2021年全国中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何（压轴题1）（老师版）.pdf

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1、20 21全国中考真题分类汇编（函数）-函数与几何（1）1.（2021湖北省武汉市）抛物线y=/一l交x轴于A,B两 点（A在B的左边）.（1）D 4 C 0 E的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上.如 图（1）,若点C的坐标是（0,3）,点E的模坐标是-，直接写出点4,。的坐标；2 如 图（2）,若点。在抛物线上，且Q 4C E的面积是12,求点E的坐标；（2）如 图（3）,F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线/分别交线段A F,B/（不含端点）于G,”两点，若直线/与抛物线只有一个公共点，求 证F G+F”的值是定值.【分析】（1）点A向右平移1个单位向上平移

2、3个单位得到点C,而四边形A C Q E为平行四边形，故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D,即可求解；利用SAACES m i.CNMA-S&C E N-S战EM=6,求出m-5 （舍去）或2,即可求解；（2）由F G+F H=-区-+铝=旄（XH-XG）=旄（2+2.-工-2）=旄，即可求s i n C L s i n C L 4 4解.【解答】解：（1）对于y=7-l,令 丫=x 4-1=0,解得x=5,则y=-l,故点A、2的坐标分别为（-1、（4,顶点坐标为（0,当 x=3时，yx2,-1 ,7 4由点A、C的坐标知，.四边形A C D E为平行四边形，故点E向右平移1个单位

3、向上平移3个单位得到点D,则3+8=$，A l l,2 2 4 4故点D的坐标为(工，工L)；2 4设点 C(3,”)，n r-1),同理可得，点。的坐 标 为(?+4,m 2-+)，将点D的坐标代入抛物线表达式得：祖 3 _ +=(计)2 1,解得=2 相+8,故 点 C的坐标为(0,2m+6)；连 接 C E,过点E作 y 轴的平行线交工轴于点M,贝|J S z v l C E=S 梯 形 C NM 4-S C N 一 S z A E A/=i （加+2+6）（2/H+1）-2-6）-/n 5m+-2 2 2（/?2 -8 ）=Sa AC E D =6f2解得?=-5 （舍去）或 2,故点

4、E的坐标为（8,3）；(2),尸是原点。关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为(0,由点8、尸的坐标得，同理可得，直线A 厂的表达式为y=-6 x-2，设直线I的表达式为y=t x+n,联立 y=t x+n 和 y=7-4 并整理得：J?-t x -n -=6,直线I与抛物线只有一个公共点，故4=(-r)2-4(-/?-6)=0,解得 n=-t2-1,4故直线/的表达式为y=t x -1?-8，联立并解得也=主2,4同理可得，应=上二,4 射线以、/8关于y 轴对称，设N A F O=N B F O=a,则 si n Z AF O=ZB FO=.=.=-=s i n a,B F V 2+?5则

5、尸G+F 7/=+=泥 (XH-XG)=6-=&.s i n C l s i n。4 42.(20 21湖南省衡阳市)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例 如(1,1),(20 21,20 21)都 是“雁点”.(1)求函数y=匹图象上的“雁点”坐标；X(2)若抛物线y=/+5 x+c 上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N 两点(点 M在点N 的 左 侧).当 时.求c的取值范围；求N EMN 的度数；(3)如图，抛物线y=-7+2 x+3 与 x轴交于4、8两 点(点 A在点8的左侧)，P 是抛物线y=-?+2x+3上一点，连 接B P,以

6、点P为直角顶点，构造等腰R t A B P C,是否存在 点 P,使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.X（2）由=25-4ac=0,即ac=4,即可求解：求出点M的坐标为（-匹，0）、点E的坐标为（-2,-2）,即可求解;a a a（3）证明0产?（A 4S）,则 CM=P N,即可求解.【解答】解：（1）由题意得：X=2,解得x=2,X当工=2 时，y=2,x故“雁点”坐 标 为（2,2）或（-2,-2）；（2）,“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为了=羽,物线y=o?+5 x+c上有且只有一个“雁点”E,则 a x2+5x+c=x,则4=

