2021年福建省福州市高考数学质检试卷（一模）（解析版）.pdf

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1、2021年福建省福州市高考数学质检试卷（一模）一、单项选 择 题（共 8小题）.1.已知集合4=1,2,3,4,5 ,B=M x=2&+l,依A ,则 AD B=（）A.1,3 B.2,4 C.3,5 D.1,3,5 2 .设复数z=a+bi（aZ,呢 Z）,则满足|z-1区 1 的复数2 有（）A.7 个 B.5个 C.4 个 D.3 个3.“m W”是“/n 2-4？-5 W 0”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.若抛物线y=/上 一 点 G,2）到其焦点的距离等于3,则（）A.m=B.m=C.m=2 D.m=44 25 .已知函

2、数/（x）=lnx,则函数y=/（二一）的图象大致为（）1-x6.在中，E 为 AB边的中点，。为 AC 边上的点，C E交于点F.若 而-y A B +正,则车的值为（）ADA.2 B.3 C.4 D.57 .分形儿何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线R）,P i,P”，.已知尸o是边长为1 的等边三角形，及+i 是对R-进行如下操作而得到：将以的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）.记尸“的周长为以、所 围 成 的 面 积 为 对 于 下 列 结 论 正确 的 是（）As sA.产 为等差数列 B.产

3、 为等比数列Ln LnC.3A 7 0,使 D.3 M0,使 S“0,|（p|V-）图象过（0,1）,在区间（-，-）2 12 3上为单调函数，把/（X）的图象向右平移T T 个单位长度后与原来的图象重合.设制，X 2 G（?,旦 L）且制 W X 2,若/（X I）=/（X 2）,则/（X 1+X 2）的 值 为（）2 6A.-7 3 B.-I C.I D.二、多项选择题（共 4 小题）.9.“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2 0 0 0 多亿元的餐桌浪费,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民

4、众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了 9 0 位来店就餐的客人，制成如表所示的列联表，通过计算得到群的观测值为9.已知P（烂6.635）=0.0 10,P（烂）10.828）=0.0 0 1,则下列判断正确的是（）认可不认可4 0 岁以下20204 0 岁 以 上（含 4 0 岁）4 010A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C.有 99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.0 0 1的前提下，认 为“光盘行动”的认可情况与年龄有关10.如图，在下列四个正方体中

5、，4,8 为正方体的两个顶点，M,N,P 为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线A B 平面MN P 的 是（）A.B.2 21 1.己知P是双曲线E：2 _匚=1在第一象限上一点，F i,仍分别是E的左、右焦点，4 5的面积为毕.则以下结论正确的是（）2A.点尸的横坐标为与2K nB.Z F P F2 O,s i n h （s i n h o）s i n h A os i n h X i-s i n h x2D.Vxi,X 2G R,且-1xl-x2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.x+y-4 0,13.设 羽y满足约束条件 0 ,则x-2 y的 取

6、 值 范 围 为.y 0,14.(x+3)5的展开式中，工的系数为_ _ _ _ _ _ _.V x x15 .在三棱锥P-A 8 C中，侧面P A C与底面A B C垂直，Z B AC=90 ,Z PC A=30,AB=3,P A=2.则三棱锥P-A B C的 外 接 球 的 表 面 积 为.16 .已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4,过点M(2,0)的直线与圆C交于P,Q两 点(点Q在第四象限).若Z Q M O=2 N Q P O,则点P的 纵 坐 标 为.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在S =2 +l；a i=-l,k

7、 g 2 (ana+i)2n-1；(3)an+i2anan+2,S2 -3,ay-4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：己知单调数列 而 的前“项和为S”且满足.(1)求 小 的通项公式；(2)求数列-的 的前项和耳.18.在AB C 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,h,c,a+h=ccosB-hcosC.(1)求角C的大小；(2)设C 是 AB C的角平分线，求证：上.C A C B C D19.如图，在三棱台 AB C-Ai B i G 中，A4I=AICI=CCI=1,AC=2,AxC L AB.(1)求证：平面AC GAi _ L平面AB B i Ai

