2021年高考数学立体几何压轴题真题模拟题分类汇编：02 单选压轴题二（学生版+解析版）.pdf

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1、专题0 2 单选压轴题二1.（2021 金华模拟）已知在正方体ABC。-A A G 0 中，点 分 别 为 BCG A 的中点，点P 在线段4 5 上,记二面角N-/W-。的平面角大小为“，则当点P 从 A 向3 运动的过程中，角。的变化情况是（）A.一直变大B.一直变小C.先变大后变小 D.先变小后变大2.（2021郸州区校级模拟）如图，已知锐二面角0-/-夕的大小为q,A e a,Bw/3,M,N s i,AM Y l,BN 11,C,D为AB,M N的中点，若AM MN BN,记/W,8 与半平面/?所成角分别为冬，冬，则（）A.4 2a,4 2 名B.q 2 名C.9 2仇,q 犯,a

2、 2。33.（2021 诸暨市模拟）已知底面/WCD为正方形的四棱锥P-M C D,P 点的射影在正方形ABC。内，且 P到 8 c 的距离等于尸。的长，记二面角尸-A B-C 的平面角为a ,二面角尸-C O-A 的平面角为 力,二面角P-A D-C 平面角为7，则下列结论可能成立的是（）BA.a p =yB.a=y pC.a=/3/3=y4.（2021嘉兴模拟）如图，将矩形纸片 他 8折起一角落。丛尸）得到!中,记二面角A-E F-。的大小为6（0 。0B.a +p 2 65.（2021义乌市模拟）如图，在等边三角形A8C中，D,E 分别是线段AB,4 c 上异于端点的动点，且B D =C

3、E,现 将 三 角 形 沿 直 线 D E折起，使平面4M _L 平面3 C E D,当。从 3 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（）A.4 4/）8 的大小不会发生变化B.二面角A-8 -C 的平面角的大小不会发生变化C.%）与平面ABC所成的角变大D.4 3 与瓦所成的角先变小后变大6.（2021 浙江模拟）在三棱锥D-A 3 C 中，A=2A3=2AC=2 8 C,点 A 在面BCD上的投影G 是A 5 8的垂心，二面角G-4 J C 的平面角记为a ,二面角G-8 C-A 的平面角记为夕，二面角G-C -A 的平面角记为7，则（)A.apy B.ay p C./3 y a D.

4、y pa7.（2 0 2 1 浙江模拟）在三棱锥 P4 3 c 中，Z W C =6 0 ,Z P A B=Z P A C=0 ,二面角 8 B 4 C 的大小为 a ,则，a可能是（）A.6 =3 O ,a =6 0 B.6 =4 5,a =6 0 C.6 =4 5。，a =9 0 D.6 =6 0。，a=9 08.（2 0 2 1 浙江二模）如图，在正方体A B C-瓦 C H中，P在棱BC 上，B P =x,平行于8。的直线/在正方形4 G”内，点E到直线/的距离记为d,记二面角为A-/-P 为。，已知初始状态下x=0,d=O,则（）A.当X 增大时，e先增大后减小 B.当X 增大时，6

5、 先减小后增大c.当d增大时，。先增大后减小 D.当d增大时，e先减小后增大9.（2 0 2 1 烟台二模）许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形，共 有 1 2 个顶点、3 0 条棱.如图所示，由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点可构成正五棱锥P-ABC DE,则 以 与面A B C D E 所成角的余弦值约为（）（参考数据：c o s 3 6 0.8）10.（2021浙江模拟）如图，在大小为a 的锐二面角a-/-/?中，A s a,B&/3,M,Ne/,AM,BN Ad,C,。分别为4 5,M N的中点.记直线AN与半平面 的夹角为,直线8 与

6、半平面月的夹角为名.若AM M N BN,则（）A.2 a,a 24 B.a 2aC.a 2区，0 2仇，9、20、11.（2021大连二模）点。为边长为1 的正四面体ABCD底面BC内一点，且直线A P与底面BCD所成角的正切值为迷，则动点P 所在曲线长度为（）A.-B.-C.-D.-64 3 212.（2021自贡模拟）已知六棱锥P-ABCAEF的底面是正六边形，R4_L平面ABC,PA2AB,则下列命题中错误的是（）A.AE_L平面 PWB.直 线 与 平 面ABC所成角为45。C.平面尸BC与平面PER的交线与直线4）不平行D.直线8 与 所 成 的 角 的 余 弦 值 为 亚1013

