2021年全国中考数学真题分项汇编-26圆的有关计算（共52题）（解析版）.pdf

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1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题26圆的有关计算（共 52题）一、单选题1.（2021四川广元市中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那么这个圆锥的底面圆的半径是（）【答案】B【分析】先 订 算 的 氏 度，然后围成的圆锥底面周长等同于的长度，根据公式计算即可.【详解】解：如下图:连接8C,AO,NBAC=90，.BC是直径，且8C=2,又:AB=AC,二 ZABC=ZAC8=45，AO BC,()A又sin 4 5 =J,OA=-B C =,AB 2的长度为：色一x兀乂血=立 兀，1 8 0 2二围成的底面

2、圆周长为之，2设圆锥的底面圆的半径为r,则：2 兀 r =7 t，2.V 2 1 6 r =7 x =2 2万 4故选：B【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键.2.（2 0 2 1浙江衢州市中考真题）已知扇形的半径为6,圆 心 角 为1 5 0.则 它 的 面 积 是（3A.一 乃2B.3万C.5万D.1 5 万【答 案】D【分 析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式5 =空 土 直 接计算即可.3 6 0【详 解】解：S =*/=I 5-故选：D【点 睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式

3、及适用条件是解题的关键.3.（2021四川广安市中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从 A 地走到3 地有观赏路（劣弧A 8）和便民路（线段A 8）.已知A、8是圆上的点，。为圆心，N A O 3 =1 2 0，小强从A 走到3,走便民路比走观赏路少走（）米.C.1 2%-96B.6%-96D.1 2 4 1 8 g【答案】D【分析】作 OCLA 8于 C,如图，根据垂径定理得到4 c=8 C,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出NA，从而得到。C和 A C,可得A 8,然后利用弧长公式计算出A B的长，最后求它们的差即可【详解】解：作 OCL45于 C,如图,贝lj A

4、C=BC,：OA=OB,A Z 4=Z B=(1 8 0-Z ACQ=-,2 2 2NFBE=180-30-30=120,SllCF=g CQ x BQ=x|=,线段C C 扫过的区域的面积是12万X（G）s =兀+空360 MF 4故 选:B.【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、宜角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键.6.（2021山东枣庄市中考真题）如图，正方形A3。的边长为2,。为对角线的交点，点 E、尸分别为3C、A O 的 中 点.以 C 为圆心，2 为半径作圆弧出D，再分别以E、尸为圆心，1 为半径作圆弧B O、泠

5、D，则图中阴影部分的面积为（）A.7t-1【答案】BB.7T-2C.兀-3D.4-7 T【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2 为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1 为半径的半圆（扇形）的面积再减去2 个以边长为I 的正方形的面积减去以1 半径的四分之一个圆（扇形）的血积，本题得以解决.【详解】解：由题意可得，1 1 ,1阴影部分的面积是：一,TtX22 X-2（1X1-Ttx 1 2）=7t-2,4 2 4故 选:B.【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化

6、为规则图形的面积和差进行计算.7.（202卜青海中考真题）如图，一根5 米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊在草地上活动），r v Y rY r V r 之小 平 彳/叩2叮|4 m卜 6m17A.7 112【答案】D【分析】根据题意，画出这只羊在草地上的最大活动区域，然后根据扇形的面积公式计算即可.【详解】解：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5 米，圆心角为90。；小扇形的半径为54=1米,圆 心 角 为 180-120=60那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米.17B.兀625C.-7 T477D.7 C12x 5 607

7、1 x 1 77羊在草地上的最大活动区域面积=7 =_兀（平方米）360 360 12故选D.【点睛】此题考查的是扇形的面积公式的应用，掌握扇形的面积公式是解决此题的关键.8.（2021湖北荆州市中考真题）如图，在菱形A 8C D 中，Z D =60,AB=2,以8 为圆心、长为半径画A C，点 P 为菱形内一点，连接2 4,PB,P C.当 3 P C 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A.2万0 B.2c.23 2 3 22兀 一 昱2【答案】A【分析】以点B 为原点，8 c 边所在直线为x 轴，以过点B 且与5 c 垂直的直线为），轴建立平面直角坐标系，判断出N P B C90

