2021年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(全国卷Ⅲ)数学(文)试题及答案详解.pdf

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1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷（全国卷川）数 学（文）试 题第i卷（选择题）一.选择题：本大题12小题，每小题5 分，共 60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的1.已知集合4=-2,-1,0,1,3=x|x T ,则()A.-2,-1 B.0,1 C.-1,0,1 D.-2,-1,0,1)2.已知a/,c e R,则b”的一个充分而不必要条件是()A.a2b2B.a3b3C.2 2D.ac2 be23.已知复数2=二 智 为 纯 虚 数，1-2Z则”()A.2B.4C.-16D.-4x+y-1 0,4.若实数x,y 满足约束条件r y+1 2 0,

2、，则z=/+/+1的最小值为()2x-y-2 0 ,则 a c B.若a4 a）C.若a b 4,c 0,则 a +C b+c bD.若a 0,b0,a+b=l,则l o g2（就）一28 .祖瞄是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“累势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等,此即祖咂原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为/7（0 人2）的平面截该几何体,则截面面积为（）左视图B.4乃 2C.万（2 川）D.万（

3、4一/）9 .学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为c 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出（单位：元）在5 0,6 0 内的学生有30人，则c 的值为1 0 .已知向量九九满足卜|=1,石=-1,则无伍+在）=（）2A.3 B.2 C.1 D.02 211.如图,已知双曲线二-斗=1。0）的左、右焦点分别为九巴,过右焦点作a b-平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A,若耳用的内切圆半径为。，则双曲线43+i 1 x 0的取值范围为A.(-1,2 B.(-1,2)C.-2,1)D.(e,2 第II卷（非选择题）二、填 空 题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）1 3.

4、已知等差数列 4 的前n 项和为 S“,S6=51,0g=22，则 a3=.14.在 AABC中,4 4。=60。，8。=3,。是8。上的点,4。平分4 4。,若4）=2,则 ABC的面积为.15.已知圆C 的圆心坐标是（0,M,若直线2x-y +3=0与圆。相切于点A（-2,-l）,3则圆C的标准方程为.1 6 .在四棱锥$_9 8 中,A B C ）,A D =A 8 =B C =g c ）=2,S A =7LS B =S O =,则三棱锥S-ABD外 接 球 的 表 面 积 为.三、解答题（共7 0分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题,每个试题都必须作答.第2

5、2、2 3题为选做题，考生按要求作答）（一泌做题1 7 .已知公差不为0的等差数列。满足 =1,且,%,生成等比数列.（I ）求数列 为 的通项公式；（n）若 =2 T,求 数 列 的 前 项 和Tn.1 8 .3月1 2日为我国的植树节,某校为增强学生的环保意识，普及环保知识,于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取2 0 0人的成绩（满分为1 0 0分）作为样本,得到成绩的频率分布直方图，如图所示,其中样本数据分组区间为 4 0,5 0）,5 0,6 0）6 0,7 0）7 0,8 0）,8 0,9 0）/9 0,1 0 0 .（1）求频率分布直方图中

6、。的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于7 0分的学生中随机抽取64人，查看他们的答题情况,再从这6人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在 5 0,6 0)内的概率.1 9.如图,在矩形A B C D中小。=2/8=4,尸分别为边AB,AD的中点.现将 ADE沿OE折起，得四棱锥ABODE.(1)求证：E F/平面4 8 C；(2)若 平 面 平 面B C O E,求四面体FDCE的体积.2。.已知椭圆。:$2=皿 。)的短轴长为2,离心率为日(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭

7、圆C上一点，且在第一象限内，过户作直线与交y轴正半轴于A点,交x轴负半轴于8点,与椭圆C的另一个交点为E,且Q 4 =点Q是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为F.(i )证明：直线A Q,A P的斜率之比为定值;(i i)求直线EF的斜率的最小值.2 1 .已知函数/(x)=s i n x +*.(1 )求函数/(x)在 彳，2万的最大值；(2)证明：函数g(x)=；x +2 e T-/(x)在(0,2%)有两个极值点士,七,并判断斗+马与2的大小关系.(二)选考题：共1 0分。请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。522.在直角坐标系xOy

