2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考Ⅰ卷.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试新 高 考I卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合 A=x 2xV4,B=2,3,4,5,则）A.2 B.2,3C.3,4 D.2,3,4B 因为 A=x|-2VxV4,B=2,3,4,5,所以 A A 3=2,3,故选 B.2.已知 z=2i,则 z（三+i）=（）A.62i B.42iC.6+2i D.4+2iC 因为 z=2-i,所以 z（，+i）=（2-i）（2+2i）=6+2 i,故选 C.3.已知圆锥的底面半径为啦，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B

2、.2啦C.4D.4也B 设圆锥的母线长为/,因为该圆锥的底面半径为陋，所 以2兀乂/=兀/,解 得1=2巾,故选B.4.下列区间中，函数/（x）=7sin1一看单调递增的区间是（）A.（0,m B.住,兀）C.（兀,幻 D.（竽,2兀）A 法一（常规求法）：令一+2EW九 一不或2+2 兀，k e z,得一+2E,kGZ.取k=0,则一gWxW笔 因 为（0,1 一争 号,所 以 区 间（0,1是函数兀t）的单调递增区间.故选A.法二（判断单调性法）：当OVxW时，一2 X一太服 所 以 加）在（0,身上单调递增，故A正确；当5VxV兀时，?x所以外）在总 兀）上不单调，故B不正确；当兀VxV

3、:时，著 一5V专，所以於）在卜，卷上单调递减，故37r 47r TT 11 TT（3it AC不正确；当7V xV 2兀时，wx7V=,所以危）在（另，2兀）上不单调，故D不 正 确.故 选A.法三（特殊值法）：因 为 广 手 喏 兀，但/停）=7si或=7,/管）=7sin专 V（TT 7冗 4兀 37r7,所以区间g,兀）不是函数 r）的单调递增区间，排 除B;因为兀V 不丁 ,但/管）=7sin兀=0,/件）=7sii吊=-4 0,所以区间（兀，引不是函数人:）的37r 197r 57r（19兀、177r 57r单调递增区间，排 除C;因为f工 2兀，但/（-5=75山-7亍=7$也行

4、乙 J L 4 D 1乙J J L乙 1乙7,/（苧）=7sin咨=-7,所以区间俘，2兀）不是函数.*x）的单调递增区间，排除D.故选A.5.已知凡 是椭圆C：5+?=1的两个焦点，点M在。上，则的最大值为（）A.13B.12C.9D.6 由 椭 圆C：1 ,得 MF+MF2=2X3=6,则MF-MF2MF11|MF2lT=32=9,当且仅当|MK|=|MB|=3 时等号成立.故选C.6.若 3。二-2,则l sins i9n(1e+c sin 2s0/)=()65B.25C.2565D.C 法一（求值代入法）：因为ta n 8=-2,所以角。的终边在第二、四象限,cos 0=sin 6=或

5、2 一 下所 以 q5=忑sin 9(1+sin 2。)所 以 sin 0+cos 0sin 8(sin 8+cos fffsin 9+cos 0=sin 9(sin e+cos)=sin2+sin Ocos 夕=彳 一 故 选 C.法二(弦化切法)：因为tan。=一2,所以sin 8(1+sin 2。)sin 8(sin 8+cos sin 9+cos 0 sin 9+cos 0sin20+sin cos 6 tan2+tan 0 42 2si n 伙sin，+cos。)=s i/e+c/e =l+ta/。=中=5.故选 C-法三(正弦化余弦法)：因为tan 0=2,所 以sin夕=-2co

6、ssin 8(1+sin 2。)sin 9(sin 8+cos 0)2 sin20+sin Ocos 0则 sinO+cosO=sinO+cosd=_ 0(sin 0+cos 6)=./叶。*。4cos2。-2cos2。42 2,=4cos2e+cos20=r=5.故选 C 7.若过点(a,勿可以作曲线y=e*的两条切线，则()A.eb a B.ea bC.Q a eb D.0 b O,则切线方程为y-b=exo(xy()h=ex()(xoa)-a),由J 得exo(l xo+a)=/?,则由题忌知关于比的方程exo(ljo=exoxo+a)=Z?有两个不同的解.设 r)=e*(l x+a),

7、则/(x)=e*(l x+a)e*=-ex(x-a),由/(x)=0 得x=a,所以当 xa 时，(x)0,.*x)单调递增，当 时，/(x)V0,/(x)单调递减，所以力)0 3=/(。)=6(1。+。)=,当 xVa 时，a x 0,所以凡x)0,当 x-*8时，,*兀)-*0,当 x+8时，x)-*一OO函数/(x)=e，(l x+a)的大致图象如图所示,因为式x)的图象与直线y=b有两个交点，所 以 O V AV e .故 选D.法二（用图估算法）：过点（a,/?）可以作曲线y=e*的两条切线，则点（a,b）在曲线y=e*的下方且在x轴的上方，得 O V Z?V e .故 选 D.8.

