2021年全国高中数学联合竞赛模拟试题.pdf

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1、（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题（完整）No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（完 整）No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下 为（完 整）No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题的全部内容。（完整）No,4 9全国高

2、中数学联合竞赛模拟试题2011年全国高中数学联赛模拟题1一试考试时间上午8：009:20,共8 0分钟，满 分120分一、填 空 题（共8题，每 题8分，6 4分）1、已知函数y=2X2 +-+C B x+a（a 0）,则。的取值范围是3、设 在xO y平 面 上，0yW x2,0 4 x 4 1所 围 成 图 形 的 面 积 为L 则 集 合3 M=（x,y）|H-|,r|l,N=（x,y）|y|2x2+1的交集M PIN所表示的图形面积为_ _ _4、f（x）=yx2-2x+J2x2-3x+3 的最小值为一4 35、已知复数 z=cosa+i sina,u-cos P+i sin P,且

3、z+星=_+i o 则 tan（a+0）=5 5-6、过椭圆C:2+上=1上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q,3 2使|HQ|=入|PH|（入2 1）.当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为7、设团表示不超过x的最大整数，则log l+log 2+log 3+-+log 500=3 3 3 3-8、设p是给定的奇质数正整数k使得户二派也是一个正整数，则k=二、解 答 题（共3题，共5 6分）9、（本题1 6分）在4ABC中，A,B.C所对边分别为a,仇c,且c=1 0,%f P为ABCcos 8 a 3的内切圆上的动点，求 点P到A,B,C的距离

4、的平方和的最大值和最小值10、（本题2 0分）数列标 中，a=8,a=2且满足a=2an 1 4 n+2 M+1a(wN+)(1)求数列 a 的通n n-2-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题项公式；(2)设Z?=_,T=h+h+h(EN +),是否存在最大的正整数2,使得对于n(12-a)12 nn任意的 e N+,均有T 上成立？若存在，求出z 的值；若不存在,请说明理由。n 3211、(本题2 0 分)给定圆P：X2+2 =2x及抛物线S:产=4x,过圆心P 作直线,此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,C D的长按此顺序构成一

5、个等差数列,求直线I 的方程.2011年全国高中数学联赛模拟题2一试考试时间上午8：009：20,共 8 0 分钟，满 分 120分一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，共 6 4 分.把答案填在横线上。1.方程l og x+si nx=2在区间(0,3上的实根个数为.与22O设 数 列 18x(-：)，的 前 项 和 为 S，则 满 足 不 等 式 S-6|_的最小整数是 3 J n 1253O已知(GN,22)是常数，且 x,x,x 是 区 间 内 任 意 实 数，则函数1 2 _ 2 Jf(x,x,x)=si nx cosx+si n x c osx+si nx c osx 的最大

6、值等于。1 2 n 1 2 2 3 n 14.圆周上给定1 0 个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么,这些弦在圆内一共有 个交点。-3-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题5。一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在7次 爬 行 后 恰 好 回 到 起 始 点 的 概 率 为.6.设。是 平 面 上 一 个 定 点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动 点P满足O P-X=O A+X,其中入e 0,+8),则点尸的轨迹为。m AB7 o对给定的整数m,符号(p(z)表 示1,2,3.中使加+中(加)能 被3整除的唯一值，那么

7、(p(22oi o-T)+(p(22oi o-2f+(p(22oi o-3)=_ 8.分别以直角三角形的两条直角边q,8和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为V,V,V,则V2+V 2与(2V”的大小关系是.a b c a h c二、解答题：本大题共3小题，共5 6分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本小题满分1 6分)是否存在实数”，使直线y=ox+1和双曲线3豕-尸=1相交于两点A、B,且以A B为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.(本小题满分2 0分)求证：不 存 在 这 样 的 函 数1,2,3,满足对任意的整数x,y,若x-y|e 2,3,5,则/(6工

8、/。3.(本小题满分2 0分)设非负实数a,b,c满足a+b +c =1,求证：9a/?c ab+be+ca b 0)的长轴，若 把 AB100等分，过每个分点作AB的垂线，32 匕 2交椭圆的上半部分于PJPJ P/M 为椭圆的左焦点，则 F 7+I尸尸|+?+-+FP|+|FB|的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4、从一个有8 8 条棱的凸多面体P,切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q,这些被切去的棱锥的底面所在的平面在P 上或内部互不相交，则凸多面体Q 的棱数是-5、设函数 f(x)：RT R,且满足，Vx,ye f?,Mx)My)=f(2

