2021年度精算师考试金融数学课本知识精粹.pdf

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1、第一篇：利息理论第一章：利息基本概念o优o-a(t)1、有关利息力：a=J J；An)6tdt=A(n)-A(0)j(m)4(p)2、(i+)m=i+i=v-=(i-d y=(i-yp=/m pr.单利率下的利息力：b,二 二2 1 +it3、j 但贴现下的利息力：3t=i-id|严格单利法（英 国 法）4、投 资 期 的 确 定 常 规 单 利 法（欧 洲 大 陆 法）银 行 家 规 则（欧 洲 货 币 法）5、等时间法：/=上 一%k=l第二章年金1 (Xy n 1+1)C l n dn-lri+11、I 5月 S(1+i)S 川=S-i 1n zi+llV dn Clm+n。浣13、零头

2、付款问题：（1）上 浮 式（2）常 规（3）扣减式4：变利率年金（1）各付款期间段利率不同（2）各付款所根据利率不同5、付款频率与计息频率不同年金（1）付款频率低于计息频率年金现值:曳期末付年金:叼 .永续年金现值:二-终值:随 领a)村=%叼期 末 付 平 顶 虹 式 年 金：匕)=(/。).+丫(D a)/=%。5叔(2)各年付款额为等比数列(1 +左),V 左：不存在%=一七=，=左：=占 不 存 在i k:%存在7、更普通变化年金：(1)在(肃基本上，付款频率不大于计息频率形式(2)在(温基本上，付款频率不不大于计息频率形式每个计息期内的m次付款额保持不变（/严 二 写 上每个计息期内

3、的m次付款额保持不变（尸产 二 当 篝（3）持续变化年金：有 n个计息期，利率为i,在 t 时刻付款率为t,其现值为斯 nv（/叫:二丁：有 n个计息期，利率为i,在 t 时刻付款率为了，其现值为v（0）=jo f d t第三章收益率i、收益率（内部收益率）由v（）=,6二可求出r=02、收益率唯一性：（1）若在。n期间内存在一时刻t,t 之后期间里钞票流向是一致，t 之前期内钞票流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。(2)若在O-n T 内各发生钞票流时刻，投资(涉及支出及回收,总称投资)积累额不不大于0,则该钞票流唯一。3、再投资收益率：(1)情形一：在时刻0 投资1 单位，t

4、 时刻积累值：1+啊(2 )情 形 二：在 原 则 金 中，t时 刻 积 累 值：s-y-nn+/(Zs1)=n+i-一1 j4、基金收益率：A：期初基金资本量 B：期末基金本息和I：投资期内基金所得收入 Cz：t 时刻钞票流(O r (G/C)注意：上述求收益率办法也叫投资额加权收益率5、时间加权收益率i=(l+i1)(l+i2)-i+im)-l6、投资组合法：计算出一种基于整个基金所得平均收益率，然后依照每个资金账户所占比列与投资时间长度分派基金收益投资年法：按最初投资时间和投资所持续时间，以及与各时间相联系利率，积累值为：C（l+i：）（l+g）（1 +）k m为投资年法年数，即若投资时

5、间未满m年，运用投资年法计算收益；若超过某些按投资组合法计算收益率。在 y 年投资第t 年收益率记为7、股息贴现模型(1)每期末支付股息,假定该股票收益率为r,则它理论价格为：念（1 +r）(2)每期末支付股息以公比(1+g)呈等比增长，假定该股票收益率为 则 它 理 论 价 格 为：p=a第四章债务偿还1、分期偿还表（原则年金，贷款额因，年利率i,每期末还款额为1）时刻t每次还款额R,每次还款中所包含的自增利息L每次还款中所包含的本金p,未偿还贷款余额B,0%11211-产1/*1111111t11 n-t+11-V产1%(11(11n-1l-v2n11-VV0总计n 一 因第 k 期偿还款

