2021年福建省福州市高考数学质检试卷(一模)(解析版).pdf

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1、2021年福建省福州市高考数学质检试卷（一模）一、单项选 择 题（共 8小题）.1.已知集合4=1,2,3,4,5 ,B=M x=2&+l,依A ,则 AD B=（）A.1,3 B.2,4 C.3,5 D.1,3,5 2 .设复数z=a+b i（a Z,呢 Z）,则满足|z-1区 1 的复数2 有（）A.7 个 B.5个 C.4 个 D.3 个3.“m W”是“/n 2-4？-5 W 0”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.若抛物线y=/上 一 点 G,2）到其焦点的距离等于3,则（）A.m=B.m=C.m=2 D.m=44 25 .已

2、知函数/（x）=lnx,则函数y=/（二一）的图象大致为（）1-x6.在中，E 为 AB边的中点，。为 AC 边上的点，BD,C E交于点F.若 而=JAB得 正,则 旧 的 值 为（）ADA.2 B.3 C.4 D.57 .分形儿何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线R）,P i,P”，.已知尸o是边长为1 的等边三角形，及+i 是对R-进行如下操作而得到：将以的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）.记尸”的周长为“、所围成的面积为S“.对 于 下 列 结 论 正确 的 是（）As sA.产 为等差数列

3、B.产 为等比数列Ln LnC.3 M0,使 D.3 M0,使 S“0,|（p|V-）图象过（0,1）,在区间（-，-）2 12 3上为单调函数，把/（X）的图象向右平移T T 个单位长度后与原来的图象重合.设制，X 2 G（?,军）且制 W X 2,若/（X I）=/（X 2）,则/（X 1+X 2）的 值 为（）2 6A.-B.-I C.I D.5/3二、多项选择题（共 4 小题）.9.“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2 0 0 0 多亿元的餐桌浪费,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对

4、“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了 9 0 位来店就餐的客人，制成如表所示的列联表，通过计算得到群的观测值为9.已知P（烂6.6 3 5）=0.010,P（烂）10.8 28）=0.001,则下列判断正确的是（）认可不认可4 0 岁以下20204 0 岁 以 上（含 4 0 岁）4 010A.在该餐厅用餐的客人中大约有6 6.7%的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有9 9%的客人认可“光盘行动”C.有 9 9%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认 为“光盘行动”的认可情况与年龄有关10.如图，在下列四个正方体中，

5、4,8为正方体的两个顶点，M,N,P为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线A B 平面M NP的 是（）11.己知P是双曲线E：在第一象限上一点，F i,仍分别是E的左、右焦点，4 5 P Q 危的面积为毕.则以下结论正确的是（）2A.点 P的横坐标为与2K nB.C/F 1 P F 2V 3 2C.的内切圆半径为1D.N F 1P F 2平分线所在的直线方程为3 x-2y-4=012.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数s i n h A=和双曲余弦函数一版=瓮小；等.双曲函数在物理及生活中有着某2 2些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线（例如固

6、定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是（）A.c o s h2x+s i n h2x=1B.y=c o s h x 为偶函数，且存在最小值C.V x o O,s i n h （s i n h o）s i n h A osinh Xi-sinhx2D.V x i,X 2E R,且-1xl-x2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.x+y-440,13 .设 羽 y满足约束条件，2x+y-6 0,则 x-2 y 的 取 值 范 围 为.y 0,14.(x+3)5 的展开式中，

7、工的系数为_ _.V x x15 .在三棱锥P-A 8 C 中，侧面P A C 与底面A B C 垂直，Z BAC=9 0 ,Z PC A=30 ,AB=3,2 4=2.则三棱锥P-A B C 的 外 接 球 的 表 面 积 为.16.已知圆C的方程为(x-2)2+(-1)2=4,过点M(2,0)的直线与圆C交于P,Q两 点(点 Q在第四象限).若ZQMO=2NQPO,则点P的 纵 坐 标 为.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17 .在S =2 +l；a i=-l,k g2 (ana+i)2n-1；(3)an+i2ana n+2,S 2 -3,a

8、 y-4 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：己知单调数列 而 的前“项和为S”且满足.(1)求 小 的通项公式；(2)求数列-的 的前项和耳.18 .在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,h,c,a+h=ccosB-hcosC.(1)求角C的大小；(2)设 C 是 ABC 的角平分线，求证：上出.C A C B C D19 .如图，在三棱台 A B C-Ai Bi G 中，A 4I=AICI=C CI=1,AC=2,AxC LAB.(1)求证：平面AC G Ai _L 平面ABBi Ai ；(2)若 N 8 AC=9 0 ,A B=f 求二面角 A-C

9、 的正弦值.2 0.已知椭圆E：号美=1(。匕0)的左、右顶点分别为4(-&,0),小(血,a bz0),上、下顶点分别为Bi,B 2,四边形4比A2 B1的周长为4 y.(1)求 E的方程；(2)设 P为 E上异于4,4 的动点，直线Ai P 与 y轴交于点C,过 A 作AIQ P A 2,与 y 轴交于点D.试探究在X 轴上是否存在一定点Q,使 得 瓦 而=3,若存在，求出点。坐标；若不存在，说明理由.2 1.从 2 02 1年 1 月 1 日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%,有效期一年，服务期间客户账户余额须不少于

