第26讲 指对共生式技巧之切线放缩（解析版）.docx

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1、第二十六讲指对共生式技巧之切线放缩知识与方法当要证明的不等式中既含有优，又含有Inx时，一般我们形象地称之为指对共生式，这 类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双 函数、同构等技巧.这一小节先给大家介绍切线放缩的技巧，常用的切线放缩有：1X(1)+(2) ex ex ； (3) 1 lnx x-1 ；(4) lnx 2x + In x.i (e-2x-【解析】证法 1：易证 e, Nex ,设 /(%) = ex-2x-nxx 0),则 ff(x = e-2=-x x所以1(X) 0 = 0 x 0 = x , e 2e 2( ( 从而/(x)在0,二

2、上单调递减，在一二,+8上单调递增,I e-2)(e-2)故=l ln=In e(e-2) 0 ,所以6 2x + In x ,从而 ex之 ex 2x + In x ,故 e 2光 + In x . 证法 2：易证 lnxx-l , i(2x + lnx0),则广= e“3,/ 、 一 、所以m =,，因为恒成立，所以。故实数。的取值范围是-,+ooV 炉人 ax e，e_e)OO(yIn vA(2)证法 1：当 7时,/(x) = aex -xlnx - -ex-xlnx = 2ex2 -xnx = ex2 2- ，e-eI J下面证明噜0,只需证2峪 0, e )e当Ovxl时，显然二0

3、成立，下面证明当xl时该不等式 I/-2也成立，令(司=2-普则/(%)=里艺二学二1, ex -exr(x) = xln x - In x -1 (j; 1),贝ij /(x) = lnx + l- - , r(x) =，+ 40 ,所以/(x)在(1,+8)上单调递增,又/=0,所以当1时，/(力0,从而一(力在(l,+oo) 上单调递增，又广= ln2-l0,)=6-20,所以r(x)在(1,+00)上有唯一的零点% , 且小(2,e),当 x(l,%o)时，r(x) 0 ,所以/z(x)0 ,所以 /(x)0 ,从而力在(l,x0)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，故 始需=碎)

4、= 2-*，又一(Xo) = XolnXo_lnXo_ l = O,所以毛二一, /T代入式得(力2 一高产=2 “ +由 天2 可得 11 + ! / T2 , 00 ,从而*-2g) = 2 - 要0,综上所述，对任意的无0,都有2 吗0,所以giR 半0, 然一21 j2 J又当之之时，/(力=/-2(2 坐,所以另0. e-k e )_22证法 2：当 a 2 =时，/(x) = aex - xln x - -ex-% In x = 2ex2 - xn x，ee-22易证 ，所以易I -xlnx 2ex2,令() = 2，(x0),eee2x 2(eT - x)则 ux) = 2ex-

5、2- - = ,易证+ 所以，-七1，从而/(九)之0,故(X)在(0,+8)上单调递增，又=彳0,所以(60恒成立，因为所以力0. e10.已知函数/(x) = exx -+ l)(x 1) , (x) = (x-l)lnx,其中e为自然对数的底数.(1)若恒成立，求实数4的取值范围；(2)若取(1)中的最大值，证明：/(%)g(x).【解析】解法1：由题意, Q(X+1)ZO = Ql,当KI时，广(同20恒成立，所以/(力在1,+8)上单调递增，从而/(x)m,n=1) = 1 2q,因为/(x”0,所以1一2。20,解得：当 q1时，/(x)0oxl + lna , /(a:) 0lx

6、l + lntz , 所以在1,1 +ln)上单调递减，在(1 +In +oo)上单调递增, 故/(x)min =/(l + lnQ)= Q-Q(l + lnQ)= -alnaO6Z=1 1=-,x + 1 X +1x+1X+11 +12I 11又当x = l时，所以的最小值为 x+1 2 x+12因为“二恒成立所以故实数0的取值范围是00 2(2)证法 1 ：由题意，a = ；, f(x)= 1 _x；，所以 “x)2g(x) = evT -(x-l)lnx ,易证 llnx4九一1 ,所以当 时，(x-l)lnxOo x2，0(x)Olx2，从而9（x）在1=上单调递诚,_ 2）。（2）等

7、 1所以0（x）4l ,即当xNl时，2厂3x + 3在-,2上单调递增，在（2,+oo）上单调递减,（21)2，因为(x l)2 2(x-l)lnx ,所以 ej _2(x_l)lnx ,故/(x)2g(x) 成立._f + 1证法 2：设(%) = (xl),则/(x) =2e|-1), 则 vr(x)=-=- 22 x所以 M(x) 0 o x 2 , vr(x) 0 1 xv(2)= l-ln20,故 x)Ng(%).所以 /(x)-g(x)(x-l) -Inx 1 = (x-1)v(jc)0所以 (x)0 = xln3 , /(x)00x/(In3)= 4-31n3 = ln0所以