6、中利息某些记为4；本金某些为必4=1 L+i pk=vnk+i2、持续偿还分期偿还表时 刻 的 余 额 =a I_苒=砧（1+犷，时亥IJ偿还的本金禾IJ息pt=l-I=l-3Br3、偿还频率与计息频率不同分期偿还表(1)若偿还期计息k 次(偿还频率不大于计息频率)时刻S还款额 Rs还款额中的利息部分Iv还款额中的本金部分p,贷款余额B,0卬 与k1%/SR=1-vnRrk=MBO-PA=%/S浦2k1-vn-kvn ka2k/skaI1a(aItk1产(f-l)Aa/skIa(i1n-k11-*n11-vk0总计n!k/我-%/$浦%/与（2）若每计息期偿还哮款m次（偿还频率不不大于计息频率

7、）表（4-4）4 ）的分期偿还表时刻S还款额R s还款额中的利息部分I s还款额中的本金部分P s贷款余额B s0/m1m产)1 B()=-(l-vn)m mRl/m 一 v，im稣-E，产 保2/tni/m1 n(1-V 吟m|nv mm(a(tlm/m1 n-(1-v w)m1 -巴V mma(砌(i(n/m/m(1-v)m1 -mn/m1 -(l-vw)m1 -m0总计n-第第4、偿债基金表时刻每次总支出额Lz+D利息支付L/基金存款D基金利息收入SFI,偿债基金余额SFB,净贷款余额NB;0L=Dsd1Lz+DLiD0D S fijL-DSjj2Lz+DLzDj D5jl.=D(l+/

8、-)-1D S2jL-Ds 用3Li+DUDD(l+/)2-lDs用L-Ds布(IIItLi+DUDDKi-vT-iDs方L-Ds方(*(1InLz+DuDDKHyT-lDs兀=LL-D阳广0总计(Li+D)nLi DD(5.-ri)=L-nD第五章 债券及其定价理论1、债券价格P：债券的价格 N:债券的面值 C：债券的赎回值r:票利率 N r：票息额 g:修正票息率g=N r/C(N;C时，g=r)i:收益率 n:票息到期支付次数 K=C v G :基础金额G=N r /i%：所得税率(1)所得税后债券价格：基本公式:p=Nr(l-tl)an+Cvn溢价、折价公式：p-c =N r(lT j

9、-。吟,基础金额公式：P=G (1-0)+C-G(1-匚)vMakeham公式：p=K+迎匕红(C K)、i(2)所得税、资本增益税后(当购买价格低于赎回值)债券价格：P=p-t2(c-p)v J p 二一-1-鹏/c(3)如果债券购买时间不是付息日，则债券全价(如)tP 二Nr Nr-1-；(1 +炉(1+i严Nr+Cn-1+w2、溢价与折价本金调节：溢价摊销或折价积累期次西7TC自 心、利息收入本金调节账面值0gl +p =l +(g _ i)%1g4 1 +(g T)%l +(g T2g心+(g-(g-Ml+(g-&tg小+年 一 加 中 l +(g-)a Rn-lg4 1+(g T)%

10、(g-l +(g-，)/ng汨+(g-%(g)M1共计n gn g-p(g _ i)%=3、票息支付周期内债券估价债券平价：Bt+k 扣除应计票息后买价称为市价：B3k公式：弘=矶+四 或 琮麻 岫B晨=6(1 +讨(1)理 论 法3 Nrk=NJ”-1iBM=6(1+讨-Nr_lr K I x/II现 4(1+切(2)实务法:N4=k MB3k=BtQ +ki)kNr“刊(i+，y混合法:N=k MBk=Bt(l+i)k-kNr4、收益率拟定由 p=C+C（g-i）a八 卷 可 导 出kg-,H+17 或1H-k2nkS nl +k24/2)4、可赎回债券计算收益率时 g（溢价发行）：赎回日

11、尽可能早g（折价发行）：赎回日尽可能晚5、系列债券:团 tn o 加 机系列债券的价格 0工&谑*9K）t=i t=i i t=i t=ig=NrlC其 中：2人:所有现金流现值之和t=lc,：所有现金流之和t=l第二篇利率期限构造第六章：利率期限构造理论1、远期利率:（1+兀）二(1+加 产(1+X)2、Macaulay久期与修正久期：，N久期D.=必x%.Z=1修正久期 Dm0d=D/(l+y)其中叼=:第欣现金流的现值在现金流总和中所占的比例P(i+y)NZ=13、M acaulay凸 度 与 修 正 凸 度：C D凸度,修 正 凸 度j d三宫号”P+-P.2 P qP+P2poP o

