2021年全国新高考II卷数学试题真题（含答案与解析）.pdf

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1、2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国n卷）使用省份：海南、辽宁、重庆一、选择题：本 题 共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2-il-3i在复平面内对应点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限第三象限D.第四象限2.设集合U=1,2,3,4,5,6 ,A=1,3,6 ,8=2,3,4,则 A n(e )=()A 3B.1,6 C.5,6 D.1,33.抛物线 2=2 p x（p 0）的焦点到直线y =x+l 的 距 离 为 ，则=（）A.1 B.2 C.272 D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导

2、航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000k m （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径，为6 400k m 的球，其上点A 的纬度是指O A 与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S =2万/（i _ c os a）（单位：k m2）则 S占地球表面积的百分比约为（）A 26%B.34%C.42%D.50%5.正 四 棱 台 上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.20+128 B.28&C.乎 D.3 36 .某 物理量的测

3、量结果服从正态分布N（10,b 2）,下列结论中不正确的是（）A.。越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大B.o越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.a越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等7.已知a =l og s 2,b=l og83,c =（,则下列判断正确的是（）A.c b a B.b a c C.a c b D.a b 2=户，点 A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A 在圆C 上，则直线/与圆C 相切 B.若点A 在圆C 内，

4、则直线/与圆C相离C.若点A圆 C 外，则直线/与圆C 相离 D.若点4 在直线/上，则直线/与圆C 相切12.设正整数 =/,2。+a1 2+%_ 2*+ak-2*,其中 cij G 0,1 记=%+q +a*.则()A.3(2)=0)()B,o(2 +3)=o()+lC.0,b 0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为1 4 .写出一个同时具有下列性质的函数/(%)：./(中 2)=/(百)/(%2)；当 x e(0,+oo)时，fx)0 ；/(x)是奇函数.1 5 .已 知向量+石 +=6，,卜 1,W=U=2,a b+b-c+c-a=.1 6 .已知函数/(x)=1 1|,王 o，函

5、数/(X)的图象在点A(X,J(x j)和点B(&J(w)的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M,N两点，则 而 j 取值范围是.四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.记 S,是公差不为0的等差数列 4 的前项和，若。3 =5 5,4 4 =邑(1)求数列 4 的通项公式%;(2)求使Sn an成立的n的最小值.1 8.在AABC中，角 A、B、。所对的边长分别为。、b、c,b a+1 c=a+2.(1)若2 si n C =3 s i n A,求AABC的面积；(2)是否存在正整数“，使得AAbC为钝角三角形?若存在，求出”的值；若不存在，说明理

6、由.1 9.在四棱锥Q-ABCD 中，底面A B C Z)是正方形，若 AO=2,Q O =Q A =&,QC=3.(1)证明：平面平面A B C。；(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.2 0 .已知椭圆C的方程为+?=1(4 人 0),右焦点为尸(血,0),且离心率为a h 3(1)求椭圆C的方程；(2)设 M,N是椭圆C上的两点，直线MN与 曲 线/+/;/口。)相切.证明：”，N,尸三点共线的充要条件是I MN|=J 5.2 1 .一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0 代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2 代，该微生物每代繁殖的个数是相

7、互独立的且有相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X =i)=p,=0,l,2,3).(1)已知 P o=0.4,=0.3,2 =0.2,3 =0.1,求 E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：P o+px+p2x2+pixi=x的一个最小正实根，求证：当 凤 X)4 1 时，=1,当 E(X)1 时，1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.22.已知函数/(幻=(x-1)0*-办 2+.(1)讨论人幻的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)有一个零点1一 2a ；2 2。a,b 0)的焦点到直线y

8、 =x+l 的 距 离 为 后，则 2=()A.1B.2 C.27 2 D.4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的值.【详解】抛物线的焦点坐标为其到直线x-y +l=O的距离：d-0 +12_Vi+T=及 解得：=2（，=-6舍去）.故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为360（X）km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为0,半径，为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球

9、静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2r2（l-c o s a）（单位：km2）则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，s占地球表面积的百分比约为：64002）（1-cos a）=l-c o sa =-6400+36000 o 42=42%-W 2 2 故选：C.5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,A.20+12君 B.28 夜【答案】D【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由

