2021年高考题和模拟题数学（理）分类汇编 05 平面解析几何.pdf

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1、2021年高考题和模拟题分项汇编专题0 5平面解析几何2 21 .（20 21全国高考真题）已知K，尸2是椭圆C：三+亍=1的两个焦点，点M在。上，贝的最大值为（）A.1 3 B.1 2 C.9 D.6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得至制+|M周=2a=6,借助基本不等式 MF-MF200）的上顶点，若 C上的任意一点都满a，h足区2万，则C的离心率的取值范围是（）A.交,B L 1 C.o,交 D.fo,-L2 J L2）2J I 2【答案】C【分析】设尸（毛,为），由8（0,。），根据两点间的距离公式表示出|P B|,分 类 讨 论 求 出 目的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.

2、2 2【详解】设 P（X o，%），由3（0,。），因 为 其+总.=1,。2=/+。2,所以a b.|P B|2=XQ+（j0-）2=a2 1-捐 +（%-匕）2=一/为+*）+a2+b2,3因为从 4 为/?,当g w 即时，忸同：=42,i P B imx=2h.符合题意，由y 2 可得a2 2 2 c 2,即0 b,即/0 2 时，|p 讲=4 +/+/,即 4.+/+02 4 4 ，化简得，（,2 丫 4，#7 7 V s 5所以，点P到直线A B的距离的最小值为 小 叵-4 2,最大值为 生 且+4 0）的焦点为尸，P为C上一点,巴？与x 轴垂直，。为x 轴上一点，且 P Q _L

3、 O P,若|图=6,则 C 的 准 线 方 程 为.3【答案】%=-2【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直.坐标表示列方程，解得。，即得结果.【详解】抛物线C：y2=2px（。0）的焦点为 C 上一点，P b 与X轴垂直，所以户的横坐标为“，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土p.2不妨设尸（告,P）,因为。为x 轴上一点，且 P Q _L O P,所以。在尸的右侧，又.|世|=6,n uunQ（6+g,0）,;.PQ=（6,-p）因为所 以 而 丽=x 6-p 2=0.Q p 0,.p=3,3所以C 的准线方程为x=-一23故答案为：x=.2【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

4、26.（2021 全国高考 真 题（理）已知双曲线C：-一?2=（机 0）的一条渐近线为由+优、=（）,则 c 的m焦距为.【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。功的关系，再结合双曲线中力12对应关系，联立求解 加，再由关系式求得C,即可求解【详解】由渐近线方 程 后+磔=0化简得y=-3 x，即2=且，同时平方得与=三，又双曲线中m a tn a m 3 ia2=m,b2=,故 二=上，解得，=3,加=0 （舍去），c 2=Y+=3 +l =4 n c =2,故焦距2 c =4m tn故答案为：4【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关

5、键7.（2 0 2 1.北京高考真题）已知抛物线C:y 2=4 x,焦 点 为 八 点M为抛物线。上的点，且恒”|=6,则“的 横 坐 标 是；作MN Lx轴于N,则S/“N=.【答案】5 4 5/5【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求S/皿.【详解】因为抛物线的方程为V=4x,故 =2且尸（1,0）.因 为q=6,XM+=6,解得加=5,故“=2石，所以%=gx（5-l）x 2 6=4万，故答案为：5,4 7 5.28.（2 0 2 1.北京高考真题）双曲线。：三y=i 过点(0,6)且离心率为2,则该双曲线的标准方程为()A./-匕=1 B.-一/=1 C.x2 _V 3

6、 r =1 D.3 3 3 3【答案】A【分析】分析可得 人=岛，再将点（、历,6卜弋入双曲线的方程，求出。的值，即可得出双曲线的标准方程.2 2【详解】；e=2,则c =2a,一 二 必 力=总,则双曲线的方程为二 一 二=i,aa 3 a-将点（JI,G）的坐标代入 双 曲 线 的 方 程 可 得 磊=5=1,解得4 =1,故b=A2因此，双 曲 线 的 方 程 为2 1=1.3故选：A.9.（2 0 2卜北京高考真题）已知圆C:x 2 +V=4,直线=H+根，当%变化时，/截得圆。弦长的最小值为2,则血=()A.2 B.+5/2 C.y/3 D.土也【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离