7、.（2021渭南二模）如图，四棱锥S-A3。的底面为正方形，SO_L底面A 8 C D,则下列结论中错误的是（）A.AC1.SBB.平面SC_L平面S 4）C.SA和SC与平面S3所成的角相等D.异面直线4 5与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等14.（2021浙江模拟）如图，已知圆柱OO1,A在圆O上，A O =,0 0、=丘,P,。在圆旦上，且满足 。=竽，则直线A Q与平面OPQ所成角的正弦值的取值范围是（）A.L O,B.C.4 1 D.0,16 6 o 615.（2021河南二模）已知正方体4 8 C D-A 8 C Q 的体积为16夜，点 P 在面A 4 C Q 上，且C

8、 到 P 的距离分别为2,2 7 3,则直线CP与平面8力。与所成角的正弦值为（）A.正 B.走 C.1 D.12 3 2 316.（2021宁波二模）如图，在等腰梯形ABCZ）中，AB=2 A D=2 B C =2 C D=4 .现将AZMC沿对角线AC所 在 的 直 线 翻 折 成 I7AC,记 二 面 角D-A C-B大 小 为&（0。/），则（）A.存在a,使得。A_L平面。8 cB.存在a,使得Z7A_L3CC.不存在a,使得平面DAC_L平面ABCD.存在a,使得平面。钙 _1_平面ABC17.（2021嘉兴二模）如图，矩形ABCD中，已知/W=2,BC=4,E 为 A 的中点.将

9、AABE沿着B E 向上翻折至 A B E,记锐二面角W-8 E-C 的平面角为a,A 3 与平面8CDE所成的角为小 则下列结论不可能成立的是（）A.sin a =/2sin/?B.V?cos a-cos/7 C.a 418.（2021石家庄模拟）己知菱形ABCD边长为2,ZABC=6 0 .对角线AC折叠成三棱锥B-ACD,使得二面角9-AC-。为 60。，设 E 为 8 C 的中点，尸为三棱锥3-ACD表面上动点，且总满足AC_LEF,则点尸轨迹的长度为（）A.B.3 G C.垂）19.（2021 江苏二模）“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又 称“惺帐”.如图是的一种幄帐示意图，帐顶采用“

10、五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为 底 面 矩 形 的 长 与 宽 之 比 为 5:3,则正脊与斜脊长度的比值为（）2正有9-10CD20.（2021 宁海县校级模拟）如图，矩形中，2 M =3A =6,点 用，耳（i=l,2）在 CD,A 上，满足月耳=2,E、F I E E，将。与耳沿 E韦向上翻折至。耳耳，使得在平面ABCD上的射影落在OE,居的重心G 处，设二面角。-M-C 的大小为，直线。A,0 C 与平面 C D 所成角分别为夕，V,则（）A.a f3yB.y a (3 C.a y P D.f3a y21.（2021 玉山县

11、模拟）已知正方体ABC。-4 4 G R 和空间任意直线/，若直线/与直线4 3 所成的角为四,与直线e g 所成的角为a 2,与 平 面 所 成 的 角 为 夕 1,与平面ACGA所成的角为夕2，则（）JT JT T T 7 TA.at+a2=B.at+a2.C.D.22.（2021 杭州模拟）如图，在矩形中，A D A B,现将A4BD沿 折 至 A B O,使得二面角A!-B D-C 为锐角，设直线AO与直线CD所成角的大小为a ,直线AC 与平面/WCD所成角的大小为/?,二面角B-4 Q-C 的大小为7,则a,（3,/的大小关系是（）A.a p y B.a Y p C.y a 0 D

12、.不能确定23.（2021浙江模拟）如图，已知在AABC中，4 4 C =90,AB=,BC=2,O 为线段8 C 上一点，沿4）将翻转至 ABD,若点B 在平面ADC内的射影H 恰好落在线段AC上，则二面角B-D C-A 的正切的最大值为（）A.B.I C.V2 D.5/3324.（2021 浙江模拟）在矩形A 3 8 中，AB=2+,AD=3,E、F 分别为边4）、8 c 上的点，且 AE=3尸=2,现将A4BE沿直线8 E 折成 A 8 E,使得点A 在平面3CDE上的射影在四边形CDE尸内（不含边界），设二面角A-B E-C 的大小为6 ,直 线 与 平 面 BCDE所成的角为a ,直