9、xy+3)+3 f(x+y)-3 f(x)+6x,贝 U Mx)=.6、一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为-5-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题7、设a,a,320K l均为正实数，且11 22+a1+2+a2221+2+a2010a-6-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题的最为小值-7-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-8-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题8、若 log(x+2y)+1 og(x-2 y)=1,贝 l|x I|y|的最小值是4 4-9-（完整）No.4 9 全国高中数学联

10、合竞赛模拟试题二、解 答 题（共 3 题，共 5 6 分）-10-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-1 一 9、（本题16分）设$=1,2,，n,A为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-12-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-13-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题10、(本题20分)已知尸为抛物线y2=4x的焦点，M 点的坐标为(4,0),过点F 作斜率为的1直线与抛物线交于A、B 两点，延长AM、BM交抛物线于C、D 两点,设直线的斜率为4.(I)2求 工 的值；(II)求直线A

11、B与直线CD夹 角 e的取值范围.k211、(本题20分)已知函数/(x)=21n工-心。(I )若方程/(幻+m=0 在 内 有 两 个 不 等 的 实e根，求实数？的取值范围.(I I)如果函数g(x)=/(x)-以的图象与X 轴交于两点A(x,0),B(x,0),12且0 x x.求证：g px+qx)10成立的最小正整数的值n1 n+1n n是4、已知/(x)是 R 上的奇函数,对任意x w R,均有/(x+2)=/(x),且 x e(0,1)时，/(x)=x2,则2-5、如图，在四棱锥P-A 8 C D 中，底面A 8 C O 为正方形，P A B 为等边三角形，。为A B 边的中点

12、，且 P。_L平面ABCD,则二面角P-A C-D的 余 弦 值 为；-15-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题6、若正整数?使得对任意一组满足4 4=1的正数4,4,4 M都有-16-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-17-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题a a a-18-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-19-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-20-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-21-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-22-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞

13、赛模拟试题1 2 3 a a a a12 3 47、函数 f(x)=sin 2*+cos2&x,(Z w N)的最小值为-23-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题8、将方程x 3-3 x x -4 =0 （表示不超过X 的最大整数）的实数解从小到大排列成x,x,x ,-24-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题则 X 3+X3+X 3 =-25-1 2（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-26-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题二、解答题（共 3 题，共 5 6 分）黑豫。翁警赠，飙瑞L轴有交点。若 对 一 切 有XX2+1-27-（

14、完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-28-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-29-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-30-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题（1）若将集合/=缶x 83+a x 82+t21 231-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题X8+Q3a4-32-eT,i=1,2,3,4 中所有元素按从小到大獭）撷 49全国高中数学联合竞赛模拟试题序排列，求 第 2008个数所对应的-33-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题(i=1,2,3,4)的值;若将集合N=1+2+3+a e T,i

15、=1,2,3,4中所有元素按从大到小的顺序排列,-34-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题求 第2008个 数 所 对 应 的%,2思4）的值.-35-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题11、(本题2 0分)已知椭圆上+2=1的左 右焦点分别为F、F,m F的直线交椭圆于A、9 5 i2i5两点，过F的直线交椭圆于C、。两 点 且AB L C D,垂足为P.2(1)设p点的坐标为(x),求;的 最 值；Q-+-0.。9 5(2)求四边形A C B D的面积的最小值.2011年全国高中数学联赛模拟题5一试考试时间上午8:009：2 0,共8 0分钟，满 分1 2

16、0分一、填空题(共8 题，每 题 8 分，6 4 分)1、整数x y z,且2、+2+2=4.625,则x,y,z分别为 02、，吗 伏=1,2,3).均为非负实数，贝I j J(2010-)八 _ 十+用+收+叱+正+普 +J)：+(X+x+x);的最小值为.3、已知集合 A=xx=a+x 7+x 72+a x 73,其中a G(),1,2,3,4,5,6),i-0,1,2,3 且 a w 0。0 1 2 3 i 3若正整数机,e A,且2+=2010,?,符合条件的？有_个4、记 F(x,)=(x-y)2+(1+3)2,(y)0),则 F(x,y)的最小值是3 y-5、集合的容量是指集合中