8、有 6个相同的球，分别标有数字1 2 3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每 次 取 1 个 球.甲 表 示 事 件“第一次取出的球的数字是1，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8，丁表示事 件”两次取出的球的数字之和是7，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立B 事件甲发生的概率P（甲）=、，事件乙发生的概率P（乙）=/，事件丙发生的概率尸（丙）=占=京，事件丁发生的概率p（丁）=含=；.事件甲与事件丙同O X o J O OX。时发生的概率为0,P（甲丙）WP（甲）尸（丙），故 A 错误；事件甲与事件

9、丁同时发生的概率为 7=/,P（甲丁）=P（甲）P（丁），故 B正确；事件乙与事件丙同时发生O X O J O的 概 率 为 心=白，p（乙丙）WP（乙）p（丙），故 C错误；事件丙与事件丁是互斥事0 X 0 30件，不是相互独立事件，故 D错 误.故 选 B.二、选择题（本题共4 小题，每小题5分，共 2 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）9.有一组样本数据X X 2,，X,”由这组数据得到新样本数据V，”，yn）其中=即+。0 =1,2,，），c为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位

10、数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同C D 设样本数据汨，%2,，%的平均数、中位数、标准差、极差分别为m,o,t,依题意得，新样本数据yi,”，%的平均数、中位数、标准差、极差分别为7+c,m +c,*t,因为c#0,所 以 C,D正确，故选CD.1 0.已知。为坐标原点，点 P i（c o s a,s i n a）,P 2（c o s 夕,s i np）,P 3（c o s（a+8），s i n（a+夕）,A（1,O）,则（）A.O Pi=O P2B.A Pi=A P2C.O A 6 P3=6 P O P2D.OA 6P=6P2-6P3AC 由题可知，|O

11、P i|=/c o s2a+s i n2a=1,|O P21=yjcofi+(sin )2=1,所以I 存 i|=|存 2 I,故 A 正确；取 a=：,则 P i 惇，用，取 片 系，则 8(一 乎，阴，则 丽|工 福|,故B错误；因为 O AO P 3=c o s(a+/Q,O P O P 2=c o s a c o s 夕 一s i n a s i n/=c o s(a+/Q,所以OA OP3=6P OPI,故 C 正确;因为宓O P i=c o s a,O P 2-O P 3=c o s/?c o s(a+)-s i n/?s i n(a+K)=c o s(a+2/0,.无 c 兀取。

12、=不则。X 分 尸 坐，办 2 办3=C O S =一 乎，所以倒 办|W 办 2 办3,故 D 错误.故 选 A C.1 1.已知点 P 在圆05)2+&-5)2=1 6上，点 A(4,0),8(0,2),则()A.点P到直线AB的距离小于1 0B .点 尸 到 直 线 A 8的距离大于2C.当NPBA 最小时，|P 8|=3啦D.当N P B A 最大时，PB=3y)2ACD 设圆。-5)2 +。-5)2=1 6的圆心为M(5,5),由题易知直线A 3 的方程1 5+2 X 5-41 1 1一忑一飞为 京+尹 1,即 x+2 y4=0,则圆心M 到直线4 5的距离d=4,所以直线A 3 与

13、圆M 相离，所以点P到直线A 3 的距离的最大值为4+1=4 +普4+卡 l 时，/Q)0,所以於)m i n=/(l)=2 l 2 1 n 1 =1;当0 l n e=1.综上，_/(X)m i n=L 1 6.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为2 0 d m X1 2 dm的长方形纸，对 折1次共可以得到1 0 d m X1 2d m,2 0 d m X 6 d m两种规格的图形，它们的面积之和$=2 4 0 d m 2,对 折2次共可以得到5 d m X1 2 d m,1 0 d m X6 d m,2 0 d m X3 d m三种规格的图形，它

