an=3 3,则几的值为（）.A.50 B.49 C.48 D.473.己知p：xx,%2是方程/+5x -6 =0 的两根，q：x1-x2=-6,则p 是4的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设点4 的坐标为（a,b）,。是坐标原点，向量万5绕着。点顺时针旋转。后 得 到 面，则A

2、的坐标为（）A.（acosd bsind,asinO+bcosd）B.（acos。+bshi。,bcos。-asinS）C.（asinO+bcosd,acosd-bsind）D.（bcosB-asind,bsind+acosd）5.下列有关命题的说法中，正确的是（）A.命题z 若/融工则冢加T 的否命题为“若d/工则m士 T。B.呼郁/鲍是M/g军 一如“r的充分不必要条件。c.命 题 叼 占 貂 鼠 使 得/署 需.0,6 0)的离心率为近，一条渐近线为1,抛物线C 2：y2=4x的焦点为尸，点P为直线/与抛物线异于原点的交点，则|P F|=()A.2 B.3 C.4 D.512.已知数列?

3、、?、?、W、等、根据前三项给出的规律，则实数对(2a,2b)可能是()A.邑 一|)B.(19,-3)C.(y,|)D.(19,3)二、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.已知复数2=工，其中i是虚数单位，则zi=.14.在锐角盛魂修中，三个内角城“/然所对的边分别是璘题“%且 越=雪 瘟，则二的取值范围是一15.已知函数翼礴满足：定义域为七 对任意森侬贰，有薮%湍写=造理 城；当期图-割时，舞 礴=-|对 曲 记 式:磁=制 感-崛 小 小 根 据 以 上 信 息，可以得到函数颉域在区间-:喇2 M 内 的 零 点 个 数 是.16.若椭圆X 2+my 2=1的 离 心 率 为

4、 正，则 它 的 长 半 轴 长 为.2三、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.已知ABC中，a=2,b=2百，A=30,求解这个三角形.18.某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：0,5),5,10),10,15),15,20),20,25,得到如图所示的频率分布直方图.(I)写出女生组频率分布直方图中a的值；(口)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，正四

5、棱锥P-4 B C C 中，底面/BCD的边长为4,PD=4,E为24的中点.(1)求证：PC平面EBD；(2)求直线8E与平面PBD所成角的正弦值；(3)求三棱锥E-4BC的体积.20.已知4、B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线4M、BM相交于点M,且他们的斜率之积是一号求点M的轨迹方程.21.(本小题满分14分)已知函数,典：蹴=然-斓也需;，热网=-二.蚱(E：勒I。(1)若端=：!，求函数,撕域的极值；设函数题训=观网-国网，求函数颂弱的单调区间；(3)若在区间%同(解=或茨慵)上存在一点鼻:，使得，敏2；3:蟾 球 成 立，求谢的取值范围。22.在直角坐标系xOy中，直线，

6、的参数方程为方程为p=4cos0.刍2它2一+21(t为参数).在极坐标系中，圆c 的极坐标(1)求圆C的直角坐标方程，并求圆心到直线/的距离；(2)设圆C与直线I交于点4B,若点P的坐标为(2,1),求e+高 的值.”、ax+b/t23.(本小题满分12分)已 知 函 数 是 定 义 在(一 I D 上的奇函数,(1)求函数/(X)的解析式；(2)判断/(x)的单调性，并用定义证明你的结论；(3)解不等式/-1)+/()0参考答案及解析1.答案：C解析：解：4=x Z|-2 -2x 4=%6 Z|-2 x 0.CRB=(xx 0/0)的离心率为近，可得a =b,从而可得一条渐近线的方程，求出

7、P,F的坐标,即可求出|P F|.解：双曲线G：会5=l(a 0,b 0)的离心率为企，a=b,二一条渐近线为，：y=x,代入抛物线C 2：y2=4 x 可得P(4,4),抛物线C 2：y2=4 x 的焦点为f(1,0),|P F|=(4 -1)2 +4 2 =5.故选：D.12.答案：D解析：解：由已知数列在、匹、亘、七、叵、根据前三项给出的规律，2 4 6 a-b 10可得：a b=8,a +b =ll,解得：2 a=1 9,2 b=3,故实数对(2 a,2 b)可能是(1 9,3),故选：D由己知数列，可得数列各项的分母是2 n,分 子 是 向 7万，进而得到答案.归纳推理的一般步骤是：

