2021年高考数学立体几何压轴题真题模拟题分类汇编：04 多选压轴题二（学生版+解析版）.pdf

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1、专题0 4 多选压轴题二1.（2021 聊城三模）已知等边三角形ABC的边长为6,M,N 分别为AB,AC的中点，将 AAAW沿MN折起至在四棱锥A-M NCB中，下列说法正确的是（）A.直线上W/平面ABCB.当四棱锥W-M NC3体积最大时，二面角A-M N-8 为直二面角C.在折起过程中存在某位置使8V _L平面/TNCD.当四棱锥A-M NCB体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为39万2.（2021淄博三模）已知正四棱台的上底面边长为1,侧棱长为2,高 为 夜，则（）A.棱台的侧面积为8君B.楼台的体积为1 3 0C.棱台的侧棱与底面所成的角工4D.棱台的侧面与底面

2、所成二面角的正弦值为左33.（2021 沙坪坝区校级模拟）已知正方体A 8C O-A M G R的棱长为%点是棱A R 的中点，点P 在面内（包含边界），且MP=2后，贝 1（）A.点P 的轨迹的长度为2万B.存在P,使得MP_LACC.直 线 心 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 最 大 为 D.沿线段M P的轨迹将正方体ABC。-A S G A 切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为88+2（6-1）乃4.（2021 常熟市校级三模）在正方体A B C D-A A G R中，E,F,分 别 为 棱 BC,CD,CC;的中点,p 是线段A G 上的动点（含端点），贝

3、心 ）A.P M B DB.AG 平面 ER0C.P E 与 平 面 所 成 角 正 切 值 的 最 大 值 为 2 0D.当 P 位于G 时，三棱锥P-C E/的外接球体积最小5.（2021 开福区校级模拟）在棱长为2 的正四面体ABC 中，点 E,F,G 分别为棱3C,CD,的中点，则（）A.A C/平面 EFGB.过点E,F,G 的截面的面积为42C.异面直线EG与 AC所成角的大小为工4D.CD与平面G8C所成角的大小为工66.（2021 沙坪坝区校级模拟）在正方体ABC。-A线G R 中，M 是棱C G 的中点，平面0 过人且与平面R A M 平 行.点 P e a C 平面BCCM

4、，则下列判断正确的是（）A.A.P/BQB.平面B|C）_LaC.A/与 A S所成角为q,贝 Hsin%1 3D.A/与平面ABC所成角为名，则出.30。7.（2021潍坊模拟）一副三角板由一块有一个内角为60。的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，Z B =N F =90,ZA=60.N=45。，BC=D E =0 ,现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F-A B C,取 B C中点O 与 A C中 点 则 下 列 判 断 中 正 确 的 是（）A.BC_L 面。尸 MB.4 c 与 面 所 成 的 角 为 定 值C.三棱锥F-C O M 体积为定值D.若 平 面 平 面 A B

5、 C,则 三 棱 锥 外 接 球 体 积 为 士 38.（2021丹东二模）已知为正方体4 5 c o-A S C Q 的棱A4,的中点，平面a 过点5 且与C E垂直，且a与 直 线 相 交 于 点 M，则（）A.直线与。与直线C E垂直B.是线段4 G 的三等分点C.直 线 他 与 平 面 a 所成角的正弦值为士3D.平面a 将正方体分割成体积比为7:17的两部分9.（2021 辽 宁 模 拟）如 图，已 知 四 棱 锥 P ABC中，P_L平 面 A8CD,Z D A B =N C B D =90。，Z A D B =Z B D C =60 ,E 为 P C 中点F 在 C上，AFBC=

6、30,P D=2 A D =2,则下列结论正确的是（)pA.3 E/平 面 皿 C.四面体。-四步的体积为土3B.PB与平面ABCD所成角为30。D.平面R4fi_L平面 外）10.（2021福田区校级二模）已知正方体ABCO-ABC0棱长为2，如图，M为CG上的动点，A M,平面a.下面说法正确的是（）A.直线至 与 平 面口所成角的正弦值范围为 理,变 3 2B.点M与点G重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点 的 为CG的中点时，若平面a经过点3,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N为。A中点，当A +MN的和最小时，用 为CG的中点11.（2021南

