2021年高考数学立体几何压轴题真题模拟题分类汇编：05 填空压轴题（学生版+解析版）.pdf

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1、专题0 5 填空压轴题1.（2021 南京三模）早 在 15世纪，达 芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如 图 1,先制作三张一样的黄金矩形ABC。（黑=/二 0,然后从长边8 的中点E 出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即长边 2 7O E =-A D,再沿着与长边A 8平行的方向剪出相同的长度，即。尸=O E,将这三个矩形穿插两两垂直放置，2连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2 若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表面积为，其外接球的表面积为一.2.（2021 丹东模拟）中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖晒通过对几何体体积的研究，早 于 西 方 1100多年，得出

2、一个原理：“幕势既同，则积不容异”，“累”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖晒原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4 的半圆，根据祖咂原理可知这个三棱锥的体积为.3.（2021河东区一模）天津滨海文化中心地处天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如 图 1 所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为

3、了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图2 所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为一平方米；方案乙，测量球被地面载得的圆的周长约为16万米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为 立方米，你认为哪种方案好呢？团 1图 24.（2021 奉贤区校级二模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于27 与多面体在该点的面角之和 的 差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点

4、的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3 个面角，每个面角是工，所3以正四面体在各顶点的曲率为2 4-3x二=，故其总曲率为4万，则四棱锥的总曲率为.35.（2021思明区校级模拟）蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928,这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有 谈谈与蜂房结构有关的数学问题.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱-A夕。E V 的三个顶点A,C,E 处分别用平面B F M ,平面8 D O,平面 N截掉三个相等的三棱锥M-A B

5、F,O-B C D,N-D E F,平面,平面B D O,平 面 交 于 点 P,就形成了蜂巢的结构.如图，设平面P3OD与正六边形底面所成的二面角的大小为。，则cos6=.（用含13!54。4 4 的代数式表示）6.（2021广东模拟）如图，在四棱锥P-/WCZ）中，P D Y A C,/W J平面R 4 D,底面ABCD为正方形,且 8+尸。=3.若四棱锥尸-4 8 c o 的每个顶点都在球。的球面上，则当CD=1时，球。的 表 面 积 为；当 四 棱 锥 的 体 积 取 得 最 大 值 时，二面角A-P C-。的 正 切 值 为.7.（2021怀化一模）四面体P-A 3 C 中，P A

6、=6 其余棱长都为2,动点Q 在 AA8C的 内 部（含边界）,设乙R4Q=a,二面角P-B C A 的平面角的大小为，AAP。和 ABC0的面积分别为耳，邑，且满足3=刎 X,则 S2的最大值为.8.（2021 麒麟区校级模拟）如图，蹴鞠，又 名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知各顶点都在某 蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a，高为肌球的体积为36万，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为.9.（2021吉林模拟）如图所示，在长方体A8C）-A 4 G A 中，A B=3,A D

7、=4,A 4.=5,点 是棱Cg上的一个动点，若平面8E R 交棱明 于点F,则四棱锥4-BE。尸的体积为,截面四边形BER尸的周长的最小值为.10.（2021包河区校级模拟）半正多面体（senQegMarso/）亦 称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1,则该半正多面体外接球的表面积为 一；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为一.1 1.（2021 沙坪坝区校级模拟）如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几

8、何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2,则该星形八面体的体积为.1 2.（2 0 2 1 烟台二模）在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型,底面A 8 C D 为边长是4的正方形,半圆面A P D，底面A 8 C D.经研究发现,当点尸在半圆弧AD上（不含A ,。点）运动时，三棱锥P-曲 的 外 接球始终保持不变，则该外接球的表面积为 一.1 3.（2 0 2 1 德阳模拟）把如图的平面图形分别沿A3、B C、AC翻折，已

9、知R、&、2 三点始终可以重合于点。得 到 三 棱 锥 那 么 当 该 三 棱 锥 体 积 最 大 时，其外接球的表面积为一.1 4.（2 0 2 1 福建模拟）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.如 图，A,3,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为A B,BC,C A,由这三条劣弧组成的图形称为球面AABC.已知地球半径为A,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点，若尸，。在赤道上，且经度分别为东经4 0。和东经8 0。，7/7则球面&V P Q 的面积为_；若 N P=N Q =PQ=

