2021年全国中考数学真题分类汇编： 全等三角形(含答案）.pdf

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1、一、选择题7.（2021 哈尔滨）如图，AABC三A D E C,点 A 和点。是对应顶点，点 3 和点是对应顶点，过点 A 作 A尸_L C D,垂足为点F,若NBCE=65,则 NC4尸的度数为（）A.30 B.25 C.35 D.65B【解答】A4BC三 ADEC,/.ZACB=ZDCE，ZJBCE=65，,ZACD=NBCE=65.A F C D,.-.ZAFC=90.-.ZCAF+ZACD=90 ZC4F=90-65=25.7.（2021重庆A 卷）如图，点 8,F,C,E 共线，L B=LE,B F=E C,添加一个条件，不能判断的 是（）A.AB=DE B.乙4=乙。D.AC/F

2、DC【解析】:BF=EC,BF+FCEC+FC,:BC=EF,又；乙B=C E,J.当添加条件4 3=O E 时，A8C/2XOEF（SAS）,故选项A 不符合题意；当添加条件乙A=Z O 时，ABC式a O E f（AAS）,故选项8 不符合题意；当添加条件AC=）F 时，无法判断A B C/）：故选项C 符合题意；当添加条件AC 和 时，则44C8(A SA),故 4 能证明；B：当AB=OC时，不能证明两三角形全等，故 8 不能证明；C：当 AC=O8 时，A B g A D C B (S A S),故 C 能证明；D：当乙A=zL。时，ABC/ZXOCB(A 4 S),故。能证明.11

3、.(2021威海)如图，在ABC 和AOE 中，/C 4 8=/D 4 E=3 6 ,AB=AC,A D A E.连接 C),连接BE并延长交AC,AO于 点 凡 G.若 BE恰好平分/A B C,则下列结论错误的是（）DGA.Z A D C=Z A E B B.CD/AB C.D E=G E D.BF?=CFACC 解析）由已知条件/C A 8=/D 4 E,AB=AC,A D=A E,可以证明EAB丝D4C,所以可得选项A 是正确的；己知条件/CAB=36,A B=A C,可求出NABC=N4CB=72 ,由EAB出D4C,结合已知角平分线，可以证明NDCA=NBA=36,从而可以证明同旁

4、内角互补，证明选项B是正确的，通过计算证明CFB和CB4都是黄金三角形，从而证明这两个三角形相似，证明选项 D 是正确的，因此本题选C.10.（2021泰安）如图，在平行四边形ABCZ）中，E 是 8 0 的中点，则下列四个结论：AM=CN；若 M）=A M,乙A=9 0,则 8M=CM；若 M D=2 A M,U IIJ SA J W W C=SA B,V；若A B=M N,则MFN与。尸 C 全等.其中正确结论的个数为（）B.V CA.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个D【解析】四边形ABCQ是平行四边形，.AD/BC,AD=BC,L A D B=LCBD,.E 是 80 的中点，：

5、.BE=DE,N M D B =乙 N BD在和NBE 中，0E=BE,.ADEM=N B E N：.L M D E N B E (ASA),；,DM=BN,:.A M=C N,故正确；若 MO=AM,NA=90。，则平行四边形ABC。为矩形，/.乙AOC=4A=90,AB=DC在BAM 和CDW 中，NA=NADC,.AM=D M B A M C D M (SAS),；.B M=C M,故正确；过点M 作例G 1 8 C,交 8 c 丁 G,过点E 作 E H L B C,交 8 c 于“，由可知四边形M8CO是平行四边形，E 为 B D 中点、,:.MG=2EH,又,：M D=2 A M,

6、B N=M D,A M=N C,：SAMNC=3NCMG=B N-2 E H=争 N，EH=SABNE，故正确；，；A B=M N,AB=DC,:.MN=DC,-：AD/BC,.四边形M N C D是等腰梯形或平行四边形,如果四边形MNCD是等腰梯形，.NMNC=NOCMAN=DC在和）（；7 中，NMNC=NDCN,.NC=CN M N 8 DCN（.SAS）,ZNMC=ZCDN,2MFN=乙 DFC在 AMFN 和 ADFC 中，NNMC=NCDN,.MN=DC：.A M F 2 4 D F C（AAS）,如果是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到 MFNQ DFC,故正确.6.（202

