2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (一).pdf

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1、2021年全国卷I高考理科数学模拟试题1学校:姓名：班级：考号：第 I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人 得分-一、选择题(共12题，每 题 5 分，共 60分)1.设 4 6 是两个非空集合,定义集合4-庐51 x&A,且 那 6.若4=x eA|0 x W 5,庐X|一7A+1 00,贝 ij A-B=A.0,1 B.1,2 C.0,1,2 D.0,1,2,5)2.已知复数2=l+i,Z 为 z的共轨复数，则 干=A.B.C.D.2 2 2 23.已知函数 f(x)=哽则 AA-V3)=(x,x 0A.-2 B.2 C.-l D.14.下列说法正确的是A.二次函数y=a x+

2、b x+c,a,b的最值一定是与巴B.二次函数产a+6K c(x CR),不可能是偶函数C.二次函数y=x+m x+l在 1,+8)上单调递增的充要条件是/2-2D.若二次函数f(x)满 足 M2-x)=f(x),则该二次函数在A=1处取得最小值5.定义在R上的奇函数/(X)连续且可导，若恒成立(其中f(x)为 f(x)的导函数)，则A.r(o)i B./(-i)+r(-i)oc.r(i)/(o)r(-i)D.A-i)Ao)b 0)的离心率为:，点M(l,|)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线/与椭圆C 交于4,

3、B 两点，求四边形4 P B Q 面积的最大值.2 1.(本题12 分)已知函数/(x)=六+l n x(a 6 R)当 a =2 时，比较/(%)与 1 的大小；(2)当a =g 时，如果函数g(x)=f(x)-k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围；(3)求证：对于一 切正整数n,都有l n(ti+1)：+：+：+请考生在第2 2、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选W 的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。2 2 .(本 题 10 分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系x Oy 中，曲线G的参数方程为:0为参数，0 e -灭，0 ),曲线I y sm(pX=2 27t-

4、1l(为参数)以坐标原点为极点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求 曲 线 的 极 坐 标 方 程；(2)若直线/:a (0 W a n ,0 WR)与曲线G相切于点力,与&交于点B,求鼠的值.2 3.(本 题 10 分)已知出,尸 2 分别是椭圆芯:捻+，=1(1 6 0)的左、右焦点，离心率为分别是椭圆的上、下顶点，同(1)求椭圆E 的方程；(2)过P(0,2)作直线 与E 交于A,B 两点,求三角形4。8 面积的最大值(。是坐标原点).参考答案1.D【解析】本题主要考查集合的相关运算，以新定义为载体，考查考生的理解能力、运算求解能力.A=0,1,2,3,4,5,5=x|2 方 川

5、，在(0，口上单调递增,平g(0)=0,.(1)0,f(T)=-/,0,，故 D 正确,C 错误.在(3 尸1中，令产。，得r(o)-r (o)1,故A错误.在 尸 1 中,令 产 1,得 f(i)-r(i)o,Af cB错误,选D.【备注】可导奇函数的导函数是偶函数，但导函数为偶函数的原函数不一定是奇函数.6.C【解析】本题主要考查分步计数原理在排列组合中的应用，对于有限制条件的元素要先安排,然后再安排其他的元素.本题是一个易错题，可用分步计数原理去做,分成两步,第一步安排甲学校,第二步安排另两所学校,最后两步的方法数相乘即可.第一步,先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：

6、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为禺，第二步,安排另两所学校,在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A斯中,按照分步乘法计数原理可知共有玛XA 120种不同的安排方法,故选C.【备注】无7.D【解析】选项A 中，由题意可得m/a或 后。，故 A 不正确;选项B 中，由题意可得 _ L a或n/a或 忙。，故 B 不正确;选项C中，由题意可得a _ L 或 a ,故 C不正确;选项D中,由线面平行的性质定理可得m/n,故 1)正确.选D.【备注】无8.C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图、等差数列的前项和公式，考查考生的

7、逻辑推理能力.7=1,行2 0 1 8+1,6=1;i=2,a=2 0 1 8+3,b=l X 2;i=n,a=2 0 1 8+n（?1）,b=n.当 7=6 时，a=2 0 1 8+2 1=2 0 3 9,当6!=7 2 0 a.故输出的/的值为7.【备注】无9.A【解析】本题考查了等差数列的前项和公式和通项公式，以及等差数列的性质.有一定技巧.利用性质。3+。15 2（%+匕9）b2+biQ 2b$1 1（0 1 +a】i）a3 _ ai+an_-2-_ S1 1_ 2 x l l-3 _ 1 9+2b&b i+3 口（如+如1）T1 1-4 x l l-3 -4 1【备注】无1 0.Cb

