2021年高考数学立体几何压轴题真题模拟题分类汇编：01 单选压轴题（学生版+解析版）.pdf

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1、专题0 1 单选压轴题一1.（2021黄冈模拟）我国南北朝时期的数学家祖随提出了计算体积的祖晅原理：“幕势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C:y=x=直线/为曲线C在点（1,1）处的切线.如图1所示，阴影部分为曲线C、直线/以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体：图是底面直径和高均为1的圆锥;图是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的儿何体；图是底面边长和高均为1的正四棱锥；图是将上底面直径为2,下底面直径为1,高 为1的圆台挖掉一个底面

2、直径为2,高 为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖唯原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是（）A.B.C.D.2.（2021 九江三模）如图所示，在三棱锥中，平面A8C_L平面3 8,O为3 c的中点，E 为 A O的中点，D E L A O,B C =4,D E =/2,ZAOC=45。，贝I三棱锥A-B C。体积的最大值为（）A 4 R 2 2&亚3 3 3 33.（2021 上饶模拟）在三棱锥P-A B C 中，点 A 在平面P8C 中的投影是AP8C的垂心，若 A48C是等腰直角三角形且AB=AC=1,PC =6 ,则三棱锥尸-/W C的外接球表面积为（）47rA.7i B.C.44

3、D.6TT34.（2021 漳州模拟）“墨卡托投影”是由荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定，假设地球被围在一个中空圆柱里，其基准纬线与圆柱相切接触，假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅“墨卡托投影”绘制出的地图.在地图上保持方向和角度的正确的是“墨卡托投影”的优点，因此，“墨卡托投影”地图常用作航海图和航空图.通过地面上任意两点和地球中心作一平面，平面与地球表面相交看到的圆周就是大圆，两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离.沿着这段大圆劣弧线航行时的航线称为“大圆航线”.“大圆航线”转绘到“墨卡托投影”地图上为一条曲线.如图，租用，L J,P2（

4、B2,右）为地球上的两点（P（民。中 B 为点尸的正纬度或负纬度，L 为点尸的正经度或负经度，B1,与，右，乙的符号确定规则如下：4.0,当巴与同在北半球或同在南半球时，鸟.0,否则不 0；当与同在东经区或同在西经区时，J.0，否则4/3cos38osin28,:-0.025,sin38+73cos38sin281.256,sin0,720.0125,cos51.1 0.628.5.（2021江西模拟）在三棱锥P-A B C 中，A E 4c是等边三角形，平 面 如 C_L平面 C,AB=6 ,AC=2y/3,NC4B=60。，则 三 棱 锥 ABC的外接球体积为（）A4万 0 12+兀 32

5、万 c 乱正万A-D -C -L）-3 3 3 36.（2021 南昌三模）平安夜苹果创意礼品盒，如 图 1,它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形.如图2,底面正方形A8CD的边长为2,上底面瓦G 4 与下底面ASCZ）之间的距离为贬+1,则该几何体的侧面积为（）A.6A/6B.86C.16 夜D.1 2 07.（2021 青羊区校级模拟）已知棱长为2 的正方体A 8 8-A 4 G&，棱。中点为，动点P、。、R分别满足：点 P 到异面直线8 C、C,D,的距离相等，点。使得异面直线4 Q、8 C 所成角正弦值为定值等，点 R 在面区4A4 内运动.

6、当动点P、。两点恰好在正方体侧面CQ R G 内时，则多面体R/wpq。体积最小值为（）5-A.6u-2B.1-D.3C8.（2021 洛阳模拟）已 知 四 棱 锥 的 顶 点 都 在 球。的球面上，B4_L底面ABC。，A B =A D=,B C =C D =2,若球O 的表面积为9万，则四棱锥P-4 5 C D 的体积为（）A.4 B.-C.2亚 D.339.（2021赣州模拟）如图，菱形ABCD的边长为6,Z B A D =-,将其沿着对角线皿 折 叠至直二面角3A-B D-C,连接A C,得到四面体ASC,则此四面体的外接球的表面积为（）D.60万10.（2021 洛阳模拟）己知球O

