2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (八).pdf

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1、2021年全国卷I高考理科数学模拟试题8学校:姓名：班级：考号：第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人 得分-一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1.如图，直线产t 与函数/1(x)=l o g3X和 g(x)=l o g3尸1 的图象分别交于点A,B,若函数尸/(X)的图象上存在一点C,使得/%为等边三角形,则t的值为2.已知复数z 满 足 冷 i,其 中 i 是虚数单位，则|z|=3z-2A.：B.C.V 55 5D.3V 5+3D.53.函数/(%)=1+产+詈的部分图象大致为B.4.若集合 4=-3,T,1,3,庐 x|-x-6W0,则力G庐A.-3,-1,1 B.-1

2、,1,3 C.-3 D.35.函数f (%)=21nx+2久一 5的零点个数为A.1 B.2 C.O D.36.从 3 双不同的鞋子中任取3 只，则这3 只鞋子中有2 只可以配成一双的概率是A.2 B.i C.-D.-5 2 5 37.设m,九 是两条不同的直线，见0是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若m 1 a,则B.若?na,n c a,则m 九C 若a r =m,n/a,n/pf 则znnD.若a 1 B,且a C B =m,点4 6 a,直线AB 1 m,则1/?8.执行如图所示的程序框图,若输入n的值是10,则输出S 的值为A.-9 B.-1 C.10 D.209 .已知 a

3、j 是等差数列,团=9,那么使其前项和5,最大的是A.6 B.7 C.C.8 D.910 .椭圆捻+?=l(a 0)与双曲线?一?=1有相同的焦点坐标,则a=A.3 B.V 3 C.5 D.V 511.正三角形协。的内切圆圆心为。，点一为圆0 上任意一点.若m=皿+/碗,则nfrn的取值范围是A.-1,1 B.-i C争 D.-V 2,V 212.已知/6C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,比3,O2B,则48C 外接圆的面积为AA .一27 兀丁 BD.一54 k兀 C厂.81 n丁 Dn .108 兀k7 7 7 7第 II卷(非选择题)请点击修改第I I 卷的文字说明评

4、卷人得分二、填空题(共4 题，每题5 分，共 20分)13.已知函数/Xx)=五+在区间(0,+8)上有最小值4,则 实 数 14.某展室有9个展台，现有3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用1 个展台，3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,且3 件展品所选用的展台之间的间隔不超过2 个展台,则不同的展出方法有 种.15.如图，在四棱锥P AB C D中,用_L 平面AB C D,AB/C D,力仍3 噂,A4国,P A二瓜 D AVAB,点 0 在P B上,且满足P Q Q B=3,则直线与平面必。所 成 角 的 正 弦 值 为.16.已 知 双 曲 线(a 0 0)的 一 条 渐 近

5、 线 与 直 线 厂 5=0 垂直,则双曲线的离心率为.三、解答题(共7 题，共 70分)评卷人得分1 7 .(本 题 1 2分)(本题满分1 4 分)在中，内角4氏。所对的边分别是a,b,c.已知/。方/三一.(I )求 t a n C 的值；(I I)若 的 面 积 为 3,求 6 的值.1 8.(本 题 1 2分)如图，在四棱锥4 4 版 中，底面四口是平行四边形,A g P O&A D,/叱 4 5，点 产 在 底 面 上 的 射 影 恰 好 为 W 的中点E,点尸为/的中点.(1)证明：平面 必L 平面P EF(2)求直线3 与平面胸所成角的正弦值.1 9 .(本 题 1 2分)为了

6、 了解完成某类工程的时间,某公司随机选取了 1 0 个完成这类工程的时间，得到如下数据(单位:天)：1 7,23,1 9,21,22,21,1 9,1 7,22,1 9.(1)若 这 1 0 个数据的平均数为、标 准 差 为。，把工期落在(-。，内的称为标准工期,用样本的频率估计概率,求该类工程在标准工期内完成的概率；(2)现从工期大于20 天的工程中随机抽取2 个做调查,求抽取的2 个工程工期不相同的概率.20 .(本 题 1 2 分)已知椭圆C:,+,=l(a b 0)的离心率为当,且椭圆C过点&,-号),过点(1,0)做两条相互垂直的晶分别与椭圆C交于P,Q,M,N四点.(1)求椭圆C

7、的标准方程；(2)若 麻=的，可=而，探究：直线S T 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21 .(本 题 1 2分)(本题满分1 5分)已知函数/1(x)=e J c o s x,f (x)为/(x)的导函数.(1)求函数g(x)=F (x)-2x 的最小值；(2)若对任意x G R,x f(x)N J+a x?恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、2 3三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22.(本 题 1 0 分)己知P 为半圆吃(。为参数,0 W 9 W)上的点，点 A的坐标为(1,o),0为坐标原点，点 M在射线0