8、 ；(2)若 N 8AC=90 ,AB=f 求二面角 A-C 的正弦值.2 0 .已知椭圆E：上 了 三=1(。匕0)的左、右顶点分别为4(-、历，0)，A2(加,az bz0),上、下顶点分别为B i,B2,四边形4比A2 B 1的周长为4日.(1)求E的方程；(2)设P为E上异于4,4的动点，直线A P与)，轴交于点C,过4作4 以2,与y轴交于点D.试探究在X轴上是否存在一定点。，使 得 玩.而=3,若存在，求出点。坐标；若不存在，说明理由.2 1.从2 0 2 1年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.6 8%,有效

9、期一年，服务期间客户账户余额须不少于5 0 万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%,存期须超过 7 天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单,年利率为3.8 4%,起点金额10 0 0 万 元.(注：月利率为年利率的十二分之一)已知某公司现有2 0 2 0 年底结余资金10 50 万元.(1)若该公司有5 个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3 个股东选择同一种产品的概率；(2)公司决定将550 万元作协定存款，于 2 0 2 11月 1 日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取

10、50 万元作为公司的日常开销.将余下50 0 万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩 余(50 0 -%)万元作结构性存款.求 2 0 2 1年全年该公司从协定存款中所得的利息；假设该公司于2 0 2 1年 7月 1 日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据 专 业 机 构 评 估，该 笔 投 资 到 2 0 2 1 年 底 将 有 6 0%的 概 率 获 得(-3 _+0.0 2 x2+0.13 5x)万元的收益，有 2 0%的概率亏损0.2 7 x 万元，有 2 0%的概率保3 0 0 0 0本.问：X为何值时，该公司2 0 2 1年存款利息和投资高新项目所得的

11、总收益的期望最大,并求最大值.2 2.已知/(x)x2e-1.(1)判断了(x)的零点个数，并说明理由；(2)若f(x)2 a (2/nx+x),求实数a的取值范围.参考答案一、单项选择题（共 8 小题）.1.己知集合4=1,2,3,4,5）,B=x x=2k+,k&A,则 4nB=（）A.1,3）B.2,4 C.3,5 D.1,3,5解：集合 A=1,2,3,4,5,B=x x2k+,依A =3,5,7,9,11,则 A C B=3,5.故选：C.2 .设复数z=a+b i （a e Z,加 Z）,贝 U 满足|z-1|W 1的复数z 有（）A.7个 B.5 个 C.4个 D.3个解：z=a

12、+bi,；.z-1=（a -1）+bi,Iz-H=d（a-1）2+b2；|z 7 0,W（a-l）2+b2Wl,/.（a-1）W 0,抛物线的准线方程为：y=，4 m抛 物 线 上 一 点d,2）到其焦点的距离等于3,可得：2+“1=3,解得4 m 4故选：A.V l-x 0,：.x ,即该函数的定义域为（-8,1）,排除选项A和8,当x=-1时，y=-/n 2 0,使品D.3 M 0,使 S,VM解：根据题意可知，封闭曲线的周长数列 金 是首项为无=3,公比为告的等比数列，所以品=3 X 停 产,由图可知，A 边数为3义4 ,边 长 为 士，3K所以n+i 比R 的面积增加了 3X 4k x

13、 哼 X（-击）2 W 停）七所以卜坐即V S。考X e）累计相加可得0电 k,（仁 0,1,2,），-2 =S i考X 得）1，,5 产 丁 1义,产,萼义电2V 3 37 3所以2=5 F%)心 反X (l)n V3XJ_(Ln 3X (y)n 1 5 4 2 0 3nsn根据等差数列以及等比数列的定义可知，产 既不是等差数列，也不是等比数列，故选L n项A,8错误;当f+8时，=3 X （）n-1 _+oo 故选项 C 错误；因为S 具?北 返 x住）n 0,使S“0,|（p|0,|q）|6.6 3 5,但 9 0,n 0,由 尸 尸】6 的 面 积 为 可 得 m F i B|=c=3