10、+R,则球面A N P Q 的 面 积 为.15.（2021 承德二模）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为.、16.（2021河南模拟）在三棱柱 A B C-A B C 中，A 4tl 平 面 A8C,AB=AC=AA,A B A C,直线 0 和匕分别在上底面A A G和下底面ABC上运动，且a_L，若A C与a所

11、成的角为60。，则与侧面A C C/所成 角 的 大 小 为 一.17.（2021 湖北模拟）无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”.无侦-8（如 图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了 2台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过3马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了 A,B,C,。四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中AB=A=3=6 ak,CD=3 k m,BC=3akm,且目标A,B,。所在平面与目标5,C,。所在平面满足二面角A-3 D-C的 大 小 是 空，若无人机可3以同时观察到这四个目标，则

12、其最小侦测半径为 ahn.图1图218.（2021 黄州区校级模拟）已知菱形A3CD的边长为2,Z43C=60。.将菱形沿对角线A C折叠成大小为60。的二面角3-A C-D.设 为B C的中点，F为三棱锥3-A 8表面上动点，且总满足AC_LEF,则点尸轨迹的长度为 一.19.（2021 朝阳区校级模拟）已知正AABC的顶点A在平面a内，顶点3,C在平面。的同一侧，D 为 B C的中点，若A4BC在平面a内的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线4）与平面a所成角的正弦值的最 小 值 为 一.20.（2021 重庆模拟）在三棱锥P-A B C中，PA A.A B,P A=4 ,Afi=3,二面

13、角P-A B-C的大小为30。，在侧面内（含边界）有 一 动 点 满 足M到R4的距离与M到平面A8C的距离相等，则 的轨迹的长度为.21.（2021绍兴二模）如图，在棱长为4的正方体ABC。-A 4 G A中，M是 棱 上 的 动 点，N 是棱B C的 中 点.当 平 面 与 底 面 筋8所成的锐二面角最小时，4知=.22.（2021 九龙坡区质检）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高.设球冠底的半径为厂，球冠的高为人，则球冠所在

14、球的半径R=（结果用/?,r表示）；设球冠底面圆周长为C,球冠表面积S=2万必7,当S=65000万，C=500TT时，=R-23.（2021六合区校级四模）如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高为27cm,两底面对角线EG,G,的长分别为25c7 和97a篦.在容器中注入水，水深为8cm.现有一根玻璃棒/,其长度为39cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计），将/放在容器中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GQ上，则/浸没在水中部分的长度为 cm.24.（2021西湖区校级模拟）如图，在AABC中，CA =CB=6 ,A B=3,点E是BC边上异于点3,C的一个动点，E F L AB 于点

15、E,现 沿 所 将ABEF折起到APE尸的位置，则四棱锥P-A C F E的体积的最大值为2 5.（2 0 2 1 开封三模）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽耘，古称“角黍”.如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则 该 球 体 积 的 最 大 值 为 一.2 6.（2 0 2 1 沙坪坝区校级模拟）以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转1 8 0。后，再将上、下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如 图 所 示 的“扭反三棱柱”上、下

16、底为全等的等腰三角形，且顶点A,B,C,A，四，G均在球。的球面上，A 8 =A C =A4=A=根，截面B C4 c l 是矩形，BC=2,BC =4 .则 该 几 何 体 的 外 接 球 表 面 积 为,当该几何体体积最大时机=.2 7.（2 0 2 1 茂名模拟）如图所示，三棱锥P-zl B C的顶点P,A,B,C 都在球O 的球面上，且 A A B C 所在平面截球。于圆。厂/归为圆。的直径，P 在底面A B C 上的射影为。1,C 为 A8的中点，。为 3c的中点.cosZ P D O、=与,点尸到底面A B C 的 距 离 为 弓，则球O 的表面积为一.2 8.（2 0 2 1-5

17、 月份模拟）如图，正四棱锥P-A 8 c o 的每个顶点都在球M的球面上，侧面附8是等边三角形.若半球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球。的体积与球 的体积的比值为.2 9.（2 0 2 1 德州二模）已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球。的球面上，PA =PB=PC,A A f i C是边长为2的正三角形，E,尸分别是P4,的中点，Z C E F =9 0 ,则三棱锥尸-/1 B C的体积为,球 O 的表面积为3 0.（2 0 2 1 青岛二模）某校学生去工厂进行劳动实践，加工制作某种零件.如图，将边长为1 0 缶?正方形铁皮剪掉阴影部分四个全等的等腰三角形，然后将