17、元素的和.则满足条件 A=123,4,567,且若a eA时，必有8-a w A”的所有非空集合A的 容 量 的 总 和 是.(用具体数字作答)6、为a=4的单调递增数列，满足a2+42+16=8(。+a)+2 a a,则a=。n I +l n”+l n”+1 n n-36-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题7、设2改了为方程*3 /卜=0的 根（k+k l）,贝IJ匕+匕2+上=_ _ _ _ _ _ _ _。1 2 1 2 1-a 1-b 1-c8、如图，记 从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为&（当所取3点共线时，&=0）

18、,则刍的数学期望刍 二二、解 答 题（共 3 题，共 5 6 分）9、（本题16分）求函数y=Sinx|+pos 2 （x e个的最大值和最小值.10、（本 题2 0分）设x,y,z为正实数,求函数fG,y,z）=2x）6y+4x）Qy+3z）6z+D的最小xyz值。11、（本题2 0分）m（n 2 4）个正数排成n行n列aaaa.aii1213141naaaa.a212223242naaaa.a313233343naaaa.a414243444n -aaaa.an1n2n3n4nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已 知a=1,241 3a=_,a=_，求a+

19、a+a+a.（1990年全国高中数学联赛试题）c 11 22 33 nn-37-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题2011年全国高中数学联赛模拟题6一试考试时间上午8：009：2 0,共8 0分钟，满 分120分一、填 空 题(共8题，每 题8分，6 4分)1、y=g-+J 1的最大值为a,最小值为b,则ab等于。2、已知实数仇c满足Z?2 c,且函数y=%2-4|x|+4,当W c时有最大值4 c,最小值贝 I方 +c=o3、已知集合5=1 *3）;（2）设。=x-x,求 的通项公式.n n+1 n n10、（本题2 0 分）已知，函数/（尤）=x|x-2a|,试求/（x）在

20、区间 0已上的最大值g（a）。11 （本 题20分）已知双曲线。：三-晨_=15 0力 0）的离心率为2,过点 0）斜率为Q21 的直线/交双曲线C 于A 8 两点，且 AP=3PB,OA 05=3（1）求双曲线方程；（2）设 Q 为双曲线 C 右支上动点，尸 为 双 曲 线。的右焦点，在 x轴 负 半 轴 上 是 否 存 在 定 点 使 得AN Q K W=2 N Q M/?若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。2011年全国高中数学联赛模拟题7一试考试时间上午8：009：20,共 8 0 分钟，满 分 120分-39-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题一、填 空

21、题(共 8 题，每 题 8 分，6 4 分)1、满足方程J x 2009 2jx 赤 6+J x 2009 +2万 前 布=2 所有实数解为。2、x e R,函数/(x)=2si n：+3c os：的最小正周期为.2 3-3、设P 是圆型+产=36上一动点,A 点坐标为(20,0)。当P 在圆上运动时，线段P A 的中点M 的牺 方 形 _4、设锐角三角形ABC的边BC上有一点D,使得A D 把A A B C 分成两个等腰三角形，试求4ABC的 最 小 内 角 的 取 值 范 围 为-5、设 z 是虚数，w=z+L且-1 卬2,则 z 的实部取值范围为。Z6、设 f(x)=Z(2_x+1)_x

22、4(1 一 力。如果对任何xe 0,1,都有/(M 2 0,则 k 的最小值为7、若 不 等 式 门 门-5对7 W a W 1 恒成立，则 x 的取值范围是记 bd -8、已知数列 a 的通项a=2%k=1,2,n,则所有的a a(IWi WjWn)的和为kki j-二、解 答 题(共 3 题，共 5 6 分)IX 29、(本题1 6 分)已 知 椭 圆 一+”=1(G1),R d A B C 以A(0,1)为直角顶点，边AB、B C 与椭Q 2圆交于两点B、C o 若4 A B C 面积的最大值为29/7,求的值.810、(本题2 0 分)已知数列 a 是首项为2,公比为L 的等比数列，且