13、线A,E与直线3 c 所成角为/7,则（）A./3 a 0B./3 0 aC.a p 0D.a 0,PA=AB=1,AD=3,点 E,尸分别在4?,BC上,当空间四边形尸EED的周长最小时，直线。4 与平面尸 所 成 角的正切值为（）A 3A/5 石 3 6 0 2 行A-D.-V.-U.Zv J5 5 226.（2021 宁江区校级模拟）如图，水平桌面上放置一个棱长为4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDRG上有一个小孔E,E 点到CD的距离为3,若该正方体水槽绕8 倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDRG与桌面所成角的正切值为（）A.B.222y

14、/5TD.22 7.（2 0 2 1 运城模拟）大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时.，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴0 5在平面a内绕点O左右摆动，平面，与水平地面垂直，0 3 摆动的过程中，点A在平面月内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，/7,B e。.设O B =4AB,在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A.点A在某个定球面上运动B.与水平地面所成锐角记为8,直线。8与水平地面所成角记为5,则6+5为定值C.可能在某个时刻，A B H

15、 aD.直线O A 与平面a所成角的正弦值的最大值为姮1 72 8.（2 02 1 萍乡二模）如图，在正四棱柱ABC Q-A4GA中，AB =A D =3,A 4,=4,P是侧面B C g 片内的动点，且 A P J.B R,记 AP与平面8 C G 耳所成的角为。，贝 h a n d 的最大值为（）C.2D.25T29.（2021 温岭市校级模拟）如图，已知正四棱锥0-A5CD的各棱长均相等，M 是 四 上 的动点（不包括端点），N是 AO的中点，分别记二面角尸 MV C,P-A B-C.P-M D C为a,夕，/,则（）A.y a/3B.a y PC.a /3 yD.p a MN BN,记

16、4 V,CD与半平面夕所成角分别为4，4,则（）aA.0X 2(9,3,24，a 2 4B.0.2 名D.92仇,4 2【答案】A【详解】如图，过点B作 B E/,过点M 作 M E/N B,其交点为E,取 AE的中点为尸，则4=/4 ,仇=NFME,在 A A M E 中，AM NB=M E,故4=ZFME 4AMF=。一&3,则 q2q；过点A作 47，M E,垂足为H ,则a=ZAN H，取 A M =1,当 A =&时，则有名=工，则4 22；故选：A.3.（2 02 1 诸暨市模拟）已知底面A B C D 为正方形的四棱锥尸-旗 8,P点的射影在正方形AB8内，且尸到 8。的距离等于

17、叨的长，记二面角P-A8-C 的平面角为a ,二面角P-C O-A的平面角为夕，二面角P-AD-C 平面角为y,则下列结论可能成立的是（）C.a=p p=y【答案】C【详解】作尸O1面/WCZ），OM V AB,ON 1CD,OTA.AD,OWA,BC,连接 PM、PN、P T、PW,.二面角P-A B-C的平面角为a,二面角P-CZJ-A的平面角为4,二面角P-A D-C平面角为y,.-.a=ZPMO,p=APNO,y=ZPTO,.2到水:的距离等于叨的长，.。：。，即点O落在区域AMND内，若A成立，则。在正方形ABC。的中心点，不可能，故A错误；若3成立，则OM=OT,.C N O/0,

18、不成立，故3错误；若C成立，则O落在中线TO上，则QMOT,a=P ON,a O B.a+0-D.a +夕2。【答案】A【详解】如图，过 4 作 A77_L平面88,垂足为H,过 A作 A G _L E b,垂足为G，设 AG=d,A H =h,ZAEG=y,因为 A_L 平面 8 8,F u 平面 B C D,故 A，H，EF,又 A G nA”=A,故 防 _L平面AG”,又 G W u平面AG”,所以 EFLGH,故 N AG=6,由 NAZ=a，ZAFH=p ,在直角三角形AGE中，AE=/L ,同理4 午=上 一，sin/cos/h h故 sin a =sinr=sin Osin y

19、,同理 sin/?=sin 0cosy，d dsin/故 sin2 a+sin2(3=sin2 0,故 _ cos2a _ cos2=2 0,整理可得 c o sl a+cos2=,2 2 2 2所以 cos(a+/?+a /7)f cosa+(a/?)=2 2整理可得，cos(a+/?)cos(a-/?)=cos20,即“(+)=，COS 0 C0S(6f-0)若 a +e,由 0 。三，cos(a+/).eo s。，即 cos(a+).,4 cos。但|cr一月|cos,即 cos(a+)。，故选项A 正确，选项B 错误；由 sin2 a+sin2p=sin2 3,可得sina vsin。