7、是棱长为2 4 的正四面体MC的内切球，球 与 球。外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球。1的表面积为（）A.24 万B.124C.8乃D.6兀11.（2021 郑州三模）在棱长为2 的正方体ABC。-A 8 c R 中，点 Ew 平 面 照 片8,点尸是线段A4，的中点，若 R E L C F,则A E 8 C 的面积最小值为（）1 2.（2 0 2 1 金安区校级模拟）已知面积为主叵的A A B C 的顶点都在球O的球面上，Z A B O =Z A C O =ZJBCO,4点。是球O的球面上一动点，且点。到平面A 8 c 的最大距离为3,则球。的表面积为（）2 5 万B.5 0 乃1 0

8、 0 4 D 2 0 0 万9,91 3.（2 0 2 1 泉州二模）如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球。的球面上，若十四面体的棱长为1,则球O的表面积为（）A.2%B.4 万C.6%D.8 万1 4.（2 0 2 1 连云港模拟）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，则此正四棱锥的底面边长与内切球半径比为（）A.B.2&C.D.431 5.（2 0 2 1 安 徽 模 拟）在三棱锥尸-ABC 中，底 面 ABC 是

9、 以 AC 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形，且AB=2,PA=PC =芯,P 3 与底面A B C 所成的角的余弦值为述，则三棱锥尸-/WC 的外接球的表面积为3A.89万B.36万C.25%D.9兀16.（2021 日照模拟）在棱长为G +1的正方体A B S-A g G A 中，球。同时与以5 为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E,若球。2的半径分别为斗，为，则（）A.OlB=y/2rtB.4+5=6C.这两个球的体积之和的最小值是6 万D.这两个球的表面积之和的最小值是4万17.（2021沙坪坝区校级模拟）圆台上、下底面半径分别为r,

10、R,作平行于底面的平面，将圆台分成上下两个圆台.记上面圆台和下面圆台的体积分别为K,匕，若匕=%K，则截面圆的半径为（）A.4 r+4RB.C.J产 R+/D-r3+rR31 +XV 1 +2V 1+21+218.（2021 天津模拟）已知三棱锥P-中，出平面ABC,A4BC是边长为3 的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为三万，那么三棱锥P-A 3 C 的体积为（）3A 9百 口 36 9 6 3 GA.D.C U.4 4 2 219.（2021 重庆模拟）我国古代的 九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖嚅.如图，在阳马尸-A8

11、C7）中，底面A 8 8,PA=AD,点 E 为尸。的中点，则以阳马的所有顶点及点E 为顶点构成的四面体中，以 他 为棱的鳖膈有（）PiA.2 个B.3 个C.4 个D.5 个20.（2021 长安区二模）已知四棱锥P-M C D 的底面ABCD是矩形，其中4）=2,AB=3,面 皿 _L面ABCD,P A=P D,且直线尸 8 与 CD所 成 角 的 余 弦 值 为 誓，则四棱锥P-M C D 的外接球表面积为（）284B.32%V43764421.（2021成都模拟）在三棱锥 P ABC 中，已知 B4=AB=AC=2,ZPAB=-,Z B A C =,。是线2 3段 BC上的点，B D=

12、2 D C,A D L P B.若三棱锥尸-他C 的各顶点都在球。的球面上，则球O 的半径为（）A.1 B.夜 C.6 D.x/522.（2021 厦门模拟）如图，在 四 棱 锥 的 平 面 展 开 图 中，四边形ABCQ是边长为2 的正方形，M D E是以4 5 为斜边的等腰直角三角形，Z H D C =ZFAB=90,则四棱锥P-ABCD外接球的球心到面P8C 的距离为（）23.（2021石家庄模拟）在三棱锥月一ABC中，B4_L底面ABC,B C Y P C,PA=A C =,B C =a,动点。从 5 点出发，沿外表面经过棱尸。上一点到点A 的 最 短 距 离 为 布，则该棱锥的外接球