8、P上,线段0M与 C 的弧4 P 的长度均为小(1)以0为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标；(2)求直线A M 的参数方程.23 .(本题1 0 分)设 椭 圆+(a 於0)的左、右焦点分别为凡人，椭圆的上顶点为点a2 匕 z用点A为椭圆C 上一点,且 3 瓦(1)求椭圆。的离心率；(2)若 k1,过点F2的直线交椭圆C 于 M川两点,求线段松 的中点户的轨迹方程.参考答案1.C【解析】由题意得4 8两点的坐标，I力0=1,根据等边三角形的性质求得。点的横坐标，结合A,6两点的纵坐标和中点坐标公式列方程,解方程即可求得t的值.由题意得 At,l og3?),M f,l o

9、g3r-l),AB =.设 C(x,l og3 X),因为 4 8C是等边三角形,所以点C到 直 线 四 的 距 离 为 当 所 以t吟朽吟.根据中点坐标公式可得l og3(t-争 上 喏2 1密曰1密 套 所 以 L曰=高 解 得 片 喑.【备注】无2.B【解析】解法一 由 号i,得14交i(3 2),得l+2 i=(4+3 i)z,所 以 方 粤=拶=；+廿，_3z-2 4+31 5 5 5所以|z|=J(|)2 +()=*解法二 由 沼=i，得1-4*i(3=2),得l+2 i=(4+3 i)z,所 以 北 署,所 以|z|=骋=咚.故选3Z-2 4+31|4+31|5B.【备注】无3.

10、D【解析】无【备注】无4.B【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法和集合的交运算,考查的学科素养是理性思维和数学探索.因为集合於-3,-1,1,3 ,庐 x|-尸6 W 0 =x|-2xW 3 ,所以 4 C1 氏-1,1,3 .故选 B.【备注】无5.A【解析】本题考查函数与方程.由题意得 君=2 1 1 1%+2万一5单增；f /=-3x(l n 4-l)0,所以函数f(x)在区间(1,2)上存在零点；所以/)=2 111万+2%-5的零点个数 为 选A【备注】熟知零点存在定理：若/(a)f(b)0)与双曲线?9=1 有相同的焦点坐标，所 以-3 =4 +2,则 a=3.【备注】无1 1

11、.A【解析】本题主要考查向量的线性运算及坐标表示等，考查的学科素养是理性思维、数学应用和数学探索.如图所示，以园所在直线为x 轴,回的中点。为坐标原点建立平面直角坐标系，设 0(0,1),圆。的方程为 +(尸 1 尸=1,设 P(c os O,1+s i n。)(6 e R),则QP=(c os G,s i n J),又Q A=(0,2),Q C=(V 5,T),所以 皿+协=/(遮,T)+(0,2)=(V 3/,2nni).又丽=麻+颜,所以卜 s 9=四小，解得|：一施3。(，e R),所 以 相 I sin 外 金。s(s i n。=2 n-m|n=-s i n8+p c os 2 2I

12、 2 2 V 3。二 s i n(T,1,故选 A.【备注】无1 2.A【解析】由题意得s i n Osin 2 5=2 s i n B c os 4由 正 弦 定 理 得 2 A o s 4又由余弦定理得c=2b a+cb 将斫2、ZF3 代入，得 c=V 1 5.由 c=2 Z?c os 8 得 c os B=-=.因为2ac2b 6(0,n),所 以 s i n 5=V l-c os2f i =设 外 接 圆 的 半 径 为R、由正弦定理得-二=6 s i nB 2 R,所 以3y,AB C外接圆的面积S=兀/=n(3 1)2=冗.【备注】无1 3.4【解析】本题主要考查基本不等式，考查

13、的核心素养是逻辑推理、数学运算.解法一 当k W O时，函数F(x)=代+在(0,+8)上单调递增，无最值.当k 0时,f(x)=V x +222J 在 方 2%,当且仅当y =强 即 尸 4时，等号成立,则2 V f c=4,得 A=4.解法二 由题意,知 +勺最小值为4,所以(+与 2 的最小值为1 6.又(y+】)2=广+2 攵 2 2y/X X【备注】无&G J J zvp 即 时 等 号 成 立，所以公4.【解析】依题意得,9 个展台来展出3 件展品,每件展品独自占用1 个展台，并且3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有Ag=60 种(注:从6 个空展台所形成的

