2021年全国新高考II卷数学试卷.pdf

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1、OO绝密启用前2021年全国新高考II卷数学试卷熬题号二三四总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上oO一、选择题评卷人得分1 .复数名在复平面内对应的点所在的象限为()*6A.第一象限B.第二象限C.第三象限1).第四象限OO2 .设集合 U=1,2,3,456/=1,3,6,B=2,3,4,则 A n (CyB)=()A.B.1.6C.5,6D.L33.抛物线y?=2p%(p0)的焦点至U直线y=x+1的距离为近，则 p =()A.1O料OB.2C.2 V2D.4-E4 .北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中

2、，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O,学径，为6400km的 球,其 上 点A的 纬 度 是 指O A与 赤 道 平 面 所 成 角 的 度 数.地 球表 面 上 能 直 接 观 测 到 一 颗 地 球 静 止 同 步 轨 道 卫 星 点 的 纬 度 最 大 值 为a,记 卫 星 信 号 覆 盖 地 球 表 面 的 表 面OO积 为S=27rr2(l-cosa)6z.km2；,则S占 地 球 表 面 积 的 百 分 比 约 为()第 1页，总 20页OOA.26%B.34%C.42%D.50%5.正

3、四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()A.2 0 +1 2 V3B.2 8 V2C史3D.警6.某物理量的测量结果服从正态分布N(1 0,)2),下列结论中不正确的是()A.C T越小，该物理量在一次测量中在(9.9,1 0.1)的概率越大B.0越小，该物理量在一次测量中大于1 0的概率为0.5C.C T越小，该物理量在一次测量中小于9.9 9与大于1 0.0 1的概率相等D.o越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,1 0.2)与落在(1 0,1 0.3)的概率相等7 .已知a =log52,b =log i,c=则下列判断正确的是()A.c b aB.b a cC

4、.a c bD.a b b 0),右焦点为F ga.且离心率噜.(1)求椭圆C 的方程;：中：(2)设M,N 是椭圆C上的两点,直线M N与 曲 缴2+y 2=心Q 0)相切.证明:M,N,F 三点共线的充要条件是 MN=V 3.21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,忠 没X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P Q i=n =P =已知P o 0-4,P i =0 3 P 2=0.2,p3=0.1,求E(X)；(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后

5、临近灭绝的概率,p 是关于x 的方程:po+P 1 X +p2X2+”修锄 P 3X3=X的一个最小正实根,求证：当EQ()1时，P 1；球 裁 球(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.22.己知函数/(x)=(x l)ex a x2+b.(1)讨论f(X)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(久)只有一个零点 a 2 a；0 a,b 2 a.第5页，总20页OO参考答案1.A【解析】利用复数的除法可化简考，从而可求对应的点的位置.1-31名=纪肝=皆=手，所以该复数对应的点为&该点在第一象限，故选：A.2.BOO【解析】根据交集、补集的定义可求a n(CuB).由题设可得

6、CuB =1,5,6,故/n(CuB)=1,6,故 选:B.3.B【解析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.抛物线的焦点坐标为C，o),其到直线x-y+1 =0的距离：d =V 2,解得：p =2(p =-6舍去).故选：B.4.C【解析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.由题意可得，S占地球表面积的百分比约为:O媒O-EO篦蒯赛区擦用W fv酒派O媒O第6页，总20页oo27rr2(l cosa)_ 1 cosa47n2故选:C.21 6400-640；+36000 _ o 4 2 =4 2%.5.D熬【解析】由四棱台的几何特征算

7、出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图,On|p因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,O6O所以该棱台的高九=22-(2 V2 -V2)2=V2,下底面面积S1=1 6,上底面面积S2=4,所以该棱台的体积 V=+S2+V 2)=1 x V 2 x(1 6 +4 +V6 4)=y V2.故选：D.6.D料【解析】OO由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.对于A,为数据的方差，所以c越小，数据在 =1 0附近越集中，所以测量结果落在(9.9,1 0.1)内的概率越大，故A正确;-E对于B,由正态分布密度曲线的对称性可

