2021年山东省菏泽市曹县中考数学三模试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021年山东省荷泽市曹县中考数学三模试卷一、选 择 题（本大题共8小题，共24.0分）1.比一3小1的数是（）A.2 B.-2 C.4 D.-42.若x+y=3,z-y=-4,则x+z的值为（）A.1 B.-1 C.7 D.-73.下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（）4.如图，数轴上两点M,N所对应的实数分别为m,n,则z n-n的结果可能是（）N.F0 2A.-1 B.1 C.2 D.35.如图，三角形纸片ABC,AB=AC,NBAC=90。，点E为AB 人的中点，沿过：点E的直线折叠使点B与点4重合，折痕EF交BC于点F,EF=B F2,则B

2、C的长为（）A.2V2 B.32 C.4V2 D.6V26.已知三个实数a,b,c满足a 2b+c=0,a+2b+c V 0,则（）A.0,b2 ac 0 B.h 0,b2 ac 0,62-ac 0D.&07 .如图,A B 是半圆的直径,A C 是一条弦，。是部 的 中点,DE1AB于点E,0 E 交4 C 于点F,D B 交4 C 于点G,tan/.CAB=则黑的值为（）A.日B.立4C-TDT8.如图，矩形4 B C。中，AB=3,BC=4,动点P 从4 点出发,按 月 的 方 向 在 A B 和B C 上移动，记P 4 =x,点D 到直线P A 的距离为y,贝物关于x的函数图象大致是（

3、）二、填 空 题（本大题共6小题，共 1 8.0 分）9 .函数y =亨 中，自变量X 的 取 值 范 围 是 .1 0 .在平面直角坐标系中，MBC三个顶点的坐标分别为。（0,0）,做3,0）,8（4,2）,则第四个顶点C 的坐标为.1 1 .如图，在边长为4 cm 的正六形4 B C D E F 中，点P 在4 尸 边上，连接P C,P D,则 P C D 的面积为.第2页，共25页1 2.1 3.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色.固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则 两 次 颜 色 相

4、 同 的 概 率 是.如图，在AABC中，4 B =A C =4,将 A B C 绕点4 顺时针旋转3 0。，得到 4 C D,延长4。交B C 的延长线于点E,则D E 的长为.1 4.如图，在平面直角坐标系中，已知C（3,4）,以点C 为圆心的圆与y 轴相切.点4、8 在x轴上，且（M=OB.点P 为。C 上的动点，N A P B =9 0,则4 B 长度的最大值为三、计 算 题（本大题共1 小题，共 6.0 分）1 5.解方程：二4x2-l=1.四、解 答 题（本大题共9小题，共 7 2.0 分）（3（x 2）-X -1I 4 217.如图，在。4BC0中，点。是边C。的中点，连接4 0

5、 并延长，交BC的延长线于点E.求证：BC=CE.18.如图，一艘船由A港沿北偏东65。方向航行30位 km至B港，然后再沿北偏西40。方向航行至C港，C港在4 港北偏东20。方向，求(IR C 的度数.(2)4 C两港之间的距离为多少/on.第4页，共25页1 9 .某校为了解九年级学生每天在校体育活动的时间(单位:h),随机调查了该校部分九年级学生，根据调查结果绘制出了统计图表：(1)求调查的学生中，体育活动时间1.8/1 的有多少人？时间11.21.41.61.82人数2661 04(2)求统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据的平均数和中位数.2 0 .如图，反比例函数y =：的图象

6、过等边A B O C 的顶点B,。=2,点4 在反比例函数的图象上，连接AC,AO.(1)求反比例函数的表达式；(2)若四边形AC B。的面积是38，求点4 的坐标.2 1.某商场计划购进4 8两种新型节能台灯共120盏，这两种台灯的进价、售价如表所不：类型价格进价(元/盏)售价(元/盏)力型3045B型5070(1)若商场预计进货款为5200元，则这两种台灯各购进多少盏？(2)若商场规定8 型台灯的进货数量不超过4型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？2 2.如图，aABC内接于。0,AB为直径，作。，力 B交4?于点D,延长BC,。交于点凡过点

