2021年全国100所名校高考数学示范试卷（三）.pdf

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1、2021年全国100所名校高考数学示范试卷(三)一、单选题(本大题共8小题，共40.()分)1.已知Z =苦W,则W =()1+1 A.-l +2i B.-1-212.已知集合 4=x|(2x +3)(工 -2)0 ,A.4-V x V 2)c.X|-|%0 ,则4n s)=()B.%|-|%；)D.W -2 x 已知非零向量落3满足|五|=|3|,若近方2石与日垂直，贝眩与石的夹角。=()A.-n6 nB.zn c.-n D.-2n已知X 为锐角，则 s i n x 0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件某大型金字形墙体如图所示，最上层码有2

2、块长方体 臼石块，第 2 层 6 块石块，第 3 层 i o 块石块，以下每层 rr-T都比其上一层多4 块石块,已知总层数为奇数，其中中 山 间一层有310 块石块，则该建筑的总层数为()A.157 B.153 C.155 D.1516.已知倾斜角为。的直线/过抛物线G：x2=2p y(p 0)的焦点F,若/与圆C2：X2+(y -2)2=4相切，则p =()A.12 B.107.C.8 D.6据水利部消息，受降雨影响，嫩江尼尔基水库9 月 4 日2 时入库流量3510 立方米每秒，依据水利部建国主要江河洪水编号规定，编 号 为“嫩江20 20 年 第 1号洪水”.现有7 名消防员志愿者到4

3、,B,C 三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A 社区要分配三名志愿者，B,C 两个社区各2 名志愿者，则不同的分配方法共有()A.210 种 B.240 种 C.420 种 D.10 5 种已知函数/(x)=(x -+mlnx)ex+l(m 0,则实数，的取值范围是()A.-2,-1 B.e,0）C.e,Ve D.2e,0）二、多 选 题（本大题共4小题，共20.0分）9.射频前端芯片是无线产品中的关键部件，在进入5G时代后，其背后牵动的经济和社会价值尤为重要.射频前端芯片包括射频开关、射频低噪声放大器、射频功率放大器、双工器、射频滤波器等芯片，是移动智能终端产品的核心组成部分，我国

4、是全球最大的射频前端芯片市场，但国内企业占比较小，国产化任重而道远.如图是2011 2023年全球射频前端芯片市场规模及预测（其中年份后带字母“E”为预测）.由图可知，下列说法中正确的是（某年至某年包含两端年份）（）A.从 2014年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长13%以上B.预测从2020年至2023年全球射频前端芯片市场规模的增量在逐年上升C.从 2015年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年较上一年增长率的平均值为 13.348%D.预测2019年至2021年全球射频前端芯片市场规模波动比2013年至2015年的波动大1 0.已知a 0,b 0,且ab=2,则(

5、)A.a+b 2V2B.a2+b2 8(log2a+log2/5)C.a+2b 4D.2a+4b 161 1.如图，这是函数/(%)=4sin(cox+)(4,3 0,|初 0,b 0）的右顶点为A,左、右焦点分别为Fi，F2,点 P是双曲线右支上一点，P F1交左支于点。，交双曲线的渐近线y=于点R,M 为P。的中点，若RF2IPF1，且AM 1 P0,RF2 =2 V3,则双曲线C的 标 准 方 程 为.四、解 答 题（本大题共6 小题，共 7 0.0 分）17.从2 a l =13 0 2，(14。3 =8,a 3 a 9=16磅这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.问题：己知

6、数列 a j 为等比数列，且.若0n 0,%=2,求数列 an+抽 2 5 的前n项和18 .在 A B C 中，a,b,c 分别为角 4,B,C 的对边，且2 s 讥?(B+。)一 s i nB s i nC =2(s i nB -sinC)2.(1)求 s i nA；(2)若a =2V L 求 A B C 面积的最大值.19.如图，在正方体A B C D-p B i Q D i 中,E为B B i 的中点,F 为 的 中 点.(1)求证：平面BC/平面4。送；(2)记4 BGF 的重心为G,求直线G B i 与平面力D i E 所成角的正弦值.第 4 页，共 19页2 0.学生的学习方式是