7、25 -4c=0,即 a c=4,Vr z l,故 c V4；.,c=4,贝！J a 2+5 x+c=0 为 6U2+5X+A=0,a解得x=-_ l或-工，即点M的坐标为（-邑，0）,解 得 工=-2,即点E的坐标为(-2,-2),a a a故点E作 轴 于 点 儿则 H E=,MH=XE-XM=-(-A)=2=HE,a a a a故N E M N的度数为4 5 ；(3)存在，理由：由题意知，点 C 在直线y=x 上，故设点C 的坐标为(t,t),过点P 作 x 轴的平行线交过点C 与 y 轴 的 平 行 线 于 点 交 过 点 8 与 y 轴的平行线于点设点P 的坐标为Cm,-Z M2+2

8、W+3）,则 B N-n+2m+3,PN=3-m,PM=m-t,CM=-rr+2m+3-t,:NNPB+/MPC=9U,ZMPC+ZCPM=90,:.N N PB=/C PM,：ZCMP=ZPNB=90,PC=PB,:.ACM P必PNB（A4S）,：.PM=BN,CM=PN,BP/n-?=|-n?+2m+3,-m2+2m+3-/=|3-m,解得机=1+巫（舍去）或 1 -Y 匝 或 3,2 2 2,故点P 的坐标为（生叵，旦）或（旦，至）.2 2 2 43.(2021怀化市)如图所示，抛物线与x 轴交于A、8 两点，与 y 轴交于点C,且 OA=2,0 8=4,O C=8,抛物线的对称轴与直

9、线BC交于点M,与 x 轴交于点N.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M 为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)0为C。的中点，一个动点G从。点出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点F,最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置,写出坐标，并求出最短路程.(4)点。是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点。为直角顶点 的 等 腰R t CQR?若 存 在，求 出 点Q的 坐 标，若 不 存 在，请 说 明 理由.【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)当N C

10、 P M为直角时，则P C x轴，即可求解；当N P C M为直角时，用解直角三角形的方法求出P N=M N+P M=6+=,即可求解；2 2(3)作点C关于函数对称轴的对称点C (2,8),作点。关于x轴的对称点 (0,-4),连 接C D 交x轴于点E,交函数的对称轴于点凡则点E、P为所求点，进而求解；(4)证明(A A S),则 Q N=C M,即可求解.【解答】解：(1)由题意得，点A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(4,0)、(0,8),4a-2b+c=0 a=-l设抛物线的表达式为y=a r 2+6 x+c,则，1 6 a+4 b+c=0 解得，b=2，c=8 c=8故抛物线的表

11、达式为y=-/+2 x+8；(2)存在，理由：当N C P M为直角时,则以P、C、M 为顶点的三角形与MNB相似时，则 尸 Cx 轴，则点P 的坐标为(1,8)；当NPCM为直角时，在 RtzOBC 中，设N C 8 0=a,则 ta n/C B O=送=2=ta n a,则 sin a=-,cosa=OB 4 V51而，在 RtaNMB 中，N B=4 -1=3,则 B M=_ B I L=3泥,c o s a同理可得，MN=6,由点 8、C 的坐标得，B C=g2+42=4V5-W J C M=B C=M B=4 ,在 RtZiPCM 中，Z C P M=Z O B C=a,则/“=工1

12、_=更 =$,s i n C l _ 2 _ 2遮则 P N=M N+P M=6+且=H L,2 2故点p的坐标为(1,工L),2故点尸的坐标为(1,8)或(1,.1 1)；2(3).。为 CO的中点，则点0(0,4),作点C 关于函数对称轴的对称点C(2,8),作点。关于x 轴的对称点 (0,-4),连 接 C D 交 x 轴于点E,交函数的对称轴于点F,则点E、尸为所求点，图2理由：G走过的路程=E+EF+FC=。E+EF+FC1=C D 为最短,由点C、D 的坐标得，直线C D 的表达式为y=6x-4,对于 y=6 x-4,当 y=6x-4=0 时，解得 x=2,当 x=l 时，y2,3

13、故点E、F的坐标分别为(2,0)、(I,2)；3G 走过的最短路程为 C D=7(2-0)2+(8+4)2=237；(4)存在，理由：设点。的坐标为(x,-X2+2X+8),故点。作y轴的平行线交x轴于点N,交过点C与x轴的平行线于点M,图3：ZMQC+ZRQN=9Oa,ZRQN+ZQRN=90,：.ZMQC=ZQRE,；NANQ=NQMC=90,QR=QC,A N Q d Q M C (A A S),:.Q N=C M,即x=-7+2 x+8,解得x=5区.(不合题意的值已舍去),_ 2 _故点Q的坐标为(1 33,1 33.).2 24.（2 0 2 1 湖南省邵阳市）如图，在平面直角坐标