10、棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，侧棱长为2,则其体积为（）r56 2 8 0c.U.-因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高=22-（2 7 2-7 2）2=V 2，下底面面积S1=1 6,上底面面积S =4,所以该棱台的体积V=；ME+S 2+J啊）=；*夜 （1 6+4 +南）=留8.故选：D.6.某物理量的测量结果服从正态分布N（1 0,CT2）,下列结论中不正确的是（）A.b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,1 0.1）的概率越大B.b越小，该物理量在一次测量中大于1 0的概率为0.5C.b越小，该物理量在一次

11、测量中小于9.9 9与大于1 0.0 1的概率相等D.b越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,1 0.2）与落在（1 0,1 0.3）的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A,/为数据的方差，所以b越小，数据在 =1 0附近越集中，所以测量结果落在（9.9,1 0.1）内的概率越大，故A正确；对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于1 0的概率为0.5,故B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于1 0.0 1的概率与小于9.9 9的概率相等，故C正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.

12、9,1 0.0）的概率与落在（1 0.2,1 0.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,1 0.2）的概率与落在（1 0,1 0.3）的概率不同，故D错误.故选：D.7.己知a =lo g s2,/?=lo g83,c=-,则下列判断正确的是()A.c h a B.h a c C.a c b D.a h c【答案】C【解析】【分析】对数函数的单调性可比较。、h与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】a=lo g5 2/5 =lo g8 2 V2 lo g83=b,即故选：C.8 .已知函数x)的定义域为R,x+2)为偶函数，/(2 x+l)为奇函数，则()A./=0 B.T)=0 C.

13、/(2)=0 D./(4)=0【答案】B【解析】【分析】推导出函数/(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/(1)=(),结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数/(x+2)为偶函数，则 2 +x)=2-x),可 得 x+3)=l-x),因为函数/(2 x+l)为奇函数，则l -2 x)=-/(2 x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),所以，/(x+3)=/(x+l)=/(x l),即/(x)(x+4),故函数/(x)是以4为周期的周期函数，因为函 数/(x)=/(2 x+l)为奇函数，则*0)=/(1)=0,故/(-1)=一/(1)=0,其它三个选项未知.故选：B.二、选择题：

14、本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9 .下列统计量中，能度量样本,马，毛的离散程度的是()A.样本为,工2,X”的标准差 B.样本%,工2,工”的中位数C.样本为,凡,，怎 的极差D.样本不工2,乙 的平均数【答 案】AC【解 析】【分 析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详 解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度;由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势;由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度;由平均数的定义可知，平均

15、数考查的是数据的集中趋势;故选：AC.10.如 图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为 正 方 体 的 顶 点.则 满 足 脑VJ_QP的是（）【答 案】BC【解 析】【分 析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平 移 直 线M N构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详 解】设正方体的棱长为2,对 于A,如 图（1）所 示，连 接A C，则故NPOC（或 其补 角）为 异 面 直 线ORM N所成的角,直 角 三 角 形OPC，O C =叵,C P =,故tan/PO C1 _ V272-V故MN L O P不成 立，故A错误.对 于B,如 图(2)所示，取MT的中

16、点为Q,连接PQ,0 Q,则。Q L N T,P Q L M N ,由正方体S B C M -N A D T可得S N1平面A N D T,而OQ u平面A N D T,故 S N J.O Q,而S N p M N =N,故平面 SN7M,又 脑V u平面SN7M,O Q L M N ,而OQ nPQ =Q，所以MN_L平面O P Q,而P O u平面O P Q,故M N工O P,故B正确.对于C,如 图(3),连接3 D，则3 O/M N,由B的判断可得。3 0,故0 P M N,故C正确.对 于D,如 图(4),取AO的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,QK,则 AC/MN

17、，因为。尸=P C,故 P Q/A C,故 PQHMN,所以NQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，图（4）因为正方体的棱长为 2,故 PQ=gA C=JE,OQ=ylAO2+AQ2=71+2=75.P07PK 2+0K 2=屈=逐，QO2PQ2+OP2,故NQPO不是直角，故PO,MN不垂直，故D错误.故选：BC.11.已知直线/:依+勿 r=0与圆。：/+产=/，点A(a,Z?),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线,与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离 D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切【答案】ABD【解析】【分

18、析】转化点与圆、点与直线的位置关系为。2 +/2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心。（0,0）到直线/的距离d若点A（a,。）在圆C上，则。2+=/，所以 二 卜|,yla2+b2则直线/与圆C相切，故A正确；若点A（a,）在 圆C内，则/+，所以d=y/a2+b2则直线/与圆C相离，故B正确；若点A（a,b）在圆C外，则+，所以=:,N，yja2+b2则直线/与圆C相交，故C错误；若点A（a,）在直线/上，则Y+一产=o即a2 +h2=r2,所以4=-7/.=旧,直 线/与 圆C相切，故D正确.y/a2+b2故选：ABD.12.设正整数=4 ,2+4 2