7、多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距离，也为了提高学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加网上学习.某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取100名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示.(1)若此次学习数学时间X整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设，b 分别为这100名学生学习数学时间的平均值和标准差，并求得=76,7 =11.该校共有1000名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过87分钟的学生人数(结果四舍五人取整数)：(2)若从全市学生中(利用电脑抽取学籍号的方式)有放回地随机抽取3次，每次抽取1人，

8、用频率估计概率，设其中数学学习时间在80分钟及以上的次数为。求随机变量f的分布列和均值.参考公式：若随机变量服从正态分布N(,i2),则P(-+0.6827,P(4 2a X n+2T)0.9545,PQt 3a X n+3cr)*0.9973.21.已知函数/(%)=(x l)e*,gx)=m x2(m G(1,1).(1)判断f(x)的单调性；(2)求函数F(x)=/(x)-g(x)在 0,m 上的最大值.22.在平面直角坐标系xO.y中，点 B 与点4(金，学)关于原点0 对称，且 4 8 及它们关于 x 轴对称的点都在曲线7 上，P 是曲线T上不同于上述四点的一动点，且直线AP与 8

9、P 的斜率之积等于-：.4(1)求曲线T 的方程，并说明是什么曲线；(2)设直线/：丫=/+血与曲线 相交于知、N 两点，以线段CM,ON为邻边作平行四边形CM EN,其中顶点E 在曲线上，求|0E|的取值范围.第 6 页，共 19页答案和解析1.【答案】D【解析】解:2i 4 _ -4)(1)1+i (l+i)(l-0 2+6i2Z=-l +3 i,所以 z =-1 3 i,故选：D.先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共辆复数的定义进行求解即可.本题主要考查了复数的运算，以及共轨复数的求解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题.2.【答案】B【解析】解：集合4 =x|(2 x

10、4-3)(x -2)0 =x|-|尤 0 =xx )所以CRB=x|x 故 A n (CRB)=x|-I x J).故选：B.先利用一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法求出集合A,B,再由补集的定义求出CRB,结合交集的定义求解即可.本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，同时考查了一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法，属于基础题.3.【答案】B【解析】解：.&E -2石与五垂直，(V2a-2b)-a=V2a2-2a-b=0.a-b=a2,且 国=|b|.一 T V2-2 皿 晶=事=尚 且。0，兀 ，6 =巴.4故选：B.根 据&方 一2至与诞直即可得出五j=孝

11、 片，然后根据|可=|方|即可求出c o s。的值,进而求出。的大小.本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.4.【答案】A【解析】解：因为x 为锐角，且所以0 0,所以0 x f,所以X为锐角，“sinx 0”，“cos2x 0”不能推出“sinx ,所以x 为锐角，则 s in x 0”的充分不必要条件.故选：A.分别解三角不等式S讥x 0,然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可.本题主要考查了三角不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了推理能力，属于基础题.5.【答案】C【解析】解：设从上至下各层的石块数构成数列

12、 即，由题设知数列 a J 是首项为2,公差为4 的等差数列，设中间一层的石块数为与，则an=2+4(n 1)=3 1 0,解得：n=78,;该建筑的总层数为2 X 78-1=155,故选：C.设从上至下各层的石块数构成数列 5 ,由题设知数列 an 是首项为2,公差为4 的等差数列，然后利用其通项公式及题设条件求得中间一层是第儿层，即可求得结果.本题主要考查等差数列在实际问题中的应用及等差数列基本量的计算，属于基础题.6.【答案】A第8页，共19页【解析】解：设倾斜角为。的直线过抛物线C：x2=2py(p 0)的焦点 F,如图，切点为：B,连接S C 2,则由。2|=2,直线/的倾斜角为：刍

13、 所 以 NBFO=?C2F=2BC2 =4,故 F(0,6)所以 =4 +2,可得p =1 2,故选：A.画出图形，利用圆心到直线的距离等于半径，转化求解尸的坐标，求解即可.本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题.7.【答案】A【解析】解：由题意可得：先从7 名消防员志愿者选择3 名到A社区，再从剩下的4名志愿者中选出2 名到3社区，剩下的2名志愿者中到C社区，根据分步乘法原理可得不同的分配方法共有：G x废 x或=翳1 X笠 x 1 =2 1 0 种.故选：A.由题意可得：先从7 名消防员志愿者选择3名到A社区，再从剩下的4名志愿者中选出2名到3社