8、(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).13.答案：|i(l+i)_ -1+i解析：解：,Z=F(1-0(1+；)z.z =(3 +3)(_ m=：.故答案为：先利用复数代数形式的乘除运算化简求出复数Z,然后利用共钝复数的概念得到5,从而求出zi的值.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共规复数的概念，是基础题.14.答案：(后,币).解析：试题分析：因为锐角盛缄濯中，魔=为血，所以 0。8 9 0,从而由 3 4 9 0。，0。2 4 9 0。，得到3 0。4 4 5。，由正弦定理得，色=型 叱=斑蝌一侬:圆=驾*血 电 火

9、反 礴。物，蟠演.考点：本题主要考查锐角三角形的性质，正弦定理的应用，余弦函数图像和性质。点评：易错题，关键在于准确确定得到3 0。4 4 5。1 5.答案：1 1解析：试题分析：利用图象法。由域磁=庚:磷-蝇：4国=，得 跳 燔=蜘 熙 恸所以，照 磁=.施 磷-题（4同 在 区 间-妈 蒯 内 的 零 点 个 数，就是解=$电氮肥=帆%恸两函数图象交点的个数。在同一坐标系中画出满足条件的函数图象（如图）观察图象可得，两个函数的图象共有1 1个交点。所以，函数赖礴在区间-a口间内的零点个数是1 1.考点：本题主要考查零点的概念，函数的图象和性质。点评：中档题，利用数形结合思想、化归与转化思想

10、，将函数零点个数的确定问题，转化成研究函数图象的交点个数。本题画函数的图象是解题的关键.1 6.答案：1或2.解析：本题考查了椭圆的标准方程和简单性质，此题要注意椭圆在x轴和y轴两种情况，属于基础题.产解：椭圆x 2+m y2=l即1+”=1,当椭圆焦点在y轴上时，,a 2：!b2=l ,mm机2=a 2-2得，2=子1制得1，5=2即长半轴长为2当椭圆焦点在x轴上时，b2=-a2=l,；.a=i 即长半轴长为1故答案为：1或2.17.答案：解：因为a=2,b=2百，A=30,所以由正弦定理号=一之，可得力 /=也=2=西，sinA sinB J UR a 2 2因为B 6(0,180),所以

11、B=60。,或 120。，当B=60。时，可得C=90。，c=Va2+b2=4;当8=120。时，可得C=3 0,可得c=a=2.解析：由已知利用正弦定理可得sinB的值，结合范围B e(0,180。)，分类讨论即可得解.本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题.18.答案：解：(1)由频率分布直方图，得a=1一.0.02+：.03+。.08)X5=0 Q5.(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.02 x 5=0.1,学生人数为0.1x20=2.同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的学生人数为0.03 x 5 x 20=3,故X的所有

12、可能取值为0,1,2,则P(X=0)=L，P(X=1)=|,则P(X=2)=g/,X的分布列为X012133P10510E(X)=0X*1X|+2XV解析：(1)由频率分布直方图，得。=匕 殁 竺 兰 詈 照”.(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.02x5=0.1,学生人数为0.1 x 20=2.同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的学生人数为0.03 x 5 x 20=3,故X的所有可能取值为0,1,2,利用超几何分布列计算公式即可得出.本题考查了古典概率概率计算公式、超几何分布列计算公式、相互对立事件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 9.

13、答案：解：(1)证明：连接A C,B D,交于点。，连接E 0,正四棱锥P 2 B C C 中，底面4 B C D 是正方形，二。是4 C 中点，E 是P 4 的中点，E O P C,v PC C 平面B D E,OE u 平面B D E,P C 平面E B D.(2)连接P O,正四棱锥P A B C。中，底面A B C。的边长为4,PD=4,E为P 4 的中点.OA.O B、O P 两两垂直，以。为原点，0 4 为x 轴，0 B 为y轴，0 P 为z轴，建立空间直角坐标系,则8(0,2 夜,0),4(2 鱼,0,0),P(0,0,2 V 2),E(e,0,a)，。(0,-2 四,0)，品=

14、(V 2,-2 V 2,V 2).平面P B D 的法向量元=(1,0,0),设直线B E 与平面P B D 所成角为。,2=繇=寻=邛二直线B E 与平面P B D 所成角的正弦值为渔.6(3)E 是P A的中点，.E 到平面的距离d =i p O=|x 2 V 2 =V 2,三棱锥E-4 BD的体积为:VE-ABD=|x d x SAABD=|XV2X|X4X4=詈.解析：(1)连接AC,B D,交于点。，连接EO,推导出E O P C,由此能证明P C 平面E B D.(2)连接PO,由。力、O B、O P 两两垂直，以。为原点，。4 为x 轴，O B 为y轴，O P 为z轴，建立空间直