8、中，曲线C的方程为.Q (。为参数)，直线/的方程为x+y=i.以。为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线。和直线/的极坐标方程；1T(2)已知射线。M 的极坐标方程是。=,且与曲线。和直线/在第一条限的交点分别为尸，。,求|PQ|的长.23.已知函数/(x)=|x-2|+2k+l|,xeR.(1)求函数/(X)的图象与直线y=6围成区域的面积；(2)若对于加0,0,且加+及=4 时,不 等 式 恒 成 立，求实数X的取值范围.6绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试压轴卷(全国卷川)数学(文)试题参考答案解析1.【答案】B【解析】因为集合&=-2,-L 0,l ,B

9、 =x x -l ,所以A n B=0 .故选：B2.【答案】D【解析】因 为 由 推不出/,由/尸 也 推 不 出 故A 不满足题意因为苏/,2 2 oab,所以B、C不满足题意因为由G e?be2可以推出“b,由 推 不 出 口?bc2所以G e?be1是 的 充 分 不 必 要 条 件故选：D3.【答案】B,8 +a z (8 +a z)(l +2 z)8-2 a +(1 6 +a)i ,.【解析】因为Z=T=7=*WW=-为纯虚数，所 以 三 的=0,空铲工。,解得a =4.故选：B.4.【答案】C【解析】如图1,作出平面区域可知：z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方加1,所以最

10、近的距离为。到直线AB的距离，/r r 2所以Z=/+y 2+l的最小值为 竽+1=|，7故选：c.【解析】解：对于A：/(尤)=/一1,为偶函数，但值域为-1,侄),故 A不正确；对于B：/(X)=定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故 B不正确；对于C：/(x)=k)g 2 x 定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故 C 不正确；对于D：/(幻=1 x 1 为偶函数，且值域为。，讨),故 D正确；故选：D.6 .【答案】A 解析】因为3 a 2 是4与4的等差中项，所以“3 +4=6 生，所以atq2+a 4 =6 a M，又因为q 0,4*0,所以q 2+0,所以q 0,所以4=2,故选：A

11、.7 .【答案】B【解析】法一：对 A,当c=0 或c 0 时,a c W 0 c,A 错误；对 B,由a A 0,得:0,由y =x 3(x e/?)是增函数，得已 仕,B正确；h a ya)b)对 C,丁cih+be-(ah+ac)=bc-ac=c(b )05/.b(a+c)。,两 边 同 除 以 叱 c）得,公 0/O,a+Z?=l,得=；，所以log2（而）W-2,D错误.法二：特殊值排除法，若取c=0,则a c c =O,A错误；4 3若取Q=3*=2,C=1,则 ba2 b2；a b o a3 b3；若。人，必 0,则，0,c 0,则巴 +上 C 2h（真分数不等式性质）；a+c

12、a若a 0 1 0,则而4 叱 Wa2+b2 2 V 28.【答案】D【解析】由题意可知，该几何体为底面半径为2,高为2 的圆柱，从上面挖去一个半径为 2,高为2 的圆锥，所剩下的部分，如图所示：9所以截面为环形,外圆的半径为2,内圆的半径为h,所以面积为:万 x 2?TT/I2=万(4-h2)故选：D9 .【答案】A【解析】由频率直方图可知，前三组的频率之和为(0.0 1+0.0 24+0.0 3 6)x10=0.7,支出在 5 0,6 0 内的频率为1-0.7=0.3,.n=10 0.0.3故选：A10 .【答案】D【解析】向量,满足|4=1=则+=+。4=1-1=0.故选：D.【点睛】本

