2021年全国高考数学模拟试卷（一）（5月份）（附答案详解）.pdf

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1、2021年全国高考数学模拟试卷（一）（5 月份）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合4 =（-1,1）,B=yy=x+2,xeR）,贝 U A,8 的关系可以是（）A.4 =B B.A&B C.AQB=e D.A Q B2.已知复数2=急，是复数z 的共轲复数，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为i B.|z|=2 C.z =-V 3 +i D.z 2为纯虚数3 .20 20 年 11月 2 4 日凌晨4 时 3 0 分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.据科学家们测算：火

2、箭的最大速度至少达11.2千米/秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空.若火箭的最大速度仪单位：米/秒）、燃料的质量M（单位：吨）和嫦娥五号探测器的质量m（单位：吨）近似满足函数关系式u =560 0-l g（l+3）,当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为（）顺利送入外太空.A.9 B.9 9 C.9 9 9 D.9 9 9 94 .若角a 的终边与单位圆的交点为P（-3,|）,则点Q（s i n（7 r-a）-c o s a,c o s（3|三+a）位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知（正-4）8 的展开式中常数项为112,则实数的值为（）A.1 B.

3、1 C.2 D.26.满 足“闭合 开 关 是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是（）Ki&K27.若直线y=x+3与 圆/+y2-2ax-4y+a?+3=0有两个不同的公共点，则实数。的取值范围是()A.(-V2,V2)B.(-V 2-1,V2)C.(V2,V2+1)D.(V2 1,V2 1)8.陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A.(7+2 yrB.(10+2或)兀C.(10+4V2)T TD.(11+4V2)T T9.已知函数/()=2 若a=6 i,b=?log62,c=log6().9,则有()L

4、X,x s U nA.f(b)/()/(c)B./(c)f(a)f(b)C.f(a)/(c)f(b)D./(a)/(b)/(c)10.将函数y=sinxcosx-cos?%+；的图象向左平移?个单位长度得到函数g(x)的图L o象，下列结论正确的是()A.g(x)是最小正周期为2兀的偶函数 B.g(x)是最小正周期为4兀的奇函数C.g(%)在 0,3上的最小值为-更 D.g(x)在(兀,2兀)上单调递减11.在中，b,c 是三角形 A,B,。的对边，若2cosc(acosB+bcosA)=c且c=yH,sinA=sbiB=今引，则4BC的 面 积 为()A.辿 B.立 C.2V3 D.32 2

5、第2页，共20页1 2.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称.若该花瓶的最小直径为24cm,瓶口直径为40 cm,瓶高为60 c m,则该双曲线的虚轴长为()C.45D.9 0二、单空题(本大题共4 小题，共 2 0.0 分)%+y 2 N 01 3 .已知实数x,y 满足约束条件x -y 2s o ,则 小 的 最 小 值 是.2x y 2 01 4.已知函数f (x)=卓+a-,若曲线y =/(%)在(1,/(1)处的切线与直线3%-y +1 =0 平行，则Q =.1 5 .已知产为椭圆C：5+=l(a b 0)的

6、左焦点，A为椭圆C的右顶点，尸是椭圆C上一点，且P F 垂直于x 轴,若直线P A 的 斜 率 为 则 椭 圆 C的 离 心 率 为.1 6.三棱锥 S -4B C 中，LSAC=/SB C=9 0 ,SC LAB,SC=2 AB,三棱锥 S A B C 的体积是4,则 它 的 外 接 球 体 积 的 最 小 值 是.三、解答题(本大题共7 小题，共 8 2.0 分)1 7 .已知数列 册 满足(O n+1 -2)(an-2)=2(an-an+1),e=3,令bn=.(1)求证：数列 b 是等差数列；(2)求数列 公 二 的前 项和立.1 8 .在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备

7、的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0 r 0)的焦点为F,P为E的准线上一点，O是坐标原点，且 痔 而=一2.4(1)求抛物线E 的方程；(2)过Q(l,0)的动直线与E 交于C,两点，问：在x轴上是否存在定点M(t,0)(t丰0),使得x 轴平分NCM D?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数

8、/(x)=me*ln(x+1)+Zmn.(I)若/(乃在x=0处取到极值，求m的值及函数/(x)的单调区间;(n)/(x)1,求 的取值范围.22.在直角坐标系x。)，中，以。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线G 和圆Q 的极坐标方程分别为PC。一今=和p=2cos9.(I )求圆C2上的点到直线G 的最小距离；(口)椭圆C 的参数方程为；Z 跣 鲁 (a为参数)，当椭圆C 的顶点在直线G 上时.求椭 圆 C 的标准方程.23.已知函数/(%)=-a|+%,a e R.(1)若/(1)+/(2)5,求。的取值范围；(II)若，b E N*,关于尢的不等式f(x)2,.-9 9,m故选