12、(有效久期：DE=4、有效凸度：，=其中p。、p.、p.表示债券期初价格、收益率在初始收益率基础上增加和减少时对应的价格第七章随机利率模型1、时刻银行账户的价值=e4同2、随机折现因子。(f,T)=，4,出)3、连续复利收益率T):T时刻到期的零息债券1 单位面值在时刻的价格R(/,T)：连续复利收益率B O,T)=产皿4、远期单利耳(t,T,S)与远期复利月(t,T,S),t时刻期限为 T,S片(t,T,S)=(-1)S-T月(t,T,S)=-，S-T B(t,S)5、远期瞬时利爵&T)=-四竿r7零息债券价格：8(仃)=/)疝V1 连续复利收益率:R T)=ft,u)du6、Ho l e

13、e模型的应用短期利率满足：fl+l=+a/X t随机变量 在 出 现时取+1，在d出现时取-17、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程drt=u(t,rt)dt+a(t,rt)dWt ,D(dB S B,，、1 d2B 2/、L,S B,、皿dB=-+-(/,/；)+-7-cr (f,()dt+-y(t,rl)dWlo t dt 2 dr J dt其 中 漂 移 项 cr(Z,/;)：波动项 Wl：标准布朗运动B=BG,T)=B(t,T,三)IV(8、利率风险市场价格(4)用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合n然后选择适当的头寸中使得n的风险为零n=B(f,T,rt)

14、+T2,rt)dB(t,Tx,r,)dB(t,T2,r,)I-Udr dr甘 1/T、1/3 8 S B ,、1 d2B 2/、)其中m(t,T)=-+vcr-(Z,/;)Byo t dt 2 dr J贝/，丁)=孚6亿/)B dt9、W z s i c或模型及其下的债券定价模型：drf=a(u-rt)dt+cydWt.a、o为正的常数模型的解为：r,=rQe-a,+u(l-e-a,)+(y e-a(-u)dWl l零息债券的价格：=1.,一 打其中：T=T=-a/)=/i?/)(-丸-。-。7)一-。、Z 1-2av。7r)了+(1 -)a a a 2a 4 a9、C I R模型及其下的债券

15、定价模型：drt=a(u-rt)dt+(j dWt.a、小 b为正的常数该模型下风险的市场价格为：,/；)=娅第三篇金融衍生工具定价理论第八章金融衍生工具简介fe”1、远期的定价 F =S e C力.q：连续复利率F=(S o I)e .I-.离散红利2、时刻持有远期合约的价值：(0tT)=(_ 玲)-(S0-I)e9 八 如果有中间收入V 中间收入/：f,=F,er(T-,)提供红利q=耳e-3、远期利率平价公式，、：本币和外币的利率（假定借款利率=贷款利率）E：外币的以本币标价的即期汇率（E 本币/外币）外币远期的价格为/（/，丁）=F WO=（一般不超过一年故采用单利）st i+z r若

16、:名 言 黑:（持有本币所得利息低于外币，持有外币有利）4、远期利率合同（1）结算时金额：A=N 反 町1+S x T其 中：S：目的利率；F：远期价格，T：远期期限（2）远期价格尸满 足：（1 +以）（1 +ftl+TT）=l +rt+T（t+T）5、期货合约盈亏：A=nN（）|Zz+1-Z,|期货合约保证金账户盈亏代数和为：N0|S,-Z0|无论盈亏都只需交N（）Z（）6、利率期货（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周 期 3个 月）若 果 价 格 变 动 一 种 基 点（小 数 点 后 第 二 位 变 动 一 种 数，如9 4.7 9.9 4.8 0 或 9 4.7 8）

17、,则一份合约买方或卖方将支付2 5 远。对 于 本 金 1 00万而言，一种季度每个基点价值为：1 00 万 x 0.01%x =2 5（美元）4远期利率/满足（1 +科）（1 +0.2 5/）=（1 +M）nf=4 x 也一端1 +4 丁套期保值原理（N：被 保 资 产 金 额 D：保 质 期 限 S存款利率变动基 点 n：合约份数）面值9 0(2)长期利率期货国债期货：点数价值：价格波动一种最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值该债券价格。如：若名义债券票息率为半年4%,某实际债券票息率为半年3%,剩余期限为2年，则付息日转换因子为：CF=-+1