8、,再根据N8CP=90。和N8PC=90。两种情况判断出点尸的位置，启动改革免费进行求解即可.【详解】解：以点8 为原点，8 c 边所在直线为x 轴，以过点8 且 与 垂 直 的 直 线 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图，,/A B P C为等腰直角三角形，且点P 在菱形A B C D的内部,很显然，N P B C 90。若 NBCP=90,则 CP=BC=2这 C 作C E AD,A D于点E,：四边形A B C D是菱形.A8=8C=C)=CA=2,ZC=/A 8C=60nCE=CDsinZD=2x =PB的长为半径分别作两个圆心角均为60。的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面.设

9、点P 的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为S.则S 关于，的函数图像大 致 是（）【答案】D【分析】由题意，先求出B4=r+1,P B =9 t,然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数衣达式,然后进行判断即可.【详解】解：根据题意，V AB=10,AC=3=1,且已知点P从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿着A 5向点D移动,到达点。后停止移动，则0W/W8,:.P A=r+1,尸3=10-。+1)=9 7,由 孙 的长为半径的扇形的弧长为：丝 空 空 用P A的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为Z +1.其底面的面积为(+1)36由PB的长为半径的扇形的弧长为:60%(

10、9 力 _ 7T(9-t)用户8的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为其 底 面 的 面 枳 为（9”）36，两 者 的 面 积 和S万 +1）2 乃（9/I _ 136-=一7136 18（r_ 必+41）.图像为开后向上的抛物线，且 当f=4时有最小值;故 选：D.【点 睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式.11.（2021山东东营市中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数 为（）主视图左视图-6 一俯视图A.214B.215C.216D.217【答案】C【分

11、 析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数.【详 解】解：由圆锥的高为4,底 面 直 径 为6,可 得 母 线 长/=声于=5,圆锥的底面周长为：乃x6=6万，设圆心角的度数为,则“71x5/-=6 兀,180解 得：7 7 =216.故 圆 心 角 度 数 为:216，故选：C.【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题.12.（2021四川成都市中考真题）如图，正六边形ABC。所 的 边 长 为 6,以顶点A 为圆心，A B 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A.4万 B.6 C.8万 D.12万【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求

12、出/物8,利用扇形面积公式求出扇形A8F的面积计算即可.【详解】解：六边形A8CDM 是正六边形，（6-2）x180：.ZFAB=-=120,AB=6,6扇形ABF的面枳=128 _6：=1力，360故选择D【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面枳公式是解题的关键.13.（2021云南中考真题）如图，等边AA B C的三个顶点都在。上，A D 是。的直径.若。4=3,则劣弧3。的 长 是（）兀c 3nA.-B.乃 C.D.27r2 2【答案】B【分析】连接08,0 C,根据圆周角定理得到N B 0C=2/M C,证明AA0B公ZVIOC,得到N 84O

13、 N C A g30。，得到/B O Z),再利用弧长公式计算.【详解】解：连接。8,0C,：/A BC是等边三角形，：.ZBOC=2ZBAC=20,又.AB=AC,OB=OC,OAOA,：.AAOBAAOC CSSS),：.ZBAO=ZCAO=30,：.NBOD=60。,劣弧8。的长为竺 篙 叱=7T,180故选B.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角N3O。的度数.14.(2021湖北中考真题)用半径为30cm,圆心角为12()。的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为()A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm【答案

14、】B【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得.【详 解】解：设这个圆锥底血半径为c m,A见c 1 2 0万x 3 0由题意得：2%r =-1 8 0解得 r =1 0(c m),即这个圆锥底面半径为1 0 c m，故选：B.【点 睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键.1 5.（2 0 2 1湖南张家界市中考真题）如 图，正 方 形A B C。内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设 正 方 形A 8 C O的面积为S ,黑色部分面积为$,则3：5的 比 值 为（）【

15、答 案】A【分 析】根据题意，设正方形的边长为2 a,则 圆 的 半 径 为0,分别表示出黑色部分面积和正 方 形A B C。的面积，进而 即 可 求 得S 1 :S的比值.【详 解】设 正 方 形 的 边 长 为2 a,则 圆 的 半 径 为a*S=4 a 2,圆的面积为Ti er:正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称/.黑色部分面积为圆面积的一半.*S.7 TCl 1 2/.5,:S=-a2:(4a2)=-(2 8故选：A.【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关

