2021年高考数学模拟试卷2.pdf

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1、2021年上海市崇明中学高考数学模拟试卷（5 月份）一.填空题（第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分）2 21 .椭 圆 工+，=1长轴长为.9 2 52 .已知基函数/（x）的图象过（2,亨），则7（4）=.3 .在 四 边 形A B C D中，AC=（3,-1）,BD=（2,m）,A C1B D-则该四边形的面积是.4 .已知复数（“6R,i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且 忆|=2,则复数z=.5 .由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙 两 人 恰 好 分 配 在 同 一 个 城 市 的 概 率 为

2、.6.如图，函数“x）的图象为折线A C B,则不等式/（x）l o g 2（x+l）的解集是.（-1产 ln2020 廿8是.8.已知过球面上三点4,B,C的截面到球心距离等于球半径的一半，且 4 8C 是边长为6的等边三角形，则 球 面 面 积 为.9 .已知直线3x+y-2=O 与 单 位 圆/+产=1 交于A,B 两点,设直线O A,。8 的倾斜角分别为 a,p,那么 c o s a+c o s p=.1 0 .若函数/（x）=2 困-小|+2-2 （x E R）有唯一零点，则实数。的值为.n-11 1 .定 义 H al+2a2+2_为为数列 斯 的均值，已知数列 d 的均值H n

3、M Z 9 l，n记数列 为-雨 的前项和是S“，若 S.W S 5 对于任意的正整数恒成立，则实数人的取值范围是1 2.数列 a 满 足。“斯+1。”+2=。+斯+1+。+2（斯斯+i W l,/IG N），且 a i =I,?2=2.右 a”=As i n(3+0,0 c p 1臼且l i m5-1 1 1 1 -,则。的取值范围为()wn 、nn f n a n n aA.a 或 -1 B.-l a 1 或D.a -I 或0 a+8 a iD.a i oo=l O l三、解答题(满分76分)1 7,直角坐标系x O y中，锐角a的终边与单位圆的交点为尸，将O P绕O逆时针能转到O Q,使

4、N P O Q=a,其中。是。与单位圆的交点，设。的坐标为(x,y).(1)若P的模坐标为，求工；5 x(2)求JQ x+y的取值范围.1 8.如图，在四棱锥尸-A B C D中，P C,底面A B C。，A 8 C O是直角梯形，AD1.DC,AB/DC,A B=2 A Z)=2 C Z)=2,点 E 是尸8 的中点.(1)证明：直线B C L平面P A C；（2）若直线P B与平面P A C所成角的正弦值为返，求三棱锥P-A C E的体积.3p1 9.某热力公司每年燃料费约2 4万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （x 2 0）（单位：平方米）可 用1 5年的太阳能板，其工本费为

5、卷（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为一（%为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与1 5年的燃料费之和.（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.2 0.（1 6分）已知椭圆=过点。（-1,0）的直线/：y=k（x+1）与椭圆m+1 m交于M、N两 点（点在N点的上方），与y轴交于点E.（1）当”?=1且k=1时，求点A f、N的坐标；（2）当机=2时;设 而=人而j，EN=|J.D N-求证：入+“为定值，并求出该值；（3）当，=3时，点。和点尸关于坐标原点对称，若可尸的内切圆面积等于圣兀，求直线/的方程

6、.2 1.（1 8分）若数列 斯、6 满足陶+1-%|=茜（n e N*）,则称 瓦 为数列%的“偏差数列”.（1）若 瓦 为常数列，且为 如 的“偏差数列”，试判断 如 是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列 小 是各项均为正整数的等比数列，且4 3 -4 2 =6,劣 为数列。“的“偏差 数 列 ，求l im 白 底L+白）的值；廿8 b l b2 b3 bn（3）设 b n=6-（a）为数列 斯 的 偏差数列，4 1 =1，3 W a 2 -I 且 a 2 W a 2 n+l,若对任意吒N*恒成立，求实数M的最小值.参考答案一.填空题(满分54分，第1-6题每题4分，第7-12