7、C作。的切线CE,交OF于点E.(1)求证：EC=E D；(2)若04=4,EF=3,求cos4的值.第6页，共25页2 3 .如图，四边形4 BC D是矩形，点E 在8 4 的延长线上，AE=AD,E C 与B O 相交于点G,与4 D 相交于点心(1)若4 E =9,AF=6,求A B 的长；(2)若N E =Z.ADB,连接4 G,求证：EG-DG=/2AG.24 .如图，抛物线y =ax2+bx+c 与x 轴交于点4(-1,0)，8 两点，与y 轴交于点C,0B=OC=3 O A,直线I 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1,连接B E,线段0

8、 C 上的点F 关于直线I 的对称点F 好在线段B E 上，求点尸的坐标.(3)如图2,动点P 在线段0 B 上，过点P 作x 轴的垂线分别与8 C 交于点M,抛物线交于点N,在抛物线上是否存在点Q,使A P Q N 与A 4PM的面积相等，且线段N Q 的长最小？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.图1图2第8页，共25页答案和解析1.【答案】D【解析】解：一 3-1 =一 4.故选D.根据有理数的减法，减 去 一 个 数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解.本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键.2.【答案】B【解析】解：x+y=3,z-y =-4,x+y

9、+z y=x+z=3 4=l.故选：B.直接利用整式的加减运算法则计算得出答案.此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键.3.【答案】B【解析】解：4 主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；A主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意：C.主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；D 主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形,故本选项不合题意；故选：B.主视图、左视图是分别从物体正面

10、、左面看，所得到的图形.分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解.本题考查了利用儿何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得一2 M一10机 1,m-n的结果可能是2.【解答】解：:M,N所对应的实数分别为m,n,2 n 1 0 m 1,m -n的结果可能是2.故选：C.5.【答案】C【解析】解：在力B C中，Z B 4 C =9 0 ,AB=AC,：

11、.N B =4 5 ,由折叠可知，EF 1 AB,BE=AE,AF=BF,：.乙B=/.BAF=4 5 ,乙AFB=9 0,即A F 1 BC,二点F是B C的中点，BC=2BF,在尸中，Z.AFB=9 0 ,BE=AE,：.BE=EF=2,：.BF=2 V2，BC=4位.故选：C.由题意可得点尸是B C的中点，AA B F是等腰直角三角形，再根据E F的长度，可 求 出 的长度，进而得出结论.本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，得出 4 B F是等腰直角三角第10页，共25页形是解题关键.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确

12、题意，判断出b和炉一QC的正负情况.根据a-2 b +c=0,a 4-26 4-c 0,可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和/一 砒 的正负情况，本题得以解决.【解答】解：,a 2b+c=0,Q+2b+c V 0,a+c a+c=2b,b=Q+2b+c=(a+c)+2b=4b 0,b 0,4 v 2 7即b 0,故选：D.7.【答案】C【解析】解：连接/D,BC,AB是半圆的直径，A LADB=9 0 ,又 Z,ADE+/.DAE=9 0 ,匕DAE+ABD=90,Z-ADE 乙4BD,D是M的中点，:.Z.DAC=Z71BD,Z.ADE=Z.DAC,.FA=FDf ADE=Z.D

13、AC=乙DBC,Z.ADE+乙EDB=9 0,乙DBC+乙CGB=90,A Z.EDB=Z-CGB,乂乙DGF=cCGB,:.Z-EDB=Z-DGF,:.FD=FG,FA=FG,tanzCXB=-=设EF=3k,AE=4 k,则4F=DF=FG=5k,DE=DF+EF=AE 48k,在RtZkADE中，AD=y/AE2+DF2=4V5/c，48是直径，/LADG=乙GCB=90,v Z-AGD=乙CGB,cosZ.CGB=cosZ-AGD,CG _ DG BG AG f在R tU D G 中，DG=y/AG2-A D2=2V5fc，.CG_ _ 2 _ 渔“BG-10k-5 故选：c.由ZB是

14、直径，推出乙 力。，设EF=3k,AE=4/c,则4F=DF=FG=5/c,DE=8k,想办法求出DG、4G即可解决问题.本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.8.【答案】B【解析】解：点P在4B上时，0W X W 3,点。到AP的距离为40的长度，是定值4；点P在BC上时，3 V x s 5,/.APB+/LBAP=90,/.PAD+Z.BAP=90,第12页，共25页 Z.APB=4PAD,又 Z.B=Z.DEA=90,ABP DE A 9AB _ AP,，DE AD纵观各选项，只有B选项图形符合.故