23、前n 项和为S.(1)用 Sn2 n表示S；(2)是否存在自然数C 和 k,使 得%J 二 2成立.n+1S-c-40-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题11、(本题20分)已知定义在R+上的函数f(X)满足 对于任意a、bR+,有 f(ab)=f(a)+f(b)；(ii)当 x1 时,f(x)0,p、qR+,集合 B=(p,q)|f(1)+1=0,p、qR+.试问是否q 2存在P、q,使 A 8/0,说明理由.2011年全国高中数学联赛模拟题8一试考试时间上午8：009:20,共 8 0 分钟，满 分 120分一、填 空 题(共 8 题，每 题 8 分，6 4 分)1、函数/

24、(x)=2 x-y 4 x-x 2 的值域是.2、设 z是复数，则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于 o3、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：a,a,a,a,例1 2 3 n如：。=22-12=3,a=32 2.2 5,a=42 32=7,a=32 12=8,.那么 ci=.12 3 4 2007 4、在AABC 中，tan B=xi3 sinC =2,AC=3、沼，则 煦 面 积 为 _.35、圆锥曲线 J x 2+y 2+6 x-2y+10 _|x y+3|=0 的离心率是6、若=a x102+a x10+a，其中。e l,2,3,4,5,6,7,j =

25、01,2,并且1 2 1 0 i机+=6 3 6,则实数对(加,n)表示平面上不同点的个数为7、已知/(x)=k+k+2|+2007|+|x-1|+|x-2|+|x-2007|(-1 x 2,且 e N*。求证:+土 一 +.42 422(22 o 时，8(x)=k2 0GV(1)求g(x)；若 存 在 实 数 使 得 该函数在”上的最大值为根。，最小值为仍，求非零实数机的取值范围。2011年全国高中数学联赛模拟题10一试考试时间上午8:009：20,共 8 0 分钟，满 分 120分一、填空题(共8 题，每 题 8 分，6 4 分)1 使关于X 的不等式773+k有解的实数k 的最大值是2、

26、已知 M=(x,y)|X2+2y2=3,N=(x,y)y=nvc-b o 若对所有m G R,均有 M N w 0 ,则 b的取值范围是 n3、设函数f 满足/(0)=1,且对任意x,ye R,都有/(xy+1)=/(x)/(y).Ay)x+2,则/(x)=。4、若复数 z,z 满足|z|=2,|z|=3,3z 2z,贝 lj z z 二1212 1 2 2 1 25、已知整数苞 y,zj 满足 x y z /,且 2+2y+2二 +2/=1314,贝 I 尤+y+z+/=.6、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分,负者得0 分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6 局时停止.设甲在每

27、局中获胜的概率为V,乙在每局中获胜的概率为L且各局胜3 3负相互独立,则比赛停止时已打局数自的期望戊为（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题7、记集合 T=0,1,2,3,4,5,6,M=+_+a 力=1,2,3,4,将 M7 72 73 74 f中的元素按从大到小的顺序排列，则 第 2 0 0 5 个数是8、将边长为2 的正 A B C 沿高A D 折成直二面角B-A D-C,则三棱锥B-A D C 的外接球的表面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _二、解 答 题（共3题，共5 6分）9、（本 题 1 6 分）已知函数/（6=；X2+l nx.（1）求 函 数 f（

28、x）在区间 1,e 上的最大、最小值；（2）求证：在 区 间（1,+00）上，函 数 f（x）的图象在函数g（x）=2 X 3 图象的下方；3（3）设 g（X）=f/（X）,求 证：g（X）n-g（Xn）之 2n-2。1 0.（本 题 2 0 分）如图,抛物线y2=2%及 点 P（l,l）,过 点 P 的不重合的直线Z、2 与此抛物线分别交于点A,证明：A,B,C,。四点共1 2圆的充要条件是直线Z 与 1 的倾斜角互补.1 211、（本 题 2 0 分）数列 a 满足：a=1,a=7 0n+1 45牛-3 6 4 Mn 0 n+1 2逢月：（1）对 任意ne N,a 为正整数；（2）对 任