13、的表面积为（）A.5乃B.8%C.10D.207124.（2021 高州市二模）蹴 鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年 5 月 2 0 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C,满足S-A fiC 为正三棱锥，M 是SC 的中点，且 4W _LSB,侧棱=2,则该蹴鞠的表面积为（）A.64 B.C.327r D.36425.（2021 成都模拟）在三棱锥尸ABC中，已 知 平 面 A

14、BC,PA=AB=A C=2,ZBAC=.若3三棱锥尸-的各顶点都在球。的球面上，则球O 的半径为（）A.1 B.72 C.6 D.5/526.（2021宜宾模拟）己知三棱锥A-8 8 的各个顶点都在球。的表面上，AJ_平面8 8,B D C D,BD=3,CD=3 B E 是线段8 上一点，且 8=3 C E.若球O 的表面积为40乃，则过点E 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为（）A.4万 B.67r C.8%D.10乃27.（2021 天津二模）已知三棱锥S-ABC外接球的球心O 在线段船上，若AABC与 A5BC均为面积是4 G的等边三角形，则三棱锥S-/W C 外接球的体积为（

15、）8&乃316及乃33 2 0 万364岳328.（2021泸州模拟）已知在RtAABC中，斜边M =2,B C =1,若将RtAABC沿斜边AB上的中线C 折起，使平面AC_L平面3 c D,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）29.（2021梅州二模）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年.至新石器中晚期，玉琼在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多.现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高9.8 cm,内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径5.9 cm,外径1 9

16、.6 s,试估计该仿古玉琮的体积约为（）（单位：cm3）A.3300B.3700C.3900 D.450030.（2021 河南模拟）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面A B C D 为 正 方 形,他=2,侧 面 此 4。为等边三角形，线段3 C 的中点为E,若 P E=1,则所需球体原材料的最小体积为（）C.9乃28V2U27专题0 1 单选压轴题一1.（2021黄冈模拟）我国南北朝时期的数学家祖随提出了计算体积的祖晅原理：“基势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线直线/为曲

17、线。在点（1,1）处的切线.如图1所示，阴影部分为曲线。、直线/以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体：图是底面直径和高均为1 的圆锥;图是将底面直径和高均为1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;图是底面边长和高均为1 的正四棱锥；图是将上底面直径为2,下底面直径为1,高 为 1 的圆台挖掉一个底面直径为2,高 为 1 的倒置圆锥得到的几何体.根据祖唯原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是（）A.B.C.D.【答案】A【详解】设直线y=f,与y=x2交于点（/）,其中滕 1 I,切线的斜率为2,切线的方程为y=2 x-

18、l,y=t 与 y=2 x-l 交于点,用平行于底面的平面截儿何体T 所得的截面为圆环，截面面积为/+j +l t）k勺 匚，对于，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为圆，且圆的半径 为:-1）,可得截面面积为万 纥 上，符合题意；4对于，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为一个圆环，截面的面积为大圆面积去掉一个小圆面积,面积为 乃 加 2 ,不符合题意；4 4对于，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为正方形，不符合题意；对于，用一个平行于底面的截面截该几何体，得到的截面为一个圆环，圆环的面积为兀.（）2-d=制-）（1 +3。,不符合题意.2 4综上所述，四个几

19、何体中与T 体积相等的是图.故选：A .2.（2021九江三模）如图所示，在三棱锥A-B C D 中，平面平面3C3,O 为 3C 的中点，E 为 A O的中点，DE YAO,BC=4,DE=6.,ZAOC=45。，则三棱锥A BCD体积的最大值为（）【答案】C【详解】过点。作。尸垂足为尸，连接EF,.平面A8 c l,平面8 8,.,.。尸_ 1平面48。，.AOu平面 A5C,/.AOA.DF,又 D E 1.49，DEpDF=D,AO_L平面 DEF,FE u 平面 DEF,:.AOA.EF.设O=x,.-ZAOC=45,:.EF=x,在直角三角形D EF中，有D F工EF,DF=l2-