18、 00+34/1 00(1 +4%)(1 +4%)2(1 +4%)3(1 +4%)4(3)交割债券选取(最便宜交割债券)卖方在债券现货市场上可以以P+A价格买到债券(P:债券净价,A:应计利息)；在期货交割时卖方将收到买方钞票C F x Z+A (Z:债券期货价格)，同步支付债券。显然A不影响卖方成本，卖方净交割成本为：P-CFxZ(4)国债定价类似于:F=(S0-I)e.例题：假设某国债期货党C T D债券票息率为1 2%；C F=1.4.假定在2 7 0天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以过了 6 0天，利息力为r=0.1;债券报价为1 2 0；可按如下办法计算期货价格Z：解

19、：(1)债券全价=净价+应计利息之和(每1 00元面值利息)1 2 0+x 6=1 2 1.9 7 81 8 2(2)计算期货钞票价格：卫XOJ 冽 加(1 2 1.9 7 8-6 x e 3 6 5)x e3 6 5=1 2 5.09 5(3)计算以C T D 债券为基本资产期货价格:1 4 81 2 5.09 5-6 x一 =1 2 0.2 4 21 8 3(4)运用转换因子C F 计算国债期货价格：1 2 0 2 4 2Z =：=8 5.8 8 71.4(5)国债期货套期保值原理基点价值Mn：收益率变动一种基点所引起债券价格变化。如：面值为1 0万美元、期限为3年，票利率为1 0.7 5

20、%,若当前市场利率为1 0%,则该债券加u 为:3bpv=0z=l1 07 5 0(1 +1 0%)1 00000 _ 1 07 5 0 1 00000+(i+i o%)3)-t r(n-i o.o i%y +(i+i o.o i%)37、看涨看跌期权平价公式c,+Ke-r(T-=p,+S,其中c,:t 时刻看涨期权价格p,：t 时刻看跌期权价格K：看涨期权执行价格S：t 时刻基本资产价格8、期权价值影响因素(1)基本资产价格S：对看涨期权S,越大，价格越高对看跌期权S越大，价格越低(2)执行价格K：对看涨期权K：越大，价格越高对看跌期权K：越大，价格越低(3)到期期限T：对美式而言，T 越长

21、，价格越高对欧式而言，不一定(4)无风险率r：r越高，价格越高(5)基本资产价格波动率J：G越大，期权价格越高。9、期权价格界(1)欧式期权:看涨期权：S,-K e-o c,5,看跌期权：-S,p,K e-g)(2)美式期权:.看涨期权：S,-K e-T)qWS,看跌期权：K-S,4p,4 K利率互换的定价(1)：运用债券组合给利率互换定价(cont.3)符号假定 用 注：互换合约中固定利率债券的价值；%：互换合约中浮动利率债券的价值;:距第i次现金流交换的时间(lil,d lo与此相对，股票看涨期权初始价值为C,在下一期（欧式期权到期日）随着着股票价格上涨或下跌，该期权合约价格也有两种也许,

22、即要么上升至C U,要么下降至c d,作图。二叉树、节点、途径 例8 T 设股票现价6）为$100,3月看涨期权执行价格（K）为$110。在U=1.3和d=0.9状况下，期权价值？解分析：当前股票价格（s）=$100期权价值（c）=?下期股票价格（Su）=$130期权价值(C u)=max(su-k,0)=$20股专价性d)=$9%max(Sd-k,0)=0/I资产当前成本与将来价值资产组合目前的成本或价值（Vo）到 即 I（伤定足3 个月后）的伶侑“T）ST=$100u=1.3)S产$90(d=0.9)买进6 股股票-$100X 5+$130X 8+$90 X 6卖出1份看涨期权+C（未知数

23、）-$20合计C-S100X8$130X 6-$20一$130X 8-$20=$9 0X 8(风险中性假定)8=0.5股票上涨：VT=$130X 0.5-$20=$45股票下跌：VT=$9 0 x 0.5=$4 5依照有效市场假设，在不冒风险状况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。换言之，资产组合在当前价值，是其在到期日价值($4 5)按无风险利率进行贴现后现值。假定无风险利率为1 0%,并且按持续复利进行贴现，那么：V0=$4 5 x e-1 0%x 0-2 5=$4 3.8 94 3.8 9=1 0 0 x 0.5-cC=5 0-4 3.8 9=$6.1 16.1.2单期二项式期权定价