20、，sin户 vsin。,而 a,B,e 均为锐角，故a e,i e,a+pie,当。从 5 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（）AAA./M 出的大小不会发生变化B.二面角4-8-C 的平面角的大小不会发生变化C.应）与平面ABC所成的角变大D.A 3与小所成的角先变小后变大【答案】C【详解】对于 A,cos AADB=cos ZADE-cos ZBDE=cos 60-cos Z120=-4是定值,.W B 的大小不会发生变化，故 A 正确；对于3,根据三面角余弦定理得：八 cos ZADE-cos ZADBcos ZEDB 5 一（一/“（-5）后COS u=-=-=-=,sin Z

21、ADBsin Z.EDB y/5 A/3 5-x 4-2 二面角A-Q-C 的平面角的大小不会发生变化，故 3 正确；对于C,通过直观判断，当区点固定，加 方向不变，。由B 向A 滑动时,故 与 平 面 所 成 角 逐 渐 变 小，故C 错误；-BC对于。，与 E所成角为 N ABC,cos/ABC=,AB由 题 意 知 先 减 少 后 增 大，平面ABC贴近底面,.回与。E 所成的角先变小后变大，故。正确.故选：C.6.（2021浙江模拟）在三棱锥-ABC中，AZ=2/W=2AC=23C,点 A 在面8 a 上一的 投 影 G 是ABCZ）的垂心，二面角G A3 C 的平面角记为a ,二面角

22、G 8C A 的平面角记为万，二面角G COA 的平面角记为7,则（）A.a /3y B.a y/3 C.3 y a D.y p a【答案】c【详解】如图，连接8 G、D G,并延长交 心、3 c 于 H、P,取 AB中点Q,连接AP,AH,HQ,CQ,先作几何分析如下：-.D P L B C,且 AG_L8C,r.BC J_平面 抬，:./3=ADPA,同理，DC_L 平面 4 阳，y=ZBHA,.CQA.AB,且 C_LAB,C Q、D C u 平面Q C，AB J_ 平面”QC,/.a=Z.HQC，同时，-.-APVBC,;.BP=C P,结合8C_L)P,可知 BD=CD,设 AB=1

23、,AB.L BC.AB-CD=AB-(AD-AC)=1 x 2 x cos ABAD-1 x 1 x cos 60=0,解得cos/R4=1,4由余弦定理：BD=lAB2+AD2-2 AB-AD-cos ABAD=2=DC=AD,三棱锥。-ABC为正三棱锥，由题意得 CQ=4 2=3 4 8 =巡，DP=lBD2-B P2=,2 2 2QH=(CQ二 CH。=乎,/.cos a=cos Z-HQC=QH _J33CQ6cos P-cos/DPA=AP2-DP2-AD22 A P D P15cos y=cos ZBHA=BH?+AH?-AB?2 B H A H715cosa cosy cos/?

24、.:.a y p.故选：C.7.（2021浙江模拟）在三棱锥P A 8 c 中，4 4 c =60。，ZPAB=ZPAC=0,二面角8-P A-C 的大小为 a,则6,a 可能是（）A.（9=30,a =60 B.0=45,a=60 C.6=45,z=9 0 D.，=60,=90【答案】C【详解】假设B4J平面ABC，因为A B，A C u 平面4 5 C,所以PAA.AC,故 N8AC为二面角B R4 C 的平面角，所以&=60。，lit时 lfi=NA4C=，=90。，故选项A,8 错误；假设a =90。，即 平 面 平 面 R4C,当PB=AB,PC=AC时，则 凶 4 3 与A FO

25、l为等腰直角三角形,即当a =90。时，ZPAB=Z P A C=0=45,故选项。错误，选项C 正确.故选：C.8.(2021浙江二模)如图，在正方体/WCD-防 G”中，P 在棱8 c 上，BP=x,平行于3。的直线/在正方形E F G H 内,点E 到直线/的距离记为d,记二面角为A-/-P 为 0,已知初始状态下x=0,d=0,则()A.当x 增大时，。先增大后减小 B.当x 增大时，。先减小后增大C.当“增大时，。先增大后减小 D.当d 增大时，。先减小后增大【答案】C【详解】由题意，以尸为坐标原点，FB,F G，F E 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设