20、x2,则三棱锥 A-BC D 体积丫=L BCDF-AOsin45=Jx2(2-x2)逑 二 1 23 2 3 V 3 2272亍当/=2-丁，即X=1时,取等号.故选：C.3.（2021 上饶模拟）在三棱锥尸-A B C 中，点 A 在平面P8C 中的投影是AP3C的垂心，若 AABC是等腰直角三角形且AB=AC=1 ,PC=6 ,则三棱锥尸-A 3 C 的外接球表面积为（）47rA.7V B.C.4TT D.6乃3【答案】c【详解】设AP3C的垂心为“，则平面P C 8,所以A”_LPC,又8 H L p C ,所以PC _L平面AB”，所以 C _ L A 8,同理AC _L 3尸，AF

21、BC.因为ABJ_AC,ABA.P C,所以A8J_平面A P C,所以4?_1小，又因为 A P J_ 8 C,所以 AP_L 平面 A B C,所以 A P_L A C,则 AP=J PC?-AC?=6因为A3,AP ,A C两两互相垂直，设三棱锥P-A 8 C 的外接球半径为R,则（2R=A尸+4C?,所以4 4=4,球的表面积为4万 a=47.故选：C.4.（2021 漳州模拟）“墨卡托投影”是由荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定，假设地球被围在一个中空圆柱里，其基准纬线与圆柱相切接触，假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是 一 幅“墨卡托投影”绘制

22、出的地图.在地图上保持方向和角度的正确的是“墨卡托投影”的优点，因此，“墨卡托投影”地图常用作航海图和航空图.通过地面上任意两点和地球中心作一平面，平面与地球表面相交看到的圆周就是大圆，两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离.沿着这段大圆劣弧线航行时的航线称为“大圆航线”.“大圆航线”转绘到“墨卡托投影”地图上为一条曲线.如图，4（4 ,L J,6 电,4）为地球上的两点（P（B,L）中 8 为点P 的正纬度或负纬度，乙为点P 的正经度或负经度，%层，。4 的符号确定规则如下：稣.0,当 g 与耳同在北半球或同在南半球时，鸟.0,否 则 生 0；当巴与同在东经区或同在西经区时，&.（）,

23、否则&,C E YB D,二面角 A BC 的平面角为 NAEC，W ZAEC=-,2设尸、G 分别为AAB。、C3D的外心，过 F 作平面相 ）的垂线尸O,过 G 作平面CBD的垂线G O,设尸O0|GO=O,可得EF=1AE=!x6sin代，同理可得EG=6 .3 3 3A E B D,A E L C E,C E p p。=E,AE_L平面CB）,.GO_L平面C8D,/.A E!IG O,同理可得O F/C E,四边形OGEF是边长为为石的正方形，由正弦定理可得：BG=一=2 6，OB=y/OG2+BG2=A/15.2sin-3因此，四面体/WCD的外接球的表面积为4万x（后 产=60万

24、.故选：D.10.（2021洛阳模拟）已知球。是棱长为2 4 的正四面体A 8 8 的内切球，球。与球O 外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球。的表面积为（）A.24%B.124 C 84 D.64【答案】A【详解】如图，设求O 的半径为R,球 01的半径为，由正四面体的性质，取 8 中点E,连接 4、E B，设 AG是棱锥的高，两球与侧面分别切于点“、F,O 在 AG上，G 是底面中心，记正四面体棱长为八 则=迫 a,A E =a ,3 2 6 2在中，A G =y/A E2-G E2=a,3星”R r由 AAOFsA4G,得=即 J =3 厂-,解得/?=a ,G E A E V3 右

