2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷解析版）.pdf

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1、普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共1 4 小题，每小题5分，共 计 7 0 分，请把答案填写在答题卡相应位置上1 .已知集合 =1,2,B =a,a2+3,若 A I 3=则实数a的值为.【答案】1【解析】a =l 或者+3 =1(取不到1),所以。=1.【点评】今年的第一题属基础题，但难度较之前有提高，考察学生利用集合运算求参数的能力.2.已知复数z=(1+i)(l+2i)，其中i 是虚数单位，则 z 的模是.【答案】M【解析】z=i+3i,|Z|=7(-I)2+32=V i o.【点评】第二题考察复数计算和模的计算，难度属于基础题，与往年难度基本持平.3.某工

2、厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为20 0,4 0 0,30 0,1 0 0 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取6 0 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.【答案】1 8【解析】总产量为1 0 0 0 件，所以应从丙种型号的产品中抽取6 0*当 =1 8 件.1 0 0 0【点评】本题考察分层抽样，难度基础.4 .右图是一个算法流程图，若输入x的值为上，则输出的y的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.16【答案】-2【解析】经判断上 2 V 4 x 360 0 x4%当4x3600=以 时 等 号 成 立,解 得 x=30.4 x【点

3、评】本题考查基本不等式取等条件，较为简单.1 1 .已知函数/(%)=1 一2 彳+-二，其中e 是自然数对数的底数，若/(-1)+/(2 2)2,所以/(x)2 0,/(x)为增函数，且ex ex/(0)=0./(-1)+/(2 a2)0,/(2 2)-/(-1)=/(I -)即 2a 1 a ,d G 1.2【点评】本题考查奇函数的性质，以及复合函数的求导，难度适中。1 2、如图，在同一个平面内，向 量 次，砺，瓦，的模分别为1,1,及 ,而 与 反的 夹 角 为 a,且ta n a =7,而与 丽 的 夹 角 为 4 5。若O C =m O A+O s(m,E R),则加+=【答案】3【

4、解 析】过 点C作。/O 4交08的延长线于点。，根据向量加法的三角形法则，0 C =0 D +D C,在三角形OC D中，由正弦定理O C _ C D _ 0 D./7C、.兀 c i n (Ysm(4-a)si n 54 4其中，0 C =J 5,ta n a=7,可计算出si n a=?2,s i n(万一四一a)=s i n(a+四)=81 0 4 4 57 5 7 5 所以OD=,CZ)=9,所以OC=OO+OC=OB+OA4 4 4 4-7 5所以 7+=+=34 4【点评】本题考察向量、解三角形，中档题1 3、在平面直角坐标系x Q y中，4 1 2,0),8(0,6),点P在

5、圆O:x 2+y 2=5 0上，若P A*P B 2 0,则点月的横坐标的取值范围是【答案】5人,1【解析】设点尸(x,y),因为4(-1 2,0),8(0,6),西 丽v 2()所 以 西 丽=(-1 2-苍-田(-,6-)=%2 +1 2%+/-6y，因 为 月 在 圆 上，故r+歹2=5 0,代入有5()+i 2 x 6 y W 2(),化简有y N 2 x +5所 以 此 题 意 思 转 化 为 圆/+/=5。上满足y 2 2 x+5的点的横坐标的取值范围，利用线性规划，可知，只要找到圆上位于直线上方的点，故横坐标取值范围为-5人,1【点评】考察直线与圆，利用向量坐标运算解题。此题为易

6、错题，错位答案为-5,1 ,因为当成了直线和圆的交点的横坐标范围。X Y D1 4.设/(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间0,1)上，,(x)=5 其中集合x,x DD=x|x =匕,e N+,则方程/(x)-l g x =0的解的个数是,【答案】8【解析】/(x)由 以1为周期的/(x)=x去掉当x =0,工,2,，七 士 时的取值，与在这些2 3 n离散点时/(x)=V 所组成的函数，当/(x)=l g x 时，分别考虑了(X)的这两部分与l g X的交点，但因为x e (0,1 时，I g x 取值均为无理数，所 以 它 与=无交点，其与/(x)=x(1 0 2 x 2 1)有 8

7、 个交点。【点评】本题考查分段函数及对数函数的取值，在解题时需通过数形结合来解决问题，有一定难度。1 5 .(本小题满分1 4 分)如图，在三棱锥A-B C Q 中，AB1AD,B C VB D,平面A B O，平面 8 8,点 E、F (E 与 A、。不重合)分别在棱A O,BD ,且 EF L AD o求证：(1)E 尸 平面A B C；(2)AD AC【答 案】证 明：(1)由 题 意 知，又V:4比 4。匚 平 面 4 5。.即/43。又ABu平 面 ABC,故2平 面 A B C,.即 平面ABC。(2)平面 ABQ1 平面 BCD,平面平面 B C Z)=B ),B C 1 B D