7、，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出加【详解】由题可得圆心为(0,0),半径为2,m则圆心到直线的距离d=，4 2 +1则弦长为21 4F-，V k2+l则当k=0 时，弦长取得最小值为2“一加2=2,解得机=6故选：C.1 0.(2021 浙江高考真题)已知 a,b e R,M 0,函数/(x)=以2+伙工 w R).若/(s-/)J(s),/(s +f)成等比数列，则平面上点(s,f)的轨迹是()A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线【答案】C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得f(s-t)f(s+t)

8、=f(s)2,即”解_)2+可口(5+行+可=(心 2+6)2,对其进行整理变形：(as?+a(2-2 ast+b a s2+at2+2asf+b)=(as?+b)，(以+at+)(2a)-(as1 +A)0)(las2+at2+2 b)a/一4a25v=0,一 2a2s2/+a2t4+2 aht2=0，所以一 2a$2+。产 +2Z?=0 或 r=0，其中)一.=1 为双曲线，f=0 为直线.aa故选：c.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.11.(2021.浙江高考真题)已知椭圆5+当=

9、1(。6 0),焦点(-c,0),居(c,0)(c 0),若过大的a b直线和圆(x+y2=c，2相切，与椭圆在第一象限交于点p,且轴，则该直线的斜率是如图所示：不妨假设c=2,设切点为8,即可求得离心率.sinZPfJ/s-sin ZBF.A-,tan/P耳 6-.-7*2 忻4|3 五万5，椭圆的 离心率是.答案正 且5 52【分析】不妨假设c=2,根据图形可知，sin/P月入=,再根据同角三角函数基本关系即可求出所 以人=冬叵，由4=图1f，忻 用=2c=4,所 以 归 周=述5 1也|5，归国=竽，于是2a=|尸耳|+|尸闾=4 6,即a=2右,所以c _ 2 _垂a 2#)5故答案为

10、：；.5 512.(2021北京高考真题)已知椭圆E：A mKab 0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4班.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点尸（0,-3）的直线/斜率为&,交椭圆E于不同的两点B,C,直线A8,4 c交产-3于点M、N,直线A C交尸-3于点M若|PM+P M W 5,求”的取值范围.【答案】（1）土 +匕=1；（2）-3-l）O（l,3.5 4【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求。涉，从而可求椭圆的标准方程.（2）设8a,凶）,。（%2，%），求 出 直 线A C的方程后可得M,N的横坐标，从而可得+|/W|，联 立 直 线 的

11、 方 程 和 椭 圆 的 方 程，结合韦达定理化简1 PM i+|PN|,从而可求人的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过A（0,-2）,故匕=2,因为四个顶点围成的四边形的面积为46，故g x2 a x2 =46,即。=逐，X2 y 2故椭圆的标准方程为：+-=1.5 4设5（%,）,。（程 必），1*1为宜线BC的斜率存在，故为N ，故直线土2-2,令y =-3,则x“=三 ,同理4=一一三西 凹+2 必+2直线 B C:y=kx-3,y=kx-3由，、4 r+5y-=2 0可得（4+5公 卜2 3OAx+2 5=0故A=9 0 0上一1 0 0（4+5左2）0,解得左 1.3

12、0 2 5又i二W%E故玉工2 0,所以如再7 0又忸M+M1=|叫言+言-1-kx-1 kx2-2 kxX 2 _（X +）kxx2 一上（玉 +/）+50k 30左4 +5 正-4 +5正2 5k2 3 0k2,-4-+-5-/v-4-+-5-/r+1故5阂4 1 5即网4 3,综上，一34左 一1或1 l）；（2）0.1 6 1 ）【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点片、尸2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值,即可得出轨迹。的方程;（2）设点T设直线A 3的方程为y f=K，设点A（X1,y）、B（x2,y2）,联立直线A 3与曲线C的方程，列出韦达定理，求出|7+|71