8、e* 3% 1,从而 ex 3x -1 2x + In x ,故 ex 2x + In x .一YX (证法 3：一方面，InxW ,所以 2x + lnxV2x + = 2 + - x , ee I ej另一方面，ex ex ,显然当x0时,ex 2 + x,I e)_( n所以2 + x22x + lnx,I e)ex 2x + In x.变式 对任意的x0,证明：xex 2jc + Inx .【解析】证法1：易证当且仅当x = 0时取等号，所以当0时，xexx(x+)9令 /(x) = x(x + l)-2x-lnx(x0), 则 /=2x7 I=(2x+ l)(x 9 XX所以(x)0

9、oxl, 1(%) vOoOcxvl,从而/(九)在(0,1)上单调递减，在(L+oo)上单 调递增，故 /=0,即 x(x +1) 2x + lnx,又 x/ x(x + l)，所以 xe 2x + lnx .证法2：易证In,当且仅当x = l时取等号，所以2x + lnxW 2% + (%-1) = 3%一1,设 f(x) = xex -(3x-l)(x0),则 /r(x) = (x + l)ev -3 , /(x) = (x +2)， 0 ,故/(力在(2、 5 25f - 9(0,+oo)上单调递增，又(0)= 20,所以尸(力在k 3 J 33,5 ,7(o,+oo)上有唯一的零点

10、玉,且。/-,当工(。,/)时，yz(x)0,从而/(x)在(0,飞)上单调递减,在(%,+8)上单调递增，故 x)min =%) =玉*-(3/-1),又1(%) = (/ +1)* - 3 = 0,所以*=-_,工0 +1/(x0) = x0Z-(3x0-l) = -(3x0-l) = %()+-(3x0-l) = 4-3 + x0 =7 - 3从而+ % + 1、X+15( 341(i A令yF+1,则IvivL且尤o) = 7-3 , + -，易得2v, +晨生，所以一 7 3,+ - 。, 从而/(X)。，故 xe3x 12 2x + lnx, 所以 xe 2x + lnx .证法3

11、：易证当且仅当x = 0时取等号，所以当0时，xex x(x+l), 另一方面，lnxx-l,所以21+ 111%0 ,所以 x(x +1)之3x-l ,从而xexx(x +1) 3x-l 2x + lnx ,故 xex 2x + In x .【反思】看到指对共生结构，可以考虑运用切线放缩把指数放掉，也可以考虑把对数放掉, 当然，如果条件允许，两个都放掉就更简单了.例 2已知函数 /(x) = Inx-xex+ axg R).(1)若/(x)在1,+8)上单调递减，求实数a取值范围；(2)若4 = 1,求/(X)的最大值.【解析】(1)由题意，/(x) = L-(尤+1)，+40,所以 g(x

12、)在l,+oo)上单调递增, XX( 二 (x + l)ex1%7故g(x)min =屋1) = 21，因为恒成立，所以故实数a的取值范围为 (-co, 2e-l.(2)解法 1：当 q = 1时，/(%) = nx-xe +x(x0), /(x) = -(% +l)eA设力(力一/(冗0),则(司=二 一 e 0, /z(l) = l-e0,所以/(力0,故外力在(0,%)上单调递增,当工伍,+8)时,/z(x)0,所以/(x)=,两边取对数得:lnx0=一/，故/(Xo) = lnxo -/源+/=一/一 % + x0=-1,即)的最大值为一1玉)解法 2：设 0(K)=/一1一1,则”(

13、力=，一1,所以 “(x)0 = x0 , 0(x)Oox0),则/(x) = l+，0 ,故(x)在 X(0,+oo)上单调递增，结合 -=-1 0知在(0,+oo)上有零点,即方程x + lnx = O 有实根，所以 /(x)max=-1.【反思】我们不只要学会运用+ l这一切线放缩，它的变形济(、)之0(月+ 1也要会运 用；若要利用切线放缩求最值，一定要验证等号能取到.强化训练1.函数y(x) = ll!H (x0)的最大值为 X【解析】解法1：由题意，r(x) = 坐，所以r(x)OoOxl ,尸(x)l, X从而外力在(0,1)上/,在(1,+8)上、,故=1.解法2：易证lnx0