8、,BCu平面B C D,.B C，平面 ABO,A B LA D,A B c B C =B,A B、BCu平面A B C,.A D _ L平面A B C,ACu平面 A B C,.A O J _ AC。【解析】第一小问需要证明线面平面，根据线面平行判定定理，欲证明线面平行，即需先证明线线平行。第二问则要求证明线线垂直，往往需先从题目中找目标线与面，然后根据线面垂直判定定理证明线面垂直。【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力。本题难度不大，图形是一个三棱锥，需要学生掌握直三棱锥的性质，同时对于面面垂直的掌握和理解是解决这道题的关键出发

9、点。16.(本小题满分14分)已知向量。=(c o s x,s in jr),b(3,v3),x C|0,r r|.(1)若 a)，求 x的值；(2)记a l,求的最大值和最小值以及对应的x的值【答案】（1）6(2)x 把时，/(xjitiin 2v3；x。时，3.【解析】(1)a/bVSCO J STA 3sinx;；3si?ix I VSCO SJ:0;.2v3sin(*)0;VO X JT；(2)f(x)a-b 3cosx 3sinx 24买os(x.0 x JT；当x I 2 J T，即;r 些时，ftxjm in 2v3；c 6当n I-5,即r 0时，f（x）max 3.e K17

10、.（本小题满分14分）2 2如图，在平面直角坐标系x。,，中，椭圆E:+#1（。匕0）的左、右焦点分别为B，F 2,离心率为工，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E 上，且位于第一象限，过点B作直2线 P F i的垂线人过点F2作直线P F 2的垂线l2.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)若直线/”b的交点Q在椭圆E 上，求点尸的坐标.【答案】立 Y 1 吗【解析】x 2 8(1)-(：:(2)F(1.0)Fz(1.0j R P(x0,y,J,右 题 感 知 山，1.反亡.呆P FJP F?川 冬 率 公 另 疗 间用.曷 就 k2 萨 年31)V x(X|1,|.IE(4.M-),代入椭圆方程

11、得：3*1 4 空 工 12V -(X 1)八%、办7 P在M费1.J I 4yg 12,yj 需 1 或 次蜡；今j由P在第一象限，解 得 P 孚,当【点评】主要考察椭圆方程的求法，直线方程的求法，两直线交点坐标的求法，两直线垂直,斜率是否存在的讨论，点在椭圆上，如何设求点的坐标等，计算量适中，属中档题。1 8.(本小题满分16分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I 和正四棱台形玻璃容器H的高均为32c m,容 器 1的底面对角线AC 的长为10 J 7 c m,容器H的两底面对角线EG,G/的长分别为14c m 和62c m.分别在容器I 和容器H中注入水，水深均为12c m.现有一根玻

12、璃棒/，其长度为40c m.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将/放在容器I 中，/的一端置于点A处，另一端置于侧棱C G上，求/没入水中部分的长度；(2)将/放在容器H中，/的一端置于点E 处，另一端置于侧棱G G i上，求/没入水中部分的长度.【答案】(1)16c m (2)20c m【解析】(1)如图所示，设玻璃棒与水面的交点为。1,与CC,交于点E则有A C=1仇方,E C=d A田-AC?=30,作0 a垂直与底面交于点。由00/E C,则4 2=也，则有A。=1 6A E CE答：玻璃棒没入水面的长度为1 6 c m(2)如图所示，设 玻 璃 棒 与 水 面 的 交 点 为

13、与G G|交于点P,G H1E,G,在等腰梯形 EG C,耳中,G H=32,0G=GH2+H C2=40则有s i n/戊;=&1 G C1 5设乙P G E =a E P G=廿,由正弦定理得EP E G PGs i n a s i n (3 s i n(a +)4 3 7 2 4又 s i n a =,c o s a =，则解得 s i n p -,c o s/?=5 5 2 5 2 5则有 P G=50 s i n(c r +0=50(s i n a c o s +c o s。s i n 0)=2 4过点P作点E G,则 P)=PG s i n Qr-a)=2 4则由已知心-=能，则E

14、 Q=2 0PD EP答：玻璃棒没入水面的长度为2 0。%【点评】主要考查几何类型应用题，可以运用三角函数来解决，也可以用建系的方法来解决,但计算量较大，因为字母较多，解题时应注意，难度中档。1 9.(本小题满分1 6分)对于给定的正整数%,若数列 q满足a+%+i+a+k=2=2 N”对任意正整数 n(n k)总成立，则称数列%是“P的数列(1)证明：等差数列 ,是“尸(3)数列”；(2)若数列 a,既是“P数列”，又是“P(3J数列”，证明：q是等差数列.【解析】证明：(1)若%为等差数列,令1 =3,则有风_3+an-2+a,i-+an+6，+2+。“+3=3 x 2%=6 a.=2 x