19、+ak_i-2*1+ak-1k,其中%c 0,1,记=%+q +4 .则（）A.0（2）=y（）B.以2 +3）=0（）+1C.0（8+5）=0（4+3）D.【答案】ACD【解析】【分析】利用。（“）的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于 A选项，ci0+ciy+ak,2 =4）,2,+q 2-+2+4 2+i,所以，o（2）=%+q +%=研 ）,A选项正确;对于 B选项，取=2,2+3=7=1-20+1-2+1-22.,.（7）=3,而2=0 2+1 2,则。（2）=1,即。（2）+1,B选项错误；对于 C 选项，8 +5=4 2、+4 24+*+a*2

20、*+5=1 2+1 ,2-+g 23+q,2,+4 2*,所以,故。(2 1)=，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线二ay2=l(a 0 0 0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为【答案】y 5/3x【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得，=3,再由渐近线方程即可得解.【详解】2 2因为双曲线0-3=1(。0,60)的离心率为2,所以e”2,所以”7=所以该双曲线的渐近线方程为了=2彳=&.a故答案为：y=y/3x.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14.写出一个同时具有下列性质的函数

21、/(X)：./(x/2)=/(x J/(W)；当 xe(0,+oo)时，f(x)0；/(x)是奇函数.【答案】/(x)=x4(答案不唯一，/(x)=f (“eN*)均满足)【解析】【分析】根据基函数的性质可得所求的/(x).【详解】取/（x）=X，则）=（%2）4 =X2 =/（X）/（工2 ），满足，y/（x）=4x3,x 0时有r（x）0,满足，/（力=4?的定义域为尺，又/x）=T V=故 尸（x）是奇函数，满足.故答案为：/（力=/（答案不唯一，/（x）=x2（eN*）均满足）15.已知向量a+B+c=G ,=1，W=H=2,a b+b c+c-a=【答案】9【解析】【分析】由已知可得

22、仅+B+2=0,展开化简后可得结果.【详 角 军】由已知可得（Q +B+C）=2+B2+1+2（4.万+日.0+。.4）=9+2（4石+3。+0 4）=0,因此，a-b+b-c+c-a=-.29故答案为：-二.216.已知函数/（%）=卜 -1|,王 0，函数f（x）的图象在点和点8（,/（工2）的两条切线互相垂直，且分别交），轴于M,N两点，则（黑 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _.I DN|【答案】（0,1）【解析】【分析】结合导数的几何意义可得%+/=0,结合直线方程及两点间距离公式可得|AM卜JF7声,BN=Vl+-|x2|，化简即可得解.【详解】由题意，力=卜 -1=.

23、，则/（%）=,-l,x 0 ex0所以点 和点 3（%2，升 1），3M=-e,%/=*，所以一e*e2=-l,xt+x2=0,所以 AA/:y 1 +e=-eA (xeX +1),所以+(0 为 工 )=V 1,I讣同理忸N|=，l +e 2*2 .同,故 答 案：(0,1)【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件百+工2=。，消去一个变量后，运算即可得解.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.记 S“是公差不为0 等差数列 4 的前n项和，若%=S5,a2a,=S4.(1)求数列 4 的通项公式4；(2)求使S“为

24、成立的的最小值.【答案】(1)。“=2 6；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得生的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】由等差数列的性质可得：S5=5a3,贝 i j：生=5。3，4=0，设等差数列的公差为d,从而有：a2a4 =(%-4)(。3+)=一/，S4=q +d i,+q+%(%2 d)+(q d)+q+(q d)=-2d ,从而：与 =2d，由于公差不为零，故：d =2,数列的通项公式为：a”=q+(3)d =2-6.(2)由数列的通项公式可得：q=2 6 =-4,则：S,=

25、O+(a“即：2_ 5 2 6,整理可得：(-1)(-6)0,解得：6,又 为正整数，故的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.1 8 .在 A SC中，角A、B、C所对的边长分别为。、b、c,b=a+,c=a+2.（1）若2s in C =3s in A,求 AABC的面积；（2）是否存在正整数a,使得AABC为钝角三角形?若存在，求出”的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）上 一；（2）存在，且a=2.4【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2c =3 a,结合已知条件求出。的值，进一步可求得b、

