2021年全国中考数学真题分类汇编：发现、拓展、应用型问题(含解析）.pdf

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1、一、选择题二、填空题三、解答题25.(2021 黔东南)在四边形TWC中，对角线A C 平分4 4。.【探究发现】(1)如 图，若 N 8A =120。，Z A B C=Z A D C =9 0.求证：AD+AB=AC;【拓展迁移】(2)如图，若 N f i AQ =120。，ZABC+ZADC=.猜想他、AD.A C 三条线段的数量关系，并说明理由；若A C =1 0,求四边形A3C。的面积.ADAC=ABAC=ZADC=ZABC=90ZACD=ZACB=3O,AD=-A C,A B -A C.2 2：.AD+AB=AC,（2）AD+AB=AC,理由：过点C 分别作C E J.A D 于 E

2、,C F1.AB.AC平分 Nfi4),CE_L于 E,C F rA B,CF=CE ZABC+ZADC=180。，ZEDC+ZADC=180,:.ZFBC=ZEDC在(?&)和 CfB 中，NCDE=/FBC NE=NCFB,CE=CF:.CFBCED AAS),:.FB=D E,.,.AD+AB=AD+FB+AF=AD-DE+AF=AE+A F，在四边形AFCE中，由(1)题知：AE+AF=AC,.AD+AB=A C，在 RtAACE 中，.AC 平分 NBA。，ZS4D=120,ZZMC=Z/MC=60,又.AC=10.CE=ACsinNZMC=l()sin60=5 6 ,：CF=CE,

3、AD+AB=AC,：.SraHiB4fiCD=CE+|A B-C F=(AD+AB)-C=1AC CE=|xlO x573=2573.27.(2021 盐城)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点尸绕着某定点4 顺时针旋转一定的角度a,能得到一个新的点，经过进一步探究，小明发现，当上述点P 在某函数图象上运动时，点 P 也随之运动，并且点尸的运动轨迹能形成一个新的图形.试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度a的大小来解决相关问题.【初步感知】如 图1,设A(1,1),a=9 0,点P是一次函数)=区+6图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P i(-I,1).(1)点P旋转后，得到的点尸1的

4、坐标为；(2)若点P的运动轨迹经过点P 2 (2,1),求原一次函数的表达式.【深入感悟】如图2,设A(0,0),a=45,点P是反比例函数)=(x 0)的图象上的动点，过点P作二、四象限角平分线的垂线，垂足为何，求 O M P 的面积.【灵活运用】如图3,设A(1,-V 3),a=60,点P是二次函数)=#+2信+7图象上的动点，已知点8(2,0)、C(3,二0),试探究 B C P的面积是否有最小值？若有，解：【初步感知】(1)(1,3)解析：如图 1,V P|(-1,1),A(轴，PA=2,由旋转可得：P Ay轴，Pi A=2,：.P(1,3)；故答案为：(1，3)；(2)；尸2(2,1

5、),由题意得P 2(1，2),V P,(-1,1),P2(1,2)在原一次函数图象上.,.设原一次函数解析式为丫=依+匕，则比与求出该最小值；若没有，请说明理由.x 上0 B C x*A1,1),k解得：分lh=2.原一次函数 解 析 式 为 尸 加|,【深入感悟】设双曲线与二、四象限平分线交于N点，贝IJ：y=-(x o)解 得:三 丁,：.N(-1,1),当xW-1时，作PQ_Lx轴于Q,：ZQAM=ZPOP=45,：.ZPAQ=ZP AN,PMLAM,：.Z P1 *V MA=/PQA=90,i即 SOMP=2；当-l x y=45-ZP OY,：.ZPOH=ZMP O,在PO”和(?M

6、 中，NPHO=Z.0MP乙 POH=乙 MPO,P0=PO,在尸和M 4中，ZPQA=APMA乙 PAQ=A M，AP=AP.P Q A d P MA(A4S),_ c _IW _1 MAOAPQA 2 2J：./P O H A O P M(A4S),.c _c K 1 5AP-MO-S&PHO=2=2综上所述，O M P 的面积为1；【灵活运用】如图4,连接AB,A C,将 8,C 绕点4 逆时针旋转6 0 得)，C ,作 AHLv轴于点H,VA(1,V3),B(2,0),C(3,0),；.OH=BH=l,BC=,：.OA=AB=OB2,.0 4 8 为等边三角形，此时8 与。重合，即 8