7、1成都）如图，四边形ABC。是菱形，点E,尸分别在BC,0 c边上，添加以下条件不能判定ABE/ZXAD尸的是（）CA.BE=DF B.ABAE=ADAF C.AE=AD D.AAEB=AAFDC【解析】由四边形ABC。是菱形可得：AB=AD,L B=LD,A、B、C、。、添加可用SAS证明ABE/ZkAO用故不符合题意；添加4 3 A E=/D 4 F,可用4sA证明凡 故不符合题意;添加A E=4 O,不能证明A 8E/2X A O F,故符合题意：添加乙可用A4S证明ABE”AADR 故不符合题意.12.（2021眉山）如图，在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点0,AB=6,ZD4

8、C=60。，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接。F,以。尸为边作等边三角形。F E,点E和点A分别位于D尸两侧，下列结论：乙BDE=LEFC；ED=EC；乙AD F=LEC F；点E运动的路程是2百，其中正确结论的序号为（）A.B.(2)D【解析】,Z.D4C=60。，OD=.OAO为等边三角形，/.ADOA=A.DAO=LODA=6Qf A D=0D,/)：为等边三角形，/.LED F=LEFD=L D E F=,DF=DE,乙BDE+乙FD 0=AADF+AFDO=60,乙 BDE=/LADF,AADF+AAFD-Z.DAF=180,/.ZADF+AAFD=180-zLDAF=120,

9、zLEFC+ZAFD+ZDFE=180,AEFC+AAFD=1SO0-乙DFE=T200,LAD F=LEFC,.乙BD E=乙EFC,故结论正确；如图，连接OE,D.(D O T(AD=0D在ZMF和OOE 中，AADF=Z.0DE,WF=DEDAFDOE(SAS),乙 D 0 E=乙 0Ab=60,ZCOD=180-4A00=120。，Z COE=Z COD-Z D0E=120-60=60,LCOE=LDOE,OD=OC在OOE 和OCE 中，zDOE=ZCOE,OE=OE/ODEOCE（SAS）,；.ED=EC,Z.OCE=LODE,故结论，正确；：乙 ODE=LADF,LADF=LO

10、C E,即 Z.ADF=LECF,故结论正确；如图，延长0后至,使。=。，连接D 4/M M 0 E,乙。E=60。，点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E 从点O 沿线段OE运动到E,：OEOD=AD=AB-tan/LABD=6Tan302y/3,点E运动的路程是2次，故结论正确.-小3.（2021南充）如图，点。是 口 A8CO对角线的交点，E产过点。分别交4 0,BC于 点E,F,下列结论成立的是（）A.OE=OFB.AE=BFC.LDOC=LOCD D.LCFE=LDEFA【解析】ABC。的对角线AC,BD交于点、0,AO=CO,BO=DOf AD/BC,，EAO=/_FCO,ZE

11、AO=ZFCO在AOE 和COF 中，lAO=CO,4 0 E=乙 COFAAOEACOF（ASA）,，OE=OF,AE=C F,乙CFE=LAEF,又 人 D0C=BOA,二 选项A正确，选项8、C、。不正确.8.（2021 盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在N A 08的两边OA、OB上分别在取。=。，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、。重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是N A 08的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）A.SASD【解答】在COM和OOM中,C.AASD.SSSOC=ODO M =OM,M C =M D所以COM岭Zx。例（S

12、SS）,所以 NCOM=/OOM,即 OM是/4 O B 的平分线，故选：D.二、填空题12.（2021齐齐哈尔）如图，A C A D,/1 =/2,要使ABCZAE,应添加的条件是.（只需写出一个条件即可）ZB=Z；或N C=N O；或 AB=AE；解析）：N l=/2,/.ZBAC=Z E A D,又 AC=AO,若添加：N B=N E,根据A4S可判断AABC丝/XAED；若添加：Z C=Z D,根据ASA可判断AABC丝AEO；若添加：A B=A E,根据SAS可判断AABC四AED12.（2021济宁）如图，四边形A8CD中，Z B A C Z D A C,请补充一个条件,IJAAB