25、12 a a6 2又由QH /OF,得 也=也，O F A O即,把 a=24代入，解得r=.R A G-R球 0,的表面积为S=4%尸=4万x（后 产=24%.故选：A .H.（2021郑州三模）在棱长为2 的正方体A 8 8-A q G R 中，点 E e 平面明 4 8 ,点尸是线段他的中点，若R E L C F ,则AE3C的面积最小值为（）【答案】B【详解】如图：取 Afi 中点 G,可知 RtABAFsRt 与B G,得 ZABF=NBB。,NB，GB+ZABF=NB、GB+NBB、G=90,BF G B,又4G BC,B.G 平面 BFC，二 BtG 平面 CF,又；E _L C

26、F,CF _L平面 B、D、G,当点E 在直线g G 上时，D,EC F,BC=2,则AABC面积为:3 C,当AE3C的面积取得最小值时，线段C E的长度为点3 到直线4 G 的距离，线段C E长度的最小值为此时A3C面积为=.2 5故选：B.12.（2021金安区校级模拟）已 知 面 积 为 述 的 AA8C的顶点都在球O 的球面上，Z A B O =Z A C O =Z B C O ,4点。是球O 的球面上一动点，且点。到平面ABC的最大距离为3,则球。的表面积为（）.25 乃 0 50%lOOzr 口 200万9 9 9 9【答案】C【详解】因为NABO=NACO=N3CO,所以AAO

27、B=A4OC=的。，则 A B=B C=A C,所以AABC为等边三角形，因为AABC的面积为主叵，所以A3=G，4设AABC的外接圆为圆。,，由正弦定理可得圆a 的半径r=7 =1,2 sin 60设球O 的半径为A，山题意可知，O O =3-R ,由球的性质可得，（3-R）2 +r =R 2,解得R=9,3所以球O 的表面积为S表=4%收=等.故选：C.13.（2021泉州二模）如图是一个由6 个正方形和8 个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球。的球面上，若十四面体的棱长为1,则球O 的表面积为（）A.2乃B.44C.6兀D.87r【答案】B【详解】根据图形可知，该十四面体是由一个正

28、方体切去八个角得到的，如图所示,十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，建立空间直角坐标系,.该十四面体的棱长为1,，正方体的棱长为夜,该正方体的外接球球心坐标为0（x/2 V2 72.T5T5T)设十四面体上一点。，则。（仓当。）,故十四面体的外接球的半径为R=O D =向一争+*争+（。一 生球O的表面积为4 万店=4 .故选：B.1 4.（2 0 2 1 连云港模拟）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的底面边长与内切球半径比

29、为（）【答案】DC.D.2上3【详解】上层轮廓近似正四棱锥，如图所示,若 O 为底面中心，O 为内切球球心，。尸，面尸8且 为 8的中点,令内切球半径为厂，设AB=BC=CD=DA=2a,因为正四棱锥的侧面积是底面积的2 倍，所以 4S“CD=2SABCO，B I4X|XP XCD=2ADXC D,故 PE=2O,则 PO=6 a ,又 空=a,即2J1已OE PE a 2a解得r =3 ,3故正四棱锥的底面边长与内切球半径比为C D:r =2G .故选：D.p15.(2021安 徽 模 拟)在 三 棱 锥 P-A B C 中，底 面 A8C是 以 A C 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三

30、角 形，且A B =2,PA =P C J_平面 A 8C ,且平面 E 1C平面 A 8 a）=Ar,P E u平面 E4）,.P_L平面ABC。，设 四 棱 锥 的 外 接 球 的 球 心 为O,连接 A C,B D,设 连接 O。，则 底面 ABCD,宜线P B与C D所成角的余弦值为,即cosNPBA=主 叵，13 13设 PE=x,则%2=修+1,：ABY AD,平面己4_1平 面 他。，且平面24。1 平 面 他 8=4 0,4 5 u 平面A6CZ),.河，平 面 4,则 y4B_LR4,又 A8=3,:.PB =JP4+AD，=&+1 +9=&+10,房 =噜，解得x=。,.-