7、 (0,0),连接 C O,V ZCAC=NBAB=60,：.Z C A B=Z C A B,在A。和CA3 中，CA=CALCAO=乙 CAB，BA=OA.C AO/C AB(SAS),：.C O=GB=1,Z C OA=NCB4=120,.作 C GJ_y 轴于 G,在 RtZC GO 中，Z C OG=90-ZC B C=30,1 1：.C G=O C =1,；.O G=空，C 此时。C 的函数表达式为：y=V3x,2 2设过P 且 与 夕 C的直线/解析式为)=5/纵+6:SABCP、=S 夕 c p,当直线/与抛物线相切时取最小值，y=y/3x+b则|1?厂，y=尹2+2V3X+7即

8、 i V2+2V3X+7,*,.-X2+V3X+7-b=0,2当=()时，得。=号，设l与y轴交于点T,:SAB C r=S 夕 c p，1S 夕 c P=2 xB TX C G=2 x x 2 =g.26.(2021 赤峰)数学课上，有这样一道探究题.如图，已知 A B C中，A B=A C=m,BC=n,Z B A C=a(0 a180)，点P为平面内不与点A、。重合的任意一点，连 接C P,将线段C P绕点P顺时针旋转”，得线段P Z),连接CQ、A P点、E、F分别为BC、C D的中点，设直线A P与直线E F相交所成的较小角为B，探究旦E的值和0的度数与八、的关系.AP请你参与学习小

9、组的探究过程，并完成以下任务：(1)填空：【问题发现】小明研究了 a=60 时，如 图1,求出了旦2的值和0的度数分别为g 2=,0=；PA PA小红研究了 a=9 0 时，如图2,求出了空的值和0的度数分别为空=,0=；PA PA【类比探究】他们又共同研究了 a=1 2 0 时，如图3,也求出了胃的值和。的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：里=(用含，、的式子表示)；0=(用含a的式子表示).PA(2)求出a=1 2 0 时 黑 的 值 和p的度数.B26.（14 分）。分）EF n o W 而 F p s s 2-哉值汴2分4的慎散，F阳I分】（2）:如图 3.iJ接 AE.

10、PF7AH-AC.EMHC 中森AAE _ *ZC4E-ZHAE义 丁/HAC-U0*NEAC-W/ACH-/ABC-31r于点乩 折痕交AD于点M,连接A M,交 CD于点N.该小组提出一个问题：若此口 ABCD的面积为2 0,边长 A8=5,BC=2限求图中阴影部分(四边形8H N M)的面积.请你思考此问题，直接写出结果.解：结 论：EF=BF.理 由：如 图 I 中，如图，作户交BE于”.图,四边形A3CD是平行四边形，.AO8C,：FH/AD,：.DE/FH/CB,EH DF*：DF=CF,：.=1,:.EH=HB、HB FC：.BEAD,FH/AD,J.FHVEB,；.EF=BF.

11、(2)结 论：AG=BG.理 由：连接CC.图.,3FU是由/8 F C 翻折得到，：.BFCC,FC=FC：DF=FC,：.DF=FC=FC,/.ZCCD=90,：.CCLGD,：.DG/BF,：D F/B G,二四边形DF8G是平行四边形，:.DF=BG,：AB=CD,DF=|CD,；.BG=AB,：.AG=GB.(3)如图3 中，过点。作于J,过点用作于T.图.S 平 行 四 边 形 ABCD=ABDJ、DJ=-y=4,四边形 ABC。是平行四边形，.A)=BC=2V AB/CD,：.AJ=yjAD2-D 2=J(2V5)2-42=2,：ABLAB,DJLAB,：.ZDJB=NJBH=Z

12、DHB=90,.四边形D/8”是矩形，8”=D/=4,；.AH=AB-BH=5-4=1,；ta n A=%=界=2,设 4 T=x,则 M T=2 x,V Z A B M=Z MBA=5 ,：.MT=TB=2 x,：.3 x=5,Ax=j,；.M T=学，：ta n A=ta n A=2,：.NH=2,.1 ,1 0 2 5.SA ABM=5A ABM=2 X5X -y =-y,2 5 1 2 2S 四 边 形BHNM=SA ABM-SA NHA=-y -2 X,X2=-y .2 7.(2 0 2 1扬州)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：一 血线段B C=2,使用作图工具作Z B