14、系中，抛 物 线 C：y=a x1+b x+c（a O）经 过 点（1,1）和（4,1）.（1）求抛物线C的对称轴.（2）当 =-1 时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1 个单位，得到抛物线C i.求抛物线C 1 的解析式.设抛物线C 1 与 x 轴交于A,B两点（点 4在点B的右侧），与 y 轴交于点C,连接BC.点、D为第一象限内抛物线C 1 上一动点，过点D作DEYO A于点E.设点D的横坐标为m.是否存在点Q,使得以点。，D,E为顶点的三角形与aBOC相似，若存在，求出机的值;备用图【分析】（1）点（1,1）和（4,1）的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称，即可求解；（

15、2）用待定系数法即可求解；当以点O,D,为顶点的三角形与 B O C 相似时，则 t a n N Z）0 E=2或上，即t a n Z D OE22=理=工或工，即可求解.0 E m 2【解答】解：（1）点（1,1）和（4,1）的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称，故抛物线的对称轴为直线X=L(1+4)=；2 2由题意得：1l+b+c=O,解得 b=5,I-16+4b+c=0 Ic=_3故原抛物线的表达式为y=-?+5 x-3；由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y=-(x+2)2+5 (x+2)-3-1=-7+x+2；存在，理由：令 y=-7+x+2=0,解得 x=-l 或 2,令

16、 x=0,则 y=2,故点B、A的坐标分别为(-1,0),(2,0),点C(0,2)；*.*t a n/B C O=2 ，C O 2同理可得：t a n N C B O=2,当以点O,D,E为顶点的三角形与 8 O C 相似时，则 t a n/O O E=2 或工，2设点。的坐标为(m，-m2+m+2),2则 t a n Z D O E=m=2 或工，0 E m 2 _解得：根=-2 (舍 去)或 1 或 上 场.(舍去)或上_ 2 2故?=1 或 上 运.25.(2 0 2 1岳阳市)如图，抛物线y =+加+2经过4(1,0),8(4,0)两点，与 y轴交于点C,连接8 c.ra i田2国3

17、(i)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2,直线/：丁 =履+3经过点A,点尸为直线/上的一个动点，且位于x轴的上方，点。为抛物线上的一个动点，当P Q/)，轴时，作Q M _ L P Q,交抛物线于点M(点、M在点。的右侧)，以P。，QM为邻边构造矩形P Q M N ,求该矩形周长的最小值；(3)如图3,设抛物线的顶点为D，在(2)的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时,抛物线上是否存在点F ,使得N C B F=4 D Q M?若存在，请求出点尸的坐标；若不存在,请说明理由.【答柒】(1)y=x2 Hx +2 ；(2)；(3)存在，产(1,0)或尸(不二2 2 4 轴的负半轴上，连接AE

18、，且=求上的值.【答案】(1)A=8 (2)证明见解析；=2王7.(2 0 2 1 江苏省连云港)如图，抛物线 =加5+(疗+3卜一(6 2 +9)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知5(3,0).(1)求相的值和直线6。对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S a p B c n S&c，请直接写出点P的坐标；(3)。为抛物线上一点，若N A C Q =4 5,求点。的坐标.【答 案】(1)m =-,y=x-?；(2 )P(2,l),呜 T(3+V17-7+Vn12，2【解析】【分析】(1)求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可;（2）做点A关于B C的平行线A,联立直线A 与抛物

19、线的表达式可求出6的坐标，设出 直 线 与y轴的交点为G,将直线B C向下平移，平移的距离为G C的长度，可得到直线鸟鸟，联立方程组即可求出P；（3）取点Q,连接C Q,过点A作AD LC Q于点。，过点。作轴于点尸，过点C作C ELD F于点E，得直线C O对应的表达式为y =g x-3,即可求出结果；【详解】（1）将8（3,0）代入丁 =相/+（m 2+3卜 _（6 m+9）,化简得，+m=0，则）篦=0 （舍）或加二 一1,/.m =1,得：y=-x2+4x-3,则。（0,-3）.设直线BC对应的函数表达式为y =+。，将3（3,0）、。（0,3）代人可得J s 8 ，解得左=1，则直线