26、正方体的棱长为3,则 P(2,x,0),a(2,0,2),设直线/与”，所 交于点，N,则(0,0,2-&d),N(0,岛,2),所 以 府=(一 2,0,-0 1),A N=(-2,V2J.0),丽=(0,血,岛)，而;=(-2,-x,2-岛),设平面AM N的法向量为rn=(a,h,c)，.m-AM=0 nn-2a-42dc=0则 一，即1 ，m-AN=0-2a+J2dh=0令 a=d,则玩=(d,0,-0),设平面PMN的法向量为乃=(e J,g),n-P M=0 j-2 e-+(2-&d)g=0则 _ _ _，即 l n-MN=0 y/2df+y/2dg=0令 f =l,则为=(一 +

27、0 一2,一 1),-x +-2d+2 亚则 cos=I玩I I菊/：tx+,2y+2对于 A,B,令 d=0,则 cos6=cos v 沆，万 =(X+2)2+8显然函数y=J 夫 一 在(0,+oo)时为减函数，即cos，减小，则。增大，故选项A,3 错误;(x+2)+8对于。，D,当 x=0 时,则 cos 0=cos=血-2.2 夜2)、2(d-a)d +4V2+4 j(J-7 2)2+4I(d-屋+8 d(d-0)+16必 _ 屋+4(d _&+/+6h 8V(d2+4)(d-y/2)2+4 y =(d2+4)(cl-y/2)2+4,则/=2d（d-应y +4+2（屋+4）（d _

28、0）=2（d2-y/2d+4）（2d-母）,因为屋-&d +4 0,令y=0,则4=立，2所以当o d也 时，y o,则函数单调递增，即cose增大，e减小，2故当“增大时，。先增大后减小，故选项C正确，。错误.故选：C.9.（2021 烟台二模）许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面 体.正二十面体的每一个面均为等边三角形，共 有1 2个顶点、3 0条 棱.如图所示，由正二十面体的一个顶点。和与P相邻的五个顶点可构成正五棱锥尸-4 B C D E,则Q 4与面ABCDE 所成角的余弦值约为（）（参考数据：cos360.8）【答案】A【详解】由题意，PA,PB,PC,PD,P E 在平面48C

29、DE上的射影尸A,PB,P C,PD,P E,如图所示，所以五个三角形都是等腰三角形且NAPB=72,A 17因为尸4 =-又 cos 36。=0.8,2 sin 36令 AB=BC=CD=DE=AE=a,所以=*a,2Vl-co?36 6又正二十面体的每一个面均为等边三角形，即=且尸P_L平面AfiCDE,所以R 4 与平面ABCDE所成角的余弦值为-.6故选：A.721 0.（2 02 1 浙江模拟）如图，在大小为4的锐二面角e中，A&a,B&0,M,N w l,AM,BN n ,C,。分别为4 3,M N的中点.记直线4 V与半平面月的夹角为为，直线8 与半平面用的夹角为名.若AM MN

30、 BN,则（）A.a 2 6 ,a 2 4 B.a 2 ac.a 2&,a 2q，a 2 4【答案】A【详解】如图所示，构造直三棱柱4 0尸-E A E,由题意得：NAMF=NGDI=NENB=a,ANH=02,ZCDI=0,在 GZ)/中，,SA G D C MSH D C，GD-sin ZGDC=DI-sin ZIDC,;AM MN BN，:.GDD/,sin ZGDC sin A1DC,/.Z.GDC MN BN,sin 202sin q=2COS02-sin/ANM 1,a 2O2,故选：A.AWOR:11.（2021大连二模）点 P 为边长为1 的正四面体4 3 8 底面3 8 内一

31、点，且直线A P与底面8 8 所成角的正切值为卡，则动点P 所在曲线长度为（）A.-B.-C.-D.-6 4 3 2【答案】C【详解】由题意如图，AO是正四面体的高，O 是底面的中心，正四面体的列出为I,0E=73,PE=J4+3=V7,BE=2,PB=74+1=x/5,.CZ5/BE,.NP8E是是直线CD H P B所成的角（或所成角的补角）,直线CO与P 8所成的角的余弦值为：cosZPB=4 +5_2x2x75_75一 10 故。正确.故选：C.四棱锥S-4 S C D的底面为正方形，S）_L底面A B C O,则下列结论中错误的是（）A.AC.LSBB.平面SQ9_L平面SADC.S