13、AC=3 O。，尝试操作后思考：(1)这样的点A唯一吗？(2)点4的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦，学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯二，它在以8c为弦的圆弧上(点8、C除外)，.小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.该弧所在圆的半径长为一；4 8 C面 积 的 最 大 值 为；(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为4 ,请你利用图1证明乙B 4 O 3 0。.(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形A 8 C D的边长AB=2,BC=

14、3,点P在直线C D的左侧，且t an乙D P C=*线段P B长的最小值为 一；若SAPCD=|SAW，则线段P D长为.解：(1)2【解析】设。为圆心，连接8。，CO,：Z B C 4=3 0 ,二48 0 c=6 0,X O B=O C,J.O B C是等边三角形，.O 8=O C=B C=2,即半径为2.百+2【解析】4 8 C以8 c为底边，8 c=2,.,.当点A到B C的距离最大时，4 8 C的面积最大，如图，过点。作8 c的垂线，垂足为,延长E O,交圆于。,；.BE=CE=l,0 0=8 0=2,O E=JBO2-BE2=V 3,D E V 3 +2,tBC 的最大面积为(x

15、 2 x(V 3 +2)=V 3 +2.(2)证明：如图，延长3 4,交圆于点。，连接C D,.点。在圆上，ABD C=ABAC,A B A C=B D C+A A C D,乙BAC 乙BDC,L B A O A B A C,即4 B A C 3 0.心答【解析】如图，当点。在 8c 上，且 P C=决寸，APCD=90,A B=C D=2,A D=B C=3,tanLDPC=为定值，连接P C，设点。为 P。中点，以点。为圆心，步。为半径画圆，当点P在优弧C P O 上时，t a n 4 O P C=g,连接8Q,与圆。交于P，,此时8 产即为8 尸的最小值，过点Q作 Q E L B E,垂

16、足为E,.点。是 PD 中点，.点 E 为 P C 中 点,即 Q E=C D=1,P E-C E=-P C=:,3 Q/.BE=BC-C E=3-4 =-4fB Q=B E2+Q E2=冬PD=V C D2+PC2=2.圆Q的半径为 义|=不BP=BQ-PQ=更?，即B P的最小值为3尹.【解析】A D=3,CD=2,S&PCD=|5A/MD 则器=会J.中A。边上的高=/尸。中 C ）边上的高，即点P到A D的距离和点P到C D的距离相等，则点尸到4Q和 C。的距离相等，即点P在4A OC的平分线匕 如图,过点C作 C FL PD,垂足为凡 PD 平分 A A D C,乙A D P=Z.C

17、DP=45,.C 3 尸为等腰直角三角形，又。=2,.1,C F=D F=5=或，t an 乙 D P C=P F=,PF 3 42 4.（2 0 2 1 嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第7 2 页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形A B C D绕点A顺时针旋转a（0。心9 0。），得到矩形A 8 C Z 7,连结8 D.探 究 1 如 图 1，当 a=9 0。时，点 C恰好在OB延长线上.若A B=1,求 BC的长.探究2 如图2,连结4 7,过点。作。MAC交 3。于点林 探 究 3 在探究2 的条件下，射线0 8 分别交4 c 于点P,定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.线段

18、。M 与。M 相等吗？请说明理由.N（如图3）,发现线段DV,MN,PN存在一解：（1）如 图 1,矩形ABCD绕点A 顺时针旋转90。得到矩形ABCD,.点A,B,。在同一直线上，.AD=AD=BC=x,DC=AB=AB=1,.-.DB=AD-AB=x-1,.4 8A。=4 力=90,/.DC/DA,又.,点。在 的 延 长 线 上，DCB/XADB,D fO _ DrBAD AB ：=?，解得汨=尸产，入 2=三 画（不合题意，舍去）,.3竽（2）DM=DM.证明：如图2,连接。图2 DM/ACf AADM=ADAC,AD=AD,AADC=ADAB=90,DC=AB,/.LACDLDAB(