7、京三模）已知正四棱台的上底面边长为夜，下底面边长为2 0,侧棱长为2,则（）A.棱台的侧面积为6户B.棱台的体积为146C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为二2D.棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为立712.（2021惠州一模）在 棱 长 为 1 的正方体A B C Q-A 4G R 中，M 是 线 段 上 一 个 动 点，则下列结论正确的有（）A.存在M 点使得异面直线5M 与 AC所成角为90。B.存在M 点 使 得 异 面 直 线 与 AC所成角为45。C.存在M 点使得二面角例-即-。的平面角为45。D.当4AM=A G 时，平面双加截正方体所得的截面面积为N813.（2021 如

8、皋市模拟）在四面体ABC。中，AABC是边长为2 的正三角形，NA3=60。，二 面 角 A 5-C的大小为60。，则下列说法正确的是（）A.ABVCDB.四面体ABCZ）的体积丫的最大值为走2C.棱 CD的长的最小值为相5?D.四面体A 8 8 的外接球的表面积为亚万914.（2021 湖南模拟）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3”的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为。的截角四面体，则下列说法正确的是（）B，cr GA.该截角四面体的表面积为7 6/B.该截角四面体的体积为 生 生“31 2c

9、.该截角四面体的外接球表面积为2D.该截角四面体中，二面角A-的余弦值为131 5.（2 0 2 1湖南模拟）已知球O的半径为2,球心O在大小为6 0。的二面角a-/-内，二面角a-/-6的两个半平面分别截球面得两个圆a，o2,若两圆a，。之 的公共弦他的长为2,E为/归的中点，四面体O A Q 0 2的体积为丫，则下列结论中正确的有（）A.O,E,Q,O,四点共面 B.0 02=5C.O 0,=3 D.丫的最大值为且1 2 1 61 6.（20 21广东模拟）三棱锥中，A 4B C是等边三角形，顶点丫在底面A B C的投影是底面的中心，侧面V A B 1侧面”C,贝IJ（）A.二面角V 8

10、C-A的大小为生3B.此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为GC.点丫到平面A B C的距离与V C的长之比为亚3D.此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为且9417.（2021山东模拟）如图，在三棱柱ABC A 4 4 中，CC；_L底面ABC,A C B C,AC=BC=娓,CC,=x/3,M 是 4 耳的中点，P、Q 分别为AABC、所在平面上的点，且 PQ=2,则下列结论正确的是（）A.MA=MB=MCB.直线PQ 与底面ABC所成的角为60。C.异面直线尸。与M 4所成角的最大值为90。D.三棱锥M-A 8 C 的外接球的体积为4VLr18.（2021广州一模）已知正方体ABC。-的棱长为

11、4,户是棱A S上的一条线段，且 瓦 1 =1,点Q 是棱A A 的中点，点尸是棱G R 上的动点，则下面结论中正确的是（）A.尸 Q 与防一定不垂直B.二面角P 后尸-。的 正 弦 值 是 零C.APEF的面积是2 0D.点尸到平面QEF的距离是常量19.（2021 临沂一模）为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了 诵经典，获新知的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已 知 球 的 体 积 为,托 盘 由 边 长 为 4 的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图.则下列结论正确的是（）限A攵A.经过三个顶点A,B,C 的球的截面圆的面积为土4异面直线4）

12、与 C F 所成的角的余弦值为2C.直线4）与 平 面 所 成 的 角 为 工3D.球离球托底面。所 的最小距离为G+渔-1320.（2021徐州模拟）半正多面体（se加2 g亦 称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为贝，贝 IJ（）8 F L 平面该二十四等边体的体积为33C.该二十四等边体外接球的表面积为8万D.RV与平面EB/W所成角的正弦值为正221.（2021 岳阳一模）将边长为2 的 正 方 形 沿 对 角 线 折 成 直

13、 二 面 角 A-3 ）-C,点 P 为线段4）上的一动点，下列结论正确的是（）A.异面直线AC与 比）所成的角为60。B.A 4 8 是等边三角形C.ABCP面积的最小值为迈3D.四面体A8C 的外接球的表面积为8万22.（2021广东模拟）在四棱锥中，底 面 是 正 方 形，PD_L平面A B C D,点 E 是棱PC1的中点，P D=A B,则（）A.ACA.PBB.直线AE与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 是 正6C.异面直线4 与P 3 所成的角是4D.四棱锥尸-/WC。的体积与其外接球的体积的比值是名叵27万23.（2021漳州一模）已知在正三棱锥P-A B C 中，24=3