16、键.16.(2021河北中考真题)如图，点。为正六边形ABCDEE对角线尸。上一点，5讶。=8,SCD0=2,B.30D.随点。位置而变化【答案】B【分析】连接AC、A。、CEA。与 C/交于点M,可知M是正六边形A8C。所的中心,根据矩形的性质求出S M =5,再求出正六边形面积即可.【详解】解：连接AC、AD,CF,A。与 CF交于点M,可知M 是正六边形ABCDf尸的中心，多边形ABCDEF是正六边形，：.AB=BC,NB=/BAF=120,ZBAC=30,/.ZM C=90,同理，ZDCA=ZFDC=ZDFA=90o,；四边形ACQF是矩形，S F O +A C O O2 S矩形4 F

17、 O C =1 0 =S矩形A F O C=5，S正六边形A B C D E F =6 SA A F M=3 0 ,故选：B.【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解.二、填空题1 7.(2 0 2 1黑龙江绥化市中考真题)边长为4 c m的正六边形，它 的 外 接 圆 与 内 切 圆 半 径 的 比 值 是.【答案】正3【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形A 0 5的两条边，根据三角函数值即可求出.【详解】如图：正六边形中，过。作 BO，A B,N C 4 5=(6 2)X1 8 0 0 =1 2 0。6Rt A

18、BO 中，O A B =-ZCAB=6 0,/.Z 1 =3 0 2它的外接圆与内切圆半径的比值是A O _ 1 _ 1 _2而-c o s/1 近 一 亍 故答案为2 叵.3【点睛】本题考查了正多边形的外接圆和内切圆的相关知识，对称性，特殊角的锐角三角函数，依题意作出图形是解决本题的关键.18.（2021上海中考真题）六个带30。角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,求中间 正 六 边 形 的 面 积.O答案】【分析】由六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1,可以得到中间正六边形的边长为 1,做辅助线以后，得到 A8C、A C D E.为 以 1为

19、边长的等腰三角形，AACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可.【详解】解；如图所示，连接 A C、AE.C E,作 8 G L A C、D I LC E,F H 1AE,AI 1C E,在正六边形A8C0E尸中，:直角三角板的最短边为1,正六边形ABCDEF为1,.A8C、CDE.AAE/为 以1为边长的等腰三角形，ACE为等边三角形,V ZABC=ZCDE=ZEFA=120,AB=BC=CD=DE=EF=FA=l,：.NBAG=NBCG=NDCE=NDEC=NFAE=NFEA=30,：.BG=DI=FH=,2n：.由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=

20、EH=AH=、,2；.AC=4E=CE=y/3,3，由勾股定理得:AI=,2*.S=3x-xV3x-+ix V 3 x-=,2 2 2 2 2故答案为：空.2【点睛】本题主要考查了含3 0度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点:在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用.19.（2021江西中考真题）如图，在边长为6石的正六边形ABCDEF中，连接BE,CF,其中点M,N分 别 为 况 和。尸上的动点，若以M,N,。为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角 形 的 边 长 为.【答案】9或1 0或1 8【分析】根据点 河，N分别为

21、B E和 上 的 动 点，以M,N，。为顶点的三角形是等边三角形，先在脑海中生成运动的动态图，通过从满足条件的特殊的情况入手，然后再适当左右摆动图形，寻找其它可能存在的解.【详解】（1）当M,N分别与B,F重合时，在AAB尸中，由题意得：ZBAF=1 2 0 ,AB=AF=6 6,易算得：BF=2 7（6 7 3）2-（3 7 3）2=1 8.根据正多边形的性质得，BF=BD=DF=T8,.DBF为等边三角形,即AOAW为等边三角形，边长为1 8,此时4犷=6 0 已为最大张角，故在左上区域不存在其它解：（2）当M,N分别与D F,DB的中点重合时，由（1）且根据三角形的中位线得：MN=-B

22、F=9,2：.MN=DN=DM=9,.AOMN为等边三角形，边长为9,（3）在（2）的条件下，阴影部分等边三角形AOMN会适当的左右摆动，使得存在无数个这样的等边三角形且边长会在9 到6百 之间，其中包含边长为9,6 6，.66x10.4,且等边三角形的边长为整数，边长在9 到66之间只能取9 或 10,综上所述：该等边三角形的边长可以为9 或 10或 18.故答案是：9 或 10或 18.【点睛】本题考查了正多边形中动点产生等边三角形问题，解题的关键是：根据等边三角形的边只能取整数为依据，进行分类讨论，难点在于阴部部分等边三角形向左右适当摆动时如何取边长的整数值.20.（2021重庆中考真题

