2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题真题（含答案与解析）.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用25铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角”条形码粘贴处2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答

2、无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合4 =司2%4 ,3 =2,3,4,5 ,则AD8=（）A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4 2 .已知 z=2-i，则 z（，+i）=（）A.6-2 i B.4-2 i C.6+2 i D.4+2 i3 .已知圆锥的底面半径为 血，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线 长 为（）A.2 B.2 7 2 C.4 D.4 7 24.下列区间中，函数/（x）=7 s in（x-单调递增的区间是（）1

3、A.D B.加2 25.已知片，鸟 是椭圆c：=1的两个焦点,c 樗）D.争,点”在。上，贝耳卜|加马的最大值为（）A.13B.12C.9D.6A.eh a B.e b6.若 颂 8 =_2,则 型 丝 土 型 L()s in 6 +c os 6A6 2-B.-C5 52-5D?7.若过点（。力）可以作曲线y=e 的两条切线，则（)C.0aebD.0bea8 .有 6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是1，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球

4、的数字之和是7 ，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9 .有一组样本数据再，/，x ,由这组数据得到新样本数据必，内，K，其中“=%+?（7 =1,2,）,c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点（c os a,s in a）,g（c os p,-s in 月），门（c o

5、s（e+/7）,s in（e +夕），A（1,0）,则（）A|西|=|困 B.|玛=|呵C.就而3=函配 D.丽西=西 西11.已知点在圆（%5）2+（丁5）2=1 6 上，点4（4,0）、8（0,2）,则（）A.点尸到直线AB的距离小于10B.点尸到直线AB的距离大于2C.当 N P B A 最小时，|P =30D.当 NP 3 A 最大时，|P =3 j，12.在正三棱柱A B C 中，A B =A 4,=1,点 尸 满 足 丽=彳 配+4瓯，其中则（）A.当4 =1时，4 8 7的周长为定值B.当=1时，三棱锥P 43C的体积为定值C.当4=g时，有且仅有一个点P,使得A/_ L 8 P

6、D.当=g时，有且仅有一个点P,使得4 8 _ L平面A 4 P三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.已知函数/（同=3,.2 -2 7）是偶函数，则。=.1 4.已知。为坐标原点，抛物线C：y 2=2 p x（0）焦点为尸，P为C上一点，P/与 轴垂直，Q为x轴上一点，且P QLO P,若印。|=6,则C的 准 线 方 程 为.1 5.函数/（x）=|2 x-1|一 2 I n x的 最 小 值 为.1 6.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为2 0 d m x 1 2 d m的长方形纸，对 折1次共可以得到1 0 d m x

7、l 2 d m,2 0 d m x6d m两种规格的图形，它们的面积之和S,=2 40 d m2,对折2次共可以得到5d m x 1 2 d m,l Od m x6d m,2（）d m x 3 d m三种规格的图形，它们的面积之和S2=1 8 0 d m 2,以此类推，则对折4次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图 形 的 种 数 为；如果对折次,那么=d m2.k=四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .已知数列“满足4=1,湍 记bn=a2 n,写出4,h2,并求数列也 的通项公式；（2）求 ,的前2 0项和.1 8 .某学校组织“一带

8、一路”知识竞赛，有4,8两类问题，每位参加比赛同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得2 0分，否则得。分；B类问题中的每个问题回答正确得8 0分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.1 9.记AABC是内角A,B,C的

9、对 边 分 别 为h,c.已知=”。，点。在边AC上，5 D s i n Z ABC-asinC-(1)证明：BD=b；(2)若 A D =2 )C,求c o s ZA BC.2 0 .如图，在三棱锥AB C D中，平面AB D,平面BCD,AB AD,。为B O的中点.(1)证明：OA1CD；(2)若A O a D是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，DE=2 E A，且二面角B C。的大小为45,求三棱锥AB C D的体积.2 1.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 点 川-J万,0)、鸟(J万用一网玛=2,点 四 的 轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=上，过T

10、两条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点，且2 TA -|7 B|=|阴 TQ ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.2 2 .已知函数/(x)=x(l-l n x).(1)讨论/(x)的单调性；(2)设a,b为两个不相等的正数，S.b na-alnb=a-b,证明：2 L +0 e.a b2021年普通高等学校招生全国统一考试数学答案与解析本试卷共4 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用25铅笔将试卷类型G4)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角”条形码粘贴处2.作答选择题时，选出

11、每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合4 =性|一2%4 ,3 =2,3,4,5 ,则4n8=()A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4【