8、(bm+a ny=-X,X=;,fU f、得 I Ib/rmf l+TaC lnr ly-n=-(x-m)(y=故 6(鬻,也 翳)，于是 网=J(鬻尸+(=噂 詈.又 点M m,n-)到直线h:尸的距离 生 丝 连 接 而，所 以 S 后1 x幽 x驾誓=-M i又 与 一言 1,a c 2 c 2a b 4a b a2 b2所 以S.聋又 当 年 时，S二C 屋 咚,四边形施伊的面积为噜,所以与+学=嘤,4 2 2 4 1 6 4 4 1 6解 得 著 或廿2,又公垃0,所以修竽,故选C.优解 过双曲线弓-=1 (a 6 0)上的任意一点分别作两条渐近线的平行线，易知它们与渐近线围成的平行

9、四边形的面积是定值?，连 接 见,所 以 S ，后唱.又当炉当时，必3咛=亨,2 4 2 2 4四边形明厂的面积为哈,所以胃+孚=年,解 得 尸 警 或 户 2,又a b0,所 以 聋，1 6 4 4 1 6 3 3故选C.结论拓展 过双曲线盘-*1(a 0,a0)上的任意一点分别作两条渐近线的平行线,它们与渐近线围成的平行四%形的面积是定值【备注】无1 1.A【解析】本题考查充分条件与比必要条件.解答本题时要注意从充分性与必要性的角度进行判断是否成立,从而得到结论.因为|。-三|3,所以0eg由正弦函数的图象可1 2 1 2 6知,sin0 p所以是充分条件；由正弦函数的周期性可知，当sin

10、。泄，|。卷 /)5；U T|I与双曲茨E的一名渐近为平行4C&M4彳而几何说双立线E的 方 程 一*,v a u-,./-0-3 跖 卬/勺3M(Z)一“；=二 :丁 一一二：；】.A河忙 一 双曲”.E”亦短.一(由“3,H如泰圆 8 的标准方程为(尸1)2+产=1,所以圆6 的圆心为8(1,0),半径尸1.如图，不妨设切点在第一象限,连接BD,则 t a n/胡/黑=f,所以直线1 的斜率M an NBA梏，又直线1与双曲线的一条渐近线平行,所以双曲线。的渐近线方程为尸土苧X,设双曲线的方程为3六 9，=八(八#0)(*).过点作，CJ_x轴于点C 则/切 伴/掰 8 3 0 ，所以|回

11、|=|加|sin 3 0 3，|切=|如 cos 30=当 所 以 点 的 横 坐 标 所 =|5 H Mg,点的纵坐标厅|切 考,将 点 吗 争 代 入 方 程 得 3 X 99 X卞 心 A=-6,所以双曲线 的方程为3 x-9/=-6,即 管-9=1,所以双曲线 的实轴长为手.17.解:.畛 A in C,a+t-c2S,2 2 2/.a +tf-c=absin C,在/式中，由余弦定理得COS廿M+y =absinC=sinC2ab 2ab 2/.sin e2cos C,又 sinbcos2俏 1,.5cos2ch1,cos 俏土今又（0,n）,A sin OOf/.cos OO,.c

12、os C=.（2）解法一 在4?。中，由正弦定理得sin A cos班s i n 咫i n 月=sin C,V sin e sin 兀一（4+0=sinC4+0=sin 力 cos 吩cos 力 sin B、/.sin 力 cos 班sin Zfcin/l=sin 力 cos 毋cos 力 sin B|J sin Zfein A=cos Jsin B,又 4 6 （0,n）,A sin 0,sin/二 cos 4 得/.4V sin 庐sin n-C4+0=sinC4+0,A sin 企sin 力 cos 仆cos 力 sin C=-x +x =2 5 2 5 10r=3V iU在?1 阿 中