14、 =-,即=微,2 2由工！工 一=1,可得m=3,故 A 不正确；4 5由 尸（3,鸟），且尸（一 3,0），尸 2（3,0）,2可得2P F.=-12则 tanZF i P F 2=(次,+8 ),兀 兀即 一 Z F P F i 0,2T可得tanN 尸IPF2=学,解 得 4=（负的舍去），5 21 匕9则NF 平 分 线 所 在 的 直 线 的 方 程 为 得（x-3）,化为3 x-2 y-4=0,故。正确.故选：BC D.1 2.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数s i nh A=e-e和双曲余弦函数cos h r=h 旦三等.双曲函数在物

15、理及生活中有着某2 2些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是（）A ,cos h2x+s i nh2x=1B.y=cos h x 为偶函数，且存在最小值C.V x o O,s i nh (s i nh x o)s i nh x osinh X i-s in h x2D.v l,X2G R,且 X1#X2，-1xl-x2解：对 于A：双 曲 正 弦 函 数s i nh x=.e-e和双曲余弦函数cos h x=f 06二满足2 2x -x x .-x 2x.-2

16、x,2 ,2 _/2 一 巳 2.ze+e、2_2+巳cosh x+sinh-)+-)=-，只有当x=0时，工 产.=1，但是对于其他的值不一定成立，故A错误；2对 于&C 0Sh(-x)-=c o s h x 故函数为偶函数，由于e+e =2 e故c o s h x=g-?l，(当且仅当x=0 时，等号成立)，故 B 正确；对于C：函数y=e 和函数y=都为单调递增函数，所以 y=s i nh x 也为增函数,当 X。时，s i nh x o s i nh O=O,t _ -t令，=s i nh ro O,令 g (/)=s i nh/-t=e-e _+,2 1t u.T n./t.-t则g

17、 (t)=TJ-2运2*十0,所以g (t)在(0,+8)单调递增，所以 g (t)g(0)=0,所以 s i nh/f(F 0),即 s i nh (s i nl i r o)s i nh r(),故 C 正确；对于。：不妨设X1 X2,所以 x i -X2 0,sinhx i-sinhx 9、贝i j-1,即 s i nh x i -s i nh 2 X i -xz,xrx2由选项C得：g(r)=s i m-f在(0,+8)上单调递增，由于g(-)=-g。)所以函数g(7)为奇函数，所以函数的图像关于原点对称，在(-8,0)上单调递增，sinh x 广s in h x 2故V x i,X

18、2 G R,且 X|WX2,-1,故 正确.xl-x2故选：BC D.三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.把答案填在题中的横线上.x+y-40,1 3.设x,y满足约束条件 2x+y-60,则x-2 y的取值范围为 2,4|”0,解：由约束条件作出可行域如图，由图可知I,A （4,0）,联 立,切-4=0，解得A2）,2x+y-6=0作出直线x-2 y=0,由图可知，平移直线至A时，x-2 y有最大值为4；至8时，L2丫有最小值为2-2乂2=-2.X-2的取值范围为-2,4 .故答案为：-2,4 .1 4.（x+上）5的展开式中，工 的 系 数 为5V x x解：（X+表）

19、5的展开式的通项公式为：1 r 3小 尸 犬 （言）=仁5-,令 5 -1,解得 r=4,所以上的系数为C2=5.故答案为：5.1 5.在三棱锥P-A B C中，侧 面P A C与底面A B C垂直，Z BA C=90 ,/P C4=3 O ,AB=3,月4=2.则三棱锥P-A 8 C的外接球的表面积为2 5 n.解：.在三棱锥P-A B C中，侧面P A C与底面A B C垂直，Z BA C=90 ,平面 P A C,N P CA=3 O ,PA=2.设 P A C的外接圆的半径为r,外接圆圆心为Q,则PAsin30=2 r,解得r=2,过。作 O Q J _ 平面 P A C,则 Q。2a