15、选：B.点P在ZB上时，点。到力P的距离为AD的长度，点P在BC上时，根据同角的余角相等求出乙4PB=NP4D,再利用相似三角形的对应边成比例的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解.本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论.9.【答案】式1且刀片0【解析】解：由题意得，1一支2 0且工中0,解得x 1且x 4 0.故答案为：x/3 =8V3(c 7n2),AF/CD,S“PCD-SA/ICD 8V3 c m2 故答案为：8y/3cm2-根据正六边形的性质得到4 B =BC=CD=4 c m,乙B=4 BCD=乙CDE=1 2

16、0,AF/C D,再计算出/G M =60。，4 4 c B =9 0。，利用含3 0度的直角三角形三边的关系得力C=4 旧 c m，则根据三角形面积公式得到SAACD=8 B c m 2,然后利用4 尸。)得到SAPCD=SAACD 本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即SA=：X底X 高.也考查了正六边形的性质.1 2.【答案”【解析】第 14页，共 25页【分 析】本题考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键.用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率.【解 答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能

17、出现的情况如下：1次第 冰红黄r飙m 绿红红红黄红蓝红绿红黄红黄黄黄X融XQ 蓄K 绿黄篮红蓝蓄K 标XXQ 绿蓝绿红绿黄绿蓝绿绿绿共 有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种,.P（两次颜色相同）=W，故答案为：43.【答 案】2 V 3-2【解 析】解：根据旋转过程可知：/.CAD=30=LCAB,AC=AD=4.4BCA=Z.ACD=ADC=75.乙ECD=180-2 x 75=30.NE=75-30=45.过点C作CH 1 4 E于“点，在RtAACH中，CH=AC=2,AH=23.：.HD=AD-A H =4-2次.在Rt 中，*=45。，EH=CH=2.DE=EH-HD=2

18、-1 4 2圾=2 7 3-2.故答案为2百-2.根据旋转性质及旋转过程可知根据旋转过程可知：NC4D=30=ACAB,AC=AD=4.从而得到/BCD=150,Z.DCE=30,Z.E=45。.过点C作CH 1 AE于 点,在R taA C H 中，CH和AH长，在Rt CUE中可求EH长，利用DE=EH-HD即可求解.本题主要考查了旋转的性质以及特殊直角三角形的性质，解题的关键是作垂线构造直角三角形，利用线段的和差求解即可.14.【答案】16【解析】【分析】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键.连接OC并延长，交。C上一点P,以。为圆心，以。P为

19、半径作。0,交x轴于A、B,此时48的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP=8,则4B的最大长度为16.【解答】解：连接OC并延长，交。上一点P，以。为圆心，以OP为半径作。0,交x轴于4、B,此时AB的长度最大，(3,4),OC-V32+42=5 以点C为圆心的圆与y轴相切.(DC的半径为3,.op=OA=OB=8,v 乙4PB=90,AB是直径，AB长度的最大值为16,故答案为16.15.【答案】解：方程两边同乘(x+1)(%1),得(x+I)2 4=(x+l)(x 1),整理得2 x-2=0,解得=1.检验：当x=l 时，(x+1)(%-1)=0,第16页，共25页所以X =1 是增根，

20、应舍去.原方程无解.【解析】观察可得方程最简公分母为：(x +l)(x-l),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验.1 6.【答案】解：解不等式3(x -2)-1,解小等式,：2 :7 1,得：x 4 2 3不等式组的解集为%-|.【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟 知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.1

21、7.【答案】证明：:。是C D 的中点，.0D=C O,四边形/B C D 是平行四边形，ADBC,AD=BC,乙 D=Z.OCE,在4。和 E C。中，N D =乙ODE0D=0C,Z.AOD=Z-EOC4 OOW2 XE OC Q 4 S 4),:.AD=CE,BC=CE.【解析】由 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 4 0 =8 C,再证明4。三 E OC Q 4 S 4)即可解决问题.此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解决的关键是正确寻找全等三角形解决问题.18.【答案】解：(1)由题意得：AACB=20+40=60；(2)由题意得，4a48=65。-

