2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国乙)文.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙）文科一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2021全国乙文 1）已知全集。=1,2,3,4,5 ,集合用=1,2,2 3,4,则0/（/。乂=（）A.5 B.1,2C.3,4 D.1,2,3,41命题意图考查集合的并集、补集运算,考查运算求解能力.解析 A（方法一）：M UN=1,2,3,4,：CU（M UM=5 .（方法二）：3,4,5 ,C u N=1,2,5 ,.：C u（M U M=（C u A 7）n （CuM=5 .2.（2021全国乙文 2）设 iz=4+3i

2、J z=（）A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i命题意图考查复数的运算,考查运算求解能力.解析C由已知可得,2=平=与 誓=-（4i-3）=3-4i.3.（2021全国乙.文3）已知命题p-3x R,sin x 4,5.（2021 全国乙 文5）若x,y满足约束条件x-y 2,则z=3x+y的最小值为（y 故z的最小值为3x 1+3=6.解题方法先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域的顶点或边界处取得最优解.6.(2021-全国乙文 6)c o s2-c o s2y =)AiB-?CTD与命题意图考查三角恒等变换，考查数学运算能力.解析

3、 D 原式=c o s2-c o s2-9)=c o s2-sin2-=c o s =容1Z L 1Z 1Z 1Z o Z7.（2021全国乙文7）在 区 间 随 机 取1个数,则取到的数小于:的概率为)3-4A.2-31-3C1-6D命题意图考查几何概型,考查数学运算能力.1 解 析B所求事件的概率2-38.（2021全国乙文8）下列函数中最小值为4的是4A J=/+2X+4 B.y=|sin C.y=2*+2 2 D.y=ln x+白命题意图考查函数的性质、基本不等式,考查逻辑推理能力.解 析 C A 项，尸(x+1+3,故 m in=3,故该项不符合题意；4B 项，设 片|s ir u|

4、,则 y=f+“G(O/.因为函数y=r+；在区间(0,1 上单调递减，所以当t-时,y取最小值，且 y m in=l+：=5,该项不符合题意；C 项,尸2+2 2 =2 +堤，设 r=2;则 0,于 是 产 f+2 2 /t x=4,当且仅当/=2,即 x=l 时等号成立.t t所以该项符合题意.D项,因为当x d(0,l)时,hir 0,所以存在x使 y 2)+(-1)2=-4)2-2)，+6=-4(产+5)+6=-4(y+J?+日.因为-IWyWl,所以当产二时,|P8|2取得最大值,且最大值为名所以|P5|的最大值为最4 4 2(方法二)由题意可设 P(遥cos(9,sine)(。e

5、R),又 2(0,1),则=5cos2(9+(sin6M尸=5cos26+sin2。-2sin0+1 =-4sin2(7-2sin(9+6,于是当sin 6=f P砰 最 大，此时|P3|2=-4x焉-2x(-；)+6=t+芥6耳 故|P2|的最大值为|.12.(2021 全国乙文12)设 存0,若x=a为函数y(x)=a(x-a)2(x)的极大值点，则()A.ah C.aha2命题意图考查函数的极值，考查逻辑推理、数学运算能力.解析 D 因为 J(x)=a(x-a)2(x-b)9所以/(x)=2 (尤 )(x)+a(x-a)2=a(x-a)K2x-2b)+(x-a)=a(x-a)3x-(4+

6、2/?)=34(x-4)(x-).由广(%)=0,解 彳 寻x-a或若 v O,则由x=a为 函 数 的 极 大 值 点，可得下一4,化简得ba.此时在区间(-00,嘤)和 Q+8)内/(x)0,函数式X)单调递增.此时。(。功)0,即足0,则由x=a为函数的极大值点可得。嘤，化简得a0,函数式x)单调递增;在区间Q,等)内/(x)0,函数式x)单调递减.此时“(a-b)0,即 a2ah.综上可得。2 =P,P 3 u平面 P B Q,P Z)u平面 P 8 ,.：AM _L 平面 PBD.:AM u 平面 PAM,.：平面PAM_L平 面PBD.解为BC的中点，四边形A B C D为矩形，.