13、 5|的表达式，设直线P Q的斜率为女2,同理可得出1 7Pl|TQ|的表达式，由|冽|用=TP|T0|化简可得k、+k2的值.【详解】因为|用 一|用=2 0乃 0）,则2 a =2,可得a =l,b=Vl-cC=4-a b“2所以，轨迹。的方程为r需=1（x2 1）；（2）设点7,若过点了的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点,不妨直线A B的方程为y-t =K,即 y =k1x+r-Q 2 ,联立=k x*=ky|X+2 1,消去y并整理可得(#-1 6卜2+自 一4)1 6 x2 y2=1 6、2+1 6 =0,7设点4（石,1）、（马,%），则%g且由韦达定理可 得%+%,=

14、/等，2 J +16.1 6 一=._ 6所以，啊阿=（1+用卜一扑十（1+环）叱z一空+扑 yj）设直线PQ的斜率为内,同理可得1 7 P H7。|=产+1 2)(1 +k-16因为|切|烟=|配 卜 即+0(1+4)=+12)(1+)11111111 k；l6 后-1 6整理可 得 片=心，即/一 )/+)=0,显然勺 一&*0,故21+%2=。.因此，直线A B与直线PQ的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（I）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.1 4.（2021浙江高考真题）如图，已

15、知尸是抛物线：/=2%（/?0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且网尸|=2,（1）求抛物线的方程；（2）设过点尸的直线交抛物线与4、8两点，斜率为2的直线/与直线M 4,M B,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且|R N|2=|P N HQ N|,求直线/在x轴上截距的范围.【答案】/=4x；46 7 +4百【分析】（D求出的值后可求抛物线的方程.（2）设A5:x =（y +1,A（%，x）,5（w，%），N（,0）,联立直线A 8的方程和抛物线的方程后可得乂%=人,%+必=4,求出直线M 4,M B的方程，联立各直线方程可求出力/,”，根据题设条件可C +1?3+4产得 7 =7

16、-1从而可求的 范 围【详解】（1）因为|知尸|=2,故=2,故抛物线的方程为：；/=4北（2）设 AB:x =（y +l,9,）,N（,0）,y 1所以直线:x =+，由题设可得。1且r w-.2 2x=ty+.由，可得 y 2-4/y-4 =0,故 X%=-4，%+%=今，y=4x因为|孙2 =1PNHQN|,故（正|冈）.尾园，故4=1谒 又M 4:y-、=七。+1)X,4-1 f,日由 可得力yx =+22(+l)y2X j +2-y同理“2。+1)%2x +2 丫 2x =r y+1由-n2+1 4 n +l 04BPLI解得 n -7-4 7 3 或-7 +4 7 3 4 1 .故

17、直线/在x轴上的截距的范围为4一 7-46或-7 +4gW“1.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.1 5.（2021 全国高考真题（理）在直角坐标系x O y 中，0 C的圆心为C（2,l）,半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点E（4,l）作 OC的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.【答案】（1）X-2+COS a,（a 为参数）；（2）20c os（6

18、+71）=4-6或2/9 c os（67 T ）=4+6r-.、y =l+sin a 3 3【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4,1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由 题 意,OC的普通方程为（x-2）2+（-1）2=1,x =2+c os a所以OC的参数方程为 ,.，（a为参数）y =l+sin a（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为y 1 =伙 -4）,即依y +l 4Z =0,由圆心到直线的距离等于1 可得-2kll+k2解得左=,3所以切线方程为6*3y +3-4 8=0 或 G x+3 y-3-4

19、石=0,将 x =0c os，y =/?sin（9 代入化简得20 c os（6 +2）=4 G 或 20c os（6 -。）=4+G【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.1 6.（2021 全国高考真题（理）己知抛物线。：为 2=2 期（0 0）的焦点为尸，且尸与圆M:/+（y +4）2=l 上点的距离的最小值为4.（1）求 P；（2）若点尸在M 上，PA PB 是 C的两条切线，A,8是切点，求PAB面积的最大值.【答案】（1）P=2；（2）207 5 .【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于P的等式，即可解出