19、SAS),.乙DAC=(ADB,AADB=/LAD,M./AD,=ADf .Z-ADD=乙ADD,Z.MDDl=LMDD,：.DM=DM(3)关系式为MM=PNON.证明：如图3,连接AM,:DM=DM,AO=A。，AM=AM,2 AD M O ADM(SSS),/./LMAD=MAD,乙AMN=LMAD+乙N D A,乙NAM=LMAD+乙NAP,乙AMN=/_NAM,MN=AN,在NA尸和ND4 中，LANP=L D N A,乙NAP=LNDA,NPA-/NAD,AN D N:.Al=PN.DN,.MN2=PNDN.23.（2021绍兴）问题：如图，在aA8C中，AB=8,A D=5,乙D

20、 A B,4 A 8C的平分线AE,2尸分别与直线CD交于点E,F,求E尸的长.答案：EF=2.探究：（1）把“问题”中的条件%8=8”去掉，其余条件不变.当点E与点F重合时，求AB的长；当点E与点C重合时，求E尸的长.（2）把“问题”中的条件“4B=8,AO=5去掉，其余条件不变，当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时，求党的值.AB解：（1）如图1所示:图 1 四边形是平行四边形，.CD=AB=S,BC=AD=5,AB/CD,乙 DEA=LBAE,AE 平分乙A8,；.乙 DAE=LBAE,/LDEA=Z.DAE,.DEAD=5,同理：BC=CF=5,.点 E 与点 F重合，；.AB=C

21、D=DE+CF=10；如图2所示:图 2 点 E 与点 C 重合，；.DE=DC=5,：CF=BC=5,.点尸与点/）重合，.-.EF=DC=5.（2）分三种情况：如图3所示：图3同（1）得：AD=DE,.点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,An 1；.AD=DE=EF=CF.如图4所示:A图4同(1)得：AD=DE=CF,A n 9.DF=FE=CE,AB 3如图5 所示：图5同(1)得：AD=DE=CF,A D:DF=DC=CE,A=2；AB综上所述，与的值为 或 减 2.AB 3 323.(2021 宁波)【证明体验】(1)如 图 1,A。为A A 8 c的角平分线，/AZ)C=60,

22、点 E 在 AB上，A E=A C.求证：DE平分乙4。&【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下，户为4 8 上一点，连结FC交于点G.若FB=FC,DG=2,C=3,求8。的长.【拓展延伸】(3)如图3,在四边形A8C中，对角线AC平分/5 4。，ZBCA2ZDCA,点 E 在 AC上，NEDC=NABC.若BC=5,CD=2V5,AD=2AE,求 AC 的长.解：(1)证明：如图 1,.AO 平分/BAC,：.ZEADZCAD.：AE=AC,AD=AD,(SAS),：.ZADE=ADC=60.VZBDE=1800-ZADE-ZADC=S0-60-60=60,：.ZBDE=ZADE,.,

23、.OE平分乙408.(2)如图 2,:FB=FC,；.NEBD=NGCD.BD DE:NBDE=NCDG=60,A；.=.CD DGVAEADACAD,/.DE=CD=3.：DG=2,：.BD=7 =y =f.(3)如图3,在 AB上取一点F,A F=A D,连 结 CF.AC 平分/BAD,：.ZFAC=ZDAC.：AC=AC,.AFC ADC(SAS),：.CF=CD,ZFCAZDCA,ZAFC A ADC.Z FCA+Z BCF=Z BCA=2 Z DCA,:.NDCA=N B C F,即 N0CE=N8CE CD CE：ZEDC=Z A B C,即 NEQC=/尸BC,/D C E/B

24、 C F,：.=,ZDEC=ZBFC.BC CF；BC=5,CF=CD=2V5,；.CE=翼=)=4.DC 5V ZAEZ)+ZDEC=180,ZAFC+ZBFC=180,A ZAED=ZAFC=ZADC.AE AD 1 NE4O=NOAC(公共角)，.AADADAC,/.=一，AD AC 24 4 16 AC=2AO,AD=2AE,：.AC=4AE=|C=J x4=23.(2021 江西23题)课本再现(1)在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1 即可证明，其中与4 A 相等的角是;尸图1图2类比迁移(2)如图2,在四边形ABCQ中，4 ABC与乙AOC互余，小明