13、题考查了向量的模长和数量积及运算的法则,属于基础题.11.【答案】A【解析】设双曲线的左、右焦点分别为月(-c,0),6(c,0),设双曲线的一条渐近线方程为y=-x,a可得直线4 居的方程为y=b(x-c),与双曲线Y=2-y42=1(匕 。0)联立,a a bio可得 仇/_ 0 时,f(X)G (-巴+o o),由于f(x)=m有两个零点，所以me(-1,2 .故答案为A.点睛：(1)本题主要考查零点问题，意在考查学生对零点问题的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是画出函数f(x)的图像，再结合图像分析在何种情况下函数有两个零点.13.【答案】7【解析】设等差数列的公差为

14、d,因为6=51,4=(6 1+151=51所以 ”，解得：4=1,=3,%+7 d =22所以 q=q+2d =7.故答案为：714.【答案】唐2ADB D A D D C A D二由正弦定理，s i n L，s m生一 s i n C,即B Q6 6c c A D .兀 1 “c叫ncS ksmC而4 3,=3,s i n B s i n C.&=X=_=26 即，=空s i n C s i n 3 s i n ZBAC s i n C AB=22,A D .兀 1=-s i n =-s i n B 6 s i n B1 _ 27 3s i n B A C 12/.+=,BP A B+A

15、C AC AB,AC AB 2 2又由余弦定理知：AC2+AB2-2AC-AB cos ZBAC=BC2,：.A C2+AB2-A C AB=9,即(AC+AB)2-3AC A6=9,令x=AC AB,d 4%-12=0,即x=6(尤=一2舍去),/.S M.DRCr=-2 A C AB sinZBAC=2.故答案为：巫.2【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求A C A B,根据三角形面积公式求面积.15.【答案】/+(,+2)2=5【解析】因为圆心坐标为(0,加),直线2 x-y +3=0与圆C相切于点A(-2,-l)根据圆心和切点的连线与直线2 x-y +3=0垂直,所以一V=-不

16、解得加=-2,根据两点间的距离公式,可得圆C的半径r=J(0+2)2+(2+1)2=逐故圆C的标准方程为/+(y+2)2=5.故答案为：V+(y+2)2=516.【答案】4【解析】如图所示，取C O的中点。连接4。潭。,并连接BO交A。于H,连接 因为 A8 Cr),AO=AB=6C=g cD =2,所 以 四 边 形 和 四 边 形A8CQ均为平行四边形，所以 A。=BQ=BC=A。，故 BQ=DO,=CO,=AO,13所以。为 ABD外接圆的圆心且BCX.BD,因为SB =SD =,所以所以 S”=2.因为SA =百，4 7 =1,所以SA?=A*+s“2,所以 叩 1 47,因为A =H

17、,所以S _ L 平面4B C D设三棱锥S-A 8Q外接球的球心为。，连接OD,OS,。，则。&_ L 平面 A 8 Q Z 则 SH/OO1.过点。作 O E V S H 于点 E,则 OEHHO,故四边形。为矩形，故a”=OE =l,”E =。.设=x，外接球的半径为R,则R2=OO；+DO：=SE2+OE2,又。旦=2,则f+4 =（2-x+l,解得x =L，所以店=今4 16所以三棱锥S-A B O外接球的表面积为4万户=与万.4故答案为：7 f4【点睛】方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求

18、解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；14(3)定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线,则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.1 7.【答案】(I)1 =2-1；(II)7；=3+(2-3)x 2.【解析】(I)设等差数列 q的公差为由1,利,生成等比数列，可得即(l +d=l x(l +4d),解得d =2或d=0 (舍)，所以数列%的通项公式勺=2-1.(I I)由(I )得a,3“=(2-l)x 2 T所以 7；=l x 204-3x 2l+5x 22+.+(2n-l)x 2n-,可得 27；

19、=1x 2+3x 2?+(2-3)x 2 T+(2-1)x 2,两式相减得一雹=2+2x 2+2x 2?+2x 2 i (2-1)x 2”1 +2产。-尸)1-2-(2-1)x 2 =1-4+2x 2-(2-1)x 2=-3+(3-2)x 2所以 7；=3+(2 3)x 2.【点睛】错位相减法求解数列的前项和的分法：(1)适用条件：若数列 4 为等差数歹数列也“为等比数歹U,求解数列。也,的前项和S.；(2)注意事项:在写出S,和”“的表达式时,应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S-qS；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号;作差后，作 差 部 分 应 用 为1的等比数列求和.1