20、。的值:（2）设点A（石,y）、8（%,必）、P（毛,为），利用导数求出直线P 4、PB，进一 步 可 求 得 直 线 的 方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出|AB|以及点尸到百线A 3的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得P43面积的最大值.【详解】抛物线。的焦点为尸（0,4I 2J,|FM|=+4,所以，F与圆M:/+（y+4）2 =1上点的距离的最小值为勺4一1 =4,解得p=2：r2x（2）抛物线。的方程为f=4 y,即y=、，对该函数求导得y=5设点A&,y）、5（%,%）、P（%,%），直线2 4的方程为y-y当 一 y,即 2%2,=(),同理可知I

21、,直线P B的方程为x2x-2 y2-2 y =0,由于点P为这两条直线的公共点，则不/-2,-2y0 =0 x2xo-2 y2-2 yo=O所以，点A、8的坐标满足方程/%-2丁-2%=0,所以，直线A 8的方程为七%-2，-2%=0,联立x0 x-2 y-2 y0=0 x2，可得 Y -2%/+4%=0,y4由韦达定理可得%+%=2%，=4%,、2点P到直线A 3的距离为d所以，网=1 +7演）小 片 一 16%=J(4 +4乂%4%),所以，Sap=；J(x；+4)(x；-4%)-需 多3片-4%=1 -+4）2-4%=-卜；-1 2%-1 5 =-（%+6）+21.3由已知可得一54%

22、4-3,所以，当%=-5时，P AB的面积取最大值上x 202=20石.2【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.2021年高考模拟题21.（2 0 2 1 .河南高三模拟（理）若 双 曲 线9=1（4 0）的一条渐近线与圆/+（）,一2）2=1相切，则双曲线的渐近线方程是（）A.y=5/3 x B.y=-xC.y=-x D.y =3 x【答案】A【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程

23、，然后由圆心到渐近线的距离等于圆的半径即可求解.【详解】解：圆尸+（一2）2=1的圆心（0,2）,半径为1,双曲线的渐近线方程为丁=土;x.双曲线0 y 2=（a 0）的一条渐近线与圆2+（丁 一 2/=1 1相切，2a.,1/二=1，解得 a2=-,+1 3双曲线的渐近线方程y =+y3x.故选：A.X?42.（2 0 2 1河南高三模拟（理）已知椭圆C:二+方=1（。0）的离心率为不，右焦点为F,O为坐标o原点，点Q在椭圆C上，F Q 1 O F,且归。|=不（1）求椭圆C的标准方程.3（2）点P（肛0）为椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为g的直线/交椭圆C于A,8两点，证明:处+忸制

24、|22为定值.2 2【答案】（1）二+汇=1；（2）证明见解析.2 5 9【分析】（1）解方程组14ab21 62 5，即得解:9、a 5（2）设/的方程为x =g y +初（一5 4机W5）,A（3，y J,B（9,%），联立直线和椭圆方程得到韦达定理，利用韦达定理求出|Q4、|PB，即得解.【详解】（1）解：由题意得4a951 62 5，解得4c i 5,b=3.I a2 2故椭圆C的标准方程 为 工+匕=1.2 5 9（2）证明：设/的方程为x =3 y +?3联立方程组（-5 m 0，即/7/+0：1 为=Y 因此=(Y 1 +1)(/2+)=根2%、2+m(X +%)+2 =2，又

25、宓。豆=-4，所以2%2+乂%=一4，即2一4 +4=0，解得=2；所以=J l +病 J(y +乃)2-yy2=J l +疗 J 1 6加2+1 6 =+2；又点。到直线x=my+2的距离为d=2J l +m2所以 AO AB的面积为SVOAB=g.I A却 d =4ylm2+2 4友 ,即AQ43面积的取值范围是4 J 5,+8）,故选：D.2 24.（20 21重庆高三模拟）己知双曲线餐-2=1（。0,0）的左右焦点为耳，方，虚轴长为2百，若其渐a b近线上横坐标为1的点P恰 好 满 足 西 再=0,则双曲线的离心率为（）A.2 B.73 C.4 D.V 1 3【答案】A-，3【分析】先