25、发现四边形ABCC中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合：先作4 C Z)F=4A8C,再过点C 作 CE1OF于点E,连接A E,发现A。，DE,AE之间的数量关系是;方法运用(3)如图3,在四边形ABC。中，连接A C,a BAC=90。，点。是AC。两边垂直平分线的交点，连接OA,LOAC AABC.求证：乙ABC+乙ADC=90；连接B D,如图4,己知能，D C=n,翌=2,求 8。的 长(用 含 机，的式子表示).图3图4解：(1)A DC A(2)ADDErAE2【解析】如图2中,AADC+AABC=90,Z CDE=/LABC,：./LADE=LADC+Z.CDE=90,.-

26、.A D D A E1.(3)1证明：如图3中，连接OC,作ADC的外接圆。.C图3v点O是 ACQ两边垂直平分线的交点 点。是 AOC 的外心，AAOC=2AADC,/OA=OC,/.Z.OAC=Z.OCA,/LAOC+Z.OAC+Z.OCA=180,Z OAC=LABC./.2 ADC+2LABC=180,AADC+AABC=90,如图4中，在射线DC的下方作乙CDT=4 ABC,过点C作CT1DT于T.兴7图4 Z CTD=Z.CAB=90,A CDT=A ABC,：.CTDs CAB.Z DCT=AACB.=,C B C AADCB=ATCAC T C AXDCBs TCA,华=詈，A

27、B.尢=2，AC:BC:BC=CT:DT:CD=1:2:V5,BD=可7,LADT=AADC+ACDT Z.AOC+乙ABC=90,OT=-nAD=m,/.AT=yjAD2 4-DT2=Jm2+(n)2=Jm2+n2,BD=V5m2+4n2.27.(2021连云港)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动(1)ZXABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1,小亮以BE为边作等边三角形BEF,如 图1.求C F的长;图1c(2)ZX4BC是边长为3的等边三角形,E是边4 c上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形8 E F,如图2.在点E从点C到点A的运动过程中，求点尸所经过

28、的路径长;(3)/XABC是边长为3的等边三角形,M是高CO上的一个动点，小亮以8例为边作 等 边 三 角 形 如图3.在点M从点C到点D的运动过程中,求点N所经过的路径长;图4(4)正方形ABCQ的边长为3,E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH,其中点F、G都在直线A E上，如图4.当点E到达点B时，点A G、与点B重合.则点H所 经 过 的 路 径 长 为,点G所 经 过 的 路 径 长 为.解：(I)如图，(?和8E尸是等边三角形，；.BA=BC,BE=BF,4ABe=/=60,：.LABE+乙 CBE=ACBF+乙 CBE,LABE=A

29、CBF,A LA B E LC B F(.SAS),CF=AE=I；(2)如图2,连接CF,图2由(1)/XABECBF,：.C F A E,乙BCF=LBA E=60,/LA B C=60,:.乙BCF=LABC,CF/AB,又点E在点C处时，C F=A C,点E在A处时，点尸与点C重合.点F运动的路径长=AC=3.(3)如图3,取BC的中点，连接图3；.BH=BC,:-.CD1AB,/.BD=AB,BH=BD,ABC 和8M N是等边三角形，:.BM=BN,AABC AMBN=60,/.乙DBM+乙M B H=乙HBN+乙M B H,乙DBM=Z.HBN,，LD B M LH B N (S

30、AS),H N=D M,乙 BHN=LBDM=90,:.NH1.BC,又点M在C处时，N=C/)=手，点 例 在。处时，点N与点”重合.点N所经过的路径的长=。=)平4兀【解析】如图，连接AC,B D,相交于点O,取 A 8的中点M,8 c 的中点N,连接MF,NH,.-.MF=BM=BN=AB点F的运动轨迹为以点M为圆心，B M长为半径的圆上；乙ABC=乙 尸 84=90,L A B C -乙F B C=L F B H -Z.FBC,即 L A B F=Z.CBH,M B 0 N B H (SAS),N H=M F=B M=BN,.点，在以点N 为圆心，8N长为半径的圆上；.当点E 在 8