24、模型的通用公式按上分析:股票上涨VT=S6 6-CU股票下跌VT=SdX 6-CdSux -Cu=Sdx -Cd被称为套期保优比率.，它代表无风险资产组合所要求的股票持有量。设无风险利率为r,且dr.保值型资产组合的现值为:(Sux-Cu)e-rt,或者(Sdx 6-C/eE而11前资产成本：Sxb-C：市场均衡时，：拧相等(Sdx 6-Cd)e-rt=Sx 8-C；C=Sx 8-(Sdx-Cd)e-rt;iL二 、it-ciC=e-,Tqxclt+(l-q)cd6 1 3 期权定价与无风险套利均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率资产细合目前的成本或价值（Vo）到期日（假定是3个月后）的

25、价值（VQST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)买进0.5股股票卖出1份看涨期权按无风险利率借入资金-$50+$6.11+$43.89+$65-$20+$45-$4 5i0o口 N/资产组合的价值00o假定价格为$5.00,在期权价格被低估的情况下资产组合目前的成本或价值（Vo）到期日（假定是3个月后）的价值（VQST=$100(u=1.3)ST=$9 0(d=0.9)卖出0.5股股票买进1份看涨期权+$50-$5.00-$65+$20-$450按无风险利率借入资金-$45+$46.14+$46.14资产组合的价值0$1.14$1.14假定价格为$8.00,在期权价格被高估的情

26、况下资产组合目前的成本或价值（Vo）到期日（假定是3个月后）的价值（VQST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)买进0.5股股票-$50+$65+$45卖出1份看涨期权+$8.00-$20 x .r-I I L0按无风险利率借入资金+$42-$43.06-$43.06目”资产组合的价值0$1.9 4$1.9 4l_J 12、N期模型通用公式C =e-rT （l-qy-jm suJdn-J-左,0）n IP=7Tm a x（心 d-,0）J=O/!（/）!er-dq u a3、Black-Scholes 模型于 什,St）=S,（4）-K e-n 双）l o g 斗+（+卜2）（T

27、7）其 中：4=-7=7-o-yfT t6/2 =4 C T yfT.t4、希腊字母及其意义：(1)、=其/为衍生品德价格西意义：度量了基本资产价格波动对衍生品价格影响，因而A是对基本资产价格敏感性度量。(基本资产自身A=l)可以通过资产组合达到A中立状态，即A=0.a2/_(2)一前一版意义：度量了基本资产价格变化对A影响，即度量了衍生品价格与基本资产价格之间凹凸性。若某个时刻基本资产处在=(),当基本资产价格发生变化时资产组合新加权A也 许 不 为0.如果 0,则资产价格上升将使得资产组合 0;(/0)对数效应函数U(卬)=l o g。+w),(w 幕函数效应函数U(w)=,(卬 0,0

28、c l)4、Jen s en不等式：如果U(w)是一种凹函数，J是一种具备有限均值随机变量，则下式成立：E(U(w+U(w)+E()当 E)=0,则 E(U(w+)U(w)5、投资效用函数最惯用投资效用函数：U(wR+0：风险厌恶系数6、风险厌恶度量：Z(u(w+g)U(w)绝对风险厌恶系数：A.=-以或U(w)相对风险厌恶系数：凡,=一也也U(w)7、两风险资产组合E(7?p)=w E(Z?J+(l-w)E(/?fi)cr j =(VWTA)2+(1-W)4、C A P M另一种惯用形式:+四+与(可 忽 略)b；=笈%2 M +(T；(可忽略)5、资产估值：E(R J=E(P )-I 1

29、+E(R)6、CA PM在业绩评估中应用(1)：J e n s e n指数：J=-仍+4比(此)-(越大越好)(2 )T r e y n o r指数：q =勺 土(越 大 越 好)(3 )Sh a rpe指数：=殳3(越高越好)*7、套 利 定 价 模 型(A P T)(1)单因素模型：&=四+济F+j 资产组合收益率：Rp=f叱/+之卬血R”+之叱与/=1 /=1 /=14这 哨/=!b 2(%)=(W 0 2(,)21=1(2)双因素模型：4=q+用6+为 鸟+0E(R芋a+0 2 1.EQ /)生=0 iV/P 5；钠 厂,24中v W m8、套利组合：W i+%+%=0.套利组合是零成