32、A和SC与平面S3D所成的角相等D.异面直线A B与SC所成的角和异面直线8 与SA所成的角相等【答案】D【详解】四棱锥S-ABCD的底面为正方形，S_L底面/WCD,对于4,由题意得AC_L8,AC LSD,BDSD=D,BD、SD u平面 S3。，r.AC_L平面 S3。，.SBu 平面 SBZ),/.AC V S B,故 A 正确：对于8，由题意知AO_LCD,SDA.CD,AD,SEu平面.CE J_平面 A ,.Cu平面SCO,.1平面SCD_L平面S4，故 3 正确；对于C，以。为原点，为x 轴，Z5C为y 轴，S为 z 轴，建立空间直角坐标系,设 A3=l,DS=t,则 S(0,

33、0,t),A(l,0,0),C(0,1,0),3(1,I,0),(0,0,0),DB=(l,1,0),05=(0,0,。，SA=(1,0,T),SC=(0,1,T),设平面S8的法向量五=(%,y,z),则 卜 方=f=,取.I,得万=(1,一 1,0),n-DS=tz=0设 SA和 SC与 平 面 所 成 的 角 分 别 为 a,夕,万 SA|1则 sm a=-=一二1,|n|-|SA|sin p=|n-SC|ii-SC.SA和 SC与平面S3E 所成的角相等，故 C 正确:对于。，由。得 通=(0,1,0),SC=(O,1,T),CD=(O ,-1,0),&4=(1,0,T),COS=AB

34、.元I而I 前Icos=CD SACD-SA=0,1J1+7 异面直线4 3 与 SC所成的角和异面直线8 与 S 4所成的角不相等，故 D 错误.故选：D.14.（2021浙江模拟）如图，已知圆柱001,A 在圆。上，A O=1,。=0,P,。在圆01上，且满足 PQ=手，则直线A01与平面OP0所成角的正弦值的取值范围是（）A.0,捶 B.近 口,史 述 C.三 逅 川 D.0,1 6 6 6 6【答案】A【详解】取P Q中点M,连。1仞，OM,过。作Q N1M。，Q N1面O P 0,因为尸。=孚，。=。4 =1,所以 当，t a nNM O=乎，所以 NM Oq=30。，。吐明器包2，

35、建立如图所示的空间直角坐标系，阳-手，0,，设A(C O$e,si n，-V 2),其中夕为。4与X轴正向所成角,Z 历 _于是平血O P Q的法向量为沅=Q M =(-,0,-)，直线A O 1的方向向量为 =a M =(cos0,si n 0,V 2),4 4所以直线A O,与平面O P Q所成角的正弦值为fn-n _ I 2-4C0S1_ IV6-3cos|rn-n 近百2 66故选：A .Xy15.（2021河南二模）已知正方体ABCD-44GA的体积为16也，点尸在面4 4 G A上,距离分别为2,273,则直线CP与平面8。卷所成角的正弦值为（）A.立 B.3 C.1 D,12 3

36、 2 3【答案】B,。到P的【详解】设正方体的棱长为a,则/=1 6上，故。=2逝，即A8=2及，.4 6=应。=4,连接CP,C f=口-8；=J（2厨-（2&y=2,.AP=2,则点P在4 G上且为中点，连接AC与 比 交于。，连接OP，可知AC _L平面B D D E,则Z.CPO为直线C P与平面B D D 与所成角,在直角三角形CPO中，.七 足/二 空 二 冬 二 更.PC 2 8 3故选：B.1O.(2021宁波二模)如图，在等腰梯形 A8CD中，AB=2AD=2BC=2CD=4.所在的直线翻折成A C,记二面角。-A C B 大小为a(0 a,ZDAC=ZBAC=3 0,ZAC

37、B=90.在翻折过程中，ACZ7F,A C A.F E,所以N/F E=a,对于A,假设存在a ,使得DA 平面DBC,因为。C u 平面Z 7 8 C,所以Z7A_LZ7C，与O A 和。C 成60。角矛盾,所以A 错；对于3,当e=9 0。时，平面D A C，平面ABC，因为3 C _ L A C,所以3C _L平面Z7AC,又因为。A u 平面Z7AC，所以。A _ L 8 C,所以存在a ,使得/X 4 _ L 8 C,所以3 对；对于C,当&=90。时，平面。AC _1_平面A B C,所以C 错；对于。，假设存在a，使得平面。平面A 3 C,过。作 ZM_L相 于 M,因为平面。A