20、541 8.【答案】（1）a=0.025,74.7 分；（2）j.【解析】解：（1）由频率分布直方图可得，（0.006+0.012+0.018 x 2+0.021+）x 10=1,解得 a=0.025,这组样本数据的平均数为45x0.06+55x0.12+65x0.18+75x0.25+85x0.21+95x0.18=74.7,所以估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分为74.7分；（2）由频率分布直方图可知,成绩在 40,50）50,60）,60,70）内的频率分别为0.06,0.12,0.18,所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在 40,50）内的有1人，记为A成绩在 50,60

21、）内的有2人，记为b、C,成绩在 60,70）内的有3人，记为1、2、3.故从成绩在 40,70）内的6人随机抽取3人，有：Abe、故1、4）2、4）3、A d、Ac2、Ac3、412、加3、423、bc1、bc2、bc3、切2、M 3、823、c12、c13 c23、123,共有 20 种，这3人成绩均不在 50,60）内，有:412、413、423、123,共有4种，记事件8这3人中至少有1人成绩在 50,60）内则 P（B）=1 P=:4所以这3人中至少有1人成绩在 50,60）内的概率为二.【点睛】（1）从频率分布直方图可以估计出的几个数据：众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横

22、坐标；平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标.（2）古典概型的概率计算中列举基本事件的方法：16枚举法；列表法；坐标法；树状图法；排列组合求事件个数.19【答案】（1）证明见解析；（2）里.3【解析】（1）证明：如图,取线段AC的中点M连结例因为尸，例为A O/C的中点，所以例尸/C。,且M F=|CD.在折叠前，四边形A8C。为矩形，E为48的中点，所以BE/CD,且B E=；CD.所以 M F/B E,且 M F=BE.所以四边形8日次为平行四边形，故 EF/1BM.又平面ABC,BMu平面A8G所以EF/

23、平面，8C.（2）在折叠前，四边形A8CD为矩形，AD=2,AB=4,E为AB的中点，所以AAOE,C8E都是等腰直角三角形，JELAD=AE=EB=BC=2.所以NO&=NCE8=45。，且 D E=E C=2 Q.又N。必+NOEC+NCE8=180,所以NOEC=90。，E P DEL CE.又 平 面 平 面8C 0E,平面/4。印 平面8C0E=0E,CEu平面8C0E,所以CEJ_平面A D E,即C E为三棱锥C E F D的高.因为尸为4。的中点，所以S FFn=x x A）xAE=x2x2=1M 2 2 4所以四面体FOCE的体积17V=-x S FDxC =-x lx 2

24、V 2=3-EFD 3 320.【答案】（1）y +/=l;（2）（i）证明见解析；（i i）当.【解析】解:2b=2,（1）由 题 意 得 =坐，a 2a2 b2+c2.解得所以椭圆。的方程为+y=i.（2）（/）设P点的坐标为（无0，月），因为点Q是P（x0,为）关于X轴的对称点，PA=AB,所以。（/，一%），A（0,g.%）.所以直线。4的斜率为&-，0 2，KQA 一刍k，Q 4的斜率为2天）1，。-.为 2%所啜所以直线A Q,A P的斜率之比为定值.（/）设直线P A的方程为、=丘+加.联立方程组打一3：”；化简得（1 +2二）/+4碗 +2.-2 =0.%+2y=2,设E点、的

25、坐标是（西,X）,匚 口、2m2-2 匚 匚 、2疗一 2所以玉西=17而 所 以 玉=而5而？所以乂=2k（m2-1）（+2公）/+ml l I j ,I 口/2/n 2 22（加 1）所以E点 的 坐 标（+2好）（1 +2公）/+”,18由(2)可知，直线QA的方程是丁=-3日+m.所以P点的坐标是(2m2 2 -6 k(m2 1)(1 +1 8如注(1+18妙瓦+m).所以直线成的斜率原=-6 k(m2-1)2k(m2-1)-z-F tn-z-I T l(1 +18/)尤0(+2k)x02 1-2 2m2-26 k2+-4 k(1+18%2)的 一(1+2 )/因为Q。，所以%=答=*