18、6 A B,B C,A R C D,9 4 分 别 沿 他，B C ,CD,D4翻折，使得片，P2,P3,巴重合并记为点P,制成正四棱锥P-458形状的零件.当该四棱锥体积最大时，A B =cm；此时该四棱锥外接球的表面积S=cnr.专题0 5 填空压轴题1.（2021 南京三模）早 在 15世纪，达 芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如 图 1,先制作三张一样的黄金矩形ABC。（吗=叵1 ,然后从长边8 的中点出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即 长边 2）=再沿着与长边A 3平行的方向剪出相同的长度，即O尸=O E,将这三个矩形穿插两两垂直放置，2连结所有顶点即可得到一个正二十面体，

19、如图2 若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表面积为_ 8 0 6 _,其外接球的表面积为一.图I图2【答案】80后；（40+8%【详解】由题目中的图2 可得正二十面体的表面是二十个全等的等边三角形，边长为4,所以表面积 为 也 x42 x 20=80G ；4由/=宫 心 得长边2y=26+2,根据对称性可知，外接球球心在所有黄金矩形对角线的交点处，直径就是黄金矩形的对角线长度,即 2R=7 7（2 5+27=“0+8后,所以外接球的体积为47rA2 =4万x（10+2石 =（40+8石）开.故答案为：8073；（40+8后）%.2.（2021丹东模拟）中国南北朝时期，祖冲之与他

20、的儿子祖唯通过对几何体体积的研究，早 于 西 方 1100多年，得出一个原理：“幕势既同，则积不容异”，“幕”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖晒原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4 的半圆，根据祖晅原理可知这个三棱锥的体积为一.【答案】8相-冗3【详解】设圆锥的底面半径为，则 2 T=4X2 X4，2解得r=2,.圆锥的高 h=V42-22=2/3,圆锥的体

21、积也即三棱锥的体积为：兀x展*2 6=处 兀.3 3故答案为：-71.3.（2021 河东区一模）天津滨海文化中心地处天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如 图 1所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图2 所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为一平方米；方案乙，测量球被地面载得的圆的周长约为16万米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为一立方米，你认为哪种方案好呢？廛 1图 2【答案】3 0 0 华 方案乙【详解】方案甲：R=

22、O E =-=EC=-=-x =5y/3,则 球 的 完 整 表 面 积 为=300万平方米;V3 V3 2 V3 2方案乙：BC=.母=8 米，而 OE=OB=R,O C=EC-O E=16-R,2 2 7 T则 OC2+B C2=O B 2,故(16-R)2+64=R2,解得 R=10,故求完整体积为3万内=叱 立 方米.3 3方案乙更好，实际可操作性乙更强.故答案为：300万，竺2竺，方案乙.34.（2021奉贤区校级二模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2万与多面体在该点的面角之和

23、 的 差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是工，所3以正四面体在各顶点的曲率为2%-3*生=万，故其总曲率为4万，则四棱锥的总曲率为.3【答案】4万【详解】由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合,由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形,所以四棱锥的表面内角和由4 个为三角形，1 个为四边形组成,所以面角和为4万+2万=6万.故总曲率为5 x

24、 2万-=4万.故答案为：4万.5.（2021 思明区校级模拟）蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109。2&,这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有 谈谈与蜂房结构有关的数学问题.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF-A9。诚 尸的三个顶点A,C,E 处分别用平面B F M ,平面3 O,平面。RV截掉三个相等的三棱锥M-A B F,O-B C D,N -D E F,平 面 的 0 ,平面B D O,平面网交于点P,就形成了蜂巢的结构.