22、20。=45。，乙4cB=40+20=60,AB=30V2.过B作BE _L4C于E,如图所示：AEB=乙 CEB=90,在Rt ABE中，：/.ABE=45,4BE是等腰直角三角形,v AB=30vLAE=BE=AB=30,2在RtACBE中，v AACB=60,tanACB=,CE=-=笔=10V3,tan60 V3AC=AE+CE=30+10V3，力，C两港之间的距离为(30+10V3)/cm.【解析】（1）由由题意即可得出答案；（2）由题意得，4。48=65。-20。=45。，44cB=40。+20。=60。，AB=30V2,过B作8后1 4。于后，解直角三角形即可得到答案.本题考查了

23、解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识;熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.19.【答案】解：（1）被调查的总人数为2+4%=50（人），1.8/1 的人数为50 x 44%=22（人）；（2）统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据的平均数为1x2+1.2x6+1.4x6+1.6x10+1.8x22+2x4.一、-=L624S），中位数为竺岁=1.8（h）.第18页，共25页【解析】(1)由l/i的人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以1.8人对应的百分比即可；(2)根据加权平均数和中位数的定义求解即可.本题主要考查中位数和加权平均数，解题

24、的关键是掌握中位数及加权平均数的定义.2 0.【答案】解：(1)作BDJ.OC于。,如图,:BOC为等边三角形，.：0D=C D=l0C =l,BD=V3OD=V3.5(-1,-V3)把代入y=g得k=-1 x(-V3)=V3,二 反比例函数解析式为y=?；(2)设 火 总，四边形力CB。的面积为36，.ix 2 x V 3+ix 2 x =3 V 3,解得t=22t24点坐标为G，2遮).【解析】(1)作BD 1 OC于D,如图,根据等边三角形的性质得到OD=1,则BD=旧。0=V 3,从而得到B(-l,-V 5),然后利用待定系数法求反比例函数解析式；(2)设2(。令，利用三角形面积公式得

25、到q x 2 x B +g x 2 x f =3 V 5,然后求出t即可得到4点坐标.本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=E(k为常数，k 4 0)；再把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式.也考查了等边三角形的性质.21.【答案】解：(1)设4种台灯购进x盏，B种台灯购进y盏.由题意得(x+y=120(30%+50y=5200解 得 仁 篇答：4种台灯购进40盏，B种台灯购进80盏.(2)设4种台灯购进m盏，B种台灯购进(120-m)盏.利润为w元.由题意得：IV=(45-30)

26、m+(70-50)(120-m)=-5m+2400,因为 120-m 30,因为卜=一5 0,所以w随zn的增大而减小，所以当m=30时，w有最大利润为-5 x 30+2400=2250,答：4种台灯购进30盏，B种台灯购进90盏.才能使商场在销售完这批台灯时获利最多,此时利润为2250元.【解析】(1)设4种台灯购进x盏，8种台灯购进y盏，根据题意列出方程求解即可；(2)设4种台灯购进m盏，利润为w元，根据题意列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值.本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，(2)题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键.

27、22.【答案】（1）证明：连接OC,CE为。的切线，乙 OCE=90,4 0 c 4+4ECD=90,OF L AB,/.OAC+乙A DO=90,v OA=OC,.OAC=Z.ACO,第20页，共25页 Z.ADO=乙 EDC,/.ECD=乙EDC,.EC=ED；(2)解：4 8 为。的直径，乙DCF=90,:.乙ECD+乙ECF=90,Z-EDC+4尸=90,v Z-ECD=乙EDC,乙ECF=乙F,:.ED=EC=EF=3,.OE=7 0 c 2+EC2=5，OD=OE-DE=2,A AD=y/OA2+OD2=2通，v Z-A=Zi4,Z-AOD=Z-ACB-90,AODA A C B,

28、.也=竺，即2 =独，AC AB AC 8解得：4C=如与51 6 x 5 lAAC T-2V5：cosA=-2-=,AB 8 5【解析】(1)连接O C,根据切线的性质得到NOCE=90。，根据同角的余角相等、等腰三角形的判定定理证明结论；(2)证明AODSA A C B,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.23.【答案】(1)解：四边形4BCD是矩形，DC/AB,DC=AB,4DCF=/.A E F,乙CDF=LEAF,CDF4 EAF,CD _ D FAE=AF AE=AD,AE=AD=9,v AF=