14、,他=2,点。为 BC的中点，下面结论正确的有（）A.PCA.ABB.平 面 皿）_L平面PBCC.R4与平面P8C 所成的角的余弦值为工3D.三棱锥P-的外接球的半径为石24.（2021连云港一模）如图，直三棱柱A 8 C-A 4 G 中，AC=BC=,9=2,。是棱胡的中点,DC,1 BD.则（）A.直线。G 与 3 c 所成角为90。B.三棱锥。-8 C G 的体积为gC.二面角A-应）-G 的大小为60。D.直三棱柱A B C-A 4 G 外接球的表面积为6万25.（2021武进区校级模拟）在棱长为1 的正方体A 8 8-A B C 中，下列结论正确的是（）A.异面直线B R 与 B

15、Q 所成的角大小为90。B.四面体OQBC的每个面都是直角三角形C.二面角A-B C-耳的大小为30。D.正方体A B C D-A 4G A 的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为6-1226.（2021 永州二模）P是正方体A 8 8-A A G R中线段B G上 的 动 点（点P异于点B），下列说法正确的是（）A.APVB.CB.异面直线3P与A C所成的角是60。C.V,A*。的大小与P点位置有关D.二面角P-A 8 C的大小为45。27.（2021全国模拟）如图，在棱长为6的正方体ABC-A81GR中，E为棱D Q上一点,且E=2,F为棱G的中点，点G是线段B Q上的动点，则（）

16、A.无论点G在线段8 G上如何移动，都有A G L 8 QB.四面体A-BE尸的体积为24C.直线A E与5尸所成角的余弦值为士叵15D.直线A G与 平 面 所 成 最 大 角 的 余 弦 值 为g28.（2021垫江县校级模拟）如图，正四棱锥T-A3C的高为3,底面边长为2,K是棱TC的中点，过AK作平面与线段7B,7D分别交于点M,N（M,N可以是线段的端点），设%=x,=y,下列说法正TB TD确的是（）TA.M N/iB D时,平面4WKN与平面4 5 c o 所成锐二面角取得最大值B.1+1=3x yC.类比也如Q&TBCTM TKTBTC可得到一个真命题:V7 A*T A T M

17、 T KVT1 /AloRtr TA TB TCD-匕 -.m 的最小值为g29.（2021 辽阳县一模）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为。，这个角接近30。，若取，=30。，侧棱长为在 米，则（）A.正四棱锥的底面边长为6 米B.正四棱锥的底面边长为3 米C.正四棱锥的侧面积为2 4 6 平方米D.正四棱锥的侧面积为12w 平方米30.（2021路北区校级模

18、拟）已知正四棱锥S-ABCD的 体 积 为 殍，底面边长为2,贝 心 ）A.该四棱锥的侧面积为4后B.棱 SA与 SC垂直C.平面SAB与平面SCZ）垂直D.二面角3 SA C 的余弦值为土3专题0 4 多选压轴题二1.（2021聊城三模）已知等边三角形ABC的边长为6,M ,N 分别为AB,A C的中点，将 A4MV沿 MN折起至 A M N,在四棱锥A-M VCB中，下列说法正确的是（）A.直线M N/平面A，BCB.当四棱锥/V-MNC8体积最大时，二面角A-M N-8 为直二面角C.在 折 起 过 程 中 存 在 某 位 置 使，平面A N CD.当四棱锥A-M N C 3体积最大时，

19、它的各顶点都在球O 的球面上，则球。的表面积为39万【答案】A B D【详解】对于A,因为M V/B C,M N U 平面ABC,B C u平面ABC,所以M N/平面A B C,故选项A 正确；对于5,因为四棱锥4-MNC8的底面面积是定值，所以当点A 到平面MVCB的距离最大时，体积最大，故当二面角A-M N-8 为直二面角时，点A 到平面MNC3的距离最大，所以四棱锥4-M V C 8体积最大时，二面角A-A 4 N-8 为直二面角，故选项6 正确；对于C,如图所示，若 8N_L平面A N C,又 A 4 u 平面A N C,则&VJ_4T,又 K D 1 M N ,则 又人力犯二人，A