13、，由正弦定理得反竺”=T二=3.smA x2解法二 Va c o s班加in A=c,acos 小Aos A=cf/.acos-s i n J=acos 毋6cos Ay即 sin 力 二 cos A,又 A.（0,几），.4 /c 2 V5在/阿中，由正弦定理得衣竺呼=V汽-2 a.sin4 vV A=cco s n+a co s C,.庆 2 近 x孝+x 容 3.解法三 求 4同解法一或解法二.在/阿中，由正弦定理得。=吟=安2 夜，sm A V22由余弦定理 c-a l)-2a bc o s C,得方2-2/7-3=0,解得 b=T 或 ZF3.ZF3.(或由余弦定理 a-lj+J-2

14、 6cco s 4 得/?2-4/3=0,解得 b=l 或 ZF3.V 当 ZFI 时,a lj-c -2 0,不满足co s 0 0(或 J+庐 J=_ 2 W 2 S,应 舍 去,故 3)【解析】本题主要考查三角函数的性质，利用正弦、余弦定理解三角形，考查的核心素养是数学运算.对于第问，利用已知条件结合三角形面积公式可得a+l/-c=a bsin C,再利用余弦定理化简得到s i n e2 co s C最后结合s i n，Gco s 2 e i 即可求得co s C 的值.对于第(2)问，解法一利用正弦定理可得s i n 力 c o s/s i n 咫i n J=s i n C又由三角形内

15、角和定理可得s i n C=s i n(J+)=s i n Z co s 侪co s /s i n 氏联立上述两个式子可得力二匕求出s i n46 的值，最后利用正弦定理求出6.解法二利用三角形的性质可得a co s班bsin A=a c o s班A o s 4得 到 s i n 上co s 4可 得 号，然后利用正弦定理求出c,最后根据三角形的性质可得b.解法三求A的方法同解法一或解法二,然后利用正弦定理求c,最后由余弦定理求b,要注意舍去不合题意的情况.【备注】无1 8.解：解法一 如图，连接”1 交 切 于 点”因为力比/1。&，除 小 遮，所以 AD M XABC,所以绍所以，垄6(%

16、；所以D O=BO,Z C O D Z C 0 B=9Q .连 接O M,因 为 是 4 8的中点，所 以O M/AD,因为4t平面P AD,咐平面用4所以犷平面P AD.因为ABV AD,所 以0 归O B=O D=1,易得0(=2,所 以0 0 20 A,连 接O N,因为C N=2P N,所 以O N/P A,又 为u 平面P AD,创e平面P AD,所 以 0 V 平面P AD.因为忙平面0 M N,比平面O M N,Q/n 0 N=0,所以平面切邠平面P AD,因为 忙平面0 M N,所以腑平面P AD.解法二 如图,连接/并延长,交D A的延长线于点E,连接P E.连接AC 交加

17、于 点0,因为AB=AD=y 2,B O C D&所以/走/阳 所以所以 。整 成右所以D O-BO,Z C O D-Z G 庐9 0 .连 接O.H,因为，”是血的中点，所 以O M/D E,则 生=丝M E AO因为 AB L AD,所以 O A=O I O D=,易得 0 0 2,所以 C M=2M E,又 C N=2P N,所以M N/P E,因为此已平面P AD,所以M W/平面P AD.连 接O P,因 为 陷 小 虫，所 以O P V BD,O P=,因为平面为见_ 平面ABC D,且 平 面 战 C平面ABC D-BD,所 以 b _ L平面ABC D,由(1)得AC V BD

18、,所以以0 为坐标原点，以O A,O B,。所在直线分别为x,%z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，贝 U J(l,0,0),8(0,1,0),=-=-,设二面角止吩C 的平面角为。，则 sin。小(争*【解析】本题考查逻辑思维能力、空间想象能力和运算求解能力.【备注】无1 9.(1)设成绩落在 4 0,5 0)内的频率为 x,则成绩落在 5 0,60),60,70),70,80),9 0,1 0 0 内的频率分别为2 x,4 x,6x,2x.依题意得广2 A+4 户6户2 户0.0 2 5 X 1 0=1,解得尸0.0 5.所以成绩落在 4 0,5 0),5 0,60),60,70),70,

19、80),9 0,1 0 0 内的频率分别为0.0 5,0.1,0.2,0.3,0.1.本次竞赛的平均成绩为 4 5 X 0.0 5+5 5 X 0.1+65 X 0.2+75 X 0.3+85 X 0.2 5+9 5 X 0.1=74(分).所以成绩落在 9 0,1 0 0 内的频率为0.1,本次竞赛的平均成绩为74 分.(2)由题意得才的所有可能取值为1,3.由(1)知,从参赛者中任取一人,成绩为优秀的概率为0.1,则非优秀的概率为0.9.当后1 时，a=2,或 a=l,b=2,P(l)=C f X 0.l2X 0.9+C j X O.92X 0.1=0.2 7,则 P(后3)=1-0.2