14、们的面积之和5 2=1 8 0 d m2,以 此 类 推.则 对 折4次工可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么 d m2.k=5 2 4 0。一告斗 依题意得，S i=1 2 0 X2=2 4 0；S2=6 0 X3=1 8 0；5 3当 =3 时，共可以得到 5 d m X6 d m,d m X 1 2 d m,1 0 d m X3 d m,2 0 d m X-5 3d m 四种规格的图形，且 5 X6 =3 0,X 1 2 =3 0,1 0 X3 =3 0,2 0 X=3 0,所 以 邑=3 0 X4=1 2 0；5 5 3当几=4 时，共可以得到 5 d m X3 d m,2

15、d m X6 d m,d m X 1 2 d m,1 0 d m X-d m,2 0 d m X dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种5 5 3 3数为 5,且 5乂3 =1 5,变义6=1 5,4义 1 2=1 5,1 0 X2=1 5,2 0 X-=1 5,所以 4=1 5 X5=7 5；所以可归纳 S k=X(Z+l)=2 4$+l).所以&=2 4 0(1 -1 赤,由一得,1 所以ZSA=240k=in,+12 +2 +i1 ZS k=2 4 0 1 l+初+了+H-H I 、一 =2 4 0(l _ vl A_,_22 2f,X2 _+l+-2 +|1-2 )

16、3 +3=240|J T (n+3所以ZS =2 4 0 3 方二k=l ”|d m2.四 解答题(本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步 骤.)1 7.(1 0分)已知数列 m满足0 =1,an+i =斯+1,为奇数,e+2,为偶数.(1)记 瓦=。2”,写出81,。2,并求数列/?的通项公式;求&“的前2 0项和.解：(1)因 为 劣=。2”,且0 =1,+1,为奇数,54.4,即E(r)E(X),所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.19.(12分)记A3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知扶=a c,点D 在边 AC 上，BDsin

17、NA3C=asin C.(1)证明：BD=b；(2)若 A D=2O C,求 cosN ABC.解：证明：因为BOsin/ABC=asin C,所以由正弦定理得，BDb=ac,又扇=a c,所以又。0,所以8。=。.(2)如图所示,过点D作DE/BC交AB于E,DE_2BC=yQ 2所以 DE=a.c2 4a2_ _i_-iL_L2a“u BE+DEr-BD2 9 十 9 c2+4a29b2在 ABDE 中，cos N BED=2BE DE=c 2a=4ac=2 X-X =7i/A B C,所以 cos/BED=-cosNABC,所以 y ，化简得3c?+6/1比=0,方程两边同时除以/,得/

18、9一11仔)c 2 c+6=0,解得=W或=3.2,即c=1 a时,ir+craccos Z A B C =2 a c712:,c,1（舍）.7综上，cosNABC=五.20.(12分)如图，在三棱锥A4C。中，平面A3。，平 面BCD,A B=A D,O为8。的中点.(1)证明：OA_LC。；(2)若OCO是边长为1的等边三角形，点E在 棱AD上，D E=2 E A,且二面 角E-BC-D的大小为4 5,求三棱锥A-B C D的体积.解：(1)证明：因为A 3=A O,。为8。的中点，所 以OALBO,又平面ABO_L平 面B C D,且平面ABDA平 面8c0=8。，A0U平 面ABO,所

19、以A O,平 面BCD,又CDU平 面B C D,所以AO_LCD(2)法一：因为OCO是边长为1的正三角形，且。为8。的中点，所 以OC=0 3=0 0=1,所以BCO是直角三角形，且N BC=90,B C=小,所以&B C D=：-.如图，过 点E作E F/A O,交 B D 于 F,过 点F作F G 1 B C,垂足为G,连接EG.因为A O,平 面BCD,所以7口_ 平面BCD,又BCU平面8c。，所 以Eb，BC,又 FGBC,JLEFAFG=F,EF,F G U 平面 EFG,所以8。_1_平面EFG,则Z E G F为二面角E-BC-D的平面角，所以 NEG F=45,则 Gf=

20、EF.2BF因为D E=2 E A,所 以 E F 壬 OA,D F=2 O Ff所 以 诉=2.j r U因为 FGLBC,C D _ L B C,所以 GFC,则 落=|,所 以G F=|.2所以功所以04=1,所以 VA-BCD=SBCDA.O=2 X 2 X 1=$.法二：如图所示，以0为坐标原点，OB,0A所在直线分别为x,z轴，在平面8c。内，以过点。且 与8。垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.因为OCO是边长为1的正三角形，且 0 为 B D的中点，所以 O C=O B=O D=1,所以 8(1,0,0),0(-1,0,0),-3,乎,o设 A(0,0,a),a Q,因为 D