20、。，A D u 平面 AAD,故MN_L平面 A 4 D,又 A A u 平面 A A D,则 AA_LMV,又 M N n B N =N ,M N ,B N u 平面 M N C B,所以 A4UM/VCB,这与题意矛盾，故假设不成立，所以在折起过程中不存在某位置使8N，平面A N C,故选项C 错误;对于。，当四棱锥A-M N C B体积最大时，二面角A-M N-B 为直二面角，如图所示，由NM8C=X,取 3 C 的中点E,则 E 为等腰梯形MVC3外接圆的圆心，口为AAMN的外心,3作 OE_L平面M V C 8,。尸_ 1_平面人，叔7,则O 为四棱锥A-M V C 8的外接球的球心

21、，B.O F=D E ,A F =,2设四棱锥A-M VCB的外接球半径为/?，则R2=A F2+O F2=,4所以球的表面积为4万 R2=4-=397r）故选项D正确.4故选：A BD.2.（2021淄博三模）已知正四棱台的上底面边长为1,侧棱长为2,高 为 四，则（)A.棱台的侧面积为8 GB.棱台的体积为13近C.棱台的侧棱与底面所成的角巳4D.棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为更3【答案】A C【详解】对 于 A,易知棱台的侧面为四个全等的等腰梯形，上底面到下底面的距离为4 6=正，则AE =,4 2=V5，下底面正方形AHC 的对角线AC=2 0 +V m =3 0 ,则下底面的边

22、长为3,侧面的高为V?二1=百，二 S侧=4 x 支 身 =84，选项A 正确；对于3,S上=1,S下=9,./=g x(S r+S F+J 7)x A E =g x(l+9+3)x/=1 ,选项 B 错误：对于C,棱台侧棱与底面所成的角即为4,A E,由于A4,=2，AE=AE=,故 乙 精 公 卷，选项C 正确;对于D,过点E 作 F JL AD于点尸，连接 F，则ZA,FE为侧面与底面所成二面角，则sin Z F E =7TT选项。错误.故选：A C .3.（2021 沙坪坝区校级模拟）已知正方体A8a的棱长为4,点 M 是棱A R 的中点，点 p 在面A8CD内（包含边界），且 MP=

23、2石，则（）A.点 P 的轨迹的长度为2万B.存在P,使得MP_LACC.直线M P与平面8 n 2 4 所成角的正弦值最大为手D.沿线段M P的轨迹将正方体A B 8-4 5 G R 切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为88+2（石-1加【答案】ACD【详解】取 AD的中点N,则此7，平 面 6,又N P u平面ABCD,所以M N LN P,因为MP=2石，所以 NP=2舟-4?=2,故点P 的轨迹是以N 为圆心，半径为2 的圆位于正方形/W CD内部的部分，如 图 1所示.以A 为坐标原点，A B 为x 轴建立空间直角坐标系如图2 所示，则 4（0,0,4）,C（4,

24、4,0）,M（O,2,4）,设 P（2cos。，2+2sin6,0）（-ij9 生），2 2对于A，点P的轨迹长度为x 2 x%x2=2 i,故选项A 正确;2对于 B,4。=(4,4,一 4),丽=(2cos6,2sina-4),所以石 砺=8cos +8sin6+16=8(cos6+sine+2)=8(J5sin(+()+2 0,故选项 8 错误;对于C,取平面B D D 国的法向量为n=(1,1,0),则|cos|=J。I=U=sin(。+),MPn V5 4 5当且仅当。=工时取等号，故选项C 正确；4对于。，如 图 1,挖去部分为半圆锥，原正方体的表面积为5=6x4x4=96，挖去部

25、分面积为岳=8+2万，新增部分面积为S?=g x 26x2兀=2 亚兀，所以新几何体的表面积为5-H+$2=88+2(石-1)*故选项。正确.故选：A C D .4.(2021 常熟市校级三模)在正方体ABC-A 4 C Q 中，E ,F,分 别为棱8C,CD,C Q 的中点,P 是线段A G 上的动点(含端点)，贝 4()A.P M BDB.A C/平面 ERWC.P E 与平面A 8 8 所成角正切值的最大值为2四D.当P 位于G 时，三棱锥尸-C E F 的外接球体积最小【答案】AC【详解】对于A,在正方体A 8 C D-A 4 G 2 中，J-底面A B C Z),又3u平面ABCZ)