20、BC对应的函数表达式为y =x-3.（2）如图，过点A作A 6 8 C,设直线A与y轴的交点为G,将直线8 c向下平移GC个单位，得到直线鸟鸟,/H由（1）得直线B C的解析式为y =x-直线A G的表达式为y =x-i,联立ly =+%-1Ix=l x=2解得：八（舍），或 y =0 1y =i6（2,1）,由直线AG的表达式可得G（-1,O）,，G C =2,CH =2,直 线 的 表 达 式 为y =工一5,联立 J+y4=Xx.53，3 +V 17 f 3-J解得：卜2 K 2 7 +J 17 -7 -、y=%=03,A(1,O),17叵3+717-7+717 r 3-拒-7-V u，

21、2/2 1 ，2,.P(2,l),3+717-7+V n，P(3)如图，取点Q,连接C Q,过点A作A O LC。于点。,过点。作OE _L x轴于点F,过点C作CE_L O F于点E,：.AD=CD,又,:ZADC=90,：.ZADF+ZCDE=90,：NCDE+ZDC=90,ZDCE=ZADF,XV N=ZA/T=90,/.ACDEAZMF,则 AF=E,CE=DF.设。E=A/=a,V OA=l,OF=CE,CE=DF=a+1.由 OC=3,则)尸=3。，即 a+l=3 a,解之得，a=l.所以 0(2,2),又。(0,-3),可得直线C）对应的表达式为y=万*-3,设%一3）,代入=一

22、%2+4%-3,7得一加一3=一m2+4/-3 ,m=-n r+4m,n r m=0,2 2 27又z w O,则加=一.所以。27 _52，-48.（2021江苏省苏州市）如图，二次函数y=/-（机+l）x+,”（加是实数，且-1相0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且在对称轴上，OC=E C,连接ED并延长交），轴于点F（1）求A、B、C三点的 坐 标（用数字或含小的式子表示）；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当AFQ的周长的最小值等于2时，求机的值.5备用图【分析】（1）令y=/-（7+l）x+，=0,解得x=l或相，故点A、B的坐标分别为（m,0）、（1,0）,则点C

23、的横坐标为工（叶1）,即可求解；22（2）由 t a n Z D BC=t a n Z O D C,即 C2=co3 C=2（m+1）.A （1 -/n）-1-111,2 2 4在RtzM。尸中，4产=4。2+。产=机2+1 2=i；点B是点A关于函数对称轴的对称点,连接尸8交对称轴于点Q,则点。为所求点，进而求解.【解答】解：（1）令y=7-（ZM+1）x+m 3,解得x=l或故点A、8的坐标分别为（八（1,则点C的横坐标为B（，升1）匹且,（）；2 2(2)由点C的坐标知，2 C=t an/O O C,B J C D2=C O BC -(w+1).22 2 4.,点C是O B的中点，则C

24、为 B。尸的中位线，则 F O1=9 C D)2=4 CD7=1 -m2,在 R t Z4。尸中，AF5=A O2+OF2 m6+-n r=2,.点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接F B交对称轴于点Q,理由：A F Q 的周长=A F+F Q+A Q=1+Q F+B Q=1+B F 为最小,即8+8/=卫，5贝i j-/+1=(_ 1 2 _ -2)解得胆=+工，5一 4V-1 7 0,故 m-.51 ,9.（2 0 2 1宿迁市）如图，抛物线y=-/J T+法+C与x轴交于A（-l,0）,8（4,0）,与 丁轴交于点C.连接A C,B C,点P在抛物线上运动.（1）求抛物线的表达式；(2

25、)如图，若点尸在第四象限，点。在以的延长线上，当NCAQ=/CBA+45。时，求点P的坐标；(3)如图，若点P 在第一象限，直线AP交 BC于点F,过点尸作X轴的垂线交8 c 于点”,当PFH为等腰三角形时，求线段PH 的长.【解析】【分析】(1)根据待定系数法解答即可;(2)求得点C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断/ACB=90。,继而可得/A C 0=/C 8A,在 x 轴上取点E(2,0),连接C E,易得OC是等腰直角三角形，可得NOCE=45。，进一步可推出/4C E=N C A Q,可得CEP。，然后利用待定系数法分别求出直线CE与 PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组

26、求解即可；(3)设直线A尸交y 轴于点G,如图，由题意可得若月四为等腰三角形，则CFG也为等腰三角形，设 G(0,m)，求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F 的坐标，然后分三种情况求出，”的值，再求出直线A P的解析式，进而可求出点P 的坐标，于是问题可求解.【详解】解：(1)把 4(-1,0),B(4,0)代入y n-g f+b x +c,得1 ,c,3-h+c =0 b =,2,解得：,2,-8+4Z?+c=0 c=2抛物线的解析式是y=-1 x92 +3x+2；(2)令户0,则 y=2,即 C(0,2),/AC2=12+22=5-BC2=2?+4?=20，AB225,/.