38、 B C 平面ABC=A B,所以Z7A7_L平面A6C,因为A C u 平面A B C,所以A C _L/A/,又因为ACJ_Z7尸，D F D M =D,所以AC _1_平面。1牛，又因为M F u 平面。M F,所以AC_L句0,又因为A C,尸 E,所以回与 EE重合，即M 点与E 点重合,此时ND F=90。，与 NO F 为等腰/=印 一 个底角矛盾，所以。错.故选：B .17.（2021嘉兴二模）如图，矩形ABCZ）中，已知4?=2,B C =4,E 为AD的中点.将A43E沿着跖向上翻折至 4 3 E,记锐二面角A-8 E-C 的平面角为a ,A S与平面BCDE所成的角为夕，

39、则下列结论不可能成立的是（）A.s i n c r =s i n/7 B.0 c o s a =c o s 夕 C.a 4【答案】。【详解】记 3c的中点为尸，连结A F与 监 交于点O,则 a =N A O ，4=并记 A 二 ,因为s i n a =AfHOA42si ni/A:B 2所以s i n a =J 5 s i n，故选项A l E 确;将平方得,s i n2 a=2 s i n2 f,所以 1-c o s 2 a =2（1-c o s?夕）,故 c o s2 a=2 c o s2 p-c o s 2/?,因为c o s2a c o s a ,所以c o s 2/c o s a,

40、所以a 2/，故选项c正确；位 O H n B H因为 c o s a =-j=,c o s/=,V 2 2则&c o s a =c o s/，故2 O H =B H ,所以N 0 8 =g,所以选项6可能成立;6T T另外由选项。可知，a 2/3,并且用一，4兀所以。-尸 2 夕-尸=尸,使得二面角B-A C-D 为60。，设 E 为&C 的中点，F 为三棱锥夕-A8 表面上动点，且总满足AC_LEF,则点尸轨迹的长度为（）A.273 B.C.6 D.巫2【答案】D【详解】连接4 C、B D,交于点。，连接。9,ABC）为菱形，ZABC=60,所以 AC_L3,O_LAC,AABC、A C

41、D.ABZC 均为正三角形，所以N QOZ）为二面角9-A C-。的平面角，于是/用。=60。，又因为。夕=8，所以夕o r）为正三角形，所以夕。=0 夕=。=2土=百，2取 OC中点?，取 8 中点Q,连接E P、E Q、P Q,所以P Q/O。、EP!I O B ,所以 ACJ_EP、A C L P Q,所以 AC_L 平面 EP0,所以在三棱锥B-A C D表面上，满足AC E F的点尸轨迹的AP0,因为9=，0 3,P Q -O D,E Q -B Q,所以AEP。的周长为3.3=3 叵，2 2 2 2 2所以点尸轨迹的长度为之叵.2故选：D.19.(2021 江苏二模)“帷幄”是古代打

42、仗必备的帐篷，又 称“惺帐”.如图是的一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为5:3,则正脊与斜脊长度的比值为()2【答案】BC.10D.19【详解】设正脊长为。，斜脊长为，底面矩形的长与宽分别为5r和夕，如图过S作SO_L上底平面于O,过O作OE_LAE于E,作。尸J_A尸于F，连接 S E、SF ,山题意知 tan NSEO=tan NSFO=L2SE2=b2-(-)2,SF2=b2-()2,所 以 甘=,于是a=2r,故选：B.20.（2021 宁海县校级模拟）如图，矩形ABCD中，2A

43、6=3AD=6，点耳,5（i =1,2）在 C D,A D ,满足&=2,E F/I E E，将沿耳耳向上翻折至）,使得。在平面A s s 上的射影落在的重心G处，设二面角r r-A 5-c 的大小为a ,直线DA,与平面ABCD所成角分别为/，/,则（）A.a /3 yB.y a/3C.ay 0 D.Pay【答案】A【详解】作 G _ L A B,交A B于H ,D Gtan a -G HoD GD Gtan/=-G C且 GC G4 G”，/.tancrtantan/.:.a.故选：A.HBA21.（2021玉山县模拟）已知正方体ABCD-A4C和空间任意直线/，若直线/与直线AB所成的角

44、为名,与直线CG所成的角为电，与平面44。所成的角为口，与平面ACGA所成的角为4,则（）y Z 7 L T C 7 CA.Z|+与平面ACC14有交线AC,故当/为AC时，4=4=0，故选项5,。错误.故选：B.2 2.（2 0 2 1 杭州模拟）如图，在矩形A B C O 中，A D A B,现将A 4 B D 沿 折 至 43。，使得二面角4-3 -C 为锐角，设直线4。与直线8 所成角的大小为a ,直线4c与 平 面 所 成 角 的 大 小 为夕，二面角8-AD-C的大小为/,则a,。,7 的大小关系是（）A.a/3y B.ay/3 c.ya/3 D.不能确定【答案】C【详解】考虑利用