31、处时，点 凡B,”重合，点 G 和点3 重合；当点E 在点C 处时，点 F 和点。重合，点 G 与点C 重合；.点G 在以点。为圆心，0 8 长为半径的圆上；点H所 经 过 的 路 径 长=三 等=；点G所 经 过 的 路 径 长=鲁等=乎 不360 4 360 4故答案为：，n-27.(2021甘肃省卷27题)问题解决：如 图 1,在矩形A8C。中，点 E,尸分别在AB,BC边上，DE=AF,D E L A F于点G.(1)求证：四边形ABCQ是正方形；(2)延长CB到点”，使得判断 斗“尸的形状，并说明理由.类比迁移：如图2,在菱形ABC。中，点 E,尸分别在A8,BC边上，DE与 A尸相

32、交于点G,DE=AF,A A E D=60。，AE=6,B F=2,求。E 的长.解：(1)证明：.四边形A8CD是矩形，ADAB=AB=90 ,：D E 1AF,A ZDAB=ZAGD=90,ABAF+LDAF=90 ,ADE+ADAF=90 ,乙A D E=/LBAF,DE=AF,.尸(AAS),.AD=AB,.四边形A8C7)是矩形，.四边形ABC。是正方形.(2)/1/是等腰三角形，理由：四边形ABC。是矩形，乙 O 48=4A8”=90。，AB=DA,B H=A E,.DA心 ABH(SAS),；.AH=DE,:DE=AF,.A=A尸，.A”尸是等腰三角形.(3)延长CB到点从 使

33、3=A：=6,连接A”,.四边形ABCQ是菱形，:.AD“BCAB=AD、乙 ABH=LBAD,BH=AE,ZM E/XABH(SAS),1 A H=D E,乙AHB=LDEA=60,DE=AF,：.AH=AF,A”/7是等边三角形，AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,/.DE=AH=8.24.（2021自贡）函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.请结合已有的学习经验，画出函数）=-悬 的 图象，并探究其性质.列表如下：（1）直接写出表中心 人 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;X-

34、4-3-2-101234y852413a850b-2_ 2413_ 85（2）观察函数）=-急 的 图象，判断下列关于该函数性质的命题：当-2人 2 时，函数图象关于直线y=x 对称；x=2 时，函数有最小值，最小值为-2；时，函数），的值随x 的增大而减小.其 中 正 确 的 是.（请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式名x的解集解：（1）把 X=-2 代 入 丫=一 条 得，y=-兰=2,把 x=l 代 入 丫=一 黑 得，y=-=85,=2,。=一|,函数产一言的图象如图所示:（2）（2【解析】观察函数）=一 高 的 图 象，当-2 S W 2时，函数图象关于直线y=

35、x对称；正确；x=2时，函数有最小值，最小值为-2：正确；-I V x V l时，函数y的值随x的增大而减小，正确.故答案为；（3）x 0【解析】由图象可知，不 等 式 光、的解集为x 0.2 5.（2 0 2 1 安顺、贵阳）（1）阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作 周髀算经中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.根 据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图是古代的一种证明方法：过正方形A C Q E的中心。，作F G L/P,将它分成4份，所分成的四部分和以B C

36、为边的正方形恰好能拼成以4 B为边的正方形.若A C=1 2,B C=5,求E尸的值；（3）拓展探究如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值，小正方形A,B,C,。的边长分别为 a,b,c,d.已知N l =N 2=N 3 =a,当 角a（0 a 中，N A C B=/O C E=9（T,BC=AC,E C=D C,点 E 在ABC 内部，直线4。与 BE于点r线段4尸，BF,CB之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2）,当点。，尸重合时，直接写出一个等式，表

37、示AF,BF,C F之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1）,当点 ,F 不重合时，证 明（1）中的结论仍然成立.问题拓展如 图（3）,在ABC 和DEC 中，ZACB=ZDCE=90,BC=kAC,EC=kDC（k 是常数），点 E 在 AABC内部，直线A。与 BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.(1)(2)(3)解：(1)如 图(2),V ZACD+ZACE=90,ZACE+ZBCE=90a,；.NBCE=NACD.:BC=AC,EC=DC,：.A C D A B C E (SAS),：.BE=AD=AF,NEBC=NCAD,故CE为等腰直角三角