14、5 个间隔中任选3个间隔将3 件展品进行排列即可)，其中3 件展品所选用的展台之间的间隔超过2个展台的展出方法有2 Am=1 2 种，因此不同的展出方法有60-1 2=4 8种.【备注】无【解析】本题主要考查立体几何中线面角的正弦值的求解,考查考生的空间想象能力.找出线面角是解题的关键.解法一 如图,过点0 作Q U C B 交 于 点 J D AVAB,D C/AB,：；在 R t Z/C 中,AC-ylAD2+C D2=痛.；必_ L平面 AB C D,：.在 R t 必C中,P Oy/P A2+A C2=V T1.取四的中点初连接 C MJ：D(:AB,：.C 归A D,：.在 Rt/C

15、 MB 中,C B=y/C M2+M B2=瓜又/=/2W=1 6,：.P d+B d=P,：.C B 1.K.：Q H/B C,：.Q H LP C .：P ALC B,：.P ALQ H，由可得，碘 平 面P AC,：.N Q G Z 是直线C 0 与平面处C 所成的角.：Q 吟 B 或,H C P C ,：.C Q-y/Q H2+H C2=亨,s in/叩 嘿=甯解法二 以AD,/日 所 在 的 直 线 分 别 为 x,%z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 4(0,0,0),2(0,0,V 6),以半,手,0),8(0,V 1 0.0),设 Q a,b,c),V P Q-P B,：.

16、0(0,尊,乎),2 2 4 4 4可知平面阳。的一个法向量为炉(-1,1,0),又我=(弯,一手,乎)，/c o s 片 嚼=等,故 直 线。与平面必，所成角的正弦值为粤.T*T*If r C I I O I【备注】无1 6.-3【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、基本量之间的关系,考查考生的运算求解能力.直线3 x/y 七=0 的斜率为：，.双曲线的一条渐近线的斜率为3,即上=T，.片43 a 3 3V a2 4-b2=-af/.e-=3 a 3【备注】无1 7.(I )由 4-#=$2 及正弦定理得s in 2 8 T =*in 2 c所以-c o s 2 比s in 2 c.又 由

17、行,即 8 心|兀，得-c o s 2 比s in 2 6 2 s in C eos C 解得 t a n 0=2.(I I)由 t a n C=2,(0,兀)得 s in 白誓，c o s C=*又因为s in 户$行(力士。=51.口仁/。，所以5门 庐当竺.4 10由正弦定理得c=b,又因为/三,1c s in 4=3,所 以b c=&y2,故 6=3.【解析】本题主要考查正弦定理和三角形的面积公式等基础知识,考查考生的运算求解能力.【备注】无1 8.解：设 4)=2,则D C=2y2,所以D Q,D E=也,又/力屐4 5 ,所以 EFyjD F2+D E2-2D F x ),c o

18、s 4 5o=l)所以以2+哥 龙,所 以D FLEF.因为点P在底面/比9 上的射影恰好为切的中点E,所以 皿 平 面AB C D,又 4 代 平 面AB C D,所以P ELAD.因为EF,4u 平面P EF,且EFC P FE,所 以 平 面P EF,又 4 9 c 平面处所以平面必A L 平 面P EF.(2)由(1)知AD LEF,以尸为坐标原点,FA,您所在直线分别为x,y 轴,过点尸且垂直于平面4 式的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,由题意及得/J(2 V 2)2-(V 2)2 =V 6,所以厂(0,0,0),(0,1,0),尸(0,1,巡),7(1,2,0)

19、,8(3,2,0),所以屋=(0,1,0),定=(1,1,一V 6),C B=(2,0,0).设平面上%的法向量为m(x,y,z),则 上”=，即(C 8?n =0,F +爰 黑 =。得产0,取尸 瓜则 孔 所 以 麻(。，倔D 为平面P B C 的一个法向量.设 直 线)与 平 面 破 所 成 的 角 为0,则 s in =|c o s =.|FE|-|m|V7 7故直线跖与平面 破所成角的正弦值为年.【解析】(1)设 4 大2,先根据已知，利用余弦定理求出能再根据勾股定理的逆定理证出D FLEF,然后根据题意得出阳_ 平面AB C D,进而得出P ELAD,最后根据线面、面面垂直的判定定理

20、证出结论；(2)先建立空间直角坐标系,然后分别求出用的方向向量及平面P B C 的一个法向量,最后利用向量的夹角公式求出直线必与平面4 笫所成角的正弦值.【备注】无1 9.解：(1)得(1 7+23+1 9+21+22+21+1 9+1 7+22+1 9)=20,0,y=k(x 1)%+、2=盖，=，所以P Q 的中点T 的坐标为噌鼻，嬴)，同理，M N 中点S 的 坐 标 为 岛,3)，所以心7 =肃 在K.T .K.1 4 4 1(X.)所以直线ST 的方程为y +备=高(X 一 急)，即y =M 篙。一$，所以直线s r 过定点(|,o),Z T l y O O当两直线的斜率分别为0和不