26、,所以 A A B D,又 AC J _ S D,且 A C n A A=4，A C ,A A u 平面 ACQA，所以3 0,平面A C G 4，又 P M u 平面A C G 4，则 RM 工 班),故选项A 正确；对于 5,设 4(70|8。=0,EFfAC=H ,如图所示，若 A C|/平面M E F,又A C u 平面ACGA，且平面ACGA C 平面时 斯=加 ，则 A 0/M，由正方体的性质可知，O 是A C 的中点，M 是C G 的中点，所以A C/M O,又0|加”=加，产生矛盾，故假设不成立，故选项3 错误；对于。，点 P 在平面A8CD上的射影N 在A C上，连结N E,

27、故 NPEV即为P E 与 平 面 所 成 的 角，设正方体的棱长为。，则 P N =a,tan N P E N =,N E N E!万故E N的最小值即为E到直线A C的距离E H =-B O ,2 4所以tanNPEN的最大值为一 =2近，故选项C 正确；叵 a4对于。，正方体4 3 8-4 4 G A 中，假设“K_L平面ABC。，交 A&于点K,又H 为 A C E F的外心，则三棱锥P-C 斯 的 外接球的球心一定在H K上,设球心为O，高(7P=(7E=R,正方体的棱长为a,则 /店-PK2+y/R2-E H2=K H=a,2ay/R2-N H2=a2+PK2-N H2,其中 NH

28、=a ,4故当必=0 时，R 最小，此时点P 与点K 重合，故选项Z 错误.故选：AC.5.(2021 开福区校级模拟)在棱长为2 的正四面体ABC。中，点E,F,G 分别为棱3C,CD,A 4 的中点，贝 U()A.AC平面 FGB.过点E,F,G 的截面的面积为工2C.异面直线E G 与A C所成角的大小为生4D.CD与平面G3C所成角的大小为工6【答案】ACD【详解】对于A,因为F,G为梭CD,D 4的中点，所以EG/A C,又 FG u 平面EFG,AC牛平面EFG,所以AC/平面E F G,故选项A 正确;G对于3，取 4 5 的中点4 ,则四边形EFG4为截面,由选项 A 可得，F

29、G/AC,FG=-AC,2同理可得，HE!/AC,H E =-AC,2所以 H E/H G,且 H E =HG,故四边形E F G H为平行四边形，取 皮）的中点M,则 如 _LAM,B D A.C M ,又 AM 0|CM=M,A M ,CM u 平面 ACM,所以3O_L平面4 W C,又 A C u 平面4WC,故 8D _L A C,则 所 _LFG,所以四边形FG”为正方形，且边长为I,故截面的面积为1,故选项3 错误；对于C,因为A C/F G,故异面直线E G 与AC所成的角即为NEG尸,由选项B 可得，ZGF=-,故选项C 正确;对于。，如图所示，因为 D41.GB,D4_LG

30、C，且 G80|GC=G,G B ,G C u 平面 GBC，所以D4J_平面G8C,则Z D C G为直线CQ与平面G B C所成的角，在 ADCG中，ZCG=-,故选项 正确.故选：A C D .6.（2021沙坪坝区校级模拟）在正方体A 8 C D-A 8 C A 中，M 是棱C Q 的中点，平面a 过 A 且与平面2 A M 平 行.点 P e a C 平面8 C G 4,则下列判断正确的是（）A.A P/B GB.平面5 c o _LaC.A P 与 AB所成角为q,贝 ijsinq;D.A/与平面ABC所成角为q,则%.30。【答案】B C【详解】对于A,取 8 c 的中点N,又M

31、 是棱C G 的中点，所以MNA，所以点M,N,A,Q四点共面，分别取8片与B G 的中点E,F ,贝 UEF/MV,E H D.M ,又 E FnA E =E,M N p DtM =M ,EF ,平面4 放，DtM ,M Vu 平面 QAMW,所以平面A E F/平面AMW,所以平面AE尸即为平面a ,又a C 平面BCC.B,=EF,则 P e E F ,设 4 尸/8 a，又BCJIEF,则与A P/E F 矛盾，故选项A 错误；对于8,因为QC_L平面BCQBi,又 E F u 平面BCGB 所以。C_LF,由于g C _ L E F,且与B、C ,O C u 平面片。,故 FJ_平面