15、 3。“=2kan,e N*,即证 a“是P(2)”数列，则满足为.2+4 1+/+1+%+2=4%a 是P(3)数列，则满足 _3+an_2+a,-+1+an+2+all+3=6 an 由得*+an-2+a“+a,+i =(3)+an+a,+2+a“+3=4a“+i (3)将，代入得4a,i -a,+i -a,+_|+|+4%-a”-%=6 a 则有+an+l=2,(n 3).a,以23为首项，公差为 珊 等 差 数 列由-得：6,-3+q+3=2。“；(3)所以4=2%一%；%=2a5 一6当 =2%-火；贝!J%-4 =a3a2-d则有数列“为等差数列.【点评】本题考查数列综合应用，等差

16、数列的判定和性质；对于数列中项与项之间的处理以及范围的细节处理。2 0.（本小题满分1 6分）已知函数“X）=%3+公2 +区+l（a 0 3 R）有极值，且导函数广（X）的极值点是/卜）的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求6关于。的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：h23a（3）若/（X）,/（X）这 两 个 函 数 的 所 有 极 值 之 和 不 小 于 求a的取值范围。2 3【答案】（1）.8=一/+2（4 3）（3）3 a 0 ,a2 3bfx)=+2 a x +8的极值点是x =/3 3”a、a a,a、1f()=+b()+l3 2 7 9 39 a7 3a

17、23b,.-.a23(-a2+-)9 a即a 37 q所以=+(a 3)9 a 1 )(2)由(l)知：,2 2 3b=a H 9 ah-3。I/+：)。.=-4 a 4 5 a +98 1 3 a24a,3 7 2 9、1 35=(a +-)-8 1 4a3 4二。377Q是单调增函数4a3即 3 =乙4 9a+M 3 J*.3 +Z =081 3 a2 81 3 32/.b1 3。(3)由(1)知：f(x)=xi+ax2+(a2+)x+l9 afx)=3x2 4-2OX+(4Z2+)令/（X）=O,得%2a则 芯+/32 2 X,X-=-C l H-1-27 a二/（玉）+/（）+/3 a

18、2=(xj +%2 )+。(尤J +尤2-)+b(X+x2)+2 H-a 93 Q2=(X|+%2)(%+电)-3 X I X +Q (X+电)2 2%1%2 +。(玉 +/)+2f-2 2 2 3、4 2 4 2 2、/2 2 3、/2a、个 3/1 a )+a(-矿-a )+(矿+)(-)+2+-9。9 27 a 9。3 a 92a 4-y(9fl3 a2a 93 a27922a2-63a-54 0（a-6）（2tz2+12tz+9）0:.3a-54 J 5所以p到直线/距离的最小值 为 上52 2.如 图，在平行六面体A B C。-ABC。中，M m A B C D,且A B=A O=2

19、,A 4,=V 3 ,4 4 0=1 2 0。（1）求 异 面 直 线 与AG所成角的余弦值（2）求二面角B-A的余弦值【解析】（1）如图，过点A作A E _ L A D,交B C于E,以 A E,A D,TU,）为基地建立控件直角坐标系，则各点坐标分别为A（），（），石），B（V3,-l,0）,C,（V3,l,V3）,（）,2,0）48=（V3-1,-73）,Aq=（V3,l,V3）.co sd B AC）-ABIC -3-一 1（2）平面A4Q的一个法向量为瓶=（、行。0）设平面B4Q的一个法向量为加=（x,y,z）则 后 乖=0,藐 丽=0,且 踵=（0,2,.V3x-y-V3z =0

20、2 y-岳=0令 y=若 得：x=3,z=2 =（3,6,2）是 平 面 网O的一个法向量 cos(勿,AEm AE _ 3 Vs _ 3|卜 日 4-7 3 4s i n(z z z,AE=2/7-V二.二面角Ba。A的正弦值为2 3.（本小题满分10）4+JC,LT(m+n)(m+n-l)m+n(2)i m+n i m+n i m+n-2 i m+n-y _ J _ y 上d =_y 上 工=_ _ _ _ _t_ _ _ _y cn-2=窘+金 k C：+n A -1 y n _ 1 C iSn-D 邑夕二:+夕：2 +*-2+。露一 2 *+。二；+夕5 1)。(A -1)。”1 +A

21、 1 +C T +C-2 +C”2 +c”2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ /+-2 _ /+-2 .(n-1)C (n-1)C-m+n m+n=。3+。3 式=Cn：M +M+.+c/n-，n2 2,Cn，-2 +C/n-12-2,_ _ _ _C/n八-1 -,1 _ _ _ _1 _ _ _ _ _n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _n_ _ _ _ _ _ _(n _ D C；(n-1)夕“一 5 D C；5 1)(加 +而/.E -n-1)(必 +n)【点评】本题考查了排列组合的综合运用，不仅要计算出最后一次抓到黑球的概率还要求考生熟练掌握组合数的代换及加法公式，尤其是在构造不等式时技巧性较强，本题难度较大。