8、知该物理量一次测量大于1 0的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于1 0.0 1的概率与小于9.9 9的概率相等，故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,1 0.0)的概率与落在(1 0.2,1 0.3)的概率不同，所以一次OO第7页，总20页O测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误.故选：D.7.C【解析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.a=logs2 log5y/S=|=log82y/2 log83=b,即 a ic b.故选：C.8.B【解析】推导出函

9、数/(久)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/(I)=0,结合已知条件可得出结论.因为函数/(%+2)为偶函数，则/(2+%)=/(2 可得+3)=f(l 因为函数/(2%+1)为奇函数，则/(I-2%)=-f(2%+1),所以，/(I-x)=-/(x+1),所以，/(%+3)=-/(%+1)=/(%-1),即/(久)=/(x+4),故函数/(%)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=/(I)=0,故/(-1)=-/(1)=0,其它三个选项未知.故选：B.9.AC【解析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项

10、.由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.BC篦蒯赛区擦用W fv酒派OO媒O东O第8页，总20页.O.郑.O.11.O.堞.O.氐.O.O【解析】：根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线M N构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.:设正方体的棱长为2,：对于A,如 图（1）所示，连接/C,则MN/AC,然 故NPOC（或其补角）为异面直线。P,MN所成的角，：在直角三角形OP C,0 C=V2,C P =1,故t

11、cmzPOC=专=亨，:故MN J.0 P不成立，故A错误.*欷6对于B,如 图（2）所示，取NT的中点为Q,连接PQ,O Q,则 O Q J.NT,P Q 1 M N,由正方体SB C M -N A D T可得SN，平面A N D T,而OQ u平面A N D T,故 S N 工 0Q,而 S N C M N =N,故 OQ _ L平面 S N T M,又 M N u平面 S N T M,O Q 1 M N,而 OQnPQ=Q,所以MN JL平 面OPQ,而PO u平 面OPQ,故MNJLOP,故B正确.料0 如 图（3）,连接B D,则 B D M N,由B的判断可得OP J.BD,第9页

12、，总20页OO故。P _ L M N,故C正 确.OO对于D,如图（4）,取/的 中 点Q,A B的 中 点K,连接4&P Q,0 Q,P K,0 K,5 OC 7/M N,因为 DP=P C,故 P Q/C,椒 PQMN,所 以z Q P。或 其 补 角 为 异 面 直 线P O,M N所 成 的 角，OO媒图（4）因 为 正 方 体 的 棱 长 为 2,故 PQ=AC=V2,0Q=yjAO2+AQ2=V 1 T I =V3,PO=yJPK2+OK2=V 4 T I =V5,QO2 PQ2+OP2,故乙QPO 不 是 直 角，O篦蒯赛区擦用邮 fv理派故P。,MN不 垂 直，故D错 误.故

13、选：B C.1 1.A B D第10页，总20页oo【解 析】转化点与圆、点与直线的位置关系为。2+匕 2,2的大小关系，结 合 点 到 直 线 的 距 离及直线与圆的位置关o*熬o系即可得 解.圆心C(0,0)到直线1的距离d=高 后，若点AQL,*在圆c上,勉a2+b2=r2,所以d=J-=r,Va2+bz则直线l与圆C相 切,故A正确;若点A,b)在圆c内,则ci1+b2|r|,则直线l与圆C相 离,故B正确;若点AQi,b)在圆c外,则X +b2r2,所以d=J-(7)=3,而 2=0 20+1 2，则 口(2)=1,即 3(7)H 3(2)+1,B 选项错误；对 于 C 选项，8n+