27、AC2+BC2=AB2：.NAC8=90。，ZACO+ZCAO=ZCBA+ZCAO=90f：.ZACO=ZCBAf在 x 轴上取点E(2,0),连接C E,如图，贝 lj CE=OE=2f /OCE=45。,：.ZACE=ZACO+45=Z CBA+45=ZCAQ,：.CE/PQ,VC(0,2),E(2,0),，直线CE的解析式为产-x+2,设直线尸。的解析式为广4+，把点A(-1,0)代入，可得=1,直线尸。的解析式为产*1,1 7 3 C Cy=厂+x+2 x=-l x=6解方程组2 2，得八 或 1 r，y=0 y=-/y=-x-l i i点尸的坐标是(6,-7)；(3)设直线AP交 y

28、 轴于点G,如图，P y 轴，:./P H O/O C B,/FPH=/CG F,若 为 等 腰 三 角 形，则CFG也为等腰三角形,VC(0,2),B(4,0),直线BC的解析式为y=x+2,设 G(0,in),A(-1,0),直线AF的解析式为1 cy=x+2解方程组彳，2,y=iwc+m(4 2m，点尸的坐标是-12机+14-2mx=-加 2m+1得4 U5my=-I 2/71+15 m)2 加+1 CG2=(2-m)2,CF2=5m 22m+l4-2m2/71+12I +-2,FG=2m 4-1 74-2 my2/714-1,2+(5m V-m 2m 4-1)当CG=C/时，(2m)2

29、=4-2m2帆+12I +5m2m+1一2），解得：加=。匚（舍去负值）,此时直线AF的解析式为产避二1 x+1二122解方程组yy=-1-X 2 H 3 X+2。,2 2,7 5-1 1 得-X+-x=-y=0X=5-y/57 -1 1 )y222点P的坐标是（5-逐，-H）此时点”的坐标是（5-石，叵）,2 2.P_7V5-11 r r i-V5-1223 75-5;当 FG=FCW,+4-2m 2m+1,4-2m、2+2(5m-m 2m 4-12|，解得加二5或m=(舍)或机=2(舍),2此时直线AF的 解 析 式 为x+g ,y解方程组y1 2 3 -X H-尤+22 21 1x+2

30、2x=312,x=l或Vy=0 -.点P的坐标是（3,2）,此时点，的坐标是（3,g）,2：.PH=2-=.5；22当G F=G C时,5 m-m2 m+1|，解得m=1或加=2 （舍去）,3 3此时直线A F的解析式为广一x+，4 4解方程组1)=一一23y=x+-4 4x=-1y=o或，5x-22 14，+223，得 y8 点p的坐标是（之,2此时点H的坐标是（-，22 1 3 1 5综上，P H=3石-5或1 6或厚.81 0.（2 0 2 1江苏省扬州）如图，在平面直角坐标系中,二次函数y=Y+法+c的图像与x轴 交 于 点.A（-1,O）,3（3,0）,与y轴交于点C.(2)若点。在

31、该二次函数的图像上，且 S.O=2 S,BC，求点力的坐标；(3)若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且直接写出点尸的坐标.【答案】(1)-2,-3；(2)(1 +V 1 0 .6)或(1 一 屈，6)；(3)(4,5)【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可：(2)先求出A B C的面积，设点。(，加2一2 m 3)，再根据S,ABD=2 S.C，得到方程求出机值，即可求出点力的坐标；(3)分点P在点A左侧和点尸在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解.【详解】解：(1).点A和点B在二次函数yu f+-+c图像上，I 0 =1 -Z?4-C则1 o=9+3 b +/=2c =

32、-3解得:故答案为：-2,-3；(2)连接8 C,由题意可得:A (-1,0),B(3,0),C(0,-3),y=x2-2 x-3 ,1 “c SABC-x 4 x 3 =6,2SZ KA 8D=2SAA8 C,设点。(m,m2 2 m 一 3)，=2 x6 ,B P x4 x|/n2-2A?-3|=2 x6解得：x=1 +V 1 0 1 -V 1 0 -代入 y =/一2 x-3,可得：y值都为6,.,.D（1 +J I U，6）或（l-厢，6）；点P在抛物线位于x轴上方的部分，或 3,当点P在点A左侧时，即”-1,可知点C到A P的距离小于点B到A P的距离,S。pc 3,A PC和A P