23、）如图，在菱形A 3 C。中，对角线A C =12,B D=1 6,分别以点A,B,C,D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.（结果保留）2【答案】96-25%【分析】先根据菱形的性质得出A B的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案【详解】解：四边形A 8 C C 是菱形，A C=1 2,B D=16,：.AC BD,AO=6,8 0 8：*-AB=JOB?+OA2=1 0：菱形 A B C D 的面积=A CX B D=xl2xl6=962 2 四个扇形的半径相等，都为A B =5,且四边形的内角和为360。，

24、2.四个扇形的面枳=360 X =2 5,360.阴影部分的面积=9 6-2 5乃；故答案为：9 6-2 5.【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.2 1.（2 0 2 1 四川凉山彝族自治州中考真题）如图，将绕点C顺时针旋转1 2 0。得到 A B C.已知A C=3,BC =2,则线段A8扫过的图形（阴影部分）的面积为.【分析】由于将 48 C绕点C 旋 转 1 2 0。得 到 夕 C,可见，阴影部分面积为扇形A C 4 减扇形8 c 9，分别计算两扇形面积，再计算其差即可.【详解】解：如图：由旋转可得：ZAC A=ZBC B=nO,又 A C=3,B

25、C=2,。1 2 0 万 x A C）.3 宿形小C4=-=571,3 6 0c1 2 0-x B C2 _ 4）3 6 0 3则线段A8扫过的图形的面积为3 万-三=1,故答案为：彳ADBA【点 睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键.22.（2021浙江温州市中考真题）若扇形的圆心角为30。，半 径 为1 7,则 扇 形 的 弧 长 为.17【答 案】76【分 析】根 据 弧 长 公 式/=丝 四 求 解 即可.180【详 解】.扇形的圆心角为30。，半 径 为17,.扇形的弧长=30 万 x 17 17-二-71180 617故答案为

26、：6本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键.23.（2021山东泰安市中考真题）若 为 直 角 三 角 形，A C=B C =4,以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为【答 案】4【分 析】设A B与半圆的交点为。，连接0C,根据题意，得到阴影部分的面积等于SACD，计算即可【详 解】解：如图，设 AB与半圆的交点为）,连接。C,是直径，二 ZBDC=90,V ZACB=90,AC=BC=4,：.ZDBC=ZDCB=45,AD=BD,过点。作 OEJ_BC,垂足为贝 l NCDE=NBDE=45,：.CE=EB=ED=2,.半圆关于直线。E 对称，阴影部分的面积等于S 4-S4A

27、C。=g SABC=X x 4 x4=4故答案为:4.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性，利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键.24.（2021山东聊城市中考真题）用一块弧长167tcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为 cn?【答案】8（）乃【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可.【详解】解：弧长16兀 cm 的扇形铁片，二做一个高为6cm的圆锥的底面周长为167tcm,圆锥的底面半径为：1 6花2 2 7 c=8 c

28、 m,.圆锥的母线长为：正语=1 0加，扇形铁片的面积=,X 1 0 x 1 6%=8 0万c m 2,2故答案是：8 0%.【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键.2 5.（2 0 2 1四川资阳市中考真题）如图，在矩形A B C D中，A B =2 c m,=gem，以点8为圆心，A B长为半径画弧，交 CD于点E,则图中阴影部分的面积为【分析】连接8 E,由题意易得B E=A B=2 c m,进而可得N E2 C=3 0。，ZABE=60,然后可得EC=l c m,最后根据割补法及扇形面积计算

29、公式可进行求解阴影部分的面积.【详解】由题意得BE=AB=2cm,四边形A 8 C D是矩形,ZABC=ZC=90,AD=V3cm，cos Z.EBC=BC y/3：.ZEBC=30,ZAB=60,CE=1cm,&-瓜 60 x22 万 V 3 _ f 3/3 2万12 阴影 一 矩形A B C D 一 扇形A B E 一 AECB一 T-T C m：/31H(3 6 2乃、故 答 案 为 -.(2 3 J【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及三角函数，熟练掌握扇形面积计算公式及三角函数是解题的关键.26.(2021江苏宿迁市中考真题)已知圆锥的底面圆半径为4,侧面展开图扇形的圆心角为120。