20、A8,-2外接球的半径为R,球心为O,二外接球的表面积为4 nR 2=2 5 7 T.故答案为：2 5 n.1 6.已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4,过点/(2,0)的直线与圆C交于P,Q两 点(点Q在 第 四 象 限).若N Q M O=2 N Q P。，则点P的纵坐标为解：圆C的方程为(x-2)2+(y -1)2=4,因为N Q M O=2/Q P O,由三角形的补角可知，N Q M O=/Q P O+N M O P,所以/Q P O=/M O P,故 O M P为等腰三角形，所以。例=M P=2,y2+(x-2)2=4 1设P G,y),则 丫 *，解得y=4，.(x-2)

21、2+(y-l)2=4 2所以点P的纵坐标为故答案为：四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.1 7.在S f =2即+1;l og 2(0,1 0,1+1 )2n-1;。+1 2 =斯4“+2,$2=-3,“3 =-4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知单调数列。“的前项和为S”，且满足.(1)求 小 的通项公式；(2)求数列-3 的前n项 和Tlt.解：方案一：选条件(1)由题意，当”=1 时，a i=S i=2 m+l,解得 m=-l,当心2 时,anSn-Sn-i=2a+l-2an-i-L化简整理,得。=2小-1,数列

22、“是 以-1为首项，2 为公比的等比数列，：.a=-12,=-2n t,nGN*.(2)由(1)知，2|)=2L1,则 Tn 1 l+2*21+322+n21,27,=P2+2*22+(n-1)2-l+/r2,两式相减，可得-7；=l+21+224+2n1-n-2ni_ on=-n-2n1-2=-(n-1)2/,-1,Tn (n-1)2,+l.方案二：选条件(1)依题意，由 k)g2(。飙+|)=2n-1,可得 OM+I=2 2 I,则 an+an+2=22n+,两式相比，可 得 出 当=4,anJa-1,数列“的奇数项是以-1为首项，4 为公比的等比数歹IJ,又；aia2=22,.a2=-2

23、,数列 斯 的偶数项是以-2 为首项，4 为公比的等比数歹综合可得，数列%是以-1为首项，2 为公比的等比数列,-1 2一|=-2,r l,nGN*.(2)由(1)知，-na=-n*(-2-1)=n*21,则 Tn=1 l+2*21+322+n2,1,27,=l2+2*22+(n-1)2n+rf2,两式相减，可 得-Tn=l+2I+22+2rt-1-2”1 -on=.1.-n92n1-2=-(n-1)2,1-1,:.Tn(n-1)2+l.方案三：选条件(1)依题意，由斯+1 2 =。,a+2,可知数列“为等比数列，设等比数列 小 的公比为“，20=3(l+q)=_3则 2，a3二 a q=-4

24、化简整理，得为2-4 4-4=0,解得4=-(舍 去)，或夕=2,2=1 1，Q:.dn=-l*2z r,=-21,EN*,(2)由(1)知，(-2M-1)=n*2,r则 Tn=1 1+2*2,+3*22+n*2n-1,2 4=1 2】+2 22+(H-1)2-i+2”,两式相减，可得-=1+2422+2 1 -力2”1-9n=-2”1-2=-(n-1)2 -1,:.Tn=(-1 )2+1,1 8.在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a+b=ccosB-bcosC.(1)求角C 的大小；(2)设 C。是 ABC的角平分线，求证：上 二CA CB CD解：(1)因为 +