21、存在时，则直线s r 的方程为y =0,也过点(|,0),综上所述，直线S7 过定点G，0).【解析】无【备注】无21.解：(1)由题易知f =e，+s i n x,则 g(x)=e*+s i n x-2x,g (x)=e*+c o s x-2,设厂(x)=g (x)=e*+c o s 2,则尸(x)=e,-s i n x.当 x)0 时，由 e,2l,s i n xWl可知/(x h e -s i n x 0 恒成立，所以R x)在 0,+8)上单调递增，故F(x)2 P(0)=0 恒成立,即g (x)0 恒成立,所以g(x)在 0,+8)上单调递增；当 X0时，由 e*l,c o s x

22、W l,得尸(x)=e,+c o s 尸2 0 恒成立，即 g (x)0 时，不等式 xf(x)x+ax 等价于 e*+a x+c o s x,设 G(x)=eT-%2-SA-CO S x,则 G(x)=e*-2广s i n x-a=ff(x)-a,当 a W l 时，由 可 知 G(x)=g(x)-a g(0)-炉l-a 0在(0,+8)上恒成立，因此6(力单调递增，G(x)G(0)=0,满足题意.当 al 时,G(0)=g(0)-a=l-a (x)-e-2x,则 (x)=e*-2,所以当 x G(0,In 2)时0 (x)O,当 x G(l n 2,+8)时。(牙)0,则当 x 0 时，O

23、(x)m i n=0(l n 2)-2-2In 2 0,A(x)单调递增,A(x)方(0)0,即 e，l,则 G (3 a)=e3*-6 a+s i n 3 a-a 9a2-7 a-l 0,从而存在 x e (0,3 a),使得 C(x i)=0,且 xG(0,x i)时,G (x)0 在(-8,0)上恒成立,因此G(x)单调递增,G(x)G(0)=0,满足题意.当 a l 时,G(0)=l-a 3a-l0,从而存在在e (-2a,0),使得 6 (兹)=0,且当xG(及,0)时,G(x)G(0)=0,不满足题-3.忌.(i i i)当产0时,对任意的a W R 原不等式恒成立.综上可知,a的

24、取值范围为(-8,1 .【解析】本题考查的知识是“会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如/(ax+6)的导数)，“了解函数单调性和导数的关系”.【备注】无2 2.(1)由已知,M点的极角为条且M点的极径等于条故点M的极坐标为(2)M点的直角坐标为G，竽)，A (1,0),故直线A M 的参数方程为6 6(X=l +(/l)t,扁t 为参数.(y =t,【解析】本题主要考查数学选修4-4 中的极坐标和参数方程问题，第(1)问考查了极径、极角、极坐标的概念，第(2)问考查了直线的参数方程的标准形式,通过这两间把整本书的主干知识都作了考查.【备注

25、】无2 3.解：设A(x0,，由题意知8(0 ),1 (-c,0),由 3 瓦得黑;建；=；二;即 4 号号又A(A o,y o)在椭圆C:刍+上，.零+等=得=即椭圆，的离心率为聋.a2 bz a 2 2 由 知,e-.又 b=l,a=lj+c,.,.a=2,二椭 圆 C 的方程为9+放=1.当线段，网 在 x 轴上时,朗V 的中点为坐标原点(0,0).当线段，柄不在入 轴上时，设直线扬V 的方程为x=my+,M i,y i),M x2,y2),将直线楙的方程代入椭圆方程+y=l 中，得(输2)六 2/旷1=0.,点二在椭圆内部，4 0,y i+y -z ,m+2则由+*2=加(力+度)+2

26、=二,，点的坐标(X,力满足A=-,产一号7，消去m得，x+2 六 产 0 (反 0).综上所述，点 P的轨迹方程为+2/-产0.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，以及数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.设/(刈 ，由 3 可得/(-白,代入椭圆方程,即可得出结果；(2)由题设及得出椭圆方程为9+/=1,分别讨论线段柳V 在 x 轴上,线段如不在x 轴上的情况,计算即可得出结果.【备注】【方法归纳】求椭圆捻+*l(a 力0)的离心率的方法：(1)直接求出a,c,求 解 e,已知标准方程或a,c易求时,可利用离心率公式d求解；(2)变用a公式,整体求e,如利用=/证求解；利用公式的变形/=,=二 (点 M 在椭圆上，&凡为两焦点)求解；(4)建立a,“c 的齐次关系式，将 6 用 a,。表示，两边同除以a 或/化 为e的关系式,进而求解.