13、C会AOC.答案 AO=4B（答案不唯一）17.（2021 贺州）如图，一次函数y=x+4 与坐标轴分别交于A,8 两点，点 P,C 分别是线段48,OB上的点，且/OPC=45。，P C=P O,则点P 的标为.X A（-2/2,4-2 V2）解析 ,直线 y=x+4,，&-4,0）,8（0,4）.：.OA=OB.J.ZOAB=/OR4=45.A Z A O P+Z A P O=135.VZOPC=45,：.ZBPC+ZAPO=135.：,Z A O P=Z B P C.又 P O=PC,：./AOP/BPC.：.P B=A O=4.如图，过点P 作 PD_L08于点。，则PBO是等腰直角三

14、角形，；.P D=B D=P B+6=2 拒.0 0=0 8-8 0=4-2 起.,.点 P 的坐标为（一2夜,4-2 7 2 ）.-55-16.（2021.常州）中国古代数学家刘徽在 九章算术注中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图所示，在ABC中，分别取AB、A C 的中点D、E,连 接 D E,过点A 作 A F L D E,垂足为F,将ABC分割后拼成矩形BC HG,若 DE=3,A F=2,则ABC的面积是 答案 12 解析；四边形 BGHC 是矩形，A ZG=ZH=90,VAFDE,A ZAFD=ZAFE=90,/.ZG=ZAFD=90,ZH=ZAFE=90,；D、E 分别

15、是 AB、AC 的中点，；.AD=BD,AE=CE,VZADF=ZBDG,ZAEF=ZCEH,AAADFABDG,AAEFACEH,；.AF=BG=3,DF=DG,EF=HE,：DE=DF+EF=3,DG+DF+EF+EH=2DE=6,矩形 BGHC 的面积为：2X 6=1 2,ADF丝BDG,AAEFACEH,/.ABC的面积=矩形BGHC的面枳=12.三、解答题21.（2021 雅安）如图，（四）为等腰直角三角形，延长OA至点5 使 03=02）,是矩形，其对角线AC,BD交于点、E,连接OE交 AD于点厂.（1）求证：=（2）求 变 的 值.解：(1)证明：.四边形A 8 8 是矩形，:

16、.BE=DE,ZL4T=90,:.ZABD-ZADB=90.；OB=OD,BE=DE,;.OE1.BD,NOEB=90。,：.ZBOE+ZOBE=90,.ZBOE=ABDA,。4。为等腰直角三角形，.4 9 =4%ZQA=90,:.ZOAD=ZBAD,ZB0E=/BDA在 AAO/和 AABD中，AO=AD,/OAF=ADAB(ASA),ZOAF=ZBAD(2)由(1)得，八。4/n S A B,:.AF=AB,连接 战，如图，O图1BF=6AF,.BE=DE,OE工 BD,:.DF=BF,：.DF=4IAF,=V2.AF1 9.(20 21 大连)如图，点 A,D,B,E 在一条直线上，AD

17、=BE,AC=DF,AC!ID F.求证：BC=EF.证明：.AD=BE,二.AD+BD=BE+BD，BP A B=D E,AC/DF,:.ZA=ZEDF,在AABC与ADEF中,AB=DE N A =NEDF,AC=DF:.MBCwADEFgAS),BC=EF.21.(20 21 湘西州)如图，在 A BC 中，点。在A B 边上，CB=CD,将边C 4 绕点C旋转到C E 的位置，使得NECA=NDCB,连接 O E 与 A C 交于点凡 且N 8=7 0 ,N A=1 0 .(1)求证：AB=ED；(2)求/4 F E 的度数.解：（1）证明：V ZECA=ZDCB,Z E C A+Z

18、A C D=Z D C B+Z A C D,即 N E C D=N B C 4,由旋转可得C A =C E,fC B=C D在8 C 4 和 中，N B C A=N D C E，A C=E C/.BC A A D C E (SA S).：.A B=E D.（2）由（1）中结论可得/C ）E=N B=7 0 ,又 C B=C D,:.NB=NC D B=70 ,./E Z M=1 8 0 -N B D E=180 -7 0 X 2=4 0 ,/.Z A F E Z E D A+Z A=4 0 0+1 0 =5 0 .24.（20 21 哈尔滨）已知四边形438是正方形，点 E在边D4的延长线上，

19、连接CE交 于 点 G,过点8作B M L C E ,垂足为点M,8W的延长线交AD于点尸，交 CD的延长线于点（1）如 图 1,求证：C E =B H ；（2）如图2,AE=AB,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中的四个三角形（A A G 除外），使写出的每个三角形都与A A G 全等.证明：（1）.四边形A B C D 是正方形,:.B C =C D =A D=A B,Z BC )=Z A D C =9 0，;B M L CE,:.ZH MC =Z A D C =90,ZW+Z H C M=9 0 Z E+Z ECD，.-.ZH =ZE,在AEDC和A H C B中,