31、.PA =P D =yl（y/3）2+2=2 =AD,即 M4为等边三角形，设AM。的外心为尸，则OQ=EF=，PE=走，3 3又a a =4AC=j32+22=巫,1 2 2 2四棱锥尸A B C D的外接球的半径R 满足：=O O；+OtA21 3 4 12，四棱锥P-A B C D的外接球表面积为S=4 n 竺=艇.12 3故选：C .21.（2021 成都模拟）在三棱锥 P-/1BC 中，已知 R4=AB=AC=2,ZPA B =-,Z B A C =,。是线2 3段 8C 上的点，B D =2 D C,A D A.P B.若三棱锥P-ABC的各顶点都在球。的球面上，则球O 的半径为（

32、）A.1 B.72 C.73 D.y/5【答案】D【详解】如图,在 A/WC 中，由 Afi=AC=2,NBAC=一 ，3BC2=AB2+AC2-2A B-A C-COS=4+4-2X2X2X()=2,贝|J8C=2G ,4/3:BD=2DC,:.BD=,3在 中，AB2,BD=,ZABD=,3 6nJAD2=AB2+BD2-2AB-BD-cos-=4+-2x2x x =-.6 3 3 2 34AB2+AD2=4+-=BD2,即 AfiJ_AD,3 3又 ADLPB,P8nAB=B,.49_L 平面 BA B,得 49_LQ4,而 a4_LAB,ABAD=A,.Q4_L 平面 45c.设AAB

33、C外接圆的半径为r,则2r=与=4,即r=2.2万 ，sin Xr.3 2三棱锥P-ABC的外接球的球心。到底面外心的距离等于-PA=,2：.球O的半径为 亚1仔=A/5.故选：D.22.（2021厦门模拟）如图，在 四 棱 锥 的 平 面 展 开 图 中，四边形ABC）是边长为2 的正方形，M DE是以4）为斜边的等腰直角三角形，N/C=NE48=90。，则四棱锥尸-ABCD外 接 球 的 球 心 到 面 的距离为（）A.叵5R闻D.-【答案】C【详解】由平面图形还原原四棱锥如图,t *1BEC该四棱锥底面ABCD为正方形，边长为2,侧面上 4。_ 1_底面45cD,PA=P D =叵,则

34、P8=P C=后.取 A）的中点G,则G 为 RtAAPD的外心，连接A C、B D,相交于。，则OG_L平面B4Z）,可 彳 导 OA=OB=O C =O D =O P ,即。为四 棱 锥 的 外 接 球 的 球 心，延长GO交 8 c 于 E,则 E 为 8 c 的中点，连接PE,在 RtAPGE中，有 PG=1,PE=y/61=y/5,设 O 到 正 的 距离为从则 上=生，即=竺=卑=,O E PE则四棱锥P-/W 8 外接球的球心到面尸8 c 的距离为 乎.故选：C.23.（2021石家庄模拟）在三棱锥 ABC 中，1ft4_L 底面 ABC,B C P C,PA=AC=A/5,B

35、C=a,动点。从 3 点出发，沿外表面经过棱PC 上一点到点A 的最短距离为J 访，则该棱锥的外接球的表面积为（）A.5万 B.8万 C.10万 D.20万【答案】B【详解】如图，底面 A3C,8 C u 平面 ABC,：.P AYBC,又BC上P C,八。尸。=尸，j.B C L 平面如C.把平面PBC翻折至与平面R 4 c重合，使 B 位 于 处，则 N A 8 =135。，AB=y/10,由余弦定理得：=AC2+（BC）2-2AC-BC cos 135,即 10=2+/,解得a=Y （舍去），或a=2.取 P3 中点 O,在 RtAPAB 与 RtAPCB 中，可得 OP=OB=OA=O

36、C,则O 为三棱锥P-A B C 的外接球的球心，PA=AC=y2,BC=2,:.OP=-y/2+2+4=f2.2 该棱锥的外接球的表面积为4万x（应 =8万.故选：B.24.（2021 高州市二模）蹴 鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年 5 月 2 0 日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、5、C,满足S-A B C 为正三棱锥，M 是 SC的中点，且 AA/_LS3,侧棱S4=2,则