14、, X XJ设g(* =，+依0),则/(x) = - 0, g=1 /0,所以g(x)在(0,+8)上有唯一的零点七,且当 0%0 ,所以/(x)0,当 xXo 时、g(x)0,所以/(x)0,从而/(x)在(Ox。)上单调递增，在(%,+8)上单调递减，故 / (Hmax = / (%。)= 1口 /。”，因为4%) = _*+|=0,所以*+=-1,两端取对数得：x0+l = ln = -lnx0,从而*0X。*0In% =%-1 ,代入式得：/(x0) = -x0 -l + x0 -x0 = -2,故心x=-2.xo解法2：由题意,/(x) = lnx + x 加川=lnx + x *

15、戈0川=lnx + x ，易证+ 当且仅当x = 0时取等号，所以*E+iN(lnx + x + l) + l = lnx + x+2, 从而 In x + x O = xl , r(x)O = Ox%-lnx + lnx-A： = 0,当且仅当 x-lnx-l=0 时取等号，此时【答案】04 .证明：(x-l)e -lnx-g.【解析】证法 1：易证lnxx 1,所以(x-l)/-lnx2(x-l)e = (x 1乂/ 一1),下 面证明(1_1乂产_1)_,设 f(x) = (-l)(ev-l),则(力=y _ 1 + (%_ 1)/ =必、_ 1, fx)= (x +1.0 ,所以r(x

16、)在(0,+oo)上单调递增，又/口=巫10,所以广在(0,+o)上有唯一零点小,且,/1,、2 J 22当工(0,%)时，/,(%) 0 , /(%)单调递增, 所以/(x)min =/(%)=国一1)G -1)，又(%) = - 1 =。，所以*0从而/(%)=国1) xo= 2-(1)X。+一I x0),因为一工01,所以2Xod ,从而x02 ,所以(x l)/ -lnx2 f (x) ,从而(x_l)ev _ Inx一耳. 证法 2：易证InxWx-l,所以(x l)/lnxN(x l)e-(1-1) = (1-1乂，一1),下面证明当 xNl 时，（x 1）（产一1）20工；当0

17、v x v1时，(x-(ex -1) o，-1 !- o / !- o ex 1 , 八 )22(x-l)2(x-l)2(1) 2(x-l)设则/（x）二 2（x 1）2(2x-l)(x-2)1i(i A(iA所以广(x)0o xl，/(x)0o0x上单调递增,a1,故卷三示-、1,所以（1乂/一1）综上所述，不等式（x-“夕-1）对任意的10恒成立，所以（-1）/-lnx5 ,不等式/，-QnxZx + l对任意的xl恒成立，则实数。取值范围为().A.(8,1 eB.(oo,2 /C. (oo,2D. (oo,3【解析】 当 xl 时， 广QinxNx + loalnxWx-%-x-io-

18、, Inx因为工与产1 1 = */ 1 = 6九一IN 31nx+l) x + l = 31nx,所以上二创吧=-3,当且仅当x 31nx = 0,即lnx = 2时等号成立，nx Inx34 -3 x、-3 x 从而 厂-1=-3,因为,二7T恒成立,所以43.I Inx JminInx【答案】D6 .已知函数f/（x） = aex -Inx,其中e为自然对数的底数，q R.（1）若函数/（x）在1,2上是增函数，求a的取值范围；（2）若Ova2 4-ln.【解析】（1）由题意，f（x） = aex-,因为/（力在1,2上增函数，所以（工”0在1,2 X上恒成立，即在1,2上恒成立，从而q

19、NL,显然函数=工,在1,2上是增函 xxeA数，所以从而上二,因为“21，所以2工，故实数。的取值范围 2e xex exexeuri ）ZE , +8 1e ；（2）解法1：当00,所以r（x）在（。,+s）上单调递增,X7 .已知函数 /(x) = lnx-afl八1(x )/,(x) = aex - - ae一1 = 0,所以尸(x)有唯一的零点玉,当Ovxv/时,/(%) 0 ,从而“X)在(0,%0)上单调递减，在(,+00)上单调递增，故x)min =/(%o) = e - lnx0,111因为/(工0)=。*=。，所以一，两边取对数得：x0+ In6Z = In一 = -lnx