29、意 n e N,a a -1为完全平方数.m n n+1-50-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题2011年全国高中数学联赛模拟题11一试考试时间上午8：009：2 0,共8 0分钟，满 分120分一、填空题（共8题，每 题8分，6 4分）1.方程9工+|1-3，|=5的实数解为.2.函数y=bir）H+|cosx|（x wR）的单调减区间是.3.函数/（x）=（x-2）（x+1在区间 0,2上的最大值是 ,最小值是 .4.在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点。、半径为R的圆与 A3C的边有公共点，其中A=（4,0）、8=（6,8）、C=（2,4）,则R的取值范围为 .5.设函

30、数/G）的定义域为R,若/G+1）与/6-1）都是关于x的奇函数，则函数y=/G）在区间 上 至 少 有 个零点。.6.圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中镀2金2银的概率是.7.在三棱锥 ABCD 中，已知 NAC3=NCBO,NACO=NAOC=N3CO=N3DC=。，且C O S 0=V.已知棱AB的长为6，则此棱锥的体积为 .8.设 复 数 列 x 满 足x#a-1 ,0,a X.若对任意 e N*都 有x=x，则a的值且x_ 一-nn n/H-1 X +1 +3 nn是-二、解 答 题（共3题，共5 6分）9、（本 题1 6分）直角坐标系xOy中，设

31、A、B、M是椭圆C:生+尸=1上的三点.若-51-4（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-52-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题3 4 X20M=_OA+_O B,证明：线段AB的中点在椭圆_ _+2/=1上.5 5210、(本题2 0 分)已知整数列 a 满足a=-1,=4,前6 项依次成等差数列，从第5项起依n 3 7次成等比数列.(1)求数列 a 的通项公式；n(2)求出所有的正整数，使得a+a+=a a.m W J+1 m+2 ni m+l m+211、(本题2 0 分)求所有正整数x,y,使得m+3y与尸+3尤都是完全平方数.2011年全国高中数学联赛

32、12一试考试时间上午8：009：2 0,共 8 0 分钟，满 分 120分一 填 空 题(本 题 满 分 6 4 分，每 小 题 8 分)lO g 2 0 0 9+lO g 2 0 0 9+lo g 2 0 0 91。设 a,a,a e(1,+oo).则,-%-的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。1 2 10 log2009罕 2%_2 o 已知、且 1+2+y=l+9+92.+9-,则 将 y 表示成x 的函数，其解析式是 y-。3 o 已知函数/(力=|尤2一 2|，若/=/(3，且 0 a ，则帅的取值范围是_ _ _ _ _ _04.满足方程log 2cos 2(x y)

33、+1 =-y 2 +y +：的所有实数对(九,y)=。2 2cos 2(xy)45 o若 a 表 ZF不 超 过 实 数 a的最大整数，则方程 tanx=2sin2x的解是。-53-z，,(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题6o 不 式22*w 3,2*+，x+4,的 集XE o70设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即A=1,2,2009,集合L=A,且L中任意两个不同元素之差都不等于4,则集合L元素个数的最大时能值是 O8。给出一个凸10边形及其所有对角线,在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个.二

34、解答题90(本题满分1 6分)设函数/定义于区间 1 ,满足/(0)=0,/(1)=1,且对任意都有 f(X +y)=(1-a2)fx)+a2f(y)，其中常数“满足0 a 1 ,求 v 的值。210o(本题满分2 0分)如图，A是双曲线上=1的右顶点，过4点A的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点M,N,问直 线 是 否 一 定 过x轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P试求出这个定点P的坐标.1 1.(本题满分2 0分)设正整数构成的数列 使得“4 1 9对一切n10 Z:-9 10JI-8 10k人N*恒成立。记该数列若干连续项的和兄a为其中5eN*,且

35、，2=8 于A,B两点，若A 8中点的横坐标为2,则|阴=-二、解 答 题(第 9 题 1 6 分，第 10、1 1 题 各 2 0 分，共 5 6 分)9 o(本小题满分1 6分)设尤,y,ze L+0 0),证明不等式(尤2-2x+2)(y 2 -2y+2)(Z2-2z 4-2)o,j 0)的离心率为2,过。2/72点P(0,?)(机0)斜率为1的直线/交双曲线C于A 6两点，且AP=3PB,O A O B =3-55-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题求双曲线方程;（2）设Q为双曲线C右支上动点，F为双曲线C的右焦点，在、轴负半轴上是否存在定点M使得/。根=2/0用/？若