20、NE=/H,NEDC=NHCB=9。,CD=BC，AEDC 三 bHCB(AAS),:.CE=BH.(2)M C G,ADCF,NDHF,AABF,理由如下：v AE=AB,:.AE=BC=AD=CD,:.ED=H C,：AD=CD,:.AE=HD=CD=A B，在 AAEG 和 ABCG+，NEAG=NCBG=9。NAGE=NBGC,AE=BC/.AAEG=ABCG(A45),AG=BG=-A B,2同理可证M FBwDFH,AF=DF=-A D,2.AG=AF=DF在 AAEG和AABF中，AE=AB4/,/AEG=ADCF.21.(2021台州)如 图，在四边形4 3 co 中，AB=A

21、D=20f BC=DC=10y2.(1)求证：ABCg/XADC(2)当/B C 4=4 5 时，求NBA。的度数.A B=A D解：(1)证明：在A BC和4 (7中，B C =D C,A A A B C A A D C (S S S).A C =A C(2)过点B作8 E J _ A C于点E,如图所示，:/B C A=45。,B C=WV2,/.s inZ fiC A=s in4 5 =藻=竽.；.8 =1 0.又.在 R t Z 4 8 f 中，A B=20,B E=10,：.ZB A E=30a.又；A B gA A D C,：.ZB A D=ZB A E+ZD A C=2ZB A

22、E=2X30=6 0 .20.（20 21阚仁）如图，A B 交 C O 于点。，在 A 4 O C 与 A B。中，有下列三个条件:O C =8,A C =B,N A =Z B.请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分）（1）你选的条件为、,结论为（2）证明你的结论.解：（1）解法（一）：条件为0 C=，N/=N 6,结论为4仁 做解法（二）：条件为1=/,N A=N B,结论为优=如（2）证明（一）：在A A O C 和A BO D 中，Z A =Z B Z A O C =

23、Z BO D （对顶角相等）、0 C =0 DA A A O C S A BO D （A A S）；.A C=BD.证 明（二）：在A A O C和A BO D中,(Z A=Z Bj Z A O C =Z BO D (对顶角相等)V A C =BD.A A O C =A BO D (A A S).*.O C=O D.1 9.(20 21杭州)在A D=A E,Z A B E=Z A C D,F B=F C这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.问题：如图，在 A BC中，N A B C=/A C B,点。在A 8边上(不与点A,点8重合)，点E在A C边上(不与点A,点

24、C重合)，连接BE,CD,B E与C O相交于点F.若,求证：BE=CD.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.证明：选择条件的证明为：/A 3 C=/A C 8,.A 3=A CAB=AC在A 8 E和A C C 中，4 4=N4,：.ABE/ACD(SAS),：.BECD.AE=AD选择条件的证明为：V Z A B C=ZACB,：.AB=AC./.ABE=乙4 co在A BE和A C。中，卜B=A C ,.,.A BE丝A C。(A S A),：.BE=CD.Z-A=Z J 1选择条件的证明为：v Z A B C=ZACB,：.AB=AC.：FB=FC,：.Z F B C=Z

25、F C B,：.A ABC-Z F B C=Z A C B -Z F C B,即 N A 8 E=N A C DZ.ABE=Z.ACD在A BE和A C Q 中，AB=AC,.;A BE丝A C (A S A),：.BE=CD.=乙41 9.(20 21 长沙1 9题)人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方潼已知：A B C.求作：X N B C ,使得B C 丝A B C.作法：如图.(1)画 B C =B C；(2)分别以点B ,C为圆心，线段A 8,A C长为半径画弧，两弧相交于点4；(3)连接线段A B,A C ,则A A B C即为所求作

26、的三角形.请你根据以上材料完成下列问题：(I)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的空上)：证明：由作图可知，在AA B1 C和中，(BC=BC,AB=_,b rc，=,.A b C 丝.(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是.(填序号)/L4S 4S4 SAS SSS解：(1)A8 AC/XABC(2)(4)19.(2021 安顺、贵阳)如图，在矩形ABCD中，点M在。C上，AM=AB,且BALL A M,垂足为N.(1)求证：ZvlBN名MAD；(2)若A=2,A N=4,求四边形8aWV的面积.解：(1)在矩形 48co 中，ZD=90,DC/AB,：.ZBANZAMD,:

27、BN LAM,:.NBNA=90,在M4。和ABN中，/BAN=/AMD,/BM4=ND=90,又：8A=AA/,:.XABNQ2MAD(A A S).(2):ABN/MAD,:.BN=AD,：AD=2,：.BN=2,又.4V=4,.在Rt&W N中，由勾股定理，得AB=2后,S矩形ABCD=2X 2V5-4A/5,ABN=AMAD=-x2 x4 =4.S四边形BCMN二S矩形48co-S&ABN-SisM AD=475-8.18.(2021南 充)如图，ABAC=90,AO是乙区4 c内部一条射线，若AB=AC,BE LAD于 点E,CF_LAD于点尸.求证：AF=BE.证明：.乙BAC=9

28、0,A ABAE+AFAC=90,BE LAD,CF1AD,/.LBEA=AAFC=90,1.Z.BAE+AEBA=90,二乙 EBA=A FAC,2AFC=/.BEA在 AC尸和84E 中，-NR4C=NEBA,.AC=BA/ACF/BAE(AAS),：.AF=BE.23.(2021 湖 州)已知在ACO中，P是CO的中点，B是4D延长线上的一点，连结8C,AP.(1)如图 1,若乙ACB=90。，4 C4D=60。，BD=AC,AP=V 3,求 BC 的长.(2)过点。作EA C,交AP延长线于点E,如图2所示，若4 CW=60。，BD=AC,求证：BC=2AP.(3)如图3,若乙。=45

29、。，是否存在实数”，当8=M7AC时，BC=2AP2若存在，请直接写出?的值;若不存在，请说明理由.解：(1)V ZLACB=9O0,4 040=60,：.AB=-=2AC,cos60。.BD=AC,.A D A C,，AOC 是等边三角形，/LACD=60,P 是 CD 的中点，.APICD,在 RlZXAPC 中，AP=V5,.-.AC=-=2,.BC=AC X tan60=2A/3,sin6QQ(2)证明：连接3E,A D B图2.DE/AC,Z CAP=Z.DEP,(Z,CAP=乙 DEP在肉和。尸E 中,；NCPA=NEPD,A LCPALDPE(A4S),CP=DP：.AP=EPA

30、E,DE=AC,BD=AC,.BD=DE,又 .OEAC,ABDE=CAD=60,r./XBOE 是等边三角形,：.BD=BE,AEBD=60,:BD=AC,：.ACBE,在 ACAB 和EBA 中，AC AB=ZEBA,CABEBA(SAS),AB=BA：.AE=BC,.-.BC=2AP,(3)存在这样的?，m=V2.理由如下：作。EAC交AP延长线于E,连接BE,由(2)同理可得。E=AC,LEDH=ACAD=45,AE=2AP,当 时，：.BD=f2DE,：AEDB=45,作 BF_LE于 F,:.BD=DF,.-.DE=DF,.点 E,F重合,ABED=9Q,;.乙EBD=LEDB=4

31、5,BE=DE=AC,同(2)可证：C48式E8A(SAS),HC=AE=2AP,.,.存在加=近，使得BC=2APA D16.（2021云南）如图，在四边形4BCO中，AD=BC,AC=BD,AC与8力相交于点E.求证：乙DAC=LCBD.证明：在OC4和OC8中，AD=BCAC=BD,COA力OC8（555）,：乙DAC=LCBD.DC=CD26.（2021重庆A卷）在aABC中，AB=AC,。是边BC上一动点，连接4，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得4D4E+ZBAC=180。.（1）如图1,当ZBAC=90。时，连接8 E,交AC于点F.若BE平分心ABC,B D=2,求4尸的

32、长；（2）如图2,连接B E,取8E的中点G,连接A G.猜想AG与 8存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3,在（2）的条件下，连接）G,C E.若4BAC=120。，当BD CD,44EC=150。时，请直接写BD-DG的值.解：(1)连接C E,过点F作FQ 18C于Q,8E 平分ZABC,48AC=90,：.FA=FQ,-.-AB=AC,J.Z_ABC=4ACB=45,FQ=CF,4BAC+4a4E=180,ADAE=/LBAC=90,/.BAD=ACAE,由旋转知，A LABDLACE(SAS),；.BD=CE=2,4 48=24CE=45,，4B C E=90,:.乙 CBF