12、答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求【详解】由题设有ACB=2,3,故选：B .2 .已知z =2 i,则z(z+i)=()A.6-2 i B.4-2 i C.6 +2 i D.4+2 i【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法和共辗复数的定义可求得结果.【详解】因为z =2 i,故 =2 +i，故z+i）=（2 i）（2 +2 i）=4+4 2 i-2=6 +2 i故选：c.3 .已知圆锥的底面半径为 山，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2 B.2垃 C.4 D.4 7 2【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即

13、为所求.【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则/=2 x a，解得1 =26.故选：B.4.下列区间中，函数/(x)=7 si n x-外单调递增的区间是()【答案】A【解析】【分析】解不等式2 b r 1 x 2 Z+g(k e Z),利用赋值法可得出结论.2 6 2 71 71/【详解】因为函数=5皿的单调递增区间为2人7一5,2人+5 (Ae Z),对于函数/(x)=7 si n,由2左 万 一x一2左左e Z),jr2 4解得2%一至 x 2k兀+y(k G Z),取 =0,故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin

14、(3x+g)形式，再求y=Asin(a)x+8)的单调区间，只需把5 看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把0化为正数.2 25.已知%工是椭圆C：5+?=1的两个焦点，点加 在。上，则|皿 讣 四 国 的 最 大 值 为()A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【分 析】本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 至I 制+|M段=2a=6,借 助 基 本 不 等 式MF-MF2 _ 4-2sin2 +c os2 6 1 +t a n2 6 1 +4故选：c.【点睛】易错点睛：本题如果利用t a n。=一2,过齐次化处理，可以避开了这一讨论.7.若过点(。

15、力)可以作曲线y =e的两条切线，A.eh aC.0ae/,2.5求出sindc os。的值，可能还需要分象限讨论其正负，通则()B.ef l bD.0 b e【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线丁=6*的图象，根 据 直 观 即 可 判 定 点 方)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线y =e*上任取一点尸。/),对函数y =e求导得y =e所以，曲线y =e 在点P处的切线方程为y e=e(x f),即y =dx+(l,由题意可知，点(a,。)在直线y =dx+(l-f)d上

16、，可得6=公?=(a +l-r)d,令/(，)=(a +l_ f)d，则 ft=a-te.当f 0,此时函数。单调递增，当/a时，r(r)0,此时函数/)单调递减，所以，皿=/(。)=巴由题意可知，直线y =b与曲线y =/(f)的图象有两个交点，则8/(皿=/，当r(),当f a+l时，。(),作出函数/的图象如下图所示:由图可知，当08e时，直线y=b与曲线y=/(f)的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=e”的图象如图所示，根据直观即可判定点(。,0)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0b(y)=D(x)+D(c)=O(x),故方差相同，正确;D：由极差的定

17、义知：若第一组的极差为4m-4何，则第二组的极差为V m a x -W i n =(/a x +C)-m i n +一 /i n，故极差相同，正确;故选：C D1 0.已知 O 为坐标原点，点 6(c o s a,s i n a),g(c o s P，-s i n ，(c o s (4 ,所以，点P到 直 线 的 距 离 的 最 小 值 为L电 一4 2,最大值为L 3+4 0)的焦点为F,P为。上一点，P尸与X轴垂直，。为X轴上一点，且PQL O P,若忻。1=6,则C的准线方程为3【答案】%=-2【解析】【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果.【详解】抛

18、物线C：y1 2=2px(P 0)的焦点1 2当一x 4 1 时，/(x)=2 x-l-2 1 n x,有/(x)=2-0,.,.p=3 f3所以。的准线方程为了二一一23故答案为：x=.2【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.1 5.函数/(x)=|2 x-l|-2 1 n x的 最 小 值 为.【答案】1【解析】【分析】由解析式知f(x)定义域为(0,+8),讨论0 x4、-x ,并结合导数研究的单调2 2性，即可求f(x)最小值.【详解】由题设知：/(x)=|2 x 1|2 1 n x定义域为(0,+8),.当0 1时，f(x)=2 x-X-2 n x,有(幻=2-0,此时/(x

19、)单调递增；x又一(X)在各分段的界点处连续，.综上有：0 1时，F(x)单调递增;/(x)/(l)=l故答案为：1.1 6.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为2 0d m x 1 2 d m的长方形纸，对 折1次共可以得到lOd m x l2 d m,2 0d m x 6 d m两种规格的图形，它们的面积之和5)=2 4 0d m2,对折2次共可以得到5 d m x l2 d m,lOd m x 6 d m,2()d m x 3d m三种规格的图形，它们的面积之和5 2=1 8()d m:以此类推，则对折4次 共 可 以 得 到 不 同 规 格 图