29、6,DF=A D-A F =9-6 =3,CD 3 6fCD=4.5,:.AB=CD=4.5；A3的长为4.5；(2)证明：在EF上截取EM=O G,连接AM,四边形BCD是矩形，DAB=90,:.Z-DAE=180-/.DAB=90,/.EAM+Z-MAD=90,v 乙E=Z.ADB,AE=AD,AEMW2X4DG(SAS),4M=/G,/.EAM=ADAG,:.DAG+4MAD=90,4MAG=90,4MG是等腰直角三角形，MG=&A G，EG-EM=MG,:.EG-DG=&A G.【解析】利用矩形的性质可得DC4B,DC=A B,从而证明8字模型相似三角形C D F f E A F,利用

30、相似三角形的性质进行计算即可解答；(2)在EF上截取EM=DG,连接A M,然后证明手拉手模型-旋转型全等 AEM三 4DG,从而可得力MG是等腰直角三角形，即可解答.本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌第22页，共25页握手拉手模型-旋转型全等，8 字模型相似三角形是解题的关键.2 4.【答案】解：(1)v/l(-1,0),OB=OC=3 0 4,B(3,0),C(0,-3),将力(-4,0),5(3,0),C(0,3)代入y =a/+b x +c 得:(a-b+c=0(a=l9 a +3 b +c =0,解得卜=-2.(c =-3 (c =-3 抛物

31、线的函数表达式为y =X2-2X-3；(2)v y =x2 2 x 3 =(x l)2 4.E(l,-4),抛物线对称轴直线 为x =1,设直线B E 解析式为y =kx+n,.直线B E 解析式为y =2 x -6,设F(0,m),其中一3WmW0,F 关于直线/的对称点F (2,m),F 在线段8 E,m=2 x 2 6=-2,尸(0,-2)；(3)在抛物线上存在点Q,使A P Q N 与AAPM的面积相等，且线段N Q 的长最小，理由如下：设点P 坐标为(n,0),贝 l J P A=?i +l,PB=P M =3-n,PN=-n2+2n+3.|(n +1)(3 n)=n2+2n+3)-

32、QR,:.QR=1,点Q在直线PN的左侧时，v=n-1,.YQ=(n I)2 2(n 1)3=n2 4n,.Q点的坐标为(九 一 I,小 一 4九)，R点的坐标为(九,九 2 一 4九)，N点的坐标为(九,九 2 一 2九 一3).NR2=(n2-4n)-(n2-2n-3)2=(2n-3)2,在Rt QRN中，NQ2=QR2+NR2=1+(2n-3)2,当n=|时，NQ取最小值1,此时Q点的坐标为专一点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n+l,n2-4).同理，NQ2=1+(2 n-l)2,.当 n=：时，NQ取最小值1,此时Q点的坐标为(|,Y)-综上所述，满足题意的点Q坐标为5或(|,-

33、今.【解析】(1)由4(一 1,0)，OB=OC=3 O A,得B(3,0),C(0,-3),用待定系数法即得抛物线的函数表达式为y=X2-2X-3；(2)由y=7-2 久-3 =(X-1)2-4,得E(l,-4),抛物线对称轴直线，为x=1,用待定系数法即得直线BE解析式为y=2 x-6,设尸(0,m),其中一3 W m W 0,贝呼关于直线I的对称点F(2,m),而F在线段B E,即有m=2 x 2 6=2,F(0,-2)；(3)设点P坐标为(n,0),贝 IJP4=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3.作QR 1P N,垂足为R,由SM QN=S-PM，可得QR=1,点Q在

34、直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n-Ln?-4n),R点的坐标为(n,/-4n),N点的坐标为(n,M-2n-3),可得NQ2=QR2+NR2=1+(2n-3)2,故当n=|时，NQ取最小值1,此时Q点的坐标为点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n+1，/-4),同理NQ2=1+(2n 1产，故当7i=3时，NQ取最小值1,此时Q点的坐标为(|,一?).本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识，在(2)中用F 点的坐标表示出F的坐标第24页，共25页是解题的关键，在(3)中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大.