33、B都以A P为底，若要面积相等，则点B和点C到A P的距离相等,即BC/AP,设直线B C的解析式为y=k x+p,O-3 k +p k -则 ,解得：，3 =p p=-3则设直线A P的解析式为产x+q,将点4 （-1,0）代入，则-l+q=0,解 得:q=l,则直线A P的解析式为）=x+l,将P（，*_ 2 一 3）代入，即-2 -3 =+1，解得：=4或=-1 （舍），/_ 2 -3=5,，点尸的坐标为(4,5).31 1.(2 0 2 1山东省聊城市)如图，抛物线丫=以2+1*+。与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知A,C两点坐标分别是A (1,0),C(0,-2),连接A C,

34、BC.(1)求抛物线的表达式和A C所在直线的表达式：(2)将AA3C沿B C所在直线折叠，得到 O 8 C,点A的对应点。是否落在抛物线的对称轴上，若点。在对称轴上，请求出点。的坐标；若点。不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接A P交B C于点Q,连接8P,4 BPQS.的面积记为Si,AAB。的面积记为S2,求 亍 的值最大时点P的坐标.1 Q【答案】(1)y =-f+-x 2；y =2 x 2；(2)点。不在抛物线的对称轴上，理由见2 2解析：(3)点P坐 标 为(-2,3)【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出点B坐标，再结

35、合点A、C坐标利用相似三角形的判定及性质可证得A C _ L8C,延长A C到点。，使D C=A C,过点力作轴，垂足为点E,由此可得ACO/OCE（AAS）,进而可求得点。的横坐标为一1,最后根据抛物线的对称轴是直3线x=即可判断出点B不在对称轴上；2（3）先利用待定系数法求出直线BC的函数表达式，然后过点A作x轴的垂线交BC的延长线 于 点 则 点M坐标为1,-g）,过点P作x轴的垂线交BC于点N,垂足为点从 设点P坐标为+|加一2）,则点N坐标为 加，一;他一2）,根据相似三角形的判定及性 质 可 得S寸.=一1（z 相+c2、）2-+三4，由此可得答案.3【详解】解；（1）;抛物线丁

36、=以2+g x+c过4（1,0）,C（0,-2）,3,、Q+C=0 2,c =-2，1c i 解得：2,c =-21 ,3二抛物线的表达式为 y=/+一x2.2 2设AC所在直线 表达式为丫=履+6,k +b =Ob =-2k =2解得 c，b =-2：.A C所在直线的表达式为y=2 x-2.（2）点。不在抛物线的对称轴上，理由是：V抛物线的表达式是y=-x2+-x-2,令y=。，则51 工 9+3 x 2=0,解得玉=-4,x2=i,.点B坐 标 为（-4,0）.=1,OC=2,.OA PCOCOB又.N A OC =N C Q B =90 ,AOCNCOB.：.ZACO=ZCBO.，ZA

37、CO+ZBCO=NCBO+ZBCO=90，；AC 1BC.将A B C沿8 c折叠，点A的对应点力一定在直线A C上.如下图，延长AC到点。，使。C=A C,过点。作Q E_L y轴，垂足为点E.A C O四 D C E(A 4 S),二 D E=O A=l,点。的横坐标为一1,3V抛物线的对称轴是直线x =,2点。不在抛物线的对称轴上；（3）设过点B,C的直线表达式为y =x +A，.点C坐 标 是（0,2）,点8坐 标 是（一4,0）,.过点8,C的直线表达式为丁=一;X-2.过 点A作x轴的垂线交B C的延长线于点M,则点“坐标为。，一如下图，过点P作x轴的垂线交B C于点N,垂足为点H

38、,设点P坐标 苏+，-22 2则点N坐标为（22 1 C (1 2 3 Q 1 ，C/.PN=m-2-m+-m-2 m-2m.2 2 2 2：AAQM s/x P Q N ,PQ _ PN:若 分别以PQ，4。为底计算a B P。与84。的面积，则B PQ与8A。的面积的比为PQAQS,即U2PQAQ-S._P*_ N_ _S AM1 2。-7 m 2/72 -m 24/m i1 Az-、2 4 -=-=(z n +2)+一,5 5 5 5 52 0 ,5当布=2时，寸S.的最大值为4?，251 ,3将帆=2代入y =/+一2,得 丁 =-3,2 2S,.当号 取得最大值时，点P坐 标 为（-