7、：且 A8=O C=1.:N M _L 平面 PBD,BDu 平面 PBD,则有/M A+N AD B=9 0 ,又 N B AM+N M AZ)=9 0 ,.：N B A 例=/AO B,又N Z M 8=N 4 B M=9 0 ,.BAMS AADB,得 器=普，将式代入，解得AD=yi.AD DA：S ABCD=A D D C=g =d l故 VP-ABCD=S KVABCD-PD=X V 2 xl=y.1 9.(2 0 2 1 全国乙 文1 9)(1 2 分)设 如 是首项为1 的等比数列，数列面 满足儿=竽 已 知 0,3 血9。3 成等差数列.求&和 儿 的通项公式;(2)记 5

8、和 7；分别为 小 和 6 的前项和.证明:7；今命题意图本题考查了等差数列与等比数列的性质、等比数列的前”项和公式和利用错位相减法求数列的前“项和，考查了方程思想和转化思想.解设。,的公比为4,则an=qn .因为3,3 a2,9 3 成等差数列，所 以 1 +9 炉=2 x3/解得(7=1,故 斯=(旷.1F11|3-2=lay1=九尹=儿又213n*3+两 边 同 乘/得 黑 号+F +算+*+木1，得+/+*+*+志-言，即|丁 =券=2(1-)一 向，整理得T=l(1-玄)一/=A 需，则 27$=2信翳）-|（1-玄）=-矣 0.故%今20.(2021 全国乙 文20)(12分)已

9、知抛物线C:)2=2px(p 0)的焦点/到准线的距离为2.(1)求。的方程；(2)已 知。为坐标原点，点 尸 在 C 上，点。满 足 而=9下,求直线。斜率的最大值.命题意图本题考查抛物线的性质及抛物线的方程、直线与抛物线的关系，考查逻辑推理及运算求解能力.解(1)在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p,故 p=2,C的方程为 2=4X.(2)设点尸(即J1),Q(X2J2).又 F(1,0),则PQ=(%2-xi,y2-y)QF=(1-及,)2).因 为 所=9而，所以 X2-X=9(1 -X2),y2-y=-92,得 =10氏 29田=IO”.7 Q又因为点P 在抛物线C 上，所以衣=

10、4内,所以(10)，2)2=4(10a9),则 点 Q 的轨迹方程为 产 散 噌易知直线。的斜率存在.设 直线OQ的方程为尸区，当直线OQ和曲线V q v W 相切时，斜率取得最大值、最小值.yy由八 人，n Qz2 =-2 X-9,得正声二5y 一2去5,5 257 q即 x2-x+=0,(*)当直线O Q和曲线y 2=|x-晟相切时，方程(*)的判别式/=0,即(-|)-4产卷=0,解得a=虫，所以直2。斜率的最大值为去21.(2 0 2 1 全国乙 文2 1)(1 2 分)已知函数/)=彳3-/+亦+1.(1)讨论火x)的单调性；(2)求曲线)，=大力过坐标原点的切线与曲线=/)的公共点

11、的坐标.命题意图本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力.解函数於 x -N+o r+l 的定义域为R,其导数为f(x)=3 x2-2 x+a.当“芸 时，方程g)二 o至多有一解了 a)2(v u)在R上单调递增；当 时，若f(x)=0,贝“3 炉-2 1+。=0,此时方程 3 x2-2 x 4-6/=0 有两根，即 x-13aV2-1+L-3当 X X2 时/(x)0;当X|X X 2 时/(X)=1.当直线斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离4=2,有为圆C的半径)，不合题意，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为)，-l=A(x-