7、题每题5分)2 21 .椭圆工_+之_=1长 轴 长 为1 0.9 2 5解：“2=2 5=4=5,长轴长 2 a=1 0.故答案为：1 0.2 .己知事函数/(X)的图象过 零)，则/(4)=_ _.解：设基函数/(x)=F,嘉函数/(x)的图象过(2,除)，我oa =y，2解得a 1Af(X)=x?，故/(4)=2=-T C 乙故答案为：3.在 四 边 形488中，A C=(3,-1),B D=(2,m),标1而，则该四边形的面积是1 0.解：因为标=(3,-1),B D=(2,m),A C 1 B D-所 以 菽丽=3 X 2+(-l)m=0，解得机=6,所以四边形的面积为|A C I

8、IBD I=32+(-1)2-22+62=1 0-故答案为：1 0.4.已知复数2=+，(a e R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则复数 z=-1 -h/3 i_-解：复数z=4+i(4 6R)在复平面内对应的点位于第二象限，且团=2,则复数Z=-I+V3/.故答案为：-5 .由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为.解：抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，基本事件总数”=C：C?=6,甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数初=c g

9、c 弱 尹 2,甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为p=处 咯n 6 3故答案为：6.如图，函数/(x)的图象为折线4 C B,则不等式/(x)l o g2(x+1)的解集是(-1,解：在同一坐标系中画出函数f(x)和函数y=l o g 2 (x+1)的图象，如图所示:由图可得不等式/(x)1 0g 2 (x+l)的解集是：(-1,1 ,故答案为：(-1,1 -1)n,l n2 02 0 L 8是01解:l im Sn=l im (a n-*c o 0一 o o+a2019+(a2020+a2021+,)=l im (-1+-n8 1 工2)=0,故答案为：0.8 .已知过球面上三点4,B,

10、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且 A 8 C 是边长为6的等边三角形，则 球 面 面 积 为 64 n.解：设球的球心为。，半径为R,取 48的中点。，连 接 CD,根据题意得 ABC的 外 心。，在 线 段C D上，由 A A B C是 边 长 为 6的 等 边 三 角 形 可 得C D=3 j 砧 ，=全口=2近，连 接。C,0 0,如图根据球的性质可得OC=R,。0 而ABC.即 00 4所以 O O O C,在 R aOOC 中，OU+O-OC2 即*产+(2)2=R2,解得R=4或R=-4 (含 去)，所以该球的表面积S=4 nR2=64 n,故答案为：64 119.已知直线3

11、 x+y-2=0与单位圆/+)2=1交于4,B 两点，设直线0 4 OB 的倾斜角分别为 a,P，那么 c o sa+c o sp=_ _ 巫5解：设 A(x i,y i),B(%2,”)，直 线。A,。8的倾斜角分别为a,仇 如图：由三角函数的定义得：c o sa+c o sp=-X+X2,3 x p-2=0由，消去y得：10N -+3=0,x2+y =1贝Ijxi+X 2=g,工a2 =义5 10即 c o sa+c o sp=-(x i -X2)=V(X1+X2)2-4X1X2=-夸故答案为：-逅.510.若函数/(x)=2川-小|+2-2(X 6R)有唯一零点，则实数”的 值 为-1.

12、解:因 为 X 6R,又f(-x)=21-1-al-Xl+a2-2=f(x),所以函数为偶函数.因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得/(0)=0,所 以 2。+“2-2=0,解 得 a=1当。=1,此时f (x)2M-x-,知 f (/)f(2)f(0)=0,根据偶函数对称性，符合题意；故答案为：ci=-111.定 义 从=21+2a2+2_ _ 为为数列 斯 的均值，已知数列 5 的均值口门二？/1，n记数列 d-而 的前项和是S,，若 S“S5对于任意的正整数恒成立，则实数劣的取值范围是_1，3 5解：由题意，1乩=b+2b2+2 b”=2 +1,n则加+2岳+2”也=2+】,+2岳

13、+2一 2九 一 =(n-1)则 2-%=九2+1-(n-1)2=(n+1)2 ，则 b=2(n+1),对从也成立,故 bn=2(n+1),则 bn-kn=(2-k)+2,则数列 瓦-加 为等差数列,故 S WS 5对任意的(尤N*)恒成立可化为:85 2。，匕6 0 l6(2-k)+20,0(p 0,0(p n),:洋=3,解得3=等w 0 a=Asin(i9 IT1.1=Asin(-y3-/?+(p)+c(0(pK),9 IT 2 兀(p)+c,2=Asin(-X2+(p)+c,3=Asin(-X3+(p)+c.3 32兀化为：l=Asin(.*.Asin(p+Asin(3K-F37T+(