15、角坐标系，利用向量法能求出直线B E 与平面P B D 所成角的正弦值.(3)由E 是P 4 的中点，得E 到平面的距离d =V L 由此能求出三棱锥E-A B D 的体积.本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.答案：解：设M(x,y)4 M斜率七=2，BM斜率的=X5”的=W&=V（x K 5），化简整理得，4x2+9y2=100（%5）.M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）.解析：设出交点M的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积是-/U式化简.21.答案

16、：（1）舞感的极小值为我须=工；（2）当渤七T时，颍魏:在勰丑唠上递增；时，及在延%H礴上递减，在融珏时杂唠上递增；（3）演,：笔或:磁触匕士。场 一 工7T_ 1解析：试题分析：（1）对侬$=3R-如紧：=沪敝$=二一抽邮?即：涉1二，燧 在 鲫 感 上 递 减，在乳柠噢上递增二翼礴的极小值为庚重=：14分普 谢 w *螃 H项富一初朴碱：1（2）锹 磁=密-延拆富界.超&嘲=-J X：X.当蟠匕T时，软簪*，二 减礴:在卿皆唠上递增 当 就*T时，覆港山卿0存嫡，；.业 逛 磁 在 苗 凰 小：城g上递减，在#：端笄阳 上递增.8分（3）区间以与上存在一点得，使 得 飘 球 y域 唠 成

17、立0 蜀尊；=侬）颤 鸿 t期在以胡|上有解:=当案定限旬|时，箍 磁 飒2：（由（2）知当渤七-1时，频微:在|口州上递增，编n =题期=鬟1 1 疝”；：卿:。&-S T当g，T 时，回磁在螂工朴礴上递减，在磔*吗#噂上递增（i）当一3：礴陛砥时，避短;在|国刊上递增,.褊,=题徐=/谢“；：励:二调K 一 鬟二闻无解(ii)当磔迷宓一工时，避城1：在I口.切I上递减.:谣 黜-烈一工(iii)当期y瀛,*：督一工时，在|口 开：明上递减，在业时旬上递增=罐普:礴=3#演,-瀛 1#:蹴：令 粤 城=署 普 湖 一 潮 加 年 磅=触电出蹴,则 戏 睢=_ 三 一2.速域 谢 谢 2#谢.

18、频礴在国幅&-既递减频礴砥，奈岫 4 =2*如.密:飒无解即电副=甥注碱一城T T 嘛,则无解综上：渤 ,：T 或渤悔史畛14分海 1 :1考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值.在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值.22.答案：解：(1)、直线1的参数方程为 直线I的普通方程是x+y 3=0,V2-2V2-2一+21-%y(t为参数).:圆C的极坐标方程为p=4cos0,F =4pcos0,二圆

19、C的标准方程是/+y2=4 x,即(x 2)2+y2=4,圆C的圆心坐标是(2,0),圆心到直线，的距离是弃驾=4Vl2+12 2(2)点P 的坐标(2,1)满足直线/的方程，.点 P在直线，上,(x=2 一 会将直线的参数方程为(t为参数)代入圆C的方程得t2+近t-3 =0,(7 =1+T，七1 +12=-=3，1 1 _ 陷|+俨 8|_闯+闯-+-|P4|PB PAPB|Jt2l_ I M F _ _ 竺1 t 也1 1 1 2 1 3即高i+高 的 值 是?解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程与参数方程及它们之间的互相转化，以及参数方程在解题中的应用，属于极坐标与参数方程中的典型题，

20、比较常见.(1)将直线的参数方程与圆C 的极坐标方程化简为普通方程，求出圆心的坐标再由点到直线的距离公式求出圆心直线的距离；(2)山于心|=闯，陷|=闯，所 以 册+看 可 变为需需=鬻=黯=幽需远，所以联立直线的参数方程与圆C 的普通方程，直接利用根与系数的关系求出t】+t 2 与G t 2 的值，代入即可求出.23.答案：箕 礴=(2)见解析(3)则喧忠塔一解析：分析：第一问利用函数的奇函数性质可知f(0)=0结 合 条 件 解 得 函 数 解 析 式第二问中，利用函数单调性的定义，作差变形，定号，证明。第三问中，结合第二问中的单调性，可知要是原式有意义的利用变量大，则函数值大的关系得到结论。i n短(2)证明：任取一：1喉即喉礴嗯工,；】-：1噫碰嗨礴噫 疑 时-,婷 噫 蒯，M甯 导 峭#党 又V-R%；】哪 电 喊工i%:%吗(将顺，窗就一，联敢礴喊 T 躅向在a 北禽上是增函数。舞 和 怎 嗒-施教=莫卜醺威:璘在9 4毒上是增函数，二,-萨,工喉-畲父3解得砥嘘畲蟾,。