32、4。,又E F u 平面a,所以平面a J_平面4 c D，故选出3 正确；对于C,设正方体的棱长为2,A f 与 他 所 成的角为舟=N PA 5，所以 s i n=sin ZPA1 4=B、PJfi,P2+4因为B|Pe 半,+oo),所以s i n*.g,故选项C 正确;对于O,当点P 为尸时，A 2/平面4 J C，此时名=0，故选项。错误.故选：BC.7.（2021 潍坊模拟）一副三角板由一块有一个内角为60。的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，ZB=Z F =90,Z4=60。，ND=45。，B C=D E =G，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F-A B C ,取

33、8 c中点O与A C中点，则下列判断中正确的是（）A.8C_L面OFMB.A C与面OF70所成的角为定值C.三棱锥尸-C O 0体积为定值D.若平面3。/_1 _平 面 反。，则三棱锥尸-/W C外接球体积为 万3【答案】A BD【详解】对于A,因为O是8 c的中点，M是A C的中点，所以N8=Z F=90。，可得由A B C F为等腰直角三角形，可得8 c l.O尸，又“。|尸。=0,M O,F O u平面OFM,所以BC_L平面O F M,故选A正确；对于5,由选项A可得，A C与平面O尸M所成的角为NQMC=60。，为定值，故选项3正确；对于C,COM的面积为定值，但三棱锥F-C O

34、M的高会随着尸点的位置移动而变化，故选项C错误;对于。，因为平面8（/1 _平面43。，平面8 C F C平面A8C=8 C,尸O u平面8c/，所以FO_L平面/W C,又O M u平面A B C,所以OM_LFO,i J3又 B C =D E =6 ,Z4=60,所以尸0 =-E=上，2 2又 AB=1,则 O M=，AB=1,所以 MF=O2+O”=1,2 2在直角三角形ABC中，M A =M B =M C =-A C =,2贝 ijM4=MB=MC=A/9,所以点M为三棱锥F-A B C外接球的球心，因此该外接球的体积为V=-l3=-7T,故选项。正确.3 3故选：ABD.8.(202

35、1 丹东二模)已知E为正方体A 8 C Q-A 4 G D的棱M的中点，平面。过点3且与CE垂直，且a与直线BiG相 交 于 点 则()A.直 线 与 直 线CE垂直B.M是线段B C的三等分点C.直 线 与 平 面c所成角的正弦值为23D.平面c将正方体分割成体积比为7:17的两部分【答案】A C D【详解】以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为 1,则。(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),0,(0,0,1),B ,1,1),(l,0,g),M(t,1,1),所 以 丽=(-1,-1,0),屈=(1,一1)，2对于A,因为线可屋=(-1

36、,-1,0)(1,-11)=0,所 以 丽，区，故直线8 Q 与直线CE垂直，故选项A 正确;对于8,平面a 过点5 且与CE垂直，且a 与直线B O 相交于点M,3M _LC E,则 两 在=0,又有A/=（f-1,0,1）,所以丽.在=8 1,0 ）（1,-1）=0,解得f=L2 2所以A f为用G 的中点，故选项3 错误；对于C,由题意可知，在 为平面a 的一个法向量，设直线4 5 与平面a 所成的角为。，则 sin 6=|cos|=尊尊.=,1=-,故选项 C 正确；Mg I*51 3对于O,由选项A 的判断过程可知，直线4 A 与直线CE垂直，即 即 J_CE,又因为 8W J.CE

37、,BMBD=B,BM,BD u平面 DBM,所以CE_L平面,所 以 平 面 即 为 平 面 c,取 G R 的中点N,则M N/B 12，所以M N/BD,即平面a 与正方体的另一个交点为N,正方体的体积为lx lx l=l,设三棱台MNC、-BDC的体积为乂所以剩下部分的体积V,=1-匕=1-=,-1 24 24所以平面a 将正方体分割成体积比为7:17的两部分，故选项D 正确.故选：ACD.9.(2021 辽 宁 模 拟)如 图，已 知 四 棱 锥 P-/W 8 中，PD_L平 面 M C),ZDAB=ZCBD=90,ZADB=ZBDC=O),E 为 P C 中点，尸在 8 上，ZFBC

38、=30,PD=2AD=2,则下列结论正确的是()A.8 E/平面R4D B.P 3 与平面/WCO所成角为30。C.四面体。-5尸的体积为走 D.平面F4B_L平面R4Q3【答案】ACD【详解】对于 A,连结 E F,DE,因为 ND48=NC8)=90。，ZADB=NBDC=6O0,所以 ZECS=30。，NFBC=30。,B F =CF,同理可得D尸=3/，故 尸=。尸，所以F 为 8的中点，又 E 为 P C 的中点，椒EFU PD,又历 丈 平面E 4 Q,尸)=平面R 4 O,故 瓦 7/B 4D,又因为 ZADC=60+60=120,ABFC=180-4 FBC-ZBCF=120,