14、区,剩下的2名志愿者中到。社区，根据分步乘法原理可得不同的分配方法.本题考查了分步乘法原理与排列组合的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.【答案】B【解析】解：?当 W(l,+8)时，恒有(%无血+根伍工)蛾+10,恒有+,_ mlnx(x 1),即恒有L lnex -lnxm(x 1).构造函数g(x)=x-l n x,=y=g(%)在(o,i)上单调递减，在(1,+8)上单调递增v x 1,m 0,A 0 ex 1,0 xm 贝%血)，ex%m,两边取自然对数得？n m工一 ,二 血 一言，令九0)=一忌，则(乃=需，y-/i(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递

15、减，二当x =e 时，h(x)max h(e)=-e,e4 m 1)恒成立，然后构造函数g(x)=x-l n x,得到m 一 热 再构造函数八(%)=-丘，求出九(x)的最大值，进一步求出m的取值范围.本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的解法，考查了函数思想和转化思想,属中档题.9.【答案】ABD【解析】解：由折线图可知，从 2 01 4年至2 01 9年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长1 3%以上，所以选项A正确；因为根据预测从2 02 0年至2 02 3年全球射频前端芯片市场规模的增量依次为1 9.2 2%x1 6 9.57 =32.59亿美元，1 6.53%x 2 02.

16、1 6 =33.41 亿美元，1 5.55%x 2 35.57 =40.8 9亿美元，故增量在逐年上升，所以选项B 正确；13.28+13.42+13.43+14.43+13.73.IAI/J =1 u.Ouo,所以从2 001 5年至2 01 9年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长率的平均值为1 3.6 58%,所以选项C不正确：从折线图可以看成波动较大，所以选项。正确.故选：ABD.利用题中给出的条形统计图和折线统计图，对四个选项进行逐一分析判断即可.本题是一道统计题，阅读量大，涉及条形统计图和折线统计图，考查学生逻辑推理能力与分析数据能力，属于基础题.1 0.【答案】A C【解析】

17、解：对于A：a 0,b 0,且a b =2,故a +b 2 2yab=2 v L (当且仅当a =b=企 时，等号成立)故A正确；第1 0页，共1 9页对于 B：a2+b2 2ab=4,由于8(log2a+log2b)=8/og2ab=8,故 B错误；对 于 C：a+2b 2V2ab=4(当且仅当a=2b=2等号成立)，故 C 正确；对于。：2a+4b=2a+22b 2V2a+2b 2八 2衣亚=8(当且仅当a=2b-2时等号成立)，故。错误.故选：AC.直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用判断4、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：基本不等式的基本性质，关系式的变换，主要考察学生的运

18、算能力和转换能力，属于基础题.11.【答案】BCD【解析】解：对于选项A,由图可知，最小正周期7=久 居+=兀，即选项4 错误;对于选项 5,4=2,co=2,/(%)=2sm(2x+p),又点(居,2)在/(x)的图象上，2s讥(2 X 詈+9)=2,即:+程=2%兀+；,k E Z,.(p=2/C T T-p k E Z,lgl【解析】解：过点P 作PH 1 4 B于 H,作PM，平面B C D于M,过点M 作MN 1 BC于 N,连接PN,二 面角4-B C-D的大小为三O乙 P N M =PN=2PM,6,:P M =PH,：.PN=2PH,点P 的轨迹是一端点为点B,另一端点在AC上

19、的线段，即选项A和 B 均错误；在 ABC中，ABC=AB=4,由余弦定理知，AC2=A B2+BC2-2AB-BC-cosABC=16+9-2 x 4 x 3 xcos=13,1.AC=V 1 3.即选项C 正确；在4 ABC中，由余弦定理知，COSNB&4=g+B C f 82=13+9-16=叵，2AC*B C 2 X V13 X 3 13当点P 在 AC上时，配坦 =也”=:1 J ShcBP PC BCPN 3八 6 3 A6 3V135 5CN=PC-COSNBCA=x =-,PN=J PC2-C N2=5 13 5 5BP=JP W +(BC-C N?=(卓)2+(3|)2=券