26、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出s in 3,再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角。为钝角，由c o s C ba,若AABC为钝角三角形，则。为钝角，,.,a1+b2 c2 才+(。+1)(a+2)a2 2 a 3由余弦定理可得c o s C =-=-/-=7-0 ,lab 2a(a+1)2a(a+1)解得一l a 3,则0 a。+2,可得 1,QWZ,故。=2.1 9 .在四棱锥Q A B C。中，底面A B C。是正方形，若A O =2,QO =QA =逐,Q C =3.（1）证明：平面平面AB C D；（2）求二面角5 -Q。A的平面角的余弦值.【答案

27、】（1）证明见解析；（2）|,【解析】【分析】（1）取 的 中 点 为。，连接Q Q C O,可证Q O,平面ABC。，从而得到面QAOL面A8CO.（2）在平面ABC。内，过0作OT C O,交B C于T，则O T L A O,建如图所示的空间坐标系，求出平面QA。、平面6Q。的法向量后可求二面角的余弦值.Q（1）取4）的中点为。，连接QO,CO.因为QA=Q。，O A O D,则QO，A），而 AO=2,QA=石，故。=/=2.在正方形A5CO中，因为4 5 =2,故。0=1,故C0=6,因为QC=3,故。2 =。2 +。2,故A。为直角三角形且Q。，。,因为0CAAO=。，故Q O,平面

28、4 B 8，因为QO u平面QA。，故平面QAOJ平面A8CD.（2）在平面ABCO内，过。作O77/CO,交B C于T，则OTLAO,结 合（1）中的QO_L平面A 8C D,故可建如图所示的空间坐标系.Q则0（0,1,0）,Q（0,0,2）,B（2,-1,0）,故 的=（2,1,2）,丽=（一2,2,0）.设平面QBD的法向量=（x,y,z）,n B_Q =0即n-BD=0-2x+y+2z=0-2x+2y=0取 x=1,则 y=1,z=g ,而平面QAO的法向量为正=0,0,0）,故cos（丸ix 3223.则故”喝12二面角8-Q O-A的平面角为锐角，故其余弦值为2y2 0.已知椭圆C

29、的方程为J+a=1（/?0）,右焦点为F（血,0）,且离心率为逅.3（i）求椭圆c的方程；（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线M N与曲线V+J?=。2*0）相切.证明：/，N,F三点共线的充要条件是|MN 1=6.【答案】（1）+y2 3=l；（2）证明见解析.3【解析】【分析】（1）由离心率公式可得a=6,进而可得，即可得解;（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|M N|=6；充分性：设直线M N:y =丘+反（初0）,由直线与圆相切得力2=公+1，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得J 1+/.叵 =百,进而可得左=土1,即可得解.1 +3二【详解】（

30、1）由题意，椭圆半焦距c=正 且e =巫，所以a=百,a 32又=。2 c,2=l，所以椭圆方程为三+y 2=i；3（2）由（1）得，曲线为犬+丁=1。0）,当直线MN的斜率不存在时，直线M N:x =l,不合题意;当直线MN的斜率存在时，设M（X 1,y J,N（/,y 2），必要性:若M,N,F三点共线，可设直线A/N:y =Z（x-0）即 履-y-0%=O,由直线MN与曲线炉+丁=i（xo）相切可得J _ L=1，解得=1,VP+1联立尸 土 卜 一 亚)3亚 3%2 ,可得 4/6 0 x+3 =O，所 以 西+/=2,-x,-x2=-F y2=1 2 43 所以|M N|=V 1+T

31、 加1+/)2-4 1.工2 =劣，所以必要性成立;充分性：设直线M N:y =（妨0）即k x-y+b=O,由直线MN与曲线/+：/=l（x 0）相 切 可 得/网=1,所以。2=炉+1，a+1联立y=kx+bx2 2 可得(l+3%2)f+6妨x+32 3 二。,互+y =1所 以 玉+”-2,仃2=空;1-1+3-1 1+3V所以|M N|=yll+k2-）（7+）2 4%.1=+k26 kh Y1 +3*3Z?2-3 +3k2化简得3 k 2 1)2=(),所以=i,k=1 k=一 所以力_ 0或/,_ 加，所以直线M N:y =x-&或y =-x +/，所以直线MN过点F(虚,0),