9、：B.4.【答案】D【解析】解：在单位圆中，已知角a的终边上与单位圆的交点为P(-也|),4 3:.cosa=-sina=sin(7r-a)cosa=sina cosa=1 0,cos(竺/+a)=sina 0,点Q(sin(;r-a)-cosa,cos(竺尹+a)位于第四象限，故选：D.由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，得出结论.本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题.5.【答案】A【解析】解：通项公式为写+1 =或 (V)8-r(-7)r=(-2 a)r-c8-襄善，令=0,解得r=2，所以常数项为(2a)2-C1=1 1 2,解得a=l.故选：A.在通项中，令

10、x的指数为0求出常数项即可得结论.本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项，属中档题.6.【答案】C【解析】解：由题图A,闭合开关七或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K i，因 此“闭合开关K J 是“灯泡R亮”的充分不必要条件.第8页，共20页由题图8,闭合开关Ki而不闭合开关七，灯泡R 不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关七必须闭合.因此“闭 合 开 关 是“灯泡R 亮”的必要不充分条件.由题图C,闭合开关勺可使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，开关KI一定是闭合的.因此“闭合开关匕”是“灯泡R 亮”的充要条件.由题图。，闭合开关但不闭

11、合开关出,灯泡R 不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关,只要闭合开关修 即 可.因 此“闭合开关K J 是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.先分析电路图，再结合串联、并联电路即可得解.本题考查了阅读理解能力及充分必要条件，属中档题.7.【答案】D【解析】解：整理圆方程为(x-a)2 +3-2)2 =1,二圆心坐标(a,2),半径r=1,直线与圆总有两个不同交点，圆心到直线的距离小于半径，即*0时，f(x)0,x 0时，/(x)0,0 b=|log62=log6j32 6=1,c=log60.9 log6l=0,0 b 1,c f(b)/(c).故选：D.根据/(x)的解析式即可判断/

12、(x)在(0,+8)上是增函数，并且%0时，/(%)0,%0时，/(%)l b 0 c,从而可得出f(a),f(b)和/(c)的大小关系.本题考查了指数函数的单调性，增函数的定义，对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.10.【答案】C【解析】解：函数y=sin%cosx cos?%+3=gsin2x-；cos2x=jsin(2x：),图象向左平移詈个单位得到y=y sin(2x+；)=y cos2x.所以函数的最小正周期为兀，故4和8错误.函数在 0,自上单调递减，在在(兀,2兀)上不是单调函数，故。错误；当 =5时，cos2x=-l,所以函数g(x)的最小值为一立，故选项

13、C正确；故选：C.直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.11.【答案】A第10页，共20页【解析】解：2cosc(acosB+bcosA)=c,利用正弦定理：2cosCsin(A+B)=sinC,整理得：2sinCcosC=sinC,由于s讥C H 0,所以cosC=1由于0 0,b 0).由题意可知la=1 2,图中的4 点坐标为(20,30).将a=12,4(20,30)代入双曲线方程,可得/22025则双曲线的虚轴长为b=2XJ2025=4-

14、5-故选：C.首先由题意建立空间直角坐标系，然后结合题意确定双曲线方程即可求得虚轴的长度.本题主要考查圆锥曲线的应用，双曲线方程的求解与双曲线的几何性质等知识，属于中等题.13.【答案】|【解析】解：由约束条件作出可行域如图,y由图可知，4(2,0),学 的几何意义为可行域内的动点与定点P(0,-l)连线的斜率，由图可知，的最小值为七人=:.故答案为：由约束条件作出可行域，再由学 的几何意义为可行域内的动点与定点P(0,-l)连线的斜率求解.本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.14.【答案】1第12页，共20页【解析】解：(*)=等+a尤2,/(x)=1-lnx+2 ax,f(

15、l)=1+2Q=3,解得a=1.故答案为：1.求导得f(x)=1-lnx+2 a x,再由尸(1)=3,得解.本题考查利用导数研究函数的切线方程，掌握导数的运算法则，理解导数的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.6【答案】【解析】解：设F(-c,O),4(a,0),由PF _Lx轴可得孙=-c,yP=+,又直线PA的斜率为g,则点P 的坐标为(一 c,-9),则 二=在,整理可得：V5e2+e+l V5=0,a+c 5解得e=l g 或一 1(舍去)，所以椭圆的离心率为1-更，5故答案为：1 一由题意设出点F,A 的坐标，结合已知求出P 的坐标，再由A P 的斜率建立