25、图1图2如图，设平面P 8 8 与正六边形底面所成的二面角的大小为。，贝 hos6=.（用含1 加54。44,的代数式表示）【答案】tan54044,3【详解】利用第二个图：取 8厂的中点O,连接0 4,O M ,YMF=MB,:.MOVBF,：AF-AB,/.AOA.BF,:.ZMOA是平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的平面角,.ZMOA=0,不妨取=2,在等腰AAB/中，ZBAF=20,则 OB=ABsin=2 且=G ,OA=AB sin=2-=1,3 2 6 2在 RtAMOB 中，tan 5444=0M解得0 M=tan54044,tan54044r在 RtAMAO 中，cos

26、 0=色土=tan 5444.OM 3故答案为：tan54o44r.36.（2021广东模拟）如图，在四棱锥尸-M C D 中，PDA.AC,平面B 4 O,底面M C 0 为正方形,且 8+9=3.若四棱锥P-ABC力的每个顶点都在球。的球面上，则当8=1时，球 O 的表面积为；当四棱锥尸-A 5C D 的体积取得最大值时，二面角A-P C-0 的 正 切 值 为.【答案】6兀，亚【详解】(1)因为C E =1,则 P Z)=2C 3 =x(0 c x,:.A B PD,又尸 _ LA C,P D L平面，则四棱锥尸-A B CD可补形成一个长方体，球。的球 心 为 的 中 点，从而球O的表

27、面积为表(%，+22 y=6兀.2(2)设C =x(0 x 3),则尸D=3 x,四棱锥P A BCD的体积丫 =：乂(3-幻/(0 了3),则 丫，=一*2+2乂，当 0 x 0；当 2 c x 3 时，Vz =2，PD=l.过。作Z)”_ LP C于H ,连接月H,则ZA”为二面角A-P C-O的平面角.D H =lx 2_ 2 逐tanZA HD=/5 .D H故答案为：6万，亚.7.(20 21怀化一模)四面体P-A 8 C中，PA =6其余棱长都为2,动点。在A A 3C的内部(含边界),设NA 4Q =a,二面角尸-8 C-A的平面角的大小为尸，A A P Q和A BC0的面积分别

28、为5，S2,且满足3q =要3 q i5n。,则5,的最大值为.S2 4s i“-【答案】4 G-6【详解】四面体P A8C中，PA =,其余棱长都为2,取3 c的中点。，连接PE，AD,则尸D J.3C，A D L B C,故N3/M为二面角P BC A的平面角因为等边三角形PBC,AB C-故PD=A)=G =PA,故 0=60。,设。到8C的距离为人，c1 A P-A Qsina.则 县=2_ _=至 吧，52 B C h,sin/?2化简得，A Q =h,故点Q的轨迹为以点A为焦点，以4。为准线的抛物线在三角形ABC内部的段弧,如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为V=2信，A(0,故圆

29、弧与AB的交点横坐标为x =7 6 T 2,2贝I J。到8 c的最大距离=+g=4丛-6,故邑的最大值 为:2(4 8-6)=4g-6.故答案为：4/3 6 .8.(20 21 麒麟区校级模拟)如图，蹴鞠，又 名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为。，高为力，球的体积为36万，则这个正四棱柱的侧 面 积 的 最 大 值 为.【答案】36也4【详解】设球的半径为火，则？万/?3=36%，R=3,3,.正四棱柱底面正方形外接圆半径r

30、=!/7 17 =立4,2 2解得h=麻 6-2万,正四棱柱侧面积 S =4a/?=36-2。2=6a2(.36-2a2),.2/(36 2/),(2 +36二2(产=234,当且仅当 2/=3 6-2 黯，即”=3 时，等号成立,2;.S,18 x 324=3 6 0 ,当且仅当a =3 时;等号成立，即正四棱柱的侧面积的最大值为36 五.故答案为：36 无.9.（20 21吉林模拟）如图所示，在长方体A8C Q-A4 G R中，A B=3,4）=4,例=5,点 是棱C Q上的一个动点，若平面8E R交棱A 4,于点F,则四棱锥片-切力|尸的体积为 _ _ _,截面四边形B E尸的周长的最小

31、值为一.【答案】2 0；2/【详解】由题意可得，DF/BE,D i l i V=v +V =V +V入 J v 氏 BERF v%-BER 丁 v l-BED y D-BEHX 丁 v Dt-BE=B B 4 c 翻折，已知。|、D2合于点。得到三棱锥 -A B C,那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为2 三点始终可以重【答案】5 0 z r【详解】在三棱锥。-MC中，当且仅当八4,平面A 8 C 时，三棱锥的体积达到最大,此时，设外接球的半径为A，球心为O，球心。到平面A B C的投影点为F,则有R2=O Ai=O F2+A F2,又o 尸=1AD=*,AF=-AC=-2 2 2 2