38、形，故 D E=EF=yiC F,则 8F=Bn=8E+EO=A F+&CF,Q P BF-AF=2CF.(2)如 图(1),由(1)知，4C丝ZX8CE(SAS),:.NCAF=NCBE,BE=AF.(1)过点C 作CGLCF交BF于点G,V ZFCE+ZECG=90,NECG+NGCB=90,；.NACF=NGCB.：ZCAFZCBE,BC=AC,：./BCG/ACF(.AAS),：.GC=FC,BG=AF,故GCF 为等腰直角三角形，则 GF=V2CF,则 BF=BG+GF=AF+&CF,即 BF-AF=y2CF.BC EC(3)由(2)知，ZBCE=ZACD,ffi BC=kAC,EC

39、=kDC,即 一=k,AC CD:ABCEs/CAD,：.ZCAD=ZCBE.过点C 作CGLCF交BF于点G,(3)由(2)知，NBCG=NACF,：.4B G C s丛AFC,：.=k=一，则 BG=fc4F,GC=kFC.AF AC CF在 RtACGF 中，GF=y/GC2+FC2=V(/cFC)2+FC2=Vkz+1-FC,则 BF=BG+GF=kAF+V/c2+1 F C,即 BF-kAF=V/c2+1TC.24.(2021 达州)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:B图1D图2【现察与猜想】)(1)如图1,在正方形ABC。中，点尸分别是A8,

40、AO上的两点，连接CF,D ELCF,则丁的值CF为(2)如图2,在矩形4 8 C D中，AD=1,C =4,点E是A D上的一点，连接C E,B D,且C E J _ B O,则一 的BD值 为 一；【类比探究】(3)如图3,在四边形A B C Z)中，乙4=N B=9 0 ,点E为A B上一点，连接O E,过 点C作OE的垂线交E D的延长线于点G,交AO的延长线于点F,求证：D E AB=CFAD-,c c图3图4【拓展延伸】(4)如图 4,在 R t Z A 8 C 中，N B A O=9 0 ,AD=9,处得A C B D,点E,尸分别在边A 8,A Dk,连接。E,求 等 的值；连

41、接B凡 若A E=1,直接写出8尸的长度.解：(1)1【解析】如 图1，设。E与C F交于点G,匚B-V*图1,四边形 A B C O 是正方形，：.Z A=Z FD C=9 0o,AD1t a nZA D B=1,将4 8。沿8。翻折，点4落在点CC F,D E L CF.=CD,【解析】如图2,设。8与C E交于点G,V D E 1 C F,A Z D GF=9 0Q,Z-A=在和O F C 中，/C F DAD =D E，D E=CF,：.=1.CF：.Z AD E+Z CFD=9 0Q,Z AD E Z AE D=9 0,：.Z CFD=Z AE D,乙FD C=Z.AE D.；A E

42、 O g A D F Q A A S),CD图2 四边形A3CO是矩形，：.ZA =ZEDC=9Q.VCE1BD,；NDGC=90,：.ZCDG+ZECD=90,NADB+NCDG=90,ZECD=ZADB,CE DC 4 ZCDE=ZA,:.D E C sA B D,：.=BD AD 7(3)证明：如图3,过点。作_LAb交4尸的延长线于点“，图3VCGG,NG=N”=NA=N8=90,四边形 ABC为矩形，:AB=CH,/FCH+/CFH=/DFG+/FDG=9U,:.NCFH=/DFG=/ADE,NA=N=90,DE AD DE AD:.DEAs/CFH,:.=,J =,：.DE*AB=

43、CFD；CF CH CF AB(4)如图4,过点C作CGL4D于点G,连接AC交BO于点H,CG与OE相交于点O,VCF1DE,ZBAD=90,NFCG+NCFG=NCFG+/ADE=90,DE AD：.ZFCG=ZADE,ZBAD=ZCFG=90,：./DEAA,.一=一.DE AEDE 5 3 9 3 6又:=一,AE=L:.F G=3：.AF=AG-F G=l-=l，CF 3 b bob:.BF=JAB2+AF2=J32+(1)2=|V 29.23.(2021 资阳)已知，在ABC 中，ZBAC=90,AB=AC.(1)如 图 1,已知点。在 BC边上，ZDAE=90,A D=A E,连