14、p)+c,2=-Asin(-F(p)+ct 3=Asin(p+c.3/2兀(p)=1,Asincp-Asin(-+(p)=2.3即sinp+Acos(p=1 -sin(p-Acos(p=2+得：3Asin(p=3,即 4sin(p=l；-得：VAcos(p=-1,即 Acos(p=返;3联立解得：tan(p=-0(p依且linr -l i i r rn*n a nnA.a 或 a-B.-16Z 或-l6r0D.a-1 或 OVaVl解：因为 a,bER.a b,所以 0|且|co&oo a a an+1,n,n1 a+b r.r/b*x -ilim-=lim La+(一)J=an f 8 a

15、L 8 an-l,n.v n l因为 lim&-1 im-,所以一 a,解得-1 或 OVoVl,n8 an n+8 an a故选：D.16.已知数列 斯 满足“+i=a J -3斯+4,0=3,则下列选项错误的是（）A.数列”“单调递增B.数列 诙 无界D.aioo=lOl解：根据数列的递推关系式：an+1-an=a2-2a n+4=(an-l)2+3 0,所以数列”“单调递增，团2 3恒成立，故A,B正确；对 于 C：an+l=an_3 an+4=an+l _2=an3 an+2=(an-2)(an-1)=a J i-2=(2丁2)；y D一1:1 1-1 二 1 1an+l _2 an-

16、2 an-an-an-2 an+l所以1+.*,-b 1-1-1-1 1 十.,十.1一 -1-1-1a r l-an-l a2 a2-2 a2-2-a3-2 an-2 an+1-2-a2-aj-2所以：lim(-r+-r)=lim y)=lim -=1,故 Cn+8 a 1&n 1 口 +8 a 乙 n+1，n+8 a i/正确；对于 )：因为 n+i=a：-3an+4,a =3所以a2=4,3=8,a4=44,a5=442-44X 3+4101,结合数列%单调递增，所以m o o=1 01,故。错误，故选：D.三、解答题1 7.直角坐标系x O y中，锐角a的终边与单位圆的交点为P,将O

17、P绕O逆时针能转到。，使/P O Q=a,其中。是。与单位圆的交点，设。的坐标为(x,).(1)若P的 模 坐 标 为 求 工；5 x(2)求 的 取 值 范 围.解：YP的模坐标为名,5.,cos a=-1Dsin a5cos2 a=cos2 a-s i n2 a sin2 a=2sinCL cosCL=2X-x-|-=-.y 二sin2 a-4x cos2 a 7(2)Jx+y=，cos2 a+sin2 a=2sin(2 a,a (0,.2a (o,兀)，2 a$，罕)，O o O-sin(2a,-t-)I1，,2sin(2a 4-)C(-,2.1 8.如图，在四棱锥P-A B C。中，P

18、 C _ L底面A B C。，A B C。是直角梯形，A D r D C,AB/DC,A B=2 A =2 C O=2,点 E 是 P B 的中点.（1）证明：直线B C _ L平面P A C；（2）若直线尸8与平面P A C所成角的正弦值为返，求三棱锥尸-A C E的体积.【解答】（1）证明：；尸（7 _ 1平面43。，B C u平面A B C。，：.PCLBC,：.A B=2,有 A ）=C =1,A ）_ L O C 且 A B C。是直角梯形，.AC=BC=V2 A C2+BC2=A B2,：.ACBC,：P C Q A C C,P C u平面 P B C,；.B C _ L 平面 P

19、AC.（2）解：由（1）矢3 C _ L平面P A C,./B P C即为其线P 8与平面P A C所成角,P B=/6 则 P C=2,rD rD o V p-A C E 4VP-A C B (JX 1 X 2)X 2)1 9 .某热力公司每年燃料费约2 4万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x (x 2 0)(单位：平 方 米)可 用1 5年的太阳能板，其工本费为卷(单位：万 元)，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为“上八：(左为常数)万元，记y为该公司安装2 0 x+1 00太阳能板的费用与1 5年的燃料费之和.(1)求上的值，并建立y关于尤的函数关系式：(2)求y的最