14、5=a。2，+a1 2，+恁,+5=1 2+1 +a0 2+a1 2“+,+,2k+3,所以，CO(8TI+5)=2+a0+a+a,4n+3=cz0-22+-23+-2k+2+3=1-2+1-21+a0-22+aj-23+=+ak-2k+2,第11页，总20页所以，o)(4n +3)=2 +a0+at+I-ak,因此，o)(8n +5)=o)(4n +3),C 选项正确;对于D选项，2n l =20+21+2 n T,故3(2 1)=忆D选项正确.故选：A C D.13.y =V3%【解析】1)2由双曲线离心率公式可得3=3,再由渐近线方程即可得解.QN因为双曲线 一 营=l(a 0力0)的离

15、心率为2,所以e=5 =J号1=2,所以、=3,则该双曲线的渐近线方程为y=+x=V3x.故答案为：y=V3x.14./(x)=久4(答案不唯一，f(x)=x2 n(n e N*)均满足)【解析】根据基函数的性质可得所求的/(X).取/(%)=X4,则=(X1%2)4=X1X2=f(%l)f(%2)，满足，/(%)=4久3,x 0时有/(久)0,满足，/(%)=4好 的定义域为R,又.(一%)=4%3=-f (%),故/(%)是奇函数,满足.故答案为：/(X)=X4(答案不唯一，f(x)=%2Kzi e N*)均满足)【解析】由已知可得(a+b+c =0,展开化简后可得结果.第 12页，总 2

16、0页O.邹.O.U.O.塌.O.氐.O.oo由已知可得(a+b+c-_-/-/-=a2+b2+c2+2 I a b+b-c+c-al=9+21 a-b+b-c+熬c.a)=0,Q因此，a，b+b，c+c a=-.9故答案为：一16.(0,1)oo【解析】结合导数的几何意义可得i+%2=0,结合直线方程及两点间距离公式可得|/M|=Vl+e2xi-*|血|,BN=Vl+e2x2 x2,化简即可得解.由题意,/(x)=|ex-11 =1-ex,x 0,则f(%)=ex,x 0o6o所以点 和点 B(x2,eX2 1),kAM=eX1,kBN=eX2,所以一eX1-eX2=-I%+&=0，所以 AM

17、:y 1+eX1=eX1(%x1),M(0,eZ1x1 eX1+1),所以|4M|=xj+=Vl+e2%1,|久/,同理|BN|=Vl+e2x2 .|x2|,所 以 幽！=正!巫1BN 相 乐.ll+e2xi l+e2x2=eX1 6(0,1).o料o故答案为：(0,1)17.(l)an=2 n-6；(2)7.o-Eo【解析】(1)由题意首先求得。3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式;(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.由等差数列的性质可得：S5=5 a 3，贝 U：。3=5 a 3,。”即：n2-5 n 2n-6,整理可得：(九一1)(

18、九一6)0,解得：n 6,又九为正整数，故九的最小值为7.1 8.(1)苧：(2)存在，且 a =2.4【解析】(1)由正弦定理可得出2c =3a,结合已知条件求出a的值，进一步可求得匕、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出s i n B,再利用三角形的面积公式可求得结果；(2)分析可知，角C为钝角，由c o s C VO结合三角形三边关系可求得整数a的值.(1)因为 2 sinC=3 s i n A,则 2 c=2(a +2)=3a,则 a =4,故 b =5,c =6,n2iu2_r2-1 0/7c osC-=所以，C 为锐角，则 sinC=V1 c os2C =,2ab 8

19、 8因此，S 4A B C=a b sinC=|x4 x5x=L L O 4(2)显然c b a,若 A B C为钝角三角形，则。为钝角,由余弦定理可得c o s t =a2+b2-c2 _ a2+(a+l)2-(a+2)22ab 2a(a+1)Q22Q32a(a+l)0,解得一 l V a 3,则 0Va a +2,可得a l,：a Z,故a =2.21 9.(1)证 明 见 解 析;j.【解析】(1)取4。的中点为。，连接Q 0,。，可证Q。J平面/B CO,从而得到面Q 4 D J L面4 B CD(2)在平面/B C D内，过。作O 77/CD,交B C于T,则。建如图所示的空间坐标系