32、所 以 炉=（|）2+（L，7 5所以球的表面积为S =4TCR2=4x =5 0 ,2故答案为：5 0 万.1 4.（2 0 2 1 福建模拟）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.如 图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为A8,BC,C A,由这三条劣弧组成的图形称为球面A A BC.已知地球半径为/?,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点，若 P,。在赤道上，且经度分别为东经40。和东经8 0。，?7则球面&V P Q 的 面 积 为；若 N P=N Q=P Q =U R,

33、则球面&VP。的 面 积 为.【答案】竺2 _；7RR29【详解】尸。在赤道上，且经度分别为40。和8()。，上半球面面积为，x 4;rx店=2%R。,2球面APNQ面积为色 x 2兀*=网L ,3600 9当N P=N Q =PQ=肘,A/W Q为等边三角形，根据题意构造一个正四面体N-P Q S,如图所示：其中心为O,。是高N”的靠近H的四等分点，则 cos 乙 NOP=-cos 4 H op=-=OP ON 3山仝协牛再m 舛 八 ON2+OP2-P N2 2R2-P N2 1由余弦定理可得：cosZNOP=-=-z=一一，2O NO P 2R2 39/7解得PN=4?R,正好为题目给的

34、长度，3所以球面PNQ的面积为S.N Q=；x 4万代=兀 K,故答案为：二T TR-.91 5.(2 0 2 1 承德二模)某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为.【详解】设中空圆柱的底面半径为厂，圆柱的高为2 +/?(0 0,当2)时，Vz,则可使b与 5c重合或平行，从而b与侧面ACGA所成角等N B C 4,大小

35、为4 5。.故答案为：4 5 .17.（2 02 1湖北模拟）无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-8”.无侦-8 （如 图 1 所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了 2台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过3 马赫，比大多数防空导弹都要快如图2 所示，已知空间中同时出现了 A,8,C,。四个目标(目标和无人机的大小忽略不计)，其 中 钻=A)=BQ=&7k”，CD=3y/3ahn,BC=3akm,且目标4,B,。所在平面与目标3,C,。所在平面满足二面角A-Q-C 的 大 小 是 久，若无人机可3以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径

36、为akm.图 1图 2【答案】x/13【详解】当无人机位于四面体4 3 c。外接球球心时，其最小侦测半径为此球半径,取 3 Q 中点“，连接因为A 4E)为等边三角形，边长为6,所以AM=6sin6()o=3后，取外心N,则后，3因为 8=3 6，BC=3,BD=6,所以 BD2=CD+BC2,所以 8C_LC,所以Af为幼 8外心，过 M 作MO_L平面BC,过 N 作 NO_L平面M O交NO于O,因为二面角A 5 0 。的大小是一,所以NQ0N=3O。，3于是A4N=Q0-cos3O。，即 百=0M-，所以QM=2,2所以。4=08=OC=0。=yjMD2+OM2=732+22=V13,

37、故答案为：.18.（2021黄州区校级模拟）已知菱形A8C。的边长为2,zS4BC=6 0 .将菱形沿对角线AC折叠成大小为 60。的二面角夕-A C-Q.设 E 为 8 C 的中点，尸为三棱锥9-ACZ）表面上动点，且总满足AC_LF,则点尸轨迹的长度为 一.【答案】-2【详解】连接A C、B D、交于点O,连接。夕，A B C D 为 菱 形,Z A B C =60 ,所以 AC_LB）,O B V A C,AABC、AAC、A斤 C 均为正三角形,所以N 斤OD为二面角9 一4 7-）的平面角，于是 N E O D =60 ,又因为0 8 =。，所以 8 O 为正三角形，所以 8。=。8

38、=0 0 =2*上=6，2取 OC 中点 P,取 8 中点。，连接 E P、E Q、P Q,所以 PQ/O。、EP/OB,所以 4 C J.E P、A C V P Q,所以AC_L平面EPQ,所以在三棱锥夕-A C D表面上，满足AC _L E尸的点尸轨迹为EPQ,因为 EP=、OB，,P Q =-O D,E Q =-BQ,2 2 2所以A E P Q的周长为3 x半=受，所以点F 轨迹的长度为 迫.2“依3+故答案为：-219.（2021朝阳区校级模拟）已知正AA3C的顶点A 在平面a 内，顶点3,C 在平面a 的同一侧，D 为 B C的中点，若 AABC在平面c 内的射影是以A 为直角顶点