26、求得b的值，利用一条渐近线方程求得点尸坐标，然后利用数量积得尸耳尸耳=1-c?+j=0,结合+从 求得离心率.b【详解】解：虚轴长为2力，得b=色,设一条渐近线/：y =-x,则P 1,a、PRI a J ,3PFPF21-C2+-0a）又 0 2=储+2,解得 q 2=,C2=4故 e=2,a故选：A.5.（20 21.湖南高三模拟）设6，F,是双曲线C:二 匕=1的两个焦点，。为坐标原点，点P在C的左支-4 8上，且 F 0P+FPP=2A/3,则 A P F、F,的面积为（）OP OP A.拒 B.473 C.8 D.8X/3【答案】C-【分析】化 筒 竺 竺+空=2百 得|OP|=2j

27、5,所以点尸在以片鸟为直径的圆上，再求出 OP OP 闸熙I=1 6即得解.【详解】由 二 I-OP OP-.所以 O K O P+K P O P=273|O P O P（O月 +片P）=O P O P=2V 3|O P|，可得I OP 1=2百，不妨设耳(一26,0)，&(2石,0),所以1 0 P l=g出 国,所以点P在以片名为直径的圆上，即是以尸为直角顶点的直角三角形，故|P用2+|尸用2=恒鸟，即|P”+|P&=48.又|可|-|P/y=2a =4.所以1 6=|历|一|尸居=归 耳+|尸用2一2归 用 归 周=48-2仍 国 忱 闾，解得归川 尸 闾=1 6,所以凡 叼2=；归耳|

28、归国=8.故选：C -【点睛】关键点睛：解 答 本 题 的 关 键 是 化 简+匕 =2右 得|。尸|=,分析得到点尸在以OP OP为直件的圆匕6.(20 21山东高三模拟)已知抛物线y 2=2p x(p 0)上有两点A,B,。为坐标原点，以。4,。8为邻边的四边形为矩形，且点。到直线A 6距离的最大值为4,则2=()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B 分析】设直线A B 的方程为x =阳+b ,代入抛物线方程消去x ,利用韦达定理求得x +%,y j .设A(%,y),B(X2,y2),山 砺.砺=0整理可得从-2 pb =0,求得b的值，再根据原点到直线AB的距离为判断当根=0时距离

29、最大，进而求得答案.【详解】解：设直线A5的方程为*=冲+6,代入抛物线方程可得/一2 叼一 2 P b =0,设 A(X 1,y),8(%,y2).则 凹+%=2，加，yty2=2phi l l OA-OB=xtx2+yxy2=(myt+b)(my2+b)+yty2=(/+l)y,y2+mh(yt+y2)+b2=(tn2+1)(-2pb)+2pnrb+b2=b2-2 pb=O,解得=2或8=0 (舍去)，即直线A B的方程为X =m y +2 p,原点到直线A B的距离为=下 丝，当m=0时，”最大值=2 p=4.所以=2故选：B.2 27.(2 0 2 1河南高三模拟(理)已知椭圆C：二+

30、二=1的左焦点为尸，点M在椭圆C上，点N在圆E：9 5(x 27+产=1上，贝目+|肱V 的最小值为()A.4 B.5 C.7 D.8【答案】B【分析】根 据 椭 圆 的 定 义 把 求 的 最 小 值 转 化 为 求|A叫一|MN|的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边即可求得.【详解】易知圆心E为桶圆的右焦点，且a =3,0 =火,c =2,由椭圆的定义知：|MF|+|ME|=2=6,所以=6-眼 目，所以|Mr|+|MN|=6|ME|+|MN|=6一(|A/：|M/V|),要 求r|+|MV|的最小值，只需求|“|-|脑”的最大值，显然三点共线时|同一|网取最大值，且最大值为1，所以的