36、存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.1 1.（本小题满分2 0分）设x,x,x,是不同的正实数.证明：x,x,x,是1 2 n 1 2 n一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数值2）,都有X X2 X2 X21n=1X X X X2-X 22k=1 k k+1 2 1力口试1o（本题满分4 0分）实数a使 得 对 于 任 意 实 数,不等式1 2 3 4 5了2+%2+X2+工2+X2 a（x X+X X +X X+X X ）1 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5都成立，求a的最大值.2o（本题满分4 0分）在直角三角形ABC中，4=9 0。，它的内切圆分别与边阻-56-

37、（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题CA,AB相切与点D,E,F,连 接A D,与内切圆相交于另一点P,连 接PC,PE,P F.已知 P C 1 P F，求证：PE .3.（本题满分50分）对正整数n,记/（）为数32+1的十进制表示的数码和.（1）求/（）的最小值；（2）是否存在一个正整数n,使得广100?4.（本题满分5 0分）求满足如下条件的最小正整数n,在 圆0的圆周上任取n个点A,A,A,则在C2个角NA 04（1 中，至少有2011个不超过120。.12 n n i j2011年全国高中数学联赛14-57-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题一 试一、

38、填 空 题（本题满分6 4 分，每小题8 分）1.已知&N-2,且4=目 一 2 V 无&,8=1y=2x+3,x e 4,C=e A,若 则a 的取值范围是-2o 在 A/1BC 中，若卜8卜 2,|AC|=3,|四=4,0 为 M B C 的内心，且 AO=AB+|1BC,则X+|i =_3 o 已知函数/用=2-x-1,（x o),根，则实数a 的取值范围是:4.计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换 为 0n 1 中的任意一个数。如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中，9、9 9、9 9 9 都出现的概率是。-

39、58-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题心+产=1的左、右焦点分别为F、F,过椭圆的右焦点作一条直线I交椭圆于点5。已知椭圆P、Q,则F PQ内切圆面积的最大值是 1 2.6 设 a 为一个整数数列，并且满足：（-1）a=G+1）-2（n-1）,neTV.若2008 a,贝U满nH+1 n+匚2007-59-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题足 2008 a-60-且“2 2 的最小 正整数n 是（完整）N。.49 全国高中数学联合竞赛模拟试题7.如图，有一个半径为2 0 的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为1 2 的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实

40、心球，那么新球的半径后在平面直角坐标系内，=除 箜 献 数 根 的 点 心 加 期 醺 鳍 更 为 郦 陶 输 集 N 所成区域的(X3-3)/4+(3x+y)t2+61-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-62-面积为（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题-63-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题9.（本小题满分1 6分）对正整数 2 2,记a 求数列3 中的最大值.n n-k 21%=110o（本小题满分2 0分）已知椭圆-+-1 =1过定点A（1,0）,且焦点在x轴上，椭圆与曲线。2 b2|），|=的交点为B、C。现有以A为焦点，过B,C且开口

41、向左的抛物线，其顶点坐标为M（m,0）,2、当椭圆的离心率满足_ e 2,/方员:=NEG8同时成立。-64-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题求证：NFAC=NFEC.二、(本题满分4 0 分)已知：a,b,c 0 a+b+c=2 fbe ca ab求证:1 +a b c(.a +b)1 +abcb+c)1 +abcc+a)三(本 题 满 分 50分)设正整数n 大于1,它的全部正因数为d,d,，d,满足仁d d d=注再设口=1 2 k 1 2 kd d+d d+d d。1 2 2 3 k-1 k(i)证明：D m；(i i)确定所有的n,使得D整除e。-65-（完整）No

42、.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题四、（本题满分5 0分）设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作:加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色.已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点.2011年全国高中数学联赛15一、填 空 题（本题满分6 4分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1.数列 满足：a=1,。=3,且 a=|。|-a（e N*）.记 4 前项的和为S,则n 1 2 n+2 n+1 n n ns=.100-2.在ABC中，已 知 的 平 分 线 交AC于K.若BC=2,CK=1,