20、0,X。X。X。代入式可得/(x0) = + x0 +2 -x0 + In 4 = 2 +In a,所以 /(x) 2 + Inez.*0V %解法2：易证炉Nx + 1,当且仅当x = 0时取等号，lnx(x + ln + l)-(x-l) = 2 + lntz,取等条件是 x + lna = 0 ,且 x = l,即 q = L BP f (x) 2 + In . e(1)若x)20,求的取值集合;(2)证明：ex + 2-lnx + (e-2)x. x【解析】(1)由题意，1(同=+一!=, xo, X y X ) X当时a0,所以力在(0,+8)上单调递增,结合/=。可得当(0,1)时

21、,/(x)0 时，/r(x) 0x6z , /(x)0恒成立,则lna + 1 -心0，设= lna + l (Q0)，则 It (ci = - = -,所以 /f(4)0 = 04l ,a a/?(Q)0时，ex ex,所以+x x设 g(x) = ex + ,-(2-ln+(3-2)x) , x0 ,Xw /、1，/、11 (x + l)(2x - l)则 g(x) = + 2x-2 + lnx, g (x) = -7 + 2 + - = -,XXXg(x)00 vx0, 2以 ex H 2 lnx + (e 2)%，又 e* H N exd， 所以 e H 2 lnx + (e 2)x.

22、 XXX证法2：所以 2 - In % + (e - 2)x K 2 1-1+ (e-2)x 1 HF(e -2)x ,X)X易证当 x0 时，ex x + l,所以 e +，(x + l) +，,XX而(x + 1)h1 HF (e - 2)x =(3 - e)x 0 , 所以(x + 1)h 1HF(e-2)x,X X)X X从而 e H (x + 1)h 1HF(e 2)x 2 2 lnx + (e 2)x ,故 cx - 2 - In x + (e 2)x.XX XX8 . (2013 新课标n卷)已知函数x) = e，-ln(x +间(1)设x = 0是x)的极值点，求机并讨论了(x

23、)的单调性；(2)当加42时，证明：/(x)0【解析】(1)由题意，f(x = ex, x-1,x + m因为x = 0是f (%)的极值点,所以/(0) = 1-1 = 0,解得:m故/(x) = e1 (x +-1x+1x+1令 4(x) = (x + l)e -1,则/(x) = (x + 2)ev 0 ,所以在(-1,+8)上单调递增,又(0)= 0 ,所以当 一1 x v0时，(x) 0 ,故(x) 0 时，(X)0 ,故广(X) 0 , 从而“力在(-1,0)上单调递减，在(。,+00)上单调递增.(2)证法 1：当加工2 时，/(x) = ev -ln(x + 7H)ev -ln

24、(x+2),令 g (x) = ex -ln(x + 2),则 g(x) = ev1 (x + 2)e 1x + 2 x + 2令 /z(x) = (x + 2)v -l(x-2),则 /(x) = (x + 3)e 0 ,所以(x)在(一2,+oo)上单调递增,结合(一 1) = ,一1。知存在唯一的与使(毛)=。且毛 (一1，), e当-2Vx时,A(x) 0,所以 g(x) 0 ,因为当机工2时，/(x)-ln(x + 2),所以%)0.证法 2：当/n42 时，- In ( a:+ m) ex - In (x + 2),下面先证，x + l ,令 g(x) = e x lR),则 g(

25、x) = e 1 , 所以 g(x)0ox0 = x0 ,从而g(x)在(-8,0上单调递减,在0,+00)上单调递增,故g(x)而n =g(0) = 0所以g(x)O,从而e-x + 1,当且仅当x = 0时等号成立,Ir _i_ 再证 ln(x + 2)Wx + 1,令力(x) = ln(x + 2) x l(x2),则 /z(x) =1 = 一一，x + 2A- + 2所以 “(x)0o-2x1 , (x)-l,从而/z(x)在(一2,-1)上单调递增，在 (-1,+8)上单调递减,故/z(x)max =(-1)=。，所以力(1】0,故ln(x + 2)x + l,当且仅当 x = -时

26、等号成立，综上所述，有ln(x+2)x + l/,且两个等号不能同时成立，所以ln(x + 2)0 ,因为当机 ex - In (x + 2),所以 /(x) 0.9 .设函数/(x) = aex -xlnx,其中(1)若”在定义域上是增函数，求实数。的取值范围;7(2)若证明：/(x)0 e【解析】(1)解法1：由题意，/(力=叱-Inx-l(x0),且r(x)20恒成立，所以心电匕1 ex1+1-1-lnx令g(x) = *x0),则短(力=一当Ovxvl时,1 0 , InxvO,所以g(x)0,故g(x)在(0,1)上单调递增, x当 xl 时，-l0,所以 g(%)0),且尸(x”0恒成立，所以心里1, eA且当=1 时，曰、ex ,所以= 一=