39、2,-3）.321 2.（2 0 2 1山东省泰安市）二次函数y=ax2+bx+4（a片0）的图象经过点A （-4,0）,B（1,0）,与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接B P、AC,交于点。,过点尸作P Q L x轴于点D(1)求二次函数的表达式；(2)连接B C,当/3 P B=2 N B C 0时，求直线B P的表达式；(3)请判断：世是否有最大值，如有请求出有最大值时点尸的坐标，如没有请说明理Q B由.【分析】(1)利用待定系数法即可求出答案；(2)设B P与y轴交于点E,设。=，则C E=4-a,BE=4 -a,运用勾股定理可求得 =，得出E(0,旦)，再利用待定系数

40、法即可求出答案；8 8(3)设P O与A C交于点M过点B作y轴的平行线与A C相交于点M,利用待定系数法求出直线A C表达式，再利用3 M 尸N,可得进而得出双=理=里1,Q B B M 52设 P(ao,-o2-3加+4)(-4 tz o=0?+法+4 QWO)的图象经过点A (-4,0),B(1,0),*a*(4)2+b *(4)+4=0a+b+4=0解得：卜=-1,l b=-3/.该二次函数的表达式为=-/-3 x+4；(2)如图，设B P与y轴交于点E,力y轴，:.ND PB=NOE B,:ND PB=2 NBC O,：.Z OE B=2 Z BC O,；.NE C B=/E BC,

41、:.BE=CE,设 O E=a,则 C E=4 -a,：.BE=4-a,在RtZk B OE中，由勾股定理得：B烂=0 呼+0B2,(4 -a)2=tz2+l2,解得：=耳8；.E(0,争，设B E所在直线表达式为y=f c c+e(ZW 0),(15.kw0+e=-3-*s O k*l+e=0f.15k=%解得：,，15,e直线B P的表达式为)，=-生x+至；8 8(3)世有最大值.QB如图，设 P D 与 A C 交于点、N,过点8作y轴的平行线与A C相交于点M,设直线A C表达式为y=twc+nfV A(-4,0),C(0,4),(-4)廿。lmw0+n=4解得：I n=4直线A C

42、表达式为y=x+4,点的坐标为(1,5),：.BM=5,:BMPN,:.丛 PNQSBMQ,PQ=PN=PNQB BM V设 P(ao,-ao2-3 670+4)(-4 a o =加+汽。工0)过 点 玖3,0),。(1,4).(2)点A在 直 线P Q上且在第一象限内，过A作ABLx轴 于B,以A B作 等 腰 直 角A B C.若A与Q重 合，求C到抛物线对称轴的距离：若C落在抛物线上，求C的坐标.【答 案】(1)J =-x2+-；(2)1;点C的坐标是(一2最 2 2 -7 m+3 =0.因式分解，得（2分一 1）（加-3）=0.解得2 =,或 加=3 （与点3重合，舍去）.2当根=时，

43、2 m-3 =l-3 =-2,-nz+3 =-+3 =*.2 2 2所以点C的坐标是-2,1 4.（2（）2 1山西省中考）如图，抛物线y=g/+2x 6与x轴交于A,8两 点（点A在点5的左侧），与V轴交于点C,连接A C,BC.（1）求A,B,C三点的坐标并直接写出直线A C,8c的函数表达式；（2）点尸是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作 的 平 行 线/,交线段AC于点。.试探究：在直线/上是否存在点E,使得以点0,C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线/交于点M，与直线AC交于点N.当=S0时，请直接写出DM的长.点

44、A的坐标为(-6,0),点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,6),直线AC的函数表达式为：y=-x-6i直线3c的函数表达式为：y=3 x-6；(2)存在，点E的坐标为(-6,-8)或(2-2石,2；3 m【分析】(1)分别令y=0和x =0时即可求解A,B,C三点的坐标，然后再进行求解直线A C,BC的函数表达式即可；(2)设点。的坐标为(，,一m 6),其中-6 相 B C2=22+62=40 DC2=m2+HT2=2 m2 =B C时，o 8 D E C是菱形，当C 0 =CB时，u C B E D是菱形,然后分别求解即可；由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线x =-2,