44、结C E.试探究BD 与 C E的关系；(2)如图 2,已知点。在 3C 下方，ND4E=90,A D=A E,连结 CE.BDLAD,AB=24 U,CE=2,AO交 BC于点/，求 A F的长；(3)如图 3,已知点。在 BC 下方，连结 AO、BD、C D.若/C 8D=30,ZBAD 15,AB2=6,AD2=4+V 3,求 sin/B C。的值.解：(1)V ZEAC+ZCAD=ZEAD=90,ZBAD+ZDAC=90r，,ZBAD=ZCAE,：AB=AC,AD=AE,.,.BADACAE(SAS),/.ZACE=ZABD=45Q,BD=CE,：.ZBCE=ZACB+ZACE=45+

45、45=90,.*.8。=虑 且 80_1。(2)延长BD 和 CE交于点、H,B、EV /丁 /H图2由（1）知 BO_LCE,即 N4=90,C E=B D=2,而NAW=90,NDAE=9Q,故四边形AOHE为矩形，而故四边形4DHE为正方形，在 RtZACE 中，AE=y/AC2-CE2=lAB2-CE2=J（2V10）2-22=6=DH=EH=AD,则 B”=BZ）+H=2+6=8,CH=HE-CE=6-2=4,fU A I 1在 RtZXBCH 中，tanZCBH=在 RtZ8DF41,DF=BDtanZCBH=2x=1,故 AF=AD-DF=6-I=5.（3）作ND4E=90,使

46、AZ）=A E,连 结 C E,延长EC和 8 0 交 于 点 儿 连 接 DE,由（I）BD=CE且B D LC E,即/”=90,由作图知，4E为等腰直角三角形，设 CE=B=x,在 RtZiBC 中，NHBC=30,BC=0 A B=6显=2 6贝|JCH=*8C,M=BCcos300=3,则-x=3-x,EH=CH+CE=x+V3,则。产=2402=。序+E42,g|j（3-x）2+（7 3+x）2=2X（4+V3）,解得x=2-（舍去）或 1,即 8=x=l.过点D 作 DNLBC 丁点、N,在 RtZkBCD 中，ZCBD=30,BC=2百，BD=1,W J ND=BD=BN=BD

47、cos30=苧,Z Z 4贝 ij C N=C 8-8 N=2 V 5-,=竽，贝 ij 1311/80）=熬=击，贝 U sin/BC=23.(2021 随州)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3 和 4,则该直角三角形斜边上的高的长为，其内切圆的半径长 为；（2）如图1,P是边长为a的正A A B C内任意一点，点0为/A

48、BC的中心，设 点P至I J4 A8C各边距离分别为历，hi，h3,连接AP,BP,C P,由等面积法，易知土（历+/?2+3）=S”B C=3SAC M B，可得加+彷+力3=;（结果用含a的式子表示）图1图2如图2,是边长为的正五边形AB C C E内任意一点，设点P到五边形AB C D E各边距离分别为/n，h2,h-3,4 4，加，参照的探索过程,试用含a的式子表示/7i+2+3+%+5的值.（参考数据：t a n 36 58t a n 5 4（3）如图3,已知。的半径为2,点A为。外一点，0 4=4,A B切。0于点B,弦B C 0 A,连接AC,则图中阴影部分的面积为；（结果保留n

49、）如 图4,现有六边形花坛A B C D E F,由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形A B C D G,其中点G在4尸的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由：.AB=V 32+42=5,设斜边上高为人，山等面积法可知：AC-BC=hAB,设其内切圆半径为r,利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得SABC=s MCO+S dBCO+S，即 3X4+2=ACT+BCT+ABT,1 19 19即丁（AC +B C +4 8）=6,-=A C+BC+AB=3+4+5=i-_V3 1 A/3 V3 O（2）一Q【解析】由已知中图可知，

50、8 c 的面积为-a 一a=2 2 2 4山等面积法，易知V（加+介2+3）=SfABC=苧 M,解得h+也+3=等Q.1【解析】类 比 中 方 法 可 知(+%2+力 3+4+5)=S 6边 形 A8CDE，设点。为正五边形A3C花的中心，连接04,0 B,如图2,易知S 五 边 形ASCOE=5S4OA5.过。作 0QJL48 于点 0,Z A B=1 x l8 0 x(5-2)=1 0 8 ,故/。4。=54,OQ=4Q tan54=|atan 5 4,1 11.5 55故一Q(加+。2+3+04+力 5)=5x x a ta n 5 4,从而得至ij Zn+力 2+例+4+入 5=5a