33、+乙BEC=9Q0,.8E平分乙A B C,；.乙ABF=ACBF,AAHF+fiEC=90,.乙BAC=90,AABF+/LAFB=90,:.乙AFB=LBEC,AAFB/LCFE,.乙BEC=LCFE,；.CF=CE=2,；.A F=F Q*C F=&；(2)AG=-CD,2理由：延长8A至点M,使 A M=A B,连接EM,:G 是 BE 的中点，：.AG=ME,：LBAC+Z-DAE=LBAC+L C A M=,：.ADAE=LCAM,LDAC=LEAM,:AB=AM,A B=A C,.AC=AM,:AD=AEf.AOC4ZkAEM(SAS),.CD=CM,.-.AG=1CD；(3)如

34、图3,连接OE,AO与 BE的交点记作点N,V/LBAC+ADAE=1SO,N5AC=120,ADAE=60,:AD=AE,r.4OE 是等边三角形，：.AE=DE,ADE=LAED=60,.乙4EC=150,A A D E C=A A E C-乙4E=90,在ABC 中，A B=A C,乙84c=120,A AACB=AABC=30,ZAEC=150,ZABC+ZAEC=180,.,.点 A,B,C,E 四点共圆，/.ABEC=Z-HAC=200,ABED=ABEC-LDEC=30,4LWE=180-Z.BED-a AOE=90,:AE=DE,；.A N=D N,二 8。是 4。的垂直平分线

35、，：.AG=DG,BA=BD=AC,LABE=Z-D BE=-ABC5,：.AACE=LABE=5,J.4OCE=45,2 ADEC=90,:.乙 EDC=450=乙 DCE,.DE=CE,：.AD=DE,设 4 G=a,则 C G=a,由(2)知，AG=CD,：.CD=2AG=2a,CE=DE=CD=2a,-.AD=J2a -DN=AD=过点。作 OH_L AC 于 在 RtZXAbC 中，乙4cB=30,CD=2a,A DH=a,根据勾股定理得，CH=W a,在中，根据勾股定理得，AH=6 口 口 2-匚 匚 2=&,18.（2021泸州）如图，点。在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB

36、=AC,LB=L C,求证：BD=CE.BZ.A-NA证明：在ABE 与 ACD 中.4B=4C,2 B =ZC/ABE/ACD CASA).AD=AE.：.BD=CE.21.(2021 无 锡)已知：如图，AC,48 相交于点。,AB=DC,NABO=NDCO.求证：(1)ABO四3C0；(2)ZOBC=ZOCB.答案 解：(1);AB=DC,ZABOZDCO,NAOB=NDOC,.AO 心/),：.OB=OC,OA=OD,：.OA+OC=OB+OD,B P AC=BD.:AB=DC,AC=BD,8c 公共，/ABO/DCO；(2)由(1)可知 O8=OC,：.ZOBCZOCB.18.(20

37、21福建)如图，在ABC中，。是 边8 c上的点，DE1AC,D FLAB,垂足分别为,F,M DE=DF,CE=BF.求证：ZB=ZC证明:DE，AC,DF_LAB,zDEC=zDFB=90.DE=DF在 D EC 和 D F B 中，NDEC=NDFBCE=BF.D EC 2 D F B,:.NB=NC.说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.1 8.(2 0 2 1遂宁)如图，在。A B C C中，对角线A C与B O相交于点。，过点。的直线E F与B A,OC的延长线分别交于点E,F.(1)求证：A E=C F；(2)请再添加一个条件，使四边形8 aE是菱形，并说明理由.解：(I)证明：

38、.四边形力8 C Q是平行四边形，.OA=OC,BE/DF,.乙Z.F -Z.F在4O E 和C O F 中，AOE=ZCOF,.OA=OC(AAS),：.AECF.(2)当时，四边形8F D E是菱形，理由如下:如图：连结B F,DE,一 四边形A 8 C D是平行四边形，。8=0。,A O E/COF,：.OE=OF,.四边形BFDE是平行四边形，：EFVBD,.四边形B F D E是菱形.1 8.(2 0 2 1乐曲)如 图.已 知A B=O C,ZA=4。，A C与O B相交于点O,求证：乙OBC=LOCB.证明：在 A O B与 C O O中，v Z.AOB=ADOC,AB=DC,J