31、最小值为6-1 =5.故选：B.2 28.(2 0 2 1 .浙江高三模拟)设双曲线彳斗=1(“人0)的左右焦点分别为F,F.过左焦点F,的直线与双a b曲线的左支交于点P，交双曲线的右支于点。，若满足归周=2|。周=|耳 闾，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(1,/)C.(&,2)D.(V 2,+o o)【答案】B【分析】利用双曲线的定义得到P Q =4 a-c,由|P g|。周 归 归 用+回 用 可 得1 /=6 0可得l e(血.【详解】因为|尸闾=2|0闾=|耳 闻=2 c,所以|Pg|=2c,|QK|=c.由双曲线的定义可知，归耳|=2 c-2a,|Q周=2a+

32、c,所以=2a+c-2c、+2a=4a-c.所以在“Q心中，有 归 闾-|Q阊 忸 忸 图+|凿|,即c4a c3c,解得 l =e 力 0,所以a 2 /=c 2 _ q 2,即2a2 2,所以有e 2 2,即eV L所以有le 0,8()的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A、B两点，若Q4F3四点共圆(为坐标原点)，则 双 曲 线 的 离 心 率 为.【答案】V2【分析】联立OA直线、与E4直线，求出A点的坐标，联立0 3直线、句/归宜线，求出8点的坐标，观察坐标可知，四 边 形 为 菱 形，其外接圆圆心在A 6、OF的交点处，再结 合 砺.砺 的数量积为0,即可求解.【详解】解：由

33、题意可得尸(c,0),.直线OA、OB都平行于渐近线，b b 可设直线OA的方程为y=九，直线0 8的方程为y=-%,a aA二过点F平行与OA的直线FB的方程为y=-(x-c),a过点尸平行与OB的直线FA的方程为y=-(x-c),a分别联立方程by=-xab（、y=-y-c）hy=xab（xy二,（）解得 川（不r 丁he I，同（不c 一b丁e iI，即线段AB与O F互相垂直平分，【2 2a）（2 2aJ则四边形O A F B为菱形，其外接圆圆心在AB、O F的交点处，二 OALAF,则 Q一A-一A b =-h2-C2=0即4 =匕，4 4/c2=a2+Z?2=2a 2,c=g a，

34、.双曲线的离心率e =叵=J5，a a故答案为：y/2.10.（2021河南高三模拟（理）在平面直角坐标系x 0 y中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点0,且过点P（2,4）,则 该 抛 物 线 的 方 程 是.【答案】产=8%【分析】分析可知，抛物线的焦点在无轴上，可设抛物线的方程为产=3，将点p的坐标代入抛物线方程，求出用的值，即可得出抛物线的方程.【详解】由题意可知，抛物线的焦点在x轴上，可设抛物线的方程为丁=加 将点P的坐标代入抛物线方程，可得2加=16,解得加=8，因此，该抛物线的方程为V=8 x.故答案为：V=8 x.2 211.（2021.河南.高三模拟（理）已知椭圆C:=+=

35、l（a/?0）的右焦点为尸，直线x =与。交于A,8两点，若N A FB =120。，则椭圆。的 离 心 率 为.4【答案】y【分析】先不妨设A的坐标名与，再求出产到宜线X.的距离为怖-。，利用等腰三角形的性质,回1 2 0 万 6列出t a n=J 3,解出即可.2 M【详解】根据题意，把X =代入1 +与=1中，得y =息，不妨设A2 a2 b2 2y/3 ha c i 120 2 仄则/到直线犬=一 的距离为大一 c ,由4 4所=120。，得t a n 二,2 2 2 11-1则=k 2c ,平方计算得（二 1.4故答案为：.【点睛】思路点睛：1.不妨设A的坐标t,当），再求出尸到直线

36、.的距离为,6b 20 Q r c 42.Z X A E B为等腰三角形，且N A E B =120，列出 t a n一h =J 3,解出一=一.2 J。5212.（2021.江苏.高三模拟）已知抛物线V=4 x,点P（2,0）,Q（4,0）.过点。的直线交抛物线于点4,B,AP,8 P分别交抛物线于点C,D,连接A。，DC,CB.（1）若直线4 B,8 的斜率分别为仁，网,求 勺 的值；化1（2）过点尸与x轴垂直的直线分别交A。，BC 于点E,F,求证：P E=P F.【答案】（1）2:（2）证明见解析.【分析】（1）设利用直线与抛物线相交，结合韦达定理直接求k,化简即可求解；匕（2）利用直