12、4),化简得kx-y-4k+=0,此时圆心。(2,1)到直线的距离”二!12kl-4/c+ll由d=r=l,得2|川=V F T T,两边平方得4乒=产+1,解 得k=土芋代入直线方程并化简得x-V 3 y+V 3-4=0或后-4=0,化为极坐标方程为p c o s 0-V 3 p s i n 6,=4-百 或 p c o s 0+V 3 p s i n 6*=4+V 3.2 3.(2 02 1 全国乙 文2 3)选修4 5:不等式选讲(1 0分)已 知 函 数/)=比同+|x+3|.(1)当a=时，求不等式X x)2 6的解集；(2)若火x)-a,求a的取值范围.命题意图本题主要考查绝对值不

13、等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.解 当=1时，由 於)2 6可得|x-l|+|x+3 2 6.当xW-3时,不等式可化 为l-x-x-3 6,解得xW-4;当-3 x-a,则 J(x)min-a.因为/()=卜-4|+|犬+3|2:|(X-。)-(欠+3)|=|4+3|(当且仅当(-4)(+3反0时，等号成立)，所 以y(x)m i n =|a+3|,所以|a+3|-a,即“+3 -”,解得“e (-|,+8).故a的取值范围为-|,+o o/.2021年全国卷乙文科数学查缺补漏表题型题a考查要点学科能力学科素养查缺补漏选择题.1集合的基本运算(并集与补集)运算求解能力数学运算2复数

14、的除法运算求解能力数学运算3含量词的命题的真假判断以及复合命题的真假判断推理论证能力逻辑推理4三角函数的周期性与最值、三角恒等变换运算求解能力数学运算5简单的线性规划运算求解能力、逻辑推理能力直观想象、数学运算6倍角公式与诱导公式运算求解能力数学运算7几何概型抽象概括能力、运算求解能力直观想象、数学运算X函数最值的判断与基本不等式的应用推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算9函数图像平移变换以及函数的奇偶性判断抽象概括能力、推理论证能力直观想象、逻辑推理10两异面直线所成角的求解运算求解能力、空间想象能力直观想象、数学运算11椭圆中的最值推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算12函

15、数的极值点判断以及不等式的性质推理论证能力、运算求解能力推理论证、数学运算1;V113向量共线运算求解能力数学运算14双曲线的方程、点到直线的距离运算求解能力数学运算15解三角形、三角形的面积运算求解能力数学运算16三棱锥的三视图空间想象能力、推理论证能力直观想象、逻辑推理续 表迤里题a考查要点学科能力学科素养查缺补漏17样本数据的求解与应用运算求解能力、数据处理能力、应用意识数学运算、数据分析、数学应用18空间面面垂直的证明、棱锥体积的求解推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力直观想象、数学运算、逻辑推理19等差数列、等比数列的基本运算、数列求和与不等式的证明运算求解能力、推理论证能力 逻

16、辑推理、数学运算2()抛物线的简单几何性质、直线和抛物线的位置关系、最值问题运算求解能力数学建模、数学运算21应用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、方程的解、分类讨论思想推理论证能力、运算求解能力 数学抽象、逻辑推理22极坐标与参数方程运算求解能力数学运算23不等式的解法、分类讨论思想、数形结合思想运算求解能力直观想象、逻辑推理【试卷评析】2021年全国乙卷文科数学，落实高考内容改革总体要求,贯彻德智体美劳全面发展教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向，试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则.全国乙卷文科数学，突出对基础知

17、识（约占50%）以及主干内容的考查，如函数与导数（27分）、立体几何（22分）、解析几何（22分）、概率与统计（17分）、三角函数与解三角形（20分）.重点考查考生对数学本质的认识，考查考生对数学思想方法的理解和运用，倡导理论联系实际，学以致用，一是“举例问题”灵活开放，第16题考查考生的空间想象能力，有多组正确答案，有多种解题方案可供选择.二是关注现实生产生活，第17题，以新旧设备为原型，设计了概率统计的应用问题,考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用.总之,2021年高考数学全国乙卷文科数学试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，发挥了高考数学学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.