45、由(1)可得直线AC的函数表达式为:y=-x-6；直线BC的函数表达式为：y=3 x -6,点A的坐标为(一6,0),点C的坐标为(0,-6),进而可得S.AOC=；X6X6=1 8,设点M(-2,加)，然后可求得直线/的解析式相+1 2 祖_ 2、，,所以就有MN=m+4,最后根据4 4)面积公式及两点距离公式可进行求解.【详解】解：(1)当y=0时，%2+2.x 6 =0,解得$=6,x)=2,.点A在点3的左侧，.点A的坐标为(-6,0),点B的坐标为(2,0),当=0时，y=-6,.点C的坐标为(0,-6),f-6 +/?=0设直线AC的函数表达式为 =+代入点A、C的坐标得：,h-o

46、解得：k=-1b=-6直线AC的函数表达式为：y=-x-6.同理可得直线8C的函数表达式为：y=3x-6；（2）存在.设点。的坐标为（以一加一6）,其中-6加 DC nr+=2,m2 DE/BC,，当。E=6 C时，以。，C,B,E为顶点的四边形是平行四边形，当5。=3 c时，C JBDEC是 菱 形,如图所示：解 得 叫=-4,w2=0（舍去）,.点。的坐标为（4,一2）,.点E的坐标为（-6,-8）；当CD=CB时，口CBED是菱 形,如图所示:2M=40，解，得 见=2石，牝=2石（舍去），/.点 D 的坐标为（-2A/5,275-6）,点E的坐标为（2-2区2旧）;综上所述，存在点E，

47、使得以。，B，C,E为顶点的四边形为菱形，且点E的坐标为（-6-8）（2-275,275）；由题意可得如图所示：由题意可得抛物线的对称轴为直线x=-2,由（1）可得直线AC的函数表达式为：y=-x-6；直线8C的函数表达式为：y=3x 6,点A的坐标为（一6,0），点。的坐标为（0,-6）,.点N（2,-4）,O A =O C =6,设点I H B C,，设直线/的解析式为y=3x+b,把点M的坐标代入得：-6+b=m ,解得：b=m+6,直线/的解析式为y=3x+/n+6,联立直线/与直线4C的解析式得：一 尤6=3%+相+6,.(加+12、/m-12/.y=3 x-+m+6=-,I 4 J

48、 4/7n+12二点7一丁，二).点P是直线A C下方抛物线上的一个动点，且S&DMN=S&OC=18,点M在点N的上方才有可能，M N=加 +4，.。1/-根+12、(m+4)?y.S MnvN/v 2 x(?+4)，x I-2 H-4-=)-8-=18，解得：肛=8,生=-16(不符合题意，舍去)，/.由两点距离公式可得D M =J(-2+5)2+(8+炉=3V10.15.（2021湖北省随州市）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+Zzr+c与x轴交于点A（1,0）和点8,与y轴交于点C,顶点。的坐标为（1,Y）.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如 图1,若点P在抛物线上且满足NPC

49、B=ZCBD，求点P的坐标;(3)如图2,M是直线8C上一个动点，过点M作M NLx轴交抛物线于点N,。是直线AC上一个动点，当AQMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点。的坐标-y=x2-2 x-3；(2)6(4,5),6 俘-()；俘Q卜 W)；%(，)，。2卜 装,()；%(5,2),0,(-5,12)；M4(2,-l),Q,(0,-3)；M5(l,-2),f t(0,-3)；%(7,4),0,(-7,18).【分析】(1)由A(-LO)和O(1,Y),且。为顶点列方程求出。、b、c,即可求得解析式；(2)分两种情况讨论：过点。作C 3。，交抛物线于点 片，在BC下方作NBC

50、F=NBCE交BG于点F,交抛物线于；(3)AQMN为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当QM=MN,NQMN=90。；当QN=MN,ZQNM=90；当 QM=QN,NMQN=90.【详解】解：(1)将4(-1,0)和O(1,T)代入y=公+c又.顶点O的坐标为（1,-4）=-12aa=1解得汗=一2c=-3，抛物线的解析式为：y=f 2x 3.（2）；B（3,0）和。（I）直线5。的解析式为：y=2x 6.抛物线的解析式为：y=f_ 2 x 3,抛物线与 轴交于点C,点B ,则C点坐标为（0,-3）,B点坐标为（3,0）.过点C作CP H B D ,交抛物线于点4,则直线C 4的解析式为y=2