39、.A O 8 Z C O O (A 45),OB=OC,/-OBC=LOCB.2 5.(2 0 2 1眉山)如图，在等腰直角三角形A B C中，4 A C B=9 0。，AC=BC=2y5,边长为2的正方形。E F G的对角线交点与点C 重合，连接A。，BE.(1)求证：ACD/ABCE；(2)当点。在ABC内部，且ZAC=90。时，设 AC与。G 相交于点M,求 AM的长；(3)将正方形。EFG绕点C 旋转一周，当点A、D、E 三点在同一直线上时，请直接写出AO的长.解：(1)证明：如 图 I,.四边形DEFG是正方形，.乙 Z)CE=90,CD=CE；：ZACB=90,AACD=LBCE=

40、9O-乙BCD,AC=BC在4C。和8CE 中，ZACD=A BCE,CD=CE：.AACDAfiCE(SAS).(2)如 图 1,过点加作，1 4 0 于点H,则4AHM=4DHM=90。.乙。CG=90,CD=CG,J.4CG=4CG=45,/.A ADC=90,AMDH=90-45=45,/.MH=DH-tan45=DH；.CD=Gsin45=2x 当=&,AC=26.AO=J(2 麻/一(女 尸=3近，M H C D ,您 1=tan Z_ CAD=一尸=一，AH AD 3-72 3:.AH=3MH=3DH,；.3DH+DH=3岳 一M H =一C D ./-s 企 1=sin L C

41、AD=-p=-7=,AM AC 2V5 V10/.AM=10MH=Z8C E,得4 8EC=4ACC=135,ABEC+LCEF=S00,:.点B、E、尸在同一条直线上，乙4E8=90。，.AE2+BE=AB2,且 E=2,AD=BE,(AD+2)2+AD2=(2V5)2+(2V5)2,解得40=回 一 1或 AD=内 一 1 (不符合题意，舍去)：如图4,A、D,E 三点在同一直线上，且点。在 4 E 的延长线上.V ABCF=Z.ACE=900-AACF,BCAC,CF=CE,：.XBCF经 XACE(S A S),乙BFC=LAEC,乙 CFE=LCED=45,乙 BFC+乙 CFE=L

42、AEC+乙 CED=1 8 0 ,.点8、F、E在同一条直线上；.AC=BC,LACD=LBCE=90+LACE,CD=CE,：.A A C D A f i C E (S A 5),.ADBE；：AE2+BE1=AB2,(A D-2)2+AD2=(2 V 5)2+(2 V 5)2,解得AO=g+l或AD=g-l (不符合题意，舍去).综上所述，4。的长为旧一1或g+1.1 7.（2 0 2 1 荷泽）如图，在菱形A B C D中，点M、N分别在4 8、C 8上，且/ADW=NCCW,求证：BM=BN.证明：.,四边形 A 8 c o 为菱形，.4/)=C D=A 8=8 C,Z A =Z C.

43、ZJ4=Z C在和C N )中，lAD=CD,：./AMDCND CASA).ZADM=Z.CDN:,AM=CN,：.AB-AM=BC-CM 即 BM=CN.1 8.(2 0 2 1陕西)如图，BD/AC,BD=BC,点、E在 BC 上,K BE=AC,求证：ZD=ZABC.CB=BD在 A B C 和 E O8 中，z.ACB=Z.EBD,AC=EB:.AABC沿AEDB(SAS),A ZABC=ZD.19.（2021 广安）如图，四边形ABC。是菱形，点 E、尸分别在边AB、的延长线上，且 8E=O/，连 接 CE、C F.求证：CE=CF.证明：；四边形 4 8 c o 是菱形，.*.8

44、C=CZ),ZABC=A ADC,./48C+/C BE=180,Z/1DC+ZCDF=180,:./C BE=N C D F,CD=CB在 :尸和/XCBE 中，hCDF=4CBE,DF=BE:A C D F Q丛CBE(SAS),:.CE=CF.20.(2021宜宾)如图，已知 OA=OC,OB=OD,ZAOC=ZBOD.求证：AOB丝 .解：证明:：NAOC=NBOD,/.AOC-Z AOD=ZBOD-ZAOD,即NDOC=ZBOA.又：OA=OC,OB=OD,/.AOBACOD.21.（2021 柳 州 21题）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B 的距离，可先在平地上取一个点C,从点C