43、BK=贮，则 ABC的面积2为.3.设 2=1的左、右 焦 点 分 别 为 M 为椭圆上异于长轴端点的一点，ZFMF=20,4 1 2 1 2 M F F 的内心为 I,贝 I|M/|COS9 =.1 27.对于一切xe-22,不等式ax3 x2+x+1 z 0 恒成立，则实数a 的取值范围为.2-8.将总和为200的 10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于5 8.所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为二、解 答 题(本 大 题 满 分 5 6 分，第 9 题 1 6 分，第 10题 2 0 分，第 11题 2 0 分)9.已知数列 a 中，a=1,a=L,且 a=

44、(=2,3,4,).n 1 2 4 n a(1)求数列 a 的通项公式；n(2)求证：对一切有10.设 尸=x4+6x3+11X2 +3X+31求使P 为完全平方数的整数x 的值.1 1.已知直线y=x 与椭圆C：+瞑1交于4 8 两点,过椭圆C 的右焦点尸 倾斜角为a 的16 11直线/交弦A B 于点P,交椭圆C于点M,N.-68-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题(1)用a表示四边形MANB的面积;(2)求四边形M4V8的面积取到最大值时直线/的方程.2011年全国高中数学联赛16一、填空题(本题满分5 6 分,每小题7 分。)1.已知复数，“满足加+2=1,则，解。8+

45、1=m 220091 Q 71 712.ig：f(x)=_cos2x+_sinxcosx+2,xe则/(x)的值域为2 2 6 4-3.设 等 差 数 列 的 前，若 0,S _0厂 5 2n 项 和 S 1 6则 与15为 S-69-S完整）No.4 9全国高中数学联合竞赛模拟试题 一仿中最太性知0 是锐角 ABC的外心，A8=6,AC=10,AO=xAB+yAC,且2x+10y=5,则cos物日知正方体 C O-A B C。的棱长为1,0 为底面ABCD的中心，M,N 分别是棱AD1 1 1 1和 C C1-70-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题的 中 点.则 四 面 体

46、0-171-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题的体积为-72-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题6.设 AUBUC=C，2,3,4,5,6,且 4 0 8 =1,2,1,2,3,4 aBU C,则符合条件的（A,B,C）共有 组.（注：AB,C顺序不同视为不同组.）-73-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题是小.装 息 缙 定 的 正 卿 数 噪 悖 笠 x+cscx,则|y|的最小值为P.74.（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题2PX 2P+I,x=3m,m e N 的所有元素的和-75（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛

47、模拟试题二、解 答 题（本题满分6 4分，第9题1 4分，第10题1 5分 第11题1 5分,第12题20-76-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题分）-77-(完整)No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题9.设数列口(几2 0)满足 a=2,a+a-m+n=(a +a),其中m,ne N,m 2 n.H 1 m+n m-n 2m 2n(1)证明：对一切屋e N,有a=2a-a +2;n+2 n+1 n 证 明：L+J_+a a1 2+_ L 4+(a_ 协b c d a-78-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题加试1-任意给定锐角a A B C ,在其边B

48、 C 上有两点E、F满足N B A E =Z C A F ,在边AB、A C 上分别取点M、N，使得A、M、F、N 四点共圆，延长A E 交4 A B C 的外接圆于点D.证明：S四边形AS OABC2、（本题4 0 分）已知无穷数列%满足a =乂。=M _ G=1,2,）.“o 1 M+I a +。n n-1（1）对于怎样的实数x,y,总存在正整数，使当 2 时，。恒为常数？0 0 n（2）求数列 a 的通项公式。3、（本题5 0 分）设是正整数，尸 （其中 x 表示不超过x 的最大整数），求同时满足下列条件的的最大值：G）不是完全平方数；（2）公|2。4、（本 题 5 0 分）一群科学家在一个研究所工作。在某天的8小时工作时间内，每个科学家都至-7 9-（完整）No.4 9 全国高中数学联合竞赛模拟试题少去过一次咖啡厅。已知对于每两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为x（x 4）小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值（依赖于x）.-80-