20、,求出平面Q/。、平 面 的 法 向 量 后 可 求 二 面 角 的 余 弦 值.第 14页，总 20页ooo熬o(1)取4。的中点为0,连接Q0,C。.因为 Q4=Q D,0 A =0D,则 Q。1 AD,o*欷6o而/D =2,Q A=V 5,故 Q。=V5-1=2.在正方形/BCD中，因为/D =2,故。=1,故。=通，因为QC=3,故Q C2 =Q02+0C2,故4 Q0C为直角三角形且Q。1 0 C,因为 0C n 4D=0,故 Q 0 1 平面/BCD,因为Q0 u平 面Q4。，故平面Q4D，平面(2)在平面4BCD内，过。作0T/C D,交B C于T,则07 _ L 4。，结 合

21、(1)中的Q。，平面4BCD,故可建如图所示的空间坐标系.热o料-Eooo则 D(0,l,0),Q(0,0,2),B(2,1,0),故 访=(-2,1,2 BD=(-2,2,0).第15页，总20页O设平面QB D的法向量蔡=(%,y,z),九-B Q=2 x +y +2 z=0则昨。即 一 加+2y=。取=1,贝i j y =l,z=I，故蔡=(1,1,1).T T 1 1 2而平面 Q 4 D 的法向量为z n =(1,0,0),故 c os(m,n)=1X-32二面角B-QD-A的平面角为锐角，故其余弦值为;.2 0.(1)f +y2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由离心率公式可得

22、a =百，进而可得炉，即可得解;(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|M N|=V3；充分性：设直线M N:y =/c%+b,(/c b V 0),由直线与圆相切得炉=/十，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得J l+k2-书J =V 3,进而可得k=1,即可得解.l+3 k ”(1)由题意，椭圆半焦距c =&且e =，所以a =遮，又 炉=a 2 c 2 =l,所以椭圆方程为J+y 2 =1；(2)由(1)得，曲线为/+y 2 =当直线MN的斜率不存在时，直线M N:%=1,不合题意；当直线MN的斜率存在时，设”(1，%)4(久2)2)，必要性：若 M N

23、,F 三点共线,可设直线MN:丫 =k(x -y/2 )S/k x-y -V2/c =0,由直线M N与曲线/+丫2 =i(x。)相切可得福 =1,解得k=1,y=+(%-V2)3v5 3帙立 x2 可存4%2 -6/工 +3 =0,所以为1 +%2 =,%2 =I+yz=1 /43 ，所以|M N|=V1 +1 -一 4/可=V3,所以必要性成立;篦蒯赛区擦用w fv酒派第 1 6 页，总 2 0 页oo充分性:设直线 MN:y =k x +b,(k b V 0)即k x y +b =0,由直线M N与曲纳：2 +y 2 =I Q o)相切可得晟x=1,所以b1=k2+1,熬y =k x+b

24、碳立位 2 _ 可得(1 +3好)/+6/c b%+3 2 3 =0,3 y -所以X +X2=6kb3 b2-3所以、M N|=Vl+k2-7(%!+%2)2 ,%2 =Vl+/c2-6kbl+3k2y_4灯)1+3k2不 户M .%2 =而 运OO*二E.倦 3化简得3Q W -I)2=0,所以k=1,k =1 k=-1 i i 所以%_遮或-遮，所以直线MN:y =x -&或丫=-%+/,所以直线M N 过点FN，,0),M,N,F 三点共线,充分性成立;所以M,N,F 三点共线的充要条件是MN=V3.O6O2 1.(1)1；(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)(2)(3)利用公式

25、计算可得E(X).利用导数讨论函数的单调性，结合/(I)=0及极值点的范围可得/(%)的最小正零点.利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.(1)E(X)=0 x 0.4 +1 X 0.3 +2 x 0.2 +3 x 0.1 =1.o料o(2)设/(%)=p3X3+p2X2+(P 1 l)x +P o-因为P 3 +P 2 +P 1 +P o =1,故/(%)=P 3X3+p2x2 一(P 2+P o +P 3)%+P o,若 E(X)1,则p i+2 P 2 +3 P 3 1,故P 2 +2 P 3 p0.O-EOf(x)=3 P 3/+2 P 2%-(P 2 +P o+P 3)，因为f