45、 不经过池塘可以直接到达点A 和 8,连接AC并延长到点。，使 C Q=C A,连接BC并延长到点E,使 CE=CB,连接。E,那么量出。E 的长就是A、8 的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明.CD=_证明：在DEC和4B C 中，,CE=_.OEC岭ABC(SAS).解：题中的空从上至下依次为：CA,NACB=NDCE,CB,ABDE.2 5.（2 0 2 1 威 海）（1）已知A B C,Z v lD E如图摆放，点8,C,。在同一条直线上，/B A C=N Z）A E=9 0 ,ZABC ZADE=45.连接B E,过点A作A凡L B O,垂足为点兄 直线4尸交B E于点G.

46、求证：BG=EG.(2)已知A B C,Z X 4 OE 如图摆放，ZBAC=ZDAE=90a,ZACB=ZADE=3Q.连接 B E,C D,过点力作A尸，B E,垂足为点尸，直线A尸交CD于点G.求理的值.C G图图解：（1）过点E 作EM LFG,交FG的延长线于点M.N E M A=9 0 ,V Z B A C=9 0 ,ZABC=45,ZABCZACB=45Q,：.ABAC,同理可证AE-AD，；N E A )=9 0 ,.*.Z l+Z M D=9 0 .AFBD,：.ZAFD=90Q,Z2+ZFAD=90，/.Z 1=Z 2.在和/小/中,(第2518图)Z 1=Z 2,ZEMA

47、=ZAFD=90,AE=AD,：./AEM/DAF,J.EMAF,9：AFBD,ZABC=45,/.ZABC=ZBAF=45Q,：.AF=BF,：.EM=BF,在4 8 斤 G 和AEMG中，EM=BF,NBGF=NEGM,/EMG=NBFG=90,MBFG 必 EMG,：.BG=EG.(2)过点D 作DM.LAG于M,过点C 作CNLAG于N,在 RtAABC 和 RtAADE 中，：ZBAC=ZDAE=90,ZACB=ZADE=30,设 AE=a,AB=by：AD=6 a,AC=也 b,VZ1+ZME=9O,Z2+ZME=90,Z1=Z2,/.sinZ l=sinZ2,DM AF an D

48、M-=，即一7=-（第 25鹿图）垂1a=A/3同理可证，N3=N4,=二=石,AF bAF AFCN，:.CN=DM、DM LAG,CNAG,:.NDMG=NCNG=94,在 RtADMG 和 RtA C2VG 中，NDMG=NCNG,N5=N6,CN=DM,DG：.RtADMGRtACWG,：.DG=CG,即=1.20.(2021 黄石)如图，。是 AABC 的边 Afi 上一点，CF/AB,R交 AC于 E 点，DE=EF.(1)求证：AADE g ACFE；(2)若AB=5,。r=4,求8D 的长.解：(1)证明：:A B/F C,./A D E =N厂,在 A W E 和 ACFE

49、中，N A D E=N F DE=EFZA E D=ZC E FAADEACFE(SAS).(2)由(1)A D E C F E,:.A D C F,：.BD=AB-AD=AB-CF=5-4=1.17.（2021吉林）如图，点。在 AB 上，E 在 AC 上，ABAC,N B=N C,求证：AD=AE.证明：在4A B E 和4A C D 中,ZA =ZA（公共角）AB=AC（已知）ZB=ZC（已知）/.ABEAACD(ASA),：.AD=AE.28.（2021 绥 化）如图所示，四边形ABC。为正方形，在?”中，NECH=90。,CE=CH,4 E 的延长线与CQ的延长线交于点尸，点。、B、

50、H 在同一条直线上.（1）求证：（?）：丝/XCBH；（2）当 史 一 2 时，求生的值；HD 5 FC（3）当 HB=3,HG=4 时，求 sin/CFE 的值.H2 8.解:(1)证明：I四边形 ABC。是正方形，：.BC=CD,Z)CB=90V ZECW=90,:.NDCB-/BCE=NECH NBCE,即 NOCE=NBCH,CD=CB,在和CB中，,NDCE=NBCH,CE=CH,；.丝C8H(SAS).由得:CQE0ZXCBH,：.ZCDE=ZCBH,DE=BH./四边形ABCD是正方形，：.ZCDB=ZDBC=45.；.NCDE=NCBH=180-45=135.；.NEDH=13