30、本的,W凤+vv,%=0.套利组合没有系统风险叱()+w E(/?)0 套利组合具有正的收益率习题某些资产组合理论:1、如果有A和B两种股票，它们收益是互相独立。股票A收益为1 5%概率是40%,而收益为1 0%概率是60%,股票B收益为3 5%概率是5 0%,而收益为-5%概率也是5 0%。(1)这两种股票盼望收益和原则差分别是多少？它们收益之间协方差是多少？(2)如果5 0%资金投资于股票A,而5 0%资金投资于股票B,问该投资组合盼望收益和原则差分别是多少？答案：(1)股票A盼望收益E(R 3=0.4 x l 5%+0.6 x l 0%=1 2%;股票A原则差c rA=J().4 x(1

31、 5%-1 2%1+0.6*(1 0%-1 2%)2 =0.0 2 4 5。股票B盼望收益(%)=0.5、3 5%+0.5、(-5%)=1 5%;股票B原则差c rf i=J o.5 x (3 5%-1 5%y +0.5 x (-5%-1 5%-=0.2由于股票A和股票B收益是互相独立，因此它们收益之间协方差为0。(2)该投资组合盼望收益E(Rp)=0.5 x E(RA)+0.5 x E(RS)=0.5 x 1 2%+0.5 x 1 5%=1 3.5%,原 则 差/=水0 尸 (_x c r f )2、假设有两种基金：股票基金A,债券基金B,基金收益率之间有关系数为0.05,概率分布如下：A：

32、盼望收益10%原 则 差 20%B：盼 望 收 益 5%原 则 差 10%计算：(1)基金最小方差组合中每种基金投资比例各是多少？(2)最小方差组合盼望收益和原则差是多少？答案：(1)设组合中A 基金投资比例为X,那么B 基金投资比例为1-X 组 合 方 差b p 2=x A 2c r +(B2 1-c r X 2)p B是关于X 一元二次方程，其最小条件是关于X 导数为0。对 X 求导，并使其等于0,得：0.0 9 6 x =0.0 1 8,解得：X=0.1875,l-X=0.8125因此最小方差组合中A 基金投资比例为0.1875,B 基金投资比例为0.8125。(2)最新方差组合盼望收益

33、E(Rp尸XE(RA)+0-x)E(R“)=0.1 8 7 5 x 1 0%+0.8 1 2 5*5%=5.9 3 7 5%原则差b p =+(1-X)2CTB2+2 x(1-X)w=yj0.22-0.1 8 7 52+0.12 (1 -0.1 8 7 5)2+0.1 -0.2 0.1 8 7 5 (1 -0.1 8 7 5)-0.1=0.0 9 1 2C A P M：3、假设国库券利率是4%,市场组合盼望收益率是12%,依照CAPM：(1)画图阐明盼望收益和夕之间关系(2)市场风险溢价是多少？(3)如果一种投资项目4 为 1.5,那么该投资必要回报率是多少？(4)如果一种仅为0.8投资项目可

34、以获得9.8%盼望收益率，那么与否应当投资该项目？(5)如果市场预期一只股票盼望收益率为11.2%,那么该股票仅是多少？粽：(2)市场风险溢价是：12%-4%=8%(3)E(R)=4%+(12%-4%)*1.5=16%(4)该项目必要回报率E(R)=4%+(12%-4%)*0.8=10.4%,而只能获得9.8%盼望收益率，不大于10.4%,因此不应当投资该项目。(5)11.2%=4%+(12%-4%)*夕,解得:夕=0.9。4、假设无风险收益率为6%,市场组合预期收益率为10%,某资产组合B系数等于1.2。依照CAPM计算：(1)该资产组合预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其6