39、的三角形，则直线4）与平面a 所成角的正弦值的最小值为.【答案】3【详解】如图所示，不妨设AB=2.则假设一开始正AABC在平面a 内时的位置，则 N54C=60。.而当3 C/a 时，其 B、D、。三点的射影分别为4，R,G 时，且 2 4 4 0=9 0。.ZDA D,为直线4）与平面。所成角且最小.则 叫=3 叼=1BC=1,DD=ADT-A D；=42.此时sin NDAQ=四=斗=旦.AD 6 3当BC与平面a 部平行时，可以看出：其 D R 长度必然增大.因此直线4 D 与平面a 所成角的正弦值的最小值为 等.20.（2021 重庆模拟）在三棱锥中，P A A.A B,P A =4

40、,Afi=3,二面角P-A B-C 的大小为30。，在侧面A M B 内（含边界）有一动点满足M 到抬的距离与M 到平面ABC的距离相等，则 的轨迹的长度为.【详解】如图，过 M 作脑V J.A 4 于 N,MOJ_平面A B C 于O,过 O作 O Q _LA 3于。，连接MQ,则 N M Q O 为二面角P AB-C的平面角，由 NMQO=30,得 Q =2MO.又 MO=MN,所以 MQ=2 M N ,在 A/X B中，以43所在直线为x 轴，AP所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则直线A 的方程为y=2 x,直线尸8 的方程为4 x +3 y-1 2 =0,所以直线A 与 P B的 交

41、 点 坐 标 为,所以M的轨迹为线段4？,长度为J（$2+（）2=竽.故答案为：竽.2 1.（2 0 2 1 绍兴二模）如图，在棱长为4的正方体A B C。-4BCR 中，用 是 棱 上 的 动 点，N 是棱B C的中点.当平面R MN 与底面438所成的锐二面角最小时，A.M=.【答案】-5【详解】以。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设=则。(0,0,4),C(0,4,0),N(2,3,0),(4,0,k),所以 M =(4,0,4),)N=(2,4,-4),设平面AMN 的法向量为斤=(x,y,z),伽后 依 丽=0 0 n 4 x +a-4)z =0则有4 ，即 ,n-DtN=0

42、2 x +4 y-2 z =0令 z =8，贝 iJx =8 2 A:,y=4 +k,故为=(8-2 Z,4 +Z,8),平面A B C D的一个法向量为血=(0,0,1),设平面D、MN与底面A 8 C D 所成的锐二面角为a,n-m 8 8贝 I J co s a =-=/-:=一,I 创I 比 I J(8 2 k)2 +(4 +k)2+6 4 ,5-一 2 4 Z +1 4 4锐二面角。越小，则co s a越大,所以求5 公 2 4 2 +1 4 4 的最小值，1 0 V 7 A令 f(k)=5k2-24 k+4 4 =5(k-)2+,i oio 2所 以 当 女 时，a 有最小值，此时

43、4例=4 一&=4 二=1.故答案为：.522.（2021九龙坡区质检）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高.设球冠底的半径为r,球冠的高为/?,则球冠所在球的半径/?=力 2 +，_-（结果用/I,表示）；设球冠底面圆周长为C,球冠表面积S=2TT/S,当5=65000万,。=500%2/t 一时，.R力 2 +r2【答案】2h513【详解】如图，由 己 知 可 得 平 面 中 心 到 球 心 的 距 离 为 球 冠 底 的 半

44、径 为广，球冠的高为,/,2.则球的半径满足川=国-尸+产 可得人.又球冠周长为C=2 w =500万，所以r =25O,0 7SOO且 S=2兀Rh=65000%,所以=:，R/I 2代入R=可得R=650,2hR 650 13故答案为：2/i 1323.（2021六合区校级四模）如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高为27cm,两底面对角线EG,E,G,的长分别为25c777和97aM.在容器中注入水，水 深 为 现 有 一 根 玻 璃 棒/,其长度为39CT?7.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计），将/放在容器中，/的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG1上，则/浸没在水中部分的长度为