37、线与抛物线的关系，由题意分别计算 E，y尸，根据二者关系即可求出尸 =尸足【详解】（1）设4（%,%）,3（,M），。（毛，），。（4，%），直线AC的方程为=叫丁+2,k _ 一%_ 乂 一%_4 4 匚.A-2 2 2 一 ，八I 所以%4-%3 y_A 必+”%/y+%-4 4x-m.y+2,联立，:得/_ 4叫y _8=0,y =4x,A=16m；+32 0,所以,X+%=4班，同理y2y4 =一8X%=-8.由题意得直线AB的方程为 =勺（x-4）.联立 丁?得 好/_（腑+4卜+16灯=0,所以 =（8#+4）2-6%08好+4%+/=1.2，x,x2=16,从而%=片（%一4）（

38、乙-4）=将 石巧-4（%（+X2）+16=-16,所以勺%+为 _ A _ A 8X%（2）证法1：由题意得直线PR的方程为x=2.设直线AD的斜率为幻，则&=&=%一%y+%4所以直线AD的方程为V -X=-弘+”x-x j4 小、令尤=2,则 NE=-（2 xJ+X.y+%4 小、同理 VF=-（2-占）+%.口十%|,r,PE|y|一 五 8%-例%+，2y 2-8 y 8(%-y)PF M l|4(27)+),I 8 y-4尤2%+苗 一8%8(y-%)8%-y故 PE=PF证法2：设(2,%),尸(2,力).因为A,力 三点共线，所以九一另乂一”玉一工4（2-西）乂 一月(2-xJ

39、7 94 44 小、即%-y=-(2-xj,x+%4 所以%=y+-y +%I24-8，/因为 =-，X%=-16%所以24X +(2 2I 4 J44+sy 一2_-VVi-%-+月1-必-1 3 24%乂音一争）4同理力=泗+-(22-AI 413所以|%|=|讣从而PE=PF.13.（20 21重庆高三模拟（理）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，动点G到6（J,0）,（百,0）两点的距离之和为4.（1）试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；L 1（2）已知直线/:y =上（x G）伏0）与圆尸：一6了 +丁 二 交于M、N两点，与曲线C交于产、。两点，其中M、尸在第一 象 限

40、为 原 点。到直线/的距离，是否存在实数左，使得T=（|NQH M）.屋取得最大值，若存在，求出&；不存在，说明理由.【答案】（1）动点G的轨迹是椭圆，轨迹方程为兰+：/=1；（2）存在，k .4 2【分析】（1）根据椭圆定义得方程；（2）分析可知|NQ|一|H=|P Q|-1,再代入消元，用韦达定理及弦长公式得到T的函数关系式，再求最值.【详解】由题意知，|G耳|+|G&|=4,乂4 2百，所以，动点G的轨迹是椭圆.由椭圆的定义可知，c =百，a=2,又因为所以=1,v-2故G的轨迹方 程 二+丁=1.（2）由题设可知，M N一个椭圆外，一个在椭圆内；P、。一个在内，一个在。鸟 外，在直线/上的四点满足：|NQ|-阿 丹=(|NQ|+|NP|)=|P Q|M N|=|P Q|-1X2 2 i+y =1由y -)=k(x _ 扃消去y得：(1+4/)2 8 6公+12/4 =0,()恒成立.设尸（玉,乂），。（2，%），由韦达定理，8麻得玉+x2-7，xx21 +4严12-41 +4攵 2|P 0 =A/(1+2)(X,+X2)2-4XIX2=-所以|NQ|M P|=|P 0 1 =瓦占，。到/距离，J =T =N Q -MP )-d2(4 公+1)(公+1)4k2+5/+19验证可知女=注 满 足 题意.2-.k0,.-.k=2