30、，则它的侧面展开图面积为.【答案】487r【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可.【详解】解：底面圆的半径为4,，底面周长为8兀，；侧面展开扇形的弧长为8兀,设扇形的半径为r,:圆锥的侧面展开图的圆心角是120,:劲 j,180解得：r=12,，侧面积为兀X4X12=48T T,故答案为：487t.【点睛】考 查 圆锥的计算，解题的关键是了 解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大.2 7.（2 0 2 1糊北随州市 中考真题）如图，在MAABC中，NC =9 0,Z A B C =3 0 ,8 c =6,将绕点A逆时针

31、旋转角a （0。1 8 0。）得到 A B C,并使点C落在A3边上，则点3所经过的路径长为.（结果保留乃）2【答案】一%.3【分析】利用勾股定理求出A 3=2,根据旋转的性质得到旋转角为N B A S =6 0。，再由弧长计算公式，计算出结果.【详解】解：V ZC=90 .Z A B C =3 0 ,BC=6：.AB=2AC,设A C=x,则A B=2 x,由勾股定理得：x2+（扬2 =（2 x f ,解得：x=,则:AC=1,AB=2,.将AABC绕点A逆时针旋转角a（0 0 a /2，Z =Z C=4 5,2 S ijj.；：；SA ABC-S 4H；CEF A C -AB 2 x-=4

32、 九,2 3 6 0故答案为：4乃【点 睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键.3 7.（2 0 2 1黑龙江鹤岗市中考真题）若 一 个 圆 锥 的底面半径为1 c m,它的侧面展开图的圆心角为9 0。，则这个圆锥的母线长为cm.【答 案】4【分 析】根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解.【详 解】解：设 母 线 长 为 凡 由 题 意 得:,miRI z.7tr=-180.、90兀R.2.JI=-180解 得：火=4,.这个圆锥的母线长为4cm,故 答 案 为4.【点 睛】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算，熟练掌

33、握圆锥侧面展开图及弧长计算是解题的关键.38.(2021湖南怀化市中考真题)如图，在O。中，。4=3,ZC=45,则图中阴影部分的面积是由NC=45，根据圆周角定理得出NAQB=90。，根 据S赚=5 AOB-Sa A O B可得出结论.【详 解】解：；NC=45,；ZAO5=9(),S|3 j;-=S,AOB AOB90 x-x32360 x3x329万9=-,4 29乃 9故答案为：-.4 2【点睛】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键.39.（2021湖北十堰市 中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线4C

34、于点E,以C为圆心、8 c长为半径画弧交A C于点尸，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.【答案】3*6【分析】连接B E,可得AABE是等腰直角三角形，弓形BE的面积=%-2,再根据阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形C B F的面积-ABCE的面积，即可求解.【详解】连接.在正方形ABC。中，以AB为直径的半圆交对角线A C于点E,：.ZAEB=90,g|J：A C L BE,:ZC AB=45,，AABE是等腰直角三角形，即：AE=BE,1,11 j 形 BE 的面积=-7 T x 2 x 2 x 2=7T 2,4 2/.阴影部分的面积二弓形B E的面积+扇形C B F的面积-B

35、CE的面积一 45 x 万 x 4?1 1 /.=4 一 2+-x x4x4=3 万-6.360 2 2故答案是:3乃6【点 睛】本题主要考查正方形的性质，扇形的面积公式，添加辅助线，把不规则图形进行合理的分割，是解题的关键.40.（2021湖南岳阳市中考真题）如 图，在R hA B C中，N C =90。，A 3的垂直平分线分别交A 3、A C于 点。、E,B E=8,。为AB C E的外接圆，过 点E作。的 切 线E F交A 8于 点 尸，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）Q r-x T-,再利用&A MS 瑜 彩ABE求出阴影部分面积.【详解】解：(1)过点B作BFLCC,J

36、AD/BC,:.NADB=/CBD,V CB=CD,：.ZCBD=ZCDB,:.NADB=NCDB,又 BD=BD,ZBADZBFD90,:A A B D Q A FB D (AAS),；.B F=B A,则点尸在圆8上，.CO与圆8相切;AD(2)V ZBCD=60,CB=CD,3CO 是等边三角形，J ZCBD=60BF 上 CD,：.ZABD=ZDBF=ZCBF=30,ZABF=60,:AB=BF=26.AD=DF=ABtan30=2,*阴影部分的面积二 ABD-S庙 形 A B E-X273X2-23 0 x 1 x(2 6)360=2下 _ 兀-【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角