35、=0.8,预期该股票1 年后股价为23元，期间未分派任何钞票股利。请问投资者应当看多还是应当看空该股票？答案:(1)该资产组合预期收益率E(R)=6%+(10%-6%)*1.2=10.8%(2)该股票盼望收益率为E(R)=6%+(10%-6%)*0.8=92%,按照盼望收 益 率 将 一 年 后 股 价 贴 现 到 当 前 得 到 当 前 股 票 价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票现价2021.06,阐明该股票被低估了，因此投资者应当看多该股票。APT：5、考虑一种单因素APT模型，股 票A和股票B盼望收益率分别为15%和18%,无风险利率是6%,股 票B4为1.0。如果不存在

36、套利机会,股票A。应当是多少？答 案:依 照A P T,对于股票B：18%=6%+1.0F,解得：F=12%对于股票 A：15%=6%+/7F=6%+12%夕，解得：夕=0.75。6、考虑一种多因素APT模型，股 票A盼望收益率是17.6%,关于因素12是1.45,关于因素24是0.86。因 素1风险溢价是3.2%,无风险利率是5%,如果不存在套利机会，那么因素2风险溢价是多少？依照 APT,有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2,解得：F2=9.26%因而，因素2 风险溢价是9.26%。7、考虑一种多因素APT模型，假设有两个独立经济因素F 1和 F2,无风险利率是6%,两

37、个充分分散化了组合信息如下：组合相应因素1相应因素2B盼望收益A1.02.019%B2.00.012%如果不存在套利机会，那么因素1 和因素2 风险溢价分别是多少？答案：设因素1 和因素2 风险溢价分别为R 1和 R 2,依照A P T,有:对于组合 A：19%=6%+1.0Rl+2.0R2对于组合 B：12%=6%+2.OR1联立以上两个等式，解得：Rl=3%,R2=5%因而，因 素 1 和因素2 风险溢价分别为3%和 5%。8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型：RA=0.1+0崛 +aRK=0.05+1.1瓦+4=0.2 0-()=0.3 cr()=0.1(1)分别求出两个股票

38、原则差及她们之间协方差。(2)用股票A 和 B 构成一种资产组合，两者所占比重分别为0.4和0.6,求该组合非系统性原则差。答 案：(1 )股票 A 原则差5,=J o.9 2 b M 2+b )2=0.92-0.22+0.32=0.3 4 9 9股票 A 原则差%=4.12+64)2 =V l.l2-0.22+0.12=0.24 1 7股票A和股票B协方差B=COV(RA,&)=C O V(0.1 +0.9&+j,0.0 5+1.1 瓦+%)=C O V(0.嗝,1 .凤)=().9 9 c r,w 2=0.9 9-0.22=0.0 3 9 6(2)组合收益率Rp =0ARA+Q.6RB=0

39、.4(0.1+0.9 W+)+0.6(0.0 5+1.1 R”+sB)组合非系统性原则差4=7 o.42c T()2+0.62o-(ff i)2=V 0.42-0.32+0.62-0.12=0.1 3 4 29、假 设 每 种 证 券 收 益 可 以 写 成 如 下 两 因 素 模 型：凡=(%)+用&+/七，其中：鸟表达第i种证券在时间t收益,”，和鸟,表达市场因素，其数学盼望等于0,协方差等于0。此外，资我市场上有2种证券，每种证券特性如下：证券E (R it)B ilB i211 0%10.521 0%1.50.7 5(1)建立一种涉及证券1和证券2投资组合，但是其收益与市场因素片无关。

40、计算该投资组合盼望收益和贝塔系数6 2。(2)设有一种无风险资产盼望收益等于5%,3 1=0,6 2=0,与否存在套利机会？答案:设组合中证券1投资比例为X,那么证券2投资比例为1-X oRm=XR*l-X)R=X (4)+四 闽+直%+(1-X)画6)+川闽+心心由于其收益与市场因素与无关，因此组合关于贝塔应当为0,即：X 4 u+(1-X)尸21=0X+(l-X)1.5=0解得：X=3,l-X=-2,因此(R“)=3(1 0%)-2(1 0%)=1 0%2=X/?1 2+(1-X)22=3(0.5)-2(0.7 5)=0因此其收益与市场因素耳,和伤都无关。(2)由 于(1)中投资组合收益与市场因素6和七都无关，因此是无风险投资组合，其收益为10%,高于无风险资产5%盼望收益，因此应当借入盼望收益为5%无风险资产，然后投资于(1)中1 0%投资组合。