20、点尸的轨迹长度为竺，即选项O 正确.5故选：CD.选项A和B,过点P作PH 1 AB于，作PM，平面B C D于M,过点M 作M N 1 BC于N,连接尸M易知NPNM=,从而推出PN=2 P H,于是得点尸的轨迹为线段；O选项C,在 ABC中，由余弦定理，可求得AC的长度；第 12页，共 19页选项 ,在 A B C中，由余弦定理求得c o s N B C A的值，当点P在A C上时，由变组可推SACBP出A P和P C的比值，从而得C N和P N的长，最后利用勾股定理求出8 P的长，即可.本题考查立体几何的综合应用，包含二面角、点到线和点到面的距离等，考查学生的空间立体感、推理论证能力和运

21、算能力，属于中档题.1 3.【答案】-2【解析】解：根据题意，函数/(X)=一+N2X+6为奇函数，则/(乃=一/(乃，I J L J (4八 十J-X _ X即(1一%)(所2%)一 _ (x+l)(2x+ay变形可得(a +2)%=0,必有。=一2,故答案为：-2.XX根据题意，由奇函数的定义可得6-x)=-f(x)，即(I)(a _ 2 x)=-(x+l)(2 x+a),变形分析可得答案.本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题.1 4.【答案】1 2%【解析】解：该班既报了 1 0 0米短跑又报了 1 50 0米长跑的的学生数=1 0 +1 2-1 6 =6人

22、，占该班学生总数的比例=。=1 2%.由题意可得该班既报了 1 0 0米短跑又报了 1 50 0米长跑的的学生数=1 0 +1 2-1 6 =6人,进而得出占该班学生总数的比例.本题考查了集合有关知识、频率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.1 5.【答案】3 2兀【解析】解：圆堡璇的轴截面是边长为4的正方形A B C Q,点E为上底圆周上一个动点(与C、点不重合)，取A C的中点为O,则C力=OB=0E=0C=2 V 2.所以三棱锥B -4 C E的外接球的半径为2a，所以三棱锥B -4 C E外接球的表面积为4 7 r x (2A/2)2=3 2 7 r.故答案为：3 2兀.取

23、A C的中点为O,求出外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可.本题考查数学文化与交换条件，考查发现问题的能力，是基础题.1 6.【答案】9一?=1【解析】解：因为P&J.RF 2，所以|C R|=c,设/?(沏,(&),所 以+(营*。)2 =c，解得“0 =a，所以R(a,b),所以直线P F i的斜率为七，设P(%2,y2),0,所以q =2,所以an=2n,于是 l og 2 Qn=l og 2 2n=n,所以 7；=(%+。3 +a“)+(1 +2 +3 +n)=+=2+1+n(n+l)Q-2-L.若选，设等比数列 an 的公比为夕，因为 的=2,a4-a3=8,所以 2 q 3 -

24、2q2=8,即 q 3 -q2-4 =0,B P (a2+q +2)(q 第1 4页，共1 9页2)=0,解得q=2,所以册=2n,于是 logzn=log22n=n,所以 7；=(%+a2+a3+-+an)+(1+2+3+n)=2n+1+7(1+1)_ 22若选，设等比数列 a“的公比为q,因为G3Q9=16Q2,cin 0,所以。6=4。5，所以q=4,所以an=2-471T =22nt,于是logzQn=10g22271T =2九一1,所以 7；=(%+。3+an)+(1+3+5+-+2 n-l)=+亚 计*)=1 4 2|(4n-l)+n2.【解析】若选，由等比数列的通项公式即可求出公

25、比q,从而可得数列 即 的通项，利用分组法求和即可.若选，由等比数列的性质即可求出公比q,从而可得数列 即 的通项，利用分组法求和即可.本题主要考查等比数列及数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)v 2sin2(B+C)sinBsinC=2(sinB-sinC)2,:.2sin2A-sinBsinC=2(sin2F 2sinBsinC+sin2C),sin2B+sin2c sin2=-sinBsinC,2由正弦定理知，-sinA sinB sinC h2 4-c2 a2=-bc,2由余弦定理知，cosA=止 金 之=*=三，2bc 2bc 4A 6:.sin A=V

26、1 cos2?1=.4(2)由(1)知，b2+c2-a2=bc,A h2 4-c2=a2 4-2 he=8+-2 Z?c 2bcf be 1 6,当且仅当b=c=4时，等号成立，4 8 c面积S=-bc-sinA 87)x=0.15865,0.15865 X 1000 159(A).估计该校学生中学习数学时间超过87分钟的学生数为159人.(2)从全市学生中有放回地抽取1 名学生，该学生学习数学时间在80分钟及以上的概率为泉 随机变量6B(3,|),%=。)=政 铲(铲=言，P(f=D=G(|)(|)T，%=2)=熊(|)2(|)=券%=3)=月(|)3(|)。=短 f 的分布列为:0123p