37、形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线.44.（2021浙江丽水市中考真题）如图，在 A A bC 中，A C B C,以 为 直 径 的 半 圆。交 A B 于点过点。作半圆。的切线，交 A C 于点E.ED.(1)求证：ZACB=2ZADE；(2)若 DE=3,AE=,求 CO 的长.【答案】（1）见解析；（2）生 昼3【分析】（1）连结OD,CD,利用圆的切线性质，间接证明：ZADE=ZODC,再根据条件中：AC=且OD=oc,即能证明：ZACB=2ZADE-.（2）由（1）可以证明：AAED为直角三角形，

38、由勾股定求出A 0的长，求出tan A,可得到NA的度数，从而说明AA6 c为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出ZCOD=120,半径OC=2百,最后根据弧长公式即可求解.【详解】解：（1）证明：如图，连结CD.O小 与。相切，ZODE=9 0 ,ZODC+ZEDC=90.3C 是圆的直径，,N8OC=9 0 ,ZADC=90./.ZADE+ZEDC=90,.-.ZADE=ZODC.AC=BC,ZACB=2ZDCE=2ZOCD.OD=OC,ZODC=ZOCD.ZACB=2ZADE.(2)由(1)可知，Z A D E+Z E D C =9 0 ,Z A D

39、 E =Z D C E,Z A E D =9 0 ,D E =3,AE=6A D=7 32+(V 3)2=2。t a n A =瓜N A =6 0.A C =BC,.,.A B C是等边三角形.Z B=6 0 ,B C A B =2AD=4 x/3 ,Z C O D =2NB=1 2 0 ,O C =2 6,1 2（h r x 2G 4 6万C D =-=-1 8 0 3【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质.45.（2021湖北随州市中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题

40、方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等，等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.（D 在直角三角形中，两直角边长分别为3 和 4,则 该 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 高 的 长 为,其内切圆的半径长为;（2）如图1,P 是边长为。的正AAi?。内任意一点，点。为 AAi?。的中心，设点P 到AA3 c 各边距离分别为4,h2,/2,连接AP,BP,C P,由等面积法，易知e+久）=5力30=3SA3B，可得 4+%+为=；（结果用含。的

41、式子表示）如图2,P 是边长为。的正五边形ABCDE内任意一点，设点P 到五边形ABCDE各边距离分别为九，h2,Qh，k人5,参照的探索过程，试用含的式子表示4+4 +4 +%+%的值（参考数据：t an 3 6 a力,t an 5 4 ）8 如 图3,已知。的半径为2,点A为。外一点，Q 4 =4,AB切 O。于点8,弦B C 7/O 4,连接AC,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为；（结果保留万）如图4,现有六边形花坛A B C D E F,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形状改造成五边形A B C D G ,其中点G在AE的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试

42、确定点G的位置，并说明理由.1 2 R 5 5 2【答案】（1），I；（2）a；。；（3）一7 1；见解析.5 2 1 6 3【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；（2）先求得边长为。的正AAb C的面积，再根据;+色+）=5 0品=3 5 物解题即可；设点。为正五边形AB3的中心，连接O A,0 B,过。作O Q _ L A B于Q,先由正切定义，解得。的长，山中结论知，S五 边 形ABCOE=5SAOA8，继而得到5。仇+色+%+%）=5 x,ax 5 at an 5 4 ,据此解题；（3）由切线性质解得N Q 4 B =3 0,再由平行线性质及

43、等腰三角形性质解得N C O B =60，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形O B C的面积，最后根据扇形面积公式解题；连接OF,过点E作E G。尸交A尸的延长线于G点，根据S六边形ABCDEF S五 边 形A B C W-+DG F =J i ABCDG 据此解题.【详解】解：（1）直角二角形的面积为：-x 3 x 4 =6,2直角三角形斜边为：732+42=5-设直角三角形斜边上的高为/,则4 x 5/=62,1 2/.h=5设直角三角形内切圆的半径为小 则！(3 +4 +5)=,X3X42 2/.r=112故答案为：,1

44、 ；(2)边长为。的正AABC底边的高为3,面积为：sA B-a-a a22AAB 2 2 473,Q a(4+4 +4)=S8c=3 SA。=彳 ：.h+h2+h3=与，2故答案为：-a；2类比中方法可知5 a(4+也+八+%+4)=S五 边 形A B C O E 设点。为正五边形ABCOE的中心，连接OA,O B,由得S五 边 形A B C O E =5sAOA8,过。作OQ，AB于。，NE45=(xl80 x(5 2)=108,故N(24Q=54,OQ=AQxtan54=；atan54,故-(乙+4 +4 +/z4+/?5)=5 x ax t an 5 4 ,从而得到:22 24+4+%