37、该蹴鞠的表面积为（）A.6兀B.12 4C.32乃D.36%【答案】B【详解】如图,取 A C 的中点N,连接&V,S N,为A C 的中点，S A =S C,.A C J_SN,同理 AC_L BN,.1 SNpjBN=N ,AC J_平面 SNB,则 A C Y S B ,又/W _LS8，且 AMp|AC=A,A M A C u 平面 SAC，SB _L平面SAC,则正三棱锥S-A B C的三条侧棱两两互相垂直.把该三棱锥放置在正方体S F 中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球,外接球的半径等于正方体的对角线长的一 半 吗 G方=6,该蹴鞠的表面积为4万X （石）2 =12万.故选：B

38、.25.（2021 成都模拟）在三棱锥P-M C 中，已 知 出，平面4?C,24PA=A B =A C =2,Z B A C =.若3三棱锥P-4 5 c 的各顶点都在球。的球面上，则球O 的半径为（）A.1B.y/2 C.A/3 D.V5【答案】D【详解】.-AB=A C =2,Z B A C =3BC=.22+22-2X2X2X三角形ABC的外接圆直径2r=第-.24sin3=4,/.r=2,Q4JL 面 ABC,PA=2,由于三角形O P A为等腰三角形,则有该三棱锥的外接球的半径R=J，+（；P A）2 =V5,故选：D.26.（2021 宜宾模拟）已知三棱锥A-3CL的各个顶点都在

39、球O的表面上，AD_L平面BCD,BDYCD,BD=3,CD=36,E是线段8 上一点，且CD=3 C E.若球。的表面积为40万，则过点E作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为（）A.44 B.6乃 C.8 4 D.1 04【答案】B【详解】依题意，AD,BD,CD两两互相垂直，取8 c中点 ，连接VO,由对称性可知，球心。在M点正上方，且。M_L平面8 8,OA=OB=OC=OD=R,.BD=3,CD=373,.BC=6,贝!3M=CM=）M=3,设球。的半径为R，则4 齐=40乃，解得R=&U,由,OM2+BM2,=R2=2 OB2 2 2，解&z得a I OfM =c，（AD-OM）2

40、+DM2=R2=OA2 AD=2平面 BCD,:.OM VME,又CE=LcD=6 ,而cosNBCD=旦,3BC 2.在 ACEM 中，由余弦定理有 M 6=CE2+M C2-2C-M C-COSNBC=3,故 ME=6，在 仅 加 中，OE=y/OM2+ME2=2,要使过E作圆O的截面面积最小，则此时截面与OE垂直，设此时截面圆半径为，则 r=依-OE2=V10-4=76,S,向=H =6k.故选：B.另解：.AO_L平面 3 8,BDA.CD,故AD_L8,AD L C D,即4),CD,如 两两互相垂直，故三棱锥A-8CD的外接球即为以AO,BD,8 为长宽高的长方体的外接球，.,球O

41、的表面积为：4万店=40万,所以R=Ji6,又：BD=3,C=3 0，AD=2,：.外接球的半径/?=g 32+(33)2+AD2=M ,解得A=2,取3 c中点M,连接QW,EM,C E =-CD=yj3,fucosZBCD=,3BC 2在 ACEM 中，由余弦定理有 ME2=CE2+MC2-2CE-MC-cos ZBCD=3,故 ME=岳,在中，OE=-JOM2+ME2=2,要使过E作圆O的截面面积最小，则此时截面与OE垂宜，设此时截面圆半径为，贝lj r=yjR2-OE2=V10-4=瓜,S“加=7rr2=6万.故选：B.27.（2021天津二模）已知三棱锥S-ABC外接球的球心O在线段