27、2712554125361258125*El/(f八)=c0 x2-7-F i x5-4-1F r2 x-3-6-F o3 x 8=6125 125 125 125 5【解析】(1)由 =7 6,。=11,ii+a=8 7,求出P(X 87)“谭吆=0.15865,由此能估计该校学生中学习数学时间超过87分钟的学生数.(2)从全市学生中有放回地抽取1名学生，该学生学习数学时间在80分钟及以上的概率为|,随机变量f 8(3,|),由此能求出f 的分布列和数学期望.本题考查频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核

28、心素养，是中档题.21.【答案】解:(l)f(x)=(x-l)e。贝(Jf(x)=x ,令(%)0,解得：%0,令(%)V 0,解得：x 0,故f(x)在(-8,0)递减，在(0,+8)递增；(2)F(x)=/(%)g(x)=(x l)ex m x2,则/(%)=x(ex-2m),令F(x)=O,解得：%i =0,x2=l n(2m),令/i(z n)=l n(2m)m =Inm-m+ln2,v z m m故九(m)在G，l 上单调递增，故九(z n)ln2 1=I n-0,从而l n(2m)m,故l n(2m)6 (0,m),故当 E(0,l n(2/n)时，F(x)0,故 尸(%)根以=m

29、 Q%L (m V)em m3,令H(m)=(m l)em m3 4-1,则H(m)=m(em-3m),令9(m)=em-3 m,则d(m)=em-3 e 3 0,故*(m)在G，”单调递减，而w(0(1)=(V?-|)(e -3)0,当m G (与,1)时，W(n i)0.H(l)=0,故，(m)。在(”上恒成立，(当且仅当m=1时“=”成立)综上：函数F(x)在 0,m 上的最大值是(爪-l)em-m3.【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，根据函数的单调性求出产(X)m a x =m a x -1，(7n-l)e m -77T3

30、,令H(m)=(m-l)em-m3+1,根据函数的单调性求出H(m)0,求出F(x)的最大值即可.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题.2 2.【答案】解：(1)设点P的坐标为(x,y),因为直线AP与8尸的斜率之积为-*且点B与点力(金,亨)关于原点。对称，,V6所 以 匕l x丝 三=_3X-V2 x+2 4化简得亍+y =1(%H 土企)，第1 8页，共1 9页所以曲线T的方程为?+9=1(x 7 土衣)，该曲线为一个椭圆(除去横坐标为土鱼的四点).(2)当k=0 时，E(0,2 m)在椭圆T 上，解得加=争 所以|0 E

31、|=V 5，(y=kx+m当k WO 时，则由卜2 2 消去 y 化简得(3 +41)/+8/cmx +4 ni?-1 2 =0,tT+T=1所以=64k2m2-4(3 +4 f c2)(4 m2-1 2)=4 8(3 +4 f c2-m2)0,设 M,N,E 点的坐标分别为(X i，y)，(孙,、2)，(x0,y0)则&=X1+x2=一1，y0=yi+y2=卜3+x2)+2m=由于点在桶圆T 上，所 以 通+理=1,4 311 -T T-16k2m2,12m2.从而(3+4H)2+(3+4H)2=L化简得4 ni 2 =3 4-4k2,满足 0,所以|阳=展而=及器)2+(9=月寿=唐=k

32、yj 4k2+3因为4 k2+3 3有际1,故b I O E|2,综上，所以|0 E|的取值范围为 7 5,2).【解析】设 点 P的 坐 标 为 y)，由直线4P与 B P 的斜率之积为一：，得 匕 l x 也五=4 X-V 2 X+V 2化简得答案.4(2)当k=0 时，E(0,2 m)在椭圆T 上，解 得 如 进 而 可 得|OE|；当k 40 时，设 M,N,E 点的坐标分别为Q i，yi),(x2,y2),(&,y(),联立直线/与椭圆的方程，结合韦达定理可得而，小，由于点E 在椭圆 上，解得4 m 2 =3+41,进而计算|OE|得出答案.本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.