20、 形 的 种 数 为；如果对折次,那么 “=d m2.4=1r,_ 1 5(3+)【答案】(1).5 (2).7 2 0T-22-4【解析】【分析】(1)按对折列举即可；(2)根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.【详解】(1)由对折2次共可以得到5 d m x 1 2 d m,1 O d m x 6 d m,2 0d m x 3d m三种规格的图形，所以对5 3着三次的结果有：x l2,5 x 6,1 0 x 3；2 0 x 1,共4种不同规格(单位d n?)；5 5 3 3故对折4次可得到如下规格：-x l2,x 6,5 x 3,1 0 x-,2 0 x二，共5种不同规格；4 2 2

21、4(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为万 的等比数列，首项为1 2 0(d m 2),第次对折后的图形面积为1 2 0 x(5),对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根 据(1)的过程和结论，猜想为+1种(证明从略)，故得猜想S”=2-i120 x 2 120 x 3 120 x 4 t 120(+1)设 1=-+-+-+1 +,n l则 一1 So =120：x 2 +120 x 3 +1-20-+1-20(-n+l)-,2 2 22 2 2两式作差得:120（+1）2120（+1）-2二 360 一耳型剋=3602。（+3）

22、,2T 2 T_.240（+3）15（+3）因此，5=7 20-=7 2022T15（+3）故答案为：5；7 202”4【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法:（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于 白 结构，其中 ,是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于 4+4 结构，利用分组求和法；1 1 11,11、（4）对于-卜结构，其中 4 是等差数列，公差为（/（）,则-=-,利用裂川。（凡 +1）项相消法求和.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 4 满足q =1,an+i%+1,”为奇数,q+2,为偶数.记

23、 勿=2,写出自，b2,并求数列也 通项公式;（2）求 4 的前20项和.【答案】（1）4=2也=5；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得”=包+3,从而可求%的通项.（2）根据题设中的递推关系可得 q的前20项和为邑。可化为S20=2（4+与+4 +九）-1 0,利用（1）的结果可求$20.【详解】（I）由题设可得=2=+1=2,4=。4=%+1=。2+2+1 =5又 a2k+2=a2k+1，a2k+=。2k+2,（k W N）故2 2=。2*+3，即勿讨=勿+3,即用一二3所以 为等差数列，故2 =2+（1）X3=31.（2）设%的前 20 项和为 S20,则 20

24、=+。2+。3 -a2 0 9因为q=a2-l,a3=%一1，9=a2o所以$20=2（4 +。4+18+%）-1。=2 ei+4+.+%+4o）lO=2x（lOx2+x 3）lO=3OO.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A,8 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个

25、问题回答正确得20分，否则得0 分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0 分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答8 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B类.【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）与（1）类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.p

26、（x=（）=1（）.8=0.2；P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；P（X=100）=0.8x0.6=0.48.所以X的分布列为X02 01 0 0p0.20.3 20.4 8(2)由(1)知，E(X)=Ox0.2+2 0 x0.3 2+1 0 0 x0.4 8 =5 4.4.若小明先回答5问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为o,8 0,1 0 0.p(y=0)=l-0.6 =0.4；p(Y =8 0)=0.6(1 -0.8)=0.1 2 ；P(X =1 0 0)=0.8 x0.6 =0.4 8.所以 ()=0 x0.4+8 0 x0.1 2+1 0 0 x0.4 8

27、=5 7.6.因 5 4.4 1不合题意；当乌 =?时，cosZ4fiC=；b2 3 6 b-2 127综上，cos/ABC=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及4 右=4一得到a,b,c的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ZABC.2 0.如图，在三棱锥A B C D 中，平面平面8C,A B =A D，。为 8 0 的中点.(1)证明：0 A 1 C D；(2)若 O CD 是边长为1的等边三角形，点 E 在棱A。上，D E =2 E A，且二面角E-8 C 。的大小为4 5 ,求三棱锥4 B C D 的体积.【答案】(1)详见解析(2)立6【解析】【分析】(1)根据面面垂

28、直性质定理得AOL平面B C D,即可证得结果；(2)先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】(1)因为AB=AD,O为 BD中点，所以AOJ_BD因为平面ABDfl平面BCD=B),平面ABD_L平面BCD,A O u 平面ABD,因此A O,平 面 BCD,因为CD U 平 面 B C D,所以AOLCD(2)作 EF1BD 于 F,作 FM J_BC 于 M,连 FM因为 AO J_平面 B C D,所以 AOJ_BD,AO_LCD所以 EF_LBD,EF_LCD,8 cC D =O,因此 EFJ_平面 B C D,即 EF_LBC因为 FM_LBC,EM I 上尸