39、所以 Z4)C=N 8 F C,故 AD 11BF,又 8 b 仁平面K W,4 9 u 平面R4。，故 3尸/平面上M),又尸=F,EF,3尸u平面3EF,所以平面8 E F/平 面 皿,又B E u平面B E F,所以BE平面P 4 Z),故选项A 正确;对于8,因为PE)_L平面ABCE),所 以 与 平 面 ABC 所成的角即为NP3Q,pn因为AD=1,所以比)=2,则tanNP8O=上 =1,BD又NPBDe(O,三,故 NP3 =45。，故选项B 错误；2对于 C，=g 由)Fsin60=G，因为尸 _1_平面4 3 8,EF/PD ,所 以 砂 _L平面A5CD，又 EF=、P

40、 D,所以 =F=1,2故VD-BEF=VE-KDF=(SgDF*h=；x g x l=与，故选项 C 正确：对于。，因为P)_L平面ABC。，A B u平面A B 8,所以PD_L45,又因为/W_LAT,ADPD=D,AD,P D u 平面R4),所以M L 平面R4。，又 M u 平面B4B,所以平面Q4BJ_平面E 4 Z),故选项 正确.故选：ACD.10.(2021福田区校级二模)已知正方体A 8C ZJ-A 4G 0棱长为2,如图，/为 C Q 上的动点，4%，平面 夕.下面说法正确的是()A.直线/W 与平面a 所成角的正弦值范围为 号 ，书 1B.点例与点G 重合时，平面a

41、截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M 为C G 的中点时，若平面a 经过点3,则平面a 截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N 为。Q 中点，当AM+M V 的和最小时，M 为 C G 的中点【答案】AC【详解】对于A 选项，以点。为坐标原点，DA.D C、Q R所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。-xyz,则点 A(2,0,0)、8(2,2,0),设点M(0,2,a)(喷心2),平面a,则RW为平面a 的一个法向量，且 双=(-2,2,a),AB=(0,2,0),|cos=-一三 出，耳,AB-AM 2x7a2+8 J/+8 3 2所以，直线/W 与平面c 所 成

42、角 的 正 弦 值 范 围 为 A 选项正确；对于3 选项，当M 与C G 重合时，连接A Q、B D、A C ,在正方体A B C D-A B C R中，C G，平面A B C D，B)u 平面 AfiC,.BD_LCG，：四边形钻 8 是正方形，则 BDJ_AC,.CGr|AC=C,.8。_ 1 _ 平面 ACG，1 A 0 =平面 ACG,AC,B D,同理可证 AG _L 4 0，4。门 8。=力，.1AG-L平面A8。，易知AB。是边长为2近 的 等边三角形，其 面 积 为=曰 x(2立尸=2 g ,周长为2 0 x 3=6应.设 E、F、Q、N、G、”分别为棱 A R、A 4、BB

43、、B C、C D、的中点，易知六边形E F Q N G H是边长为7 2 的正六边形，且平面E F Q N G H II平面 B D ,正六边形E F Q N G H的周长为6夜，面积为6x 且 x(0)？=3百，4则 A 8D 的面积小于正六边形EFQNG的面积，它们的周长相等，B 选项错误；对于C 选项，设平面。交棱A A 于点E S，2),点/(0,2,1),AM=(-2,2,1),平面 a,O E u 平面 -=2 2,1 D N A D 2V2+2M C =2 O#g c C ,所以，点 不是棱C C 的中点，。选项错误.故选：A C .1 1.（2 0 2 1 南京三模）己知正四棱

44、台的上底面边长为0,下底面边长为2 近，侧棱长为2,则（A.棱台的侧面积为6/B.棱台的体积为1 4 6C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为,2D.棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为立7【答案】A C D【详解】作正四棱台如图所示,对于4,过 A作48于，所 以 棱 台 的 侧 面 积 为（夜+2 后）.=6币，所以A对:双对于3,连接AC、AG，过 A作 A 4 _ L A C 于M,过 C|作 C|C_ L A C于 N,A、G=.近=2,A C =2&=4,AM=1(A C-/A1CI)=1,=4 2?-f =6,上底面面积5 =（亚 =2 ,下底面面积S=（2&y=8 ,棱台的体积