45、极限位置的思想，若 A 4 S ）翻折至平面A B C Q，此时0。aa。.故选：c.2 3.（2 0 2 1 浙江模拟）如图，已知在A A B C 中，A B A C =90 ,AB=.B C =2,。为线段3c上一点，沿4）将翻转至 47 D,若点方在平面A D C 内的射影，恰好落在线段AC上，则二面角8-左-A的正切的最大值为（）C.y/2 D.V3【答案】C【详解】过H作M W LC D于M,连接笈过H作HV _L AZ)于N,连接B N,因为点片在平面ADC内的射影是点，所以B77J平面A 8,由三垂线定理知小W_L CD,BN工A D ,所以 MH为二面角夕-A C-A的平面角，

46、7 1没 笈M H =e,Z C A D =a,则 4=90。一2,6ZG(0,),4所以4V=lcos(900-a)=sina,A N =A H c o sa,所以 A H =tan a,于是 B H=j -ta n2a ,c o s a因为 乙4。=90。，AB =l ,B C =2,所以 AC=6，NACO=30。，又因为HC=/5-ta n a,所以M=Csin30。（百一tana）,2所以 tan 9=H M2 l -ta n2aG -tan a令 君-tan a=f,则 tan。=必-士 椀=2 J l-2(-)2,6,t V2 t 2当 仁 迪 时等号成立，所以二面角B 8一A的

47、正切的最大值 为&.324.（2021 浙江模拟）在矩形A8C）中，A B =2 6 ,A D =3,E、/分别为边AD、3 c 上的点，且 AE=B尸=2,现将A48E沿直线砥 折 成&B E,使得点在平面8CDE上的射影在四边形CDE尸 内（不含边界），设二面角A-B E-C 的大小为。，直线AB与平面BCQE所成的角为a,直线AE与直线8 c 所成角为夕，则（）A./3 a 3 B./3 0 a c.a /3 0 D,a 0 /3【答案】D【详解】过点A 作 B E 的垂线，分别交E B,E F,D C 与点M,G,N ,如图所示，则 N AMN =6,因为3 C/A D,所以直线4 E

48、 与 他 所成的角即为4，当点A 在平面BCDE上的射影为G 时，平面人 ，此时夕=90。，于是当A 在平面BCDE上的射影在线段GV上时，4即 NM 4 A=g e w/?e,再由二面角的最大性可知，a,故 a 6 =3,点 E,尸分别在Afi,B C 上,当空间四边形PEFD的周长最小时，直 线 必 与 平 面 P所成角的正切值为（）A 3旧 R 石 C n 9A.-D.C-O.35 5 2【答案】A【详解】把平面沿展开到与平面ABCD共面的PAfi的位置，延长C到 ,使得 8 =1,则D F =D F,P D的长度为定值，要使空间四边形P E F D的周长最小，只需P E+E F+F D

49、=P E+E F+F D最小，当P,E,F ,。四点共线时，P E+b+田最小.过点A 作 AG_LD尸的延长线于点G,连接PG,E4_L 平面 A B C D,:.PA DF,又 AGP|PA=A,AG、卓 匚 平面 PAG,.,.OF J平面 PAG,.DFu 平面 H 7）,平面 2 G l 平面 P/Z），过点A作A a _L P G于H ,平面抬G C 平面P/7）=PG,A H u 平面弘G,.AaJ_ 平面 PFD,ZAPG为直线PA与平面PFD所成的角,.PD=PA+AD=4,DD=2,CF CD 1PTDD2;.CF=2,OF=6AD CD 3x1 3石二.AG=-=?=-=

50、-DF y/5 5AG 3/5.tan NAPG=-.AP 5故选：A.26.（2021 宁江区校级模拟）如图，水平桌面上放置一个棱长为4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDDCi上有一个小孔石，七点到8 的距离为3,若该正方体水槽绕C 倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDO与桌面所成角的正切值为（）4【答案】D【详解】由题意知,水的体积为4 x4x2=32,如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱外，BBCC,D R交于M,N,P,Q,则尸C=3,水的体积为SBCPN-CD-32,BN+CP2BC CD=3 2,即BN+32x 4 x 4=32,