45、cm./A_ 6,详解】设玻璃棒在GG|上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N ,在平面E gG G 中，过点N 作 N P _L E G,交 E G 于点P,过点作 EQ _L E g,交于点Q,E F G H-g 耳。为正四棱台，EE、=GG,E G E、G、,EG 片 E g ,.EgG|G为等腰梯形，画出平面E|EGG1的平面图,*/E =97cm,EG=25cm，EQ=21cm，NP=8cm,二.EQ=36cm,由勾股定理得：E、E=272+362=45cm,/.sin Z.GEM=sin(ZEGM+/EMG)=sin NEGM cos Z.EMG+cos Z.EGM sin Z.EMG

46、27.-.sin ZEE,=3 3 4=,sinZ.EGM=sinZEE,=1,则 cosNEGM=彳，根据正弦定理得：EM EG 丁”15 361 .sin NEM3 ，cos NEA7G sin ZEGM sin ZEMG 39 393X36+(_4)X15=4 8=165 39 5 39 195 65EN 二NPsin/GEM8=32.5cm.1665玻璃棒/没入水中部分的长度为32.5c z.故答案为：32.5.24.（2021西湖区校级模拟）如图，在 AABC中，CA=CB=6 AB=3,点尸是3 c 边上异于点3 ,。的一个动点，EF工AB于点E,现沿所 将 ABE尸折起到APE厂

47、的位置，则四棱锥尸-A C FE的体积的最大值为.【答案】4【详解】因为C4=C 3，。为 4?的中点，所以C_LA8,又/_L A B,贝 I j8/F,由 翻 折 的 特 征 可 知 所 以 C_LPE,又尸E_LAC,ACQCD=C,AC,CZ）u 平面AC）,所以PE_L平面ACO，故 P E 为四棱锥P-A C E E的高，3A在 RtACBD 中，BC=73,BD=-JICD=,ZB=30，22设则 8E=PE=G（0 x 手），r-rpi lz _1,1 _ 5/3/T _ 1,3所以匕-ACTE=X（5X3X-）xV3x=-r +-X,则7=一 3/+3,令 y，=0,可得x=

48、也 或 x=_ 也（舍），2 4 2 2当0 x 0,则叭x）单调递增,当?x 曰 时，V（x）,AD,作S O _ L平面A B C,垂足O在A Z）上，则 A D =SD=,0D=-A D =,SO=y/SD2-O D2=R ,2 3 2该六面体的体积为V =2匕-M c=2xgxgx3xx =竽，当该六面体内有一球，且该球的体积取得最大值时，球心为。，且该球与S O相切，过球心O作O E J _ S ,则O E就是球的半径，S O x O D =SDxOE,r G.c-S O x O DSD 诉 3F：.该球体积的最大值为丫=x（迈r=萼 万.但“9 /2 8 /6故答案为：.2 2 7

49、s2 6.（2 0 2 1 沙坪坝区校级模拟）以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转1 80。后，再将上、下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如 图 所 示 的“扭反三棱柱”上、下底为全等的等腰三角形，且顶点A,B,C,A，B,G均在球。的球面上，A 3 =A C =A4=AG=m，截面是矩形，B C =2,4c =4.则 该 几 何 体 的 外 接 球 表 面 积 为,当该几何体体积最大时加=.【答案】2 0 万；7 1 0【详解】由题意可知，四边形ACAG为平行四边形，又该几何体由外接球，所以A,C,A，G四点共圆，故四边形A C 41G为矩形，则 M，B4均与CG

50、交于一点,则该点即为该几何体外接球的球心O,故外接球的半径R =毁=+4；=7 5 ,2 2所以外接球的表面积为5 =4 乃芯=2 0 万;该几何体的体积为四棱锥A-BC4G体枳的2倍，又矩形B C B g的面积5=8,又外接球球心O在矩形8 c 4 G内，点A在球。的球面上运动，则平面8 c B e时，四棱锥的高/?最大，此时四棱锥的体积最大,如图所示，1 k匕时。4=/?=拈，O E=2,则 AE=3,X A=lm2-1,所以 7 =V io.故答案为：20万；V10.27.（2021茂名模拟）如图所示，三棱锥尸-A 6 C的顶点P,A,B,C都在球O的球面上，且A/S C所在平面截球。于