20、小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.解：(1)由公司每年的燃料费为二 上 一(%为常数)万元，2 0 x+1 00取 x=。，得WTT=24，则4=2 400，1 00.该公司安装太阳能板的费用与1 5年的燃料费之和y=1 5X善%学+得，2 0 x+1 00 2 x+5 2x 2 O；(2)鳖6+三=国 三 也 二22、匿 弧 二 上=57.5,x+5 2 x+5 2 2 v x+5 2 2当且仅当1吗 即=55时取等号.x+5 2.当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元.2 0.(1 6分)已知椭圆：堂-工=过点0(-1,0)的直线/：y=k(x+1)与椭圆m+1 m交于M、N两

21、 点(M点在N点的上方)，与y轴交于点(1)当机=1且k=l时，求点M、N的坐标;(2)当m=2时，设 而=人 而，E N=|J.D N)求证：入+U为定值，并求出该值；(3)当m=3时，点力和点尸关于坐标原点对称，若A M N尸的内切圆面积等于要兀,4 9求直线/的方程.解：(1)当m=&=1时，联立X2 2_2 y 解之得:y=x+lx=或y=l4Y =-31y-万即 M(0,1),N (二4，1)；3 3证明：（2）当?=2时联立/2 12V 2从间 SAM N F 二 *8 x z-，消去 y,得（4左2+3）r+8氏2%+4攵2 -12=0,设 M（x i,yi）、N（及，然），P!

22、|JSA M NF4-ID FI lyl-y2l =lyl-y2l =lk(xl-x2)I-故|k(xX 2)l/2 即k 2(X1+X2)2-4X1X2:-由(2),得k 2 (-8k24 k 2+32 9、/乂 4 k 2-12 28 8)-4X-9 4 k 2+3 4 9化简，得 17 K+%2-18=0,解得 A=l,故存在直线/：y=（x+1）满足题意.21.（18分）若数列 m、仇 满 足%+1-叫=仇（吒N*）,则称 仇 为数列 如 的“偏差数列”.(1)若仍“为常数列，且为 小 的“偏差数列”，试判断 斯 是否一定为等差数列，并说明理由；(2)若无穷数列 斯 是各项均为正整数的

23、等比数列，且43-42=6,d 为数列 斯 的“偏差 数 列，求lim(4白白+T)的值；n-8 焯 b2 b3 bn(3)设 bn=6-(J)L 儿 为数列 飙 的偏差数列，。1 =1,a2W a2.1 且 2W a2+i,若对任意6N*恒成立，求实数M的最小值.解：(1)小 不一定为等差数列，如a n=(-l)“，则a=2为常数列，但 分 不是等差数列，(2)设数列 小 的公比为(7,则由题意，0、(7均为正整数，因为。3-。2=6,所以 m q(q-l)=6=1 X2X3,(a,=l f a,=3解得i或4i,q=3 q=2故 an=3 k l或 an=3X 2kl(neN*),当 an

24、=3 k l时，bn=2X 3n-1，.z 1 1 1 1 s 9 3lim,一+七 )=上 丁=今廿8 b b 2 b 3 bn 1 41万当 an=3X 2kl时，bn=3X 2n-1.工一/111 1、百 2lim(+；一+V)=gn8 b b 2 b 3 bn 1 31至综上，lim W -)的值为今或苫廿8 b b 2 b 3 bn 4 3(3 )由 a2n W C l2 n -1 且 C l2 n W U 2n+1 得，6(-l)n+(蒋 严1故有：a n-a m M Q l尸+(得)匕 an-i-an_1-1in+1-an=(-l)n 6-(y)n+1-2=6(-l严2+(得 严1,a2-a1=6*(-l)1+()2,累加得：a n-a=6(-l)l+(-l)2+(-1严1+(4)2+(-)3+(-y)n1 1 n-1=6X2+=-31-(-1尸卜1 n-11-(彳)7又i=1,所以an66_ X k l6 i 2/n=2m-l,m CN*为 奇 数M 6尸n=2m,m N*当为奇数时，小 单调递增，。0,l im an 8当为偶数时，斯 单调递减，a 0,l im ann 87于29从而0 V|4|怨，所以M2孕，即M的最小值为6 66 1噜.