20、7=0.7 3.所以小的分布列为13p0.2 7 0.7 3所 以 X的数学期望(乃=1 X 0.2 7+3 X 0.7 3=2.4 6.【解析】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，考查数学运算、数据分析、逻辑推理等核心素养.(1)利用频率之和等于1 列方程，即可解得各组的频率,然后利用平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形位于横坐标轴上的边的中点值之和求解平均数；(2)先写出才的所有可能取值及对应概率,再列出分布列，计算数学期望.【备注】无2 0.(1)由可得，a =2 c,又因为炉=a 2 c 2,所以炉=3c 2.所以椭圆C 方 程 为 条+

21、毯=1,又因为M(l,|)在椭圆C 上，所 以 条+裳=1.所以c 2 =l,所以。2 =4/2 =3,故椭圆方程为1+4=1.4 3(42 y 24+3-1,x=m y+1消去不得(3m 2 +4)y2+6m y-9 =0,设点W*A、c ,-6m 9 0/Vi+)V72 =3m92+4，丫12z =37n2o+4,l y i -y z l =V (y i +7 2)2-4 y l y 2 6 m -3 7)2-4X一 93 m2+41 2 V m2 4-1(3m2+4)所以S =I x 4 x ，令t =V l 4-m2,t 1,2(3m2+4)有S =由函数y =3t +；,t e l,

22、+o o),3c+1 3t+tV=3 一 域 0,t e l,+0 0),故函数y =3t +/在 1,+8)上单调递增，故3t +1 2 4,故5=熟=二 士 6t 3t2+1 3t+i当且仅当t =1 即m=0 时等号成立，四边形4 P B Q 面积的最大值为6.X2 y24 +3-1 ,x=m y+1消去工 得(3m 2 +4)y2+6m y-9 =0,设点A(%、y i),B(%2，y 2)，有 2 ，+刈=就，y/2 =凸，有I a s i =a r 肃 誓 史=坨誓，1 1 37n2+4 37n2+4点P(-2,0)到直线/的距离 为 岛 j,点Q(2,0)到直线/的距离 为 舟

23、p从而四边形4 P B Q 的面积c 1 12(l+m2)4 24Vl+?n2S =2 X*T i?=3mz+4.令t =A/1 4-m2,t 1,有S =半=当，3t 2 +1 3t+1函数y =3+:,t G 1,4-0 0),1yz=3-0,t G 1,+O).故函数y =3t +?在 1,+8)上单调递增，有3t +；2 4,故S =济=口T4 6当且仅当t =l 即m=0 时等号成立，四边形4 P B Q 面积的最大值为6.方法三：当，的斜率不存在时，Z:x =1,此时，四边形4 P B Q 的面积为S =6.当1 的斜率存在时，设I 为：y =k(x-l)(f c*0),(X2 y

24、2W IJ T+T=1.l y =k(x-1)/.(3+4/c2)%2-8 k 2%+4k2-1 2 =0.A、八 ,8k2 4k2-12A0,X1+X2=诉，x/2 =7，_ _ _ _ _ _|y i -y 2 l =|/c(X i -x2)|=+&)2 -4/%2 =1 2 X J：；：；),四边形4 P B Q 的面积1S =/4x-2 4 x 高k2(k研2+1)令 t =3+4 k 2(t 3)则 1=平S =6 x J-3 x (I)-2 x 1+l(0 !1),二 S =6 x J_ 3 x()2 -3 x +(0 0 S 0，所以/(%)在(0,+8)上是增函数故当x 1 时

25、，/(X)/(I)=1；当=1 时，f(x)=/(I)=1；当 1时,f(x)/(I)=1.(2)当a =时，f(x)=2(；+1 n x,其定义域为(0,+8)/(X)=品+A宅瑞当令 尸 =0 得/=”2=2，因为当0 x 2时，f x 0；当3 c x 2 时，4-00,因为函数g(%)=/(%)-k 仅有一个零点，所以函数y=/(汽)的图象与直线y=k 仅有一个交点.所以k 3-m 2 或 l时，/(x)1,即当xl时，+I n x 1,即I n 光 上士X+l X+1令“号,则有I n 号土，k k 2k+l从而得1若 r l n|g，I n J 力,l n 等肃，故得 I n 三