26、(0)=-(P 2 +P o+P 3)VO,f(l)=P 2 +2 P 3 -P o W 0,故/(%)有两个不同零点1，%2,且 打 0 1 且 工 (8,%D U (%2 +8)时，/(X)0；X E (孙2)时,/(X)/(%2)=/(I)=0，故1为Po+Pl%+p2X2+p3X3=X的一个最小正实根，若21，因为/(1)=0且在(。,2)上为减函数，故1为Po+Pl%+P2x2+P3%3=%的一个最小正实根，综上，若E(X)1,则Pl+2P2 +3。31,故P2+2p3Po.此时/(0)=-(p2+po+P3)0,/(I)=p2+2P3 -PoO,故/(%)有两个不同零点为3X4,且

27、3 0%4 0；X e(久3，%4)时，/(%)V0；故/(久)在(-8,%3),(%4,+8)上为增函数，在(3，%4)上为减函数，而/(1)=0,故/(%4)，故/(%)在(0,久4)存在一个零点P,且Pl.所以p为Po+Pi%+P2X2+P3X3=X的一个最小正实根，此时p 1 时，p0/(%)单调递增；篦蒯赛区擦用W fv酒派第18页，总20页oo熬当 0 V a V扣,若 e (8,)(2 a),则 f(%)0/(%)单调递增,若 e (2 a),0),则 广 V 0,/(%)单调递减,若 久e (0,+8),则 尸(%)0/(%)单调递增；当a=g时，/(%)0/(%)在R上单调递

28、增；当a；时，若 e (8,0),则r(%)0/(%)单调递增，若 x e (0,Zn(2 a),则/(%)V 0/(%)单调递减，o*oo6oo料oo-Eo若 久 e (Zn(2 a),+o o),则/(%)0/(%)单调递增；(2)若选择条件：由于卜 叭 持，故I 2 a l/(0)=匕-1 0,而f(一 后=(-1-卧Yi+b V O,而函数在区间(-8,0)上单调递增，故函数在区间(-8,0)上有一个零点./(Zn(2 a)=2 a ln(2 a)1 a ln(2 a)2+b2 a ln(2 a)1 -a ln(2 a)2+2 a=2 a(2 a)a ln(2 a)2=a ln(2 a

29、)2 ln(2 d),由于;V a 4 S 1 2 a e2,故 a(2 a)2 m(2 a)2 0,结合函数的单调性可知函数在区间(0,+8)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于 0 a 1,故 2 a 1,则/(0)=b-1 2 a-1 4,4a 0,而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.当 力 V 0 时，构造函数 W(x)=ex-x-l,则H Q)=ex-l,当 e (8,0)时，H(x)V 0,H Q)单调递减，当K e (o,+8)时，”(K)0,“(久)单调递增，第19页，总20页注意到H(0)=0,故H(x)0恒成立，从而有

30、：e之 +1,此时：/(x)=(%l)ex a x2 b (x 1)(%+1)a x2+b=(1 a)x2+(/?1),O当%三 时，(l-a)x2+(/?-l)0,取为o =+I1则/G o)，即:P+l Vo,O而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.f(ln(2 d)=2 a ln(2 a)1 -a ln(2 a)2+b 2 a ln(2 a)1 a ln(2 a)2+2 a=2 a ln(2 a)a ln(2 d)2=a ln(2 d)2 ln(2 a),-1由于 0 va V 1 0 2 a l,故 a(2 a)2 仇(2 a)V O,结合函数的单调性可知函数在区间(-8,0)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.O媒篦蒯赛区擦用W fv酒派第 20页，总 20页O-EO