45、+用+/=3 t an 5 4 a.2 1 6(3)Q A B是。的切线,:.O B L A B：.ZO B A =90：OB=2,O A=4：.ZO A B =30：.ZAO B=60BC/OA.-.ZAOB=ZOBC=60Q O C =OBZOBC=ZOCB=60:C O B =60。过点。作OQ，8 CB C/O A,OQ 是 K O B g A B C 的高，一 ABC Q aOCB _ _ 60 x7cr2 _ 60 x 4;r _ 2 阴 影部分=，扇 形O B C =-7 7 -=a。=彳13 60 3 60 3 2故答案为：71;3如图，连接。尸，过点E作E G。产交AE的延长

46、线于G点，则点G即为所求,D连接D G,S六边形ABCDEF -S 五边形 C D F +S&DEF 二。是。的半径，又.(?J_A 8，.AS是。的切线；(2)如图，设OAOB分别交。于点M,N,连接OF,。的半径是1,；.O D=O F=T,.AC与。相切于点F，：.O F A C，:O F C =NOEC=90=ZACB.，四边形OECE是矩形，：.CE=OF=1,.B =AC=3,:.BC=BE+CE=4,.-.AB=yjAC2+BC2=5-OA=OA在Rt OAD和Rt OAF中，八 八,OD=OFR1/AD 三 Rt Q A F(H L),：.ZOAD=ZOAF=-ABAC,2:.

47、NOBD+ZOAD=-ZABC+-NBAC=-(ZABC+ABAC=45,222、ZAOB=180。一 (NQ5O+ZOAD)=135,则图中阴影部分的面积为S AOB S雨*Ou/=LAB O D-5 7 r=-K .切 形 2 360 2 8【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键.51.(2021山东荷泽市中考真题)在矩形ABC。中，B C =6C D,点 E,E 分别是边A。、上的动点，且 AE=C产，连接石尸，将矩形ABCD沿 E尸折叠,点 C 落在点G 处，点。落在点处.图1图2(1)如 图

48、1,当 E”与线段8 C 交于点P 时，求证：P E =P F；(2)如图2,当点P 在线段C B 的延长线上时，GH交 A B 于点M ,求证：点M 在线段所的垂直平分线上；(3)当 A8=5 时，在点E 由点A 移动到A O 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)等.【分析】(1)分 别 根 据 平 行 线 的 性 质 及 折 叠 的 性 质 即 可 证 得N D E F=N HE F,由此等量代换可得N HE F=N E FB,进而可得 PE=PF；(2)连接 PM,ME,M F,先诬 R t A P H M 冬Rt 4 P B M (H L)

49、,可得/E P M=/FP M,再证 AEPM丝 AFPM(SAS),由此即可得证;(3)连接A C,交E F于点0,连接O G,先证明4 4 0 2 6打;。(4 1 5),由此可得OC=,4 7=5,进而2根据折叠可得O G=O C=5,由此得到点G的运动轨迹为圆弧，再分别找到点G的起始点和终点便能求得答案.【详解】(1)证明：在矩形A B C O中，：.AD/BC,AB=CD-：.NDEF=NEFB,折叠，二/D E F=ZHEF,：.NHEF=ZEFB,:.PE=PF；(2)证明：连接 P M,ME,MF,.在矩形4 8 C O中，：.AD=BC,N D=N A B C=N P B A

50、=9 0 ,又：.AD-AE=BC-CF,即：DE=BF,折叠，DE=HE,/）=NEHM=ZPHM=90,：.BF=HE,NPBA=NPHM=90,又：由（1）得：PE=PF,：.PE-HE=PF-BF,即：PH=PB,在 Rt 4 PHM 与 Ri 4 PBM 中，PH=PBPM=PM：.RlAPHMWRtAPBM(HL),：.NEPM=NFPM,在AEPM与中，PE=PF/.在 R s ABC 中，AC=yjA B2+B C2=10-：AD/BC,：.ZE A O=ZF C O,在A E A O 与A FCO中,AE=CF NEAO=NFCO,ZAOE=ZCOF：.EAO FCO(AAS