25、b=ccos8-cosC2 2 2 2 2 2所以由余弦定理可得a+J=C旦士二旦-+b-C,整理可得a2+b2 ,02=-ab,2ac2ab所以 co s C=_2ab因为 C*E(0,I T),-ab2ab12所 以c=等o(2)证明：根据题意作。石A C,交B C于点E,如图所示:：C=4，C O是 A B C的角平分线，K:.Z A C D=Z B C D=,3又因为 EA C,TT所以 N C O E=Z A C D=,TT所以N O C E=N C O E=1，可得口 为等边三角形，所以 C D=DE=C E,又因为。后A C,所 以 器 噜|jpBC_CE _ BD-C E-AD

26、又因为C O为角平分线,所 以 翳 翳 可 得BC-CE-BCCECD-1=区AC两边同时除8 C,可得”金CD BC表噂专喂一会专1 9.如图，在三棱台 A B C-A iB C i 中，A A i=A C i=C G =l,AC=2,AiC AB.(1)求证：平面 A C C iA i_ L平面 A R B iA i；(2)若/B A C=9 0 ,A 8=l,求二面角 A -C 的正弦值.ARC【解答】（1）证明：由题意可知，四边形A 4 C C 是等腰梯形,过点4 作M D YA C于点。，过 G 作 G E1AC 于点E,则A D=EC=/(A C _ A C p 3，A D 1所以

27、c o s/人1皿=7 7-=不，所以/44=60,A A N则 4O=A A i sin/4 A O=返，2所以 4。=4|02+亦=(逅)2+卢)2=3,则 4 A C 中，A A i2+A Q=4=A a,所以 A 4 C 为直角三角形，且乙4Ale=90,所以 AiC_LA4i,因为 AiCLLAB,AAiCAB=A,A 4,ABu平面 ABBA,所以A C,平面ABB A,因为AiCu平面AC C A,所以平面ACG4 J_平面ABB A-,(2)解：因为 A8LAC,AB1A.C,A|CAAC=C,A C,ACu平面 ACGA”所以 AB_L平面 ACGA,又 AOu平面 ACGA

28、i,所以 A8_LAi。,过点4作直线4。，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则 B（l,0,0）,C （0,2,0）,A （0，2,力（0，,所以前=（-1,2,0）,c7 c=（0,零），设平面8 8 1 cle的一个法向量为%=（x,y,z），则有4m B C=0-,即 m*C1C=0-x+2 y=0*喙=0令 Z=l,则 丫=百，X=2 ,所以=（2我，M，1），由（1）可 知,4 c L 平面ABBiA,取平=（0,3,一向）为平面A M N 的一个法向量,所以cos 0,可得 0 x 4 0 0,由 L(x)0,可得 400 x 0,解得：x0 或 x -2,令/(x)0

29、,解得；-2 x 0,故/(x)在(-8,-2)递增，在(-2,0)递减，在(0,+8)递增，故 x=-2 时，/(x)取极大值，于(x)的 极 大 值 是-2)=工|一 0，而/(0)=-10,故/(x)只 有 1个零点；(2)若/nx有 意 义,则x0,由 2lnx+x lnx2+lnex In(x2ev),故原不等式等价于x2ex-1 aln(x2ev),令 t=x2ex,贝 lj f-1 alnt,由 知：x0 时，f (x)/(0),即 AV-I A-I,故 0,即 花(0.+8),.t -1 alnt,即 t-alnt-(0,+)时恒成立，令 g (z)t -1,则 g (f)=1-,且 g (1)=1-aln -1 =0,若a W O,则g (r)0在 三(0,+8)时恒成立，g(?)在(0,+8)单调递增，：.t&(0,1)时，g (r)0,令 g G)=0,解得：t=a,：.t&(0,a)时，g(r)0,g(r)递增，(z)若0 a V l,则g (r)在(a,1)上单调递增，Z G (a,1)时，g C t)0,则g在(1,a)上单调递减，re (1,a)时，g (力 g (1)=0,不满足g (r)20恒成立，综上：a=l时，符合题意，故 的取值范围是“.