16、方程即可求解.本题考查了椭圆的几何性质，涉及到直线的斜率问题，考查了学生的运算能力，属于基础题.16.【答案】变包3【解析】解:设SC的中点为O,AB的中点为。,DE1SC,垂足为E,设SC=23 AB=t,因为NS4C=4SBC=90,SO=OC=t,所以 20=BO=t,ADB所以。是三棱锥s-A B C的外接球的球心，是半径，因为4。=B O =3 AD=B D,所以。1曲因为S C 1 4 B,且O D n S C =。，所以Z B 1平面SDC,则%-ABC=匕-SCD+VB-SCD=x 鼻 x 2 t x DE x t =4,整理可得，D E x t2=1 2,因为D E =y/O

17、D2-OE2=-0 E2/3,此时体积取得最小值让=仅3 3故答案为：当7T.3设S C的中点为0,的中点为 ,DE 1 S C,垂足为E,设S C =2 3 AB =t,先证0是三棱锥S-A B C的外接球的球心，/是半径，然后证明4 B 1平面S O C,结合等体积及勾股定理可求.本题考查了球的性质、直角三角形外接圆的性质、三棱锥的体积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 7.【答案】证明：(1)数列 an满足(an+i -2)(0n-2)=2(an-an+1),整理得：an+1an-2an+1-2an+4=2an-2an+1,4化简得：册+1 =4-不，un所以3】=日丁泰，故一砥

18、=如一温=常 数)，所以数列 b是以瓦=1为首项，|为公差的等差数列；(2)由于数列 3是以瓦=1为首项，：为公差的等差数列；所以%=1 +|(n-1)=|(n+1),故%+1=/n +2),所以%b n+i=；(n+l)(n+2),第14页，共20页1 4“1 I、古入攵-b-=-=4(-),nbn+i(n+l)(n+2)、n+l n+27所以%=4(工一*工一工+-)=4(i-)=n k2 3 3 4 n+l n+2，k2 n+2y n+2【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的变换和等差数列的定义求出数列为等差数列:(2)首先求出数列 5 的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的

19、和.本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)要使系统的可靠度不低于0.992,则P(X 1)=1-P(X 0,992,解得r 0.8,故/的最小值为0.8.(2)X正常工作的设备数，由题意可知，XB(3,r),P(X=0)=cj x 0.9 x(1-0.9)3=0.001,P(X=1)=废 x 0.91 x(1-0.9)2=0.027,P(X=2)=Cf X 0.92 x(1-0.9)1=0.243,P(X=3)=程 x 0.93 x(1-0.9)=0.729,从

20、而X 的分布列为X0123P0.0010.0270.2430.729(3)设方案1、方案2 的总损失分别为X1，X2，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9,由(2)可知计算机网络断掉的概率为0。0 1,不断掉的概率为0.999,因为E(Xi)=80000+0.001 X 500000=80500元.采用方案2,对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,F(X2)=50000+0.008 x 500000=54000元，因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2.【解析】(1)由对立事件概率公式及相互独立事件同时发生

21、的概率公式可得关于r 的不等式，解之即可求解；(2)由题意可知，X8(3)，从而可求得X 的分布列；(3)方 案 1、方案2的总损失分别为X i，X2,根据题意结合(1)(2)分别计算E(X i),E(X 2),从而可得结论.本题主要考查离散型随机变量及其分布列、数学期望，考查对立事件的概率公式，相互独立事件同时发生的概率公式，属于中档题.1 9.【答案】(1)证明：如图所示，取 AC的中点0连接8。，0 D.4B C 是等边三角形，A OB LAC,在 4B D 与 C B D 中，A B =B D =B C,乙 AB D=乙 CB D,；.A B D 三 2 CB D,:.AD=CD,ZC

22、 D 是直角三角形，是斜边，贝此4D C =9 0。，v DO=AC,D O2+B O2=A B2=B D2,则O B _ L。，又DO n A C =0,A OB 1 平面 ACD.又OB u 平面A B C,.平面4 C D，平面A B C；(2)解：由O B I 平面ACD OD V A C,以 O为坐标原点，分别以O A、OB,0。所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系.不妨取4B =2,又 前=|砺，则。(0,0,0),4(1,0,0),C(-l,0,0),D(0,0,1),B(0,V 3,0),E(0,誓,|).AD=(-1,0,1),荏=(-1,学,|),AC=(-2,0,0

23、),设平面A D E的法向量为沆=(x,y,z),(m AD=x+z=0贝 可 一 .,3八，取x =3,得记=(3,低 3).m -AE=-x-y 4-z =01 5 5设平面A C E的法向量为记=(%i，%,z D，(n-AC 2%j 0M L J五,3 c，取Z i=-2,得记=(0,福 2).(n AE=+yi+g Z 1=0由图可知，二面角。一 4 E-C 为锐角,二 面角。-A E-C 的余弦值为它.7第 16 页，共 2 0 页【解析】(1)取 AC 的中点0，连接B。，O D,证明。B JLZ C,OB 1 O D,从而O B 1平面A C D,由此能证明平面力CD _ L平