26、+行32月邛.当且仅当6 4,叫骼时,总 有 最 小 畔.所以直线E F的斜率的最小值是它.2【点睛】思路点睛：直线与椭圆的位置关系有设而不求和设而要求两种思路，当已知直线和椭圆的一个交点求另一个交点时用设而要求的方法，联立直线和椭圆，用韦达定理解出另一根.2 1.【答案】(1)(2)证明见解析；玉+%2万.【解析解：(1)/(%)=c os x-e f(x)=-si n x+ex3 7 7 3 7 r当x e ,27T 时，-s i n x N O,*0,则/(x)0,故/(x)在 5,2乃 上单调递增，又 广(苦 卜 一 消 0,所以/(x)在(与 司 有唯一的零点t.当x c i与,，时

27、，/(x)0.故/(x)在(冷，上单调递减，在Q,2万)上单调递增，19且/券=-l +e O,/(2万)=0%0,所以f(x)在 5,2乃 的最大值为e%.(2)g(x)=；-cosx-eT,当时，y=-c osx,y=-e r均单调递增，所以g (x)单调递增，所以g (x)在x egj有唯一的零点4呜 卷),此时当 xe(O j J 时，g，(x)(),所以I是极小值点，不妨让玉=4 n n了771 3%当X G5E时，c osx ex e 2 0；2 2 2故g(x)在71 3兀i5T上单调递增，没有极值点;当xe皆,2乃)，g(x)=si nx+e X =/(x).由(1)知，/*)

28、在上单调递减,在Q,2%)上单调递增，且/右 卜0,/(2为 0,故g(x)有唯一的零点t.e仔,2万 则X G 作 时，g(x)0,即g (x)单调递增，20又g(专)0，g(子 卜g 日 e子 0，g (2)=-g e d 0；x w&a4)时，g，(x)ef,所以c osx,2 1-，即与+2万.(判断极值点的时候X6弓 仁),X-右 笄,予 也对.)【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路：(1)若所给的闭区间 d句不含参数，则只需对x)求导，并求/()=()在区间句内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与/(。),/()比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

29、；(2)若所给的区间句含有参数，则需对/(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数/(x)的最值.2122.【答案】C:心高丽,/:a p sin e +?)=l；(2)【解析】（1）曲线c 的普通方程为：:+y2=i,化为极坐标方程为:夕 2 cos2 3 2 .2 C .-+2-snr 8=1,即:P24l+3sin26 1直线/的极坐标方程为：pcos6+psine=l,即 0/?sin(e+?)=l.（2）设点尸（8,q）,则有2 4p、=-：l+3sin伉,解得：,0,=-3P4痴13713a4匹即尸设点。（夕2），J2p2sin02+?解得:P2小-17V即则有

30、ia -I。|=|月-2 I=+1-623.【答案】（1）6；（2）4一00,一 U0,4-oo).-3 尤,x W 1【解析】（1）由 x）=+4,l x 222其中 A(2,6),3(1,3),C(2,6),所以|A C|=4,5到直线AC的距离为3,故所求面积为BC=g x 4 x 3 =6.(2)因为加 0,Xi0,月.加 +=4,所以 mn (而；),即 mn (，明 2,B P/(x)4,解不等式k 2|+2卜+心4,x-l x 2可得t-或1+4 或 卜”4解之得或X2 0,所以实数X的取值范围为卜8,-g U0,+8).【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:23若kN f(x)在 a,b上恒成立,贝必2八项即；若k W /(x)在口,加上恒成立，则k f(x)min；若Z N/(x)在 a,加上有解，则 八/(x)1n-若左W/(x)在 a,切上有解，则人/(幻3.24