42、SA上，若A4BC与ASBC均为面积是4百的等边三角形，则三棱锥S-ABC外接球的体积为（）A8 6 r D c 32无兀 乱丘兀3 3 3 3【答案】D【详解】如图，依题意，O为三棱锥S-ABC外接球的球心，则。4=QS=QB=OC,.AA8C与AS8C均为正三角形，且有公共边8C,/.AC=SC，.A4CS为等腰三角形,.-.OCA.AS,又 OC=OA=OS,.-.RtAACS为等腰直角三角形,设AABC边长为“，则其面积S=，故 且/=4 6，解得a=4,，AC=4,AS=4 0,OA=1 AS=2直，即外接球半径为2应，体积为V=x（2 0）3 =处 巨2 3 3故选：D.28.（2

43、021 泸州模拟）已知在RtAABC中，斜边45=2,B C =,若将RtAABC沿斜边4?上的中线CD折起，使平面AC。_L平面88,则三棱锥A-3 8 的外接球的表面积为（）A13 20 10 r 7A.7 1 D.-7 1 C.-7 T D.-7 13 3 3 3【答案】A【详解】如图，设点E 为A B C D外接圆的圆心，则三棱锥A B C D外接球的球心一定在过点且与平面B C D垂直的直线上，不妨设点O 为外接圆的圆心，则OE_L平面88,且。4=O3=OC=O）=R,过 点 O 作 ON _L平 面A C D ,则 点 为A4CD外 接 圆 的 圆 心，在A A C D中，由 余

44、 弦 定 理 有，cos ZADC=-2 A D C D2x1x1 2/.sin Z A D C =2A M =6厂=1,2 x 32延长5 E 交 CD于尸，连接尸,.BC=C D=B D =1 ，.M 8 为边长为1 的正三角形，尸为CQ中点,3 2 6由于平面A 6 _ L 平面88,故四边形QW芯为矩形，则。M=E/=,6在 RtAAOM 中，AM+O M-,即 1 +=R2,解得R=三棱锥A-B C D的外接球的表面积为4%x（J ）2 =与故选：A .29.（2021梅州二模）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年.至新石器中晚期，玉琼在江

45、浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多.现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高9.8a，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径5.9C M,外径19&7W,试估计该仿古玉琮的体积约为（）（单位：cm3）A.3 3 0 0B.3 7 0 0C.3 9 0 0 D.4 5 0 0【答案】A【详解】由题意，该仿古玉琮的体积为底面边长为19.6 c m,高为9.8 c/n 的长方体的体积减去底面直径为5.9 的,高为9.8 5 的圆柱的体积.5 9则 y =19.6 X 1 9.6 X 9.8 -乃 X （-y）2 x 9

46、.8 3 4 9 7cT T?.结合该仿古玉琮外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为3 3 0 0 c/.故选：A .30.（2 0 2 1 河南模拟）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形，AB=2,侧面为等边三角形，线段BC的中点为E,若 PE=1,则所需球体原材料的最小体积为（）A8 岳 0 2 8 1 八 c 28后兀A.-B.-C.9 万 D.-3 3 2 7【答案】A【详解】所需原材料体积最小的球体即为四棱锥尸-8的外接球，如图，设尸为4 5中点，G为正方形ABCD中心，A/力。为边长为2的等边三角形，尸 尸=G，又PE

47、=1,EF =2,:.ZPEF=60P.PE=EB=EC=.是 AP8C 的外心，过E作面P B C的垂线与过G与面A B C D的垂线交于O,则O 为四棱锥尸-A B C D 外接球的球心.Z.OEG=Z.OEP-FEP=90-60 =30,又 G E =T,在直角三角形 O G E 中求出 O G =，3又直角a a A G 中，AG3，：6=叵,即球半径 犬=叵，得匕为 巨 万.3 3 3 27由 于 此 时 四 棱 锥 在 球 心 同 侧，不是最小球，可让四棱锥下移到面A B C D 过球心时，即球半径尺=g A C =J 5 时，原材料最省，此时匕 求=g 万X（）3 =.故选：A.