24、面AB C-.(2)由O B _ L平面4CD,OD L A C,以。为坐标原点，分别以。4、O B、0。所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系.不妨取48 =2,结 合 丽=|屁，分别求出平面A O E与平面A C E的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角。-A E-C 的余弦值.本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力，是中档题.20.【答案】解：(1)抛物线E：y 2=2px(p o)的焦点为尸g,0),设P(/y p)，则 罚=g,0),OP=(l，yP),OF-OP=.-.-=-2,得p=3.4 4 4 抛物线E的方

25、程为y 2=6 x；(2)假设在x 轴上是 否 存 在 定 点 手 0),使得x 轴平分NCMD,设动直线的方程为久=m y +|,点C Qi，y i),。(女必)，联立(x m y+3,可得旷？6m丫 _ 9 =o.(y 2-6 xA=36 m 2+36 0恒成立，且y i+7 2=6 m,yry2=-9,设直线MC,M Q 的斜率分别为七，k2,则自+的=人+二=呼专喂也1 乙 xx-t X2-t(4 1-)。2一。y i (m y2+1-t)+y 2(y i +-0 2血%、2+6一七)(%+，2)八-4 Z Z-fl y(X j-t X X z-t)(X i-O C X z-t)3 2

26、加乃为+q t)(y 1+y 2)=o，把根与系数的关系代入，可得 9 z n 6 7 n t =0,得t =-|.故存在t =一|,满足题意.综上所述，在 x 轴上是否存在定点M(-1,0),使得x 轴平分NCMD.【解析】(1)抛物线氏y2=2Px(p 0)的焦点为F g,O),设P(-y p),可 得 而、OP,再 由 泰 丽=-：求解p,则抛物线E的方程可求；(2)假设在x 轴 上 是 否 存 在 定 点 使 得 x 轴平分N C M D,设动直线的方程为x =/n y +|,联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系及斜率公式求得求得2m y1y2+(|-t)(y1+y2)=0,把

27、根与系数的关系代入，即可求得,值得结论.本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.21.【答案】解：(I)函数f(x)的定义域是(1,+8),/(乃=1靖 _ ,.(X)在x =0处取到极值，二/(C l)=m 1=0,解得：m=1,m=l 时，/(乃=1一 击，/(%)=峭+嬴 0,故(无)在(-1,+8)递增，而尸(0)=0,故x0 时，f(x)0 时，f(x)0,/(町在(一1,0)递减，在(0,+8)递增，故x =0是f(x)的极小值点，符合题意；1 1(11)结合(1),令/(%)=血靖一右 =0,得m e =up即存在劭e (-1,+8)

28、,使得m e&=，两边取对数得：Inm=-l n(x0+1)-WX()T 1使得(l,%o)时，r(x)o,故f(%)在递减,在(沏,+8)递增，故=/(久 o)=meX -l n(%0 +1)+Inm 1,两边取对数得：Inm=-l n(x0+1)-结合故f(X。)=嘉 一(X o +1)-2/n(%0 +1),令t =x o +l,则g(t)=?-t 2 仇t(t 0),则g，(t)=一专一1 一=一 写!0,即沏 e (T,0)时，f(x)1,此时m 邑,+8).第18页，共20页【解析】(I)求出函数的导数，根据/(0)=0,求出机的值，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可：(

29、D)根据函数的单调性求出/(x)的最小值，得到满足/(%)2 1时x的范围，从而求出，”的范围即可.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题.2 2.【答案】解：(I )直线G和圆C 2的极坐标方程分别为p c o s(。-=2 b和p =2cos8.X=pcosOy=psinG 转换为直角坐标方程为x +y/3y-4A/3=0和(-I)2+y2=1.x2 4-y2=p2所以圆心到直线的距离d =盲言=2 6三，最小距离为2 b-|-1 =2 /3-|.(n )由于椭圆的顶点在直线G上，所以直线与坐标轴的交点坐标为(4 g,0)和(0,4),所以Q =4痘,b

30、 =4,故椭圆的标准方程为三+艺=1.48 16【解析】(I)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换；(n)利用点到直线的距离公式的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.2 3.【答案】解：(1)由1)+/(2)5得(一 团+|2-叫 2,当 a N 2 时，Q1+Q 22,解得：a 鼻，当la V 2时，a 1 +2 Q 2,不等式无解，当QW1 时，1 a +2 -a2,解得：QV点综上，Q的范围是(一U (|,+8)；(H)v/(%)h,A x a+x bf当 N a时，x Q+x V b,解得：x 当x Q时，Q x +xvb,得a v b,由不等式的解集是（一 8,|）,（a b则1+b _ 3,又 a,b G N*,I 2 -2故a =1,b=2.【解析】（I）通过讨论。的范围，去掉绝对值，求出。的范围即可；（n）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集，得到关于a,人的不等式组,求出a,匕的值即可.本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道综合题.第20页，共20页