26、+I n -+I n -+I n +-+-,12 3 n 3 5 7 2n+ln ill z2 3 4 n+1、1,1,1,1即I n(x -x -x x )I-I F d-,K1 2 3 n 7 3 5 7 2n+l所以l n(zi +1)，工+工+工+-./3 5 7 2n+l【解析】本题考查函数与方程，导数在研究函数、不等式中的应用.(1)当a=2时，f(x)=W+lnx,其定义域为(0,+8)f(x)0,所以(x)在(0,+8)上是增函数;故当x 1时,/(%)/(I)=1；当x =l 时,/(X)=/(I)=1;当 丫 1时，/(X)3-l n 2或k l时、-+I n x 1,即I

27、 n%土3 令x =则有I n 竺 一；x+l x+l k k 2k+l将zB lI n 2,F .I n 3,F ,I n 4,F ,4-,I nn+1 =】l n(,2-x,-3、x -4、x，、x n+1、)1I,-1-.1-1-,F H,-1-;1 2 3 n 123 n 7 3 5 7 2n+l所以 l n(n +1)|+1+1H-F【备注】合理构造函数，体会分类讨论思想、化归与转化思想、函数与方程思想.22.(1)将r:中的参数消去，得(广2)2+=1,即/+/-4 x+3=0,(y-sinc p将产夕co s 0,x+y=P”代入，得 p2-4 P co s 夕+3=0,又 -兀

28、，0,.*曲线G 的极坐标方程是P J 4 p co s 0+3=0(。-9,0).由；=彘 得片2 VTR=J 4.(2t)2=14.(+1)2,9 2.x+V+2 k 3=0,将 产 0 c os，+=0 2代入，得/+2 0CO S 3=0,又 y却,.曲线 C 的极坐标方程是 P2+2P C O S&-3=0（dw 0,J i ）.如图，连 接 闺，易 知。川=2,匕4=1,则|力|=百,6.)的极坐标方程为，=U(0WR).6将 代入 p+2 p c os。-3=0,得 P-V 3 P-3=0,6P-V3+15gV3-/1522 .|朗一 丹 叫V3+V1S L 0B _ 2 _ 1

29、+遥*|0A|一 返 一 2【解析】（D 将曲线G,C 的参数方程中的参数消去,得到曲线G,C 的普通方程,再利用直角坐标与极坐标的互化公式即可得曲线G,C 的极坐标方程,注意极坐标方程中极角的取值范围；（2）根据已知可得|以|=百,/的极坐标方程为，=F（0 G R）,将 代 入 曲 线&的 极 坐标方程,可得10 B 吟竺,即可得解.【备注】（1）在消参时，一定要注意参数的取值范围；（2）要 关 注 极 坐 标 方 程 中 心 的 几 何意义，根据图象准确写出P,。的范围.23.(1)由题知,F2(C,0),M(0,b),N(0,-b),所以M 所以a?-2b2=-2,因为e =-=I，所

30、以c=1 a,所以匕2=a2-c2=；a2,a 2 2 4联立解得a?=4,炉=3,所以椭圆E 的方程为=+=1.4 3 设4(%1，%),8(%2，丫2)，显然直线斜率存在,设其方程为y =k x +2,代入3/+4 y 2 -12 =0,整理得(3 +4 f c2)%2+16kx+4 =0,则A =(16f c)2-4 x 4(3 +4 k 2)0,即/J,x1+x2=T xix2=7 7.M l +-&）2 _ 4 衿 口（1+H）（悬）2 4 x 占卜J幽（段 梦2所以。至的距离4=高，所以三角形A O B 面积S（k）=?I 空 1&吐 9x7 j43(44kk22+-3l)2 设t =4 1 _ 1 0,所以S(t)=4(4 f c2+3)28当且仅当t =y,即t =4,即4 k 2 一 1=4,即1=土争寸取等号,所以A 4 O B 面积的最大值为百.【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系；（1）利用平面向量的数量积运算和离心率进行求解；（2）联立直线和椭圆的方程,得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系、三角形的面积公式求出面积的表达式,再利用基本不等式进行求解.【备注】无