29、=尸,所以 BC_L平面 EFM,g|J BC1METT则Z E M F为二面角E-BC-D的平面角，N E M F =-4因为BO=OD,AOCD为正三角形，所以ABCD为直角三角形因为 D E=2 E 4,根=g B/=g (1+：)=g2从而 EF=FM=-二.AO=i3Q A O _ L平面 B C D,所以 V=-A O SXI!(:D=-xl x l x l x V 3=3 3 2 6BC【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.2 1.在平面直角坐标系尤0 y中，已 知 点 网-J万,0）、鸟（J万,0），眼用一|加入|=2,点w的轨迹为C.（1

30、）求C的方程；（2）设点在直线8=上，过T的两条直线分别交。于A、3两点和P,。两点，且2 T-TB =TP -TQ ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.2【答案】（1）=（2）0.1 6 【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹。是以点、名 为左、右焦点双曲线的右支，求出。、力的值，即可得出轨迹C的方程；（2）设点设直线AB的 方 程 为=设点A（%,y）、8（&,%），联立直线AB与曲线C的方程，列出韦达定理，求出|力4卜|的表达式，设直线P Q的斜率为质,同理可得出17 PH T Q|的表达式，由|冽|用=|川|丁。|化简可得&+h的值.【详解】因为|町|一|此|=20,6 0

31、）,则2a =2,可得。=1,h=yl 7-a2=4a h2所以，轨迹。的方程为=16 1)(2)设点若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点,不妨直线AB的 方 程 为=,联立)_ /+/消去y并 整理可得俯_16)陛+勺 一16 x2-/=162I +16 =0,设点 A(X，y)、fi(x2,y2),则玉；且/；由韦达定理可得 +%=+2-,K,一10 二+16k；16所以，I研附=(1+#八 一 /=(1+将储用一审+;)=(+;)(1;幻乙 乙 乙 Q10设直线P。的斜率为&，同理可得|7尸 卜|丁。|(*+12)(1+印16因 为 网 即研网即可臀二5 譬1,整理可

32、得 奸=心，即(4一的)(4+自)=，显然%A2 H 0，故 1+&=。.因此，直线A8与直线P。的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22.已知函数/(x)=x(l-l n x).(1)讨论“X)的单调性；设。，b为两个不相等的正数，且从n a-H n A =q-A,证明：2，+4 e.a h【答案】/(X)的递增区间为()/)，递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间;(2)设原不等

33、式等价于2%+0,前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者a b可设=与，从而把占+*2 e转化为(r-l)m +l)-H n r 0,当x e(l,+8)时，/,(x)0,故/(x)递增区间为(0,1),递减区间为(L+8).(2)因为6 1n a-a l n b =a-Z?,故匕(lna+l)=a(lnZ?+l),即 1 +1=也”+1,a b故也卜小设由(1)可知不妨设。X 1.a b因为 x e(0,l)时，/(x)=x(l lnx)0,x e(e,+o o)时，/(x)=x(l-I n x)0,故 1 /2,若 马22,玉+92必成立.若 当 2,即证玉 2-尤2，而0 2-马 2

34、-马)，即证：/(9)/(2-与)，其中设 g(x)=/(x)-/(2-x),l x 2,则 g(x)=/,(x)+/(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-lnx(2-x),因为l x 2,故0 x(2-x)0,所以g(x)0,故g(x)在(1,2)为增函数,所以g(x)g(l)=0,故/(力 )(2-力，即/(9)/(2-%)成立，所 以 玉+2成立,综上，须+2成立.设 =%，贝i j，1,，,人 lna+1 I n b+1 1 1 一,口 Z1,x 人1 结合-=b，Z =可得：玉(I 7 n玉)=w(lT n%2)，即：1 一I n%=Z(l-ln/-lnx J ,故lnx,=-,t

35、 要证：x1+x2ef 即证(f +l)%ve,即证ln(7 +l)+lnX v 1,即证：ln(r +l)+T T m f 1,即证：(Z-i)in(r +i)_Znr 0,令 S(r)=(r l)ln(f +l)则 S，(f)=ln(f +l)+_ l_ lnr =lnl+；j _ y|p先证明一个不等式：ln(x+l)x.设(x)=ln(x+l)-x,则/(x)=-1=当-l x 0；当x0时，(x)0,故(X)在(一1,0)上为增函数，在(O,+8)上为减函数，故MX/、=(。)=0，故ln(x+l)”成立由上述不等式可得当fl时，+4；3,故S(t)0恒成立，故S(。在(1,+8)上为减函数，故S(f)S(l)=(),故(1一口皿”+口一/山/成立，即玉+%e成立.综上所述，2+L e.a b【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.