45、为丫=，小（5 +炉+5。=，6-1 4 =史 第 片 1 4 石，所以8错;对于C,因为AM为A 4 在底面的投影，所以幺 4为侧棱与底面所成角,c os AM=-=-,所以。对;2 2、T.也对于。，ZA HM 为侧面与底面所成锐二面角的平面角，co sNA HM =笠=?,所以D 对 二A V7 7忑故选：A C D .12.（2021惠州一模）在棱长为1 的正方体A B 8-A q C Q 中，M 是线段A G 上一个动点，则下列结论正确的有（）A.存在用点使得异面直线aW 与 A C所成角为90。B.存在M 点 使 得 异 面 直 线 与 A C所成角为45。C.存在M 点 使 得

46、二 面 角 的 平 面 角 为 45。D.当4AM=4 0 时，平面BOW截正方体所得的截面面积为28【答案】A D【详解】对于A,连接A G、B R,交于。，连接班 ,取点M 为。1时，连接Q 8,因为ACJ_3。、AC”B,所以4。_ 1 _ 平面5 5。，又因为0 8 u 平面8 8 Q Q,所以AC_LQB,所以A 对；对于5,因为4 G/A C,所以异面直线3 M 与A C所成角就是NBMG,因为N8MC.60。，所以3 错；对于C,因 为 二 面 角 的 平 面 角 为 NA/OC，因为NMOC45。，所以C 错；对于。，取。4 中点N,连接M V,过M作E F/B R ,交 A

47、A 于 E，交 4 月于尸，连接ED、FB,E F=-,BD=,。仞=8=60。，二面角 一 A 8-C的大小为60。，则下列说法正确的是（）A.ABA.CDB.四面体ABCD的体积V 的最大值为且2C.棱 CD的长的最小值为GD.四面体AZ?CD的外接球的表面积为土乃9【答案】B CD【详解】对于A,假设A 5 _ L C D,设4 5的中点为E,因为三角形A 8C为正三角形，则CE_LA8,又C E ,C O u平面 C D E,故 4?_L平面 C）E,又）E u平面C D E,故而题中并不能得到/W _ L D E,故假设不成立，所 以 至 不垂直C D,故选项A错误；对于8,要使的匕

48、BCD最大，只需高最大，故V的最大值为！。/=x =且，故选项B正确；3 MBe 3 2 2对于C,由选项5中可知，此时C）也最小，故C D的最小值为J（|）2 +（曰 尸=石，故选项C正确；对于。，设 的 外 心 为M,E为4 5的中点，M A =M B =M D =巫,3设过M与 平 面 垂 直 的 直 线 为M V,过C作C RL E D于点、R ,则外接球球心。在M N上，只需。4=O C,又 CR=3,ER =立,E M =B,M R=B,2 2 3 6设Q M=X,由。4 2=0 0,可得/+（述）2=（且）2+（3一幻2,解得 x=J,3 6 2 3r-r-pi 内）1 4 13

49、所以=l=,9 3 9所以四面体ABC。的外接球的表面积为4万.a=4-.=,故选项。正确.9 9故选：BCD.14.（2021 湖南模拟）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是（）A.该截角四面体的表面积为B.该截角四面体的体积为空12C.该截角四面体的外接球表面积为以乃/2D.该截角四面体中，二面角4-8 C-D 的余弦值为13【答案】ABC【详解】题中截角四面体由4 个边长为a 的正三角形，4 个边长为 的正六边形构成,故

50、S=4 x 走/+4 x 6 x且 a?，故选项A 正确；4 4因为棱长为。的正四面体的高=如 4，3所以V =L 且 3 0 2 逅.逆，4 =竺 也。3,故选项台正 确（3 4 3 3 4 3 1 2因为截角四面体上下底面距离为区 一 凡 二 巫 a,3 3所以依-OC2+y/R2-OH2=亚 ，3所 以 收 一：=孚 -正 一 2,即 收 _4=第+R2 M 一 地 .疹万，3 3 3所 以 店=/,8故 5 =4 万川=口 乃 ,故选项C正确；2二面角A-BC-。的余弦值应该为负值，故选项。错误.故选：ABC.1 5.（2 0 2 1 湖南模拟）已知球O的半径为2,球心O在大小为6 0