21、E=2EA,所 以 心；，0,y j由 题 意 可 知 平 面 的 一 个 法 向 量 为7 1 =(0,0,1).设平面B C E的法向量为m =(x,y,z),因为反坐,0),0,驾m-B C=0,J-+半)=，所以j 即Jm-B E=0,$+与z=0,令x=l,则 产S，z=1,所 以m=1 1,小，力.因为二面角E-B C-D的大小为4 5,2 _“m-n a 2所以c o s 4 5。=向 而=4 +得 a=l,即 0 4=1.1 1 、/5 s因为 S A B CD,B D CDsin 6 0 0=X 2义 1 X2=291 1 /3 3所以 VA-BCD=QSBCD*OA=X X

22、 l =久.5 5 2 o2 1.(1 2分)在平面直角坐标系x O y中，已知点B(一，0),F ifyfll,0),点M满足|M B|一眼尸2尸2,记M的轨迹为C.(1)求。的方程；(2)设 点T在直线x=T上，过T的两条直线分别交。于A,8两点和P,Q两点，且|加 烟=|T P H T Q,求直线AB的斜率与直线P Q的斜率之和.解：因为|M R|M B|=2 V|B f 2|=2 j n,所以点M的轨迹C是 以K,尸2分别为左、右焦点的双曲线的右支.9 2设双曲线的方程为 一方=1(。0,0),半焦距为c,则2 a=2,c=l,得 a=l,b2=c2-a1=16,所以点M的轨迹C的方程

23、为%271。7=l(x l).设 出，力，由题意可知直线A 8,PQ的斜率均存在且不为0,设直线A 3设 A（心,yA）9 B（XB,/），易知 16W O,一（/一 打-16 2仙 一9）则x 产 16好，.+切=16后，所以1划=q 1+后|加一三r i+后（必一g）,TB=y 1+描Bm=.1+（初一；）,则|7|-|TB|=（1 +储）（X A|（X B 0 =（1 +好）XAXB 3（用+初）+=（1 +后）-（r-?-16 1 2左11一 号（1+解）（产+12）16一 解 一-2 16-ks+4 矫16(1+庭)(户+12)同理得/4 7。|岸 叫 一-八 (1+硝(+1 2)(

24、1+6(尸+1 2)，因为必卜|阳=|7尸 皿0 ,所以1一 首 正-=-彘力L 所 以-1 6+好好一16后=好-16+后解一16笈，即R=的,又心工z 2,所以1 =攵2,即上+左2=0.故直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和为0.22.(12 分)已知函数,*x)=x(lInx).(1)讨论於)的单调性;(2)设a,匕为两个不相等的正数，且9 n a a ln O=a-A证明：2 V(+(0;当尤G(l,+8)时,f(%)尤2=引由(1)知/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且当 OVxVe 时，X%)0,当 xe 时，/)2：要证 X I+X2 2,即证 X22

25、X I,因为 OVxiVl Vx2e,所以 22汨 1,又/U)在(1,+8)上单调递减，所以即证/(尤2)/(2 幻)，又/(汨)=/(无2),所以即证/3)V/(2 x i),即证当XW(O,1)时，式外一/(2尤)0.构造函数 F(x)=/%)-/(2-%),则 尸(x)=f(%)+/1(2x)=In xln(2x)=lnx(2x),当 OVxVl 时,x(2x)0,即当OV xVl时，F (x)0,所 以Rx)在(0,1)上单调递增，所以当0 x 2成立.再证 xi+x2e:由知，贝力的极大值点为x=l,/x)的极大值为/1 =1,过点(0,0),(1,1)的直线方程为)，=龙，设/(xi)=f(x2)=m,当 x(0,1)时，,/(x)=尤(1 In x)x,直线y=x与直线y=m的 交 点 坐 标 为m),则欲证九i+i2 V e,即证 xi+犬2 V 机+&V/(X2)+X2 V e,即证当 IV xV e 时，/x)+x 0,所以函数/i(x)在(1,e)上单调递增，所以当 IV 九 Ve 时，h(x)/?(e)=f(e)+e=e,即於)+xV e 成立,所以x i+x 2 e成立.综上可知，2V +、V e 成立.a b