32、M,N,尸三点共线，充分性成立;所以M,N,尸三点共线的充要条件是|M N|=6.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.2 1.一 种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代 该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X =i)=p,=0,l,2,3).(1)已知 Po=0.4,1=0.3,2 =0.2,3=0.1,求 E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方

33、程：P。+p1x+p2x2+pixi=x的一个最小正实根，求证：当 凤X)W 1时，=1,当E(X)1时，p.(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【答案】(1)1；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】(1)利用公式计算可得E(X).(2)利用导数讨论函数的单调性，结合/(1)=0及极值点的范围可得/(x)的最小正零点.(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】(1)(X)=O x O.4 +l x O.3 +2x O.2+3 x O.l =l.(2)设/(x)=p 3 d+(百一1)%+00,因为 P 3 +P 2+P i+%=1，故 f(x)=p +p,x2

34、 一(P 2+4)+。3)%+。0，若（X）1,则，1+22+3 3 4 1,故，2+2死4 0./（x）=3凸/+22%一（P 2+“0+”3 ），因为/（）=一（2+“0+3），/=“2+2,3 一，0 W。,故/（%）有两个不同零点西,，且 玉1工2，且4 -00,%）D（孙+00）时,/,（x）0；时，./（刀）0；故/（X）在（T,x J ,（工2,+0）上为增函数，在（看,工2）上为减函数，若 =1，因为“X）在（，+8）为 增 函 数 且 1）=（），而当（0,X 2）时，因为/（X）在（玉，w）上为减函数，故/（x）/（w）=/（l）=o，故1为P o+PX+p2x2+p3x3

35、=X的一个最小正实根，若 马 1 ,因为/（1）=0且在（0,/）上为减函数，故1为P o+P 1X+P2X2+=x的一个最小正实根，综上，若（X）W1,则。=1.若 E（X）1,贝 i j|+2P2+3 3 1，故，2+23A）.此时/（）=一（2+“0+3），/=P2+23 0。,故/（x）有 两 个 不 同 零 点，且 毛尤4 1，且 工 -00,%3）0 4，+00）时，/（X）O；X出,工4）时，/（x）0;故/（X）在（Y），F）,&,+00）上为增函数，在（3，七）上为减函数，而 1）=0,故/（毛）（），又“（）=0 0,故/（x）在（0,王）存在一个零点。，且P 1.所以/，

36、为P o+PX+p2x-+P 3/=X的一个最小正实根，此时p,故当 E（X）1 时，p.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.22.已知函数/（x）=（x-l）e*-ox?+.（1）讨论/（x）的单调性;(2)从下面两个条件中选一个，证明：/3)有一个零点1j一 2a ；2 2。a,b2a.2【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可;(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由

37、函数的解析式可得：_ T(x)=x(e，-2a),当a V O时,若X(Y,0),则/(x)0J(x)单调递增；当0 a 0J(x)单调递增，若 x e(in (2a),(),则/(x)0,/(x)单调递增；当a =g时，/(x)O J(x)在R匕单调递增；当时，若8,0),则/(x)0J(x)单调递增，若x Ql n(2a),则/(x)0J(x)单调递增；(2)若选择条件：由于万，故l v 2 a /,则621,/(0)二。一10,而=(1匕)6一 _/?2Ql n(2a)-a l n(2Q)丁+2a=2 a I n(2a)-a in(2a)2=a l n(2)2-l n(2),由 于;q,

38、三，1 2 7“，故 a I n(2叫 2 I n(2a)20,结合函数的单调性可知函数在区间（0,+纥）上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于0 g,故2a 1,则/（0）=8 14 2a 1 4,4 a Q,而函数在区间（）,+8）上单调递增，故函数在区间（0,+8）上有一个零点.当6 0时，构造函数(x)=e x 1,则“(x)=e*1,当x e（ro,0）时,（x）0,H（x）单调递增,注意到“（0）=0，故（x）恒成立，从而有：ex x +l 此时:2/(x)=ux1 b (x l/x+l)-t zv+b=(l-t z)x2+(/?-1),当X_ 时，(l-t z)x

39、2+(Z?-l)0,取%=L +l,则/(拓)0,V -aGP：/(0)0,1-4 J而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+。)上有一个零点./(l n(2a)=2a l n(2a)-l-a l n(2a)-+Z?2a in (2a)-1-a in (24)丁+2 a=2a l n(2a)-a l n(2a)丁=a l n（2a）2-l n（2a）,由于0 a g,0 2 L 故a l n（2a）2 l n（2a）0,结合函数的单调性可知函数在区间（9,0）上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.