10、5 0 万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%,存期须超过 7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单,年利率为3.8 4%,起点金额1000万 元.(注：月利率为年利率的十二分之一)已知某公司现有2 0 2 0 年底结余资金1 0 5 0 万元.(1)若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3 个股东选择同一种产品的概率；(2)公司决定将5 5 0 万元作协定存款，于 2 0 2 1 1 月 1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取5 0 万元作为公司的日常开销.将余

11、下5 0 0 万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩 余(5 0 0 -%)万元作结构性存款.求 2 0 2 1 年全年该公司从协定存款中所得的利息；假设该公司于2 0 2 1 年 7月 1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据 专 业 机 构 评 估，该 笔 投 资 到 2 0 2 1 年 底 将 有 6 0%的 概 率 获 得(-3+0.0 2 x2+0.1 3 5 x)万元的收益，有 2 0%的概率亏损0.2 7 x 万元，有 2 0%的概率保3 0 0 0 0本.问：X为何值时，该公司2 0 2 1 年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大,并求最大

12、值.2 2.已知/(x)x2e-1.(1)判断了(x)的零点个数，并说明理由；(2)若f(x)2 a (2/nx+x),求实数a的取值范围.参考答案一、单项选择题（共 8 小题）.1.己知集合4=1,2,3,4,5）,B=xx=2k+,k&A,则 4 n B=（）A.1,3）B.2,4 C.3,5 D.1,3,5解：集合 A=1,2,3,4,5,B=xx2k+,依A=3,5,7,9,11,则 ACB=3,5.故选：C.2.设复数z=a+bi（a e Z,加 Z）,贝 U 满足|z-1|W1的复数z 有（）A.7 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个解：z=a+bi,；.z-1=（a-1）+b

13、i,Iz-ll=U（a-l）2+b2；|z 7 0,W（a-l）2+b2W l,/.（a-1）W0,抛物线的准线方程为：），=-,4 m抛物线），=M?f上 一 点（力2）到其焦点的距离等于3,可得:=3,解得 o i=4-4故选：A.V l-x 0,：.x ,即该函数的定义域为（-8,1）,排除选项A和B,当x=-1时，y=-/n 2 所 以 正 号 还 申 而，因 为 F,。三点在同一条直线上,所 以 人=1,所以入=4,7 7所 以 祟=4.A D故选：c.7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线Po,P”P”,-已知Po是边长为1的等边三角形，R+i是对

14、R 进行如下操作而得到：将入的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（上=0,1,2,）.记尸 的周长为乙”所围成的面积为S”.对于VeN,下列结论正确 的 是（）SnA.-为等差数列LnC.3M 0,使品snB.产 为等比数列LnD.3M 0,使 SVM解：根据题意可知，封闭曲线的周长数列 金 是首项为。=3,公比为告的等比数列，所以品=3X （母 尸,由图可知，A 边数为3 义4 ,边长为所以n+i 比pk的面积增加了 3 X a X 乎 X G备）2雪 X（-1）k,3所以 Sk+/S k W*合）k,g o,1,2,.）,即S1考X ），$2=

15、S1考X（1）L，%=S k i挈X 4 尸,累计相加可得S n/咨X 停）”，2 a 3 V 3 7 A.n所 以&=5 F(9)巫X(l)n V3xXL n 3 X 停)n 1 5 *2 0 3 nsn根据等差数列以及等比数列的定义可知，产 既不是等差数列，也不是等比数列，故选Ln项A,8错误;当f+8时，=3 X （）n-1 _ +o o 故选项 C 错误；因为S上返国a X伐）n 型?，故泌0,使SVM,故选项。正确.n 5 2 0 5故选：D.8.已知函数/（x）=2 s i n （o u+（p）（a）0,|（p|-）图象过（0,1），在区间（彳了，二丁）上为单调函数，把/（X）的图

16、象向右平移冗个单位长度后与原来的图象重合.设加，X2 G且冗1 必 若/（XI）=f（X2）,贝I/（X1+X2）的 值 为（）2 6A.-B.-1 C.1 D.I T解：函数/（x）=2 s i n （o u+（p）（a）0,|q）|-）图 象 过（0,1）,71 IT故有 2 s i n（p=L.（p =,f（x）=2 s i n （c o x+）.6 6v/（x）在 区 间（工，）上为单调函数，工工，；.3 W 4.1 2 3 2 3 3 1 2把/a）的图象向右平移冗个单位长度后与原来的图象重合，.97 1n=k*-，A w Z,A(D=2 或 3=4.3TT IT TT当3 =2,f

17、(x)=2 s i n (2 1 H -),不 满 足 在 区 间,)上为单调函数.6 1 2 3TT TT TT当3=4,f(x)=2 s i n (4 1 4 -二)，满足在区间(,)上为单调函数.6 1 2 3、儿 X,X2 Cz(7 T ,-5-兀-)、且口工 1工,:工2,贝n,i()44 x H-7-T 6 (.2.T T 3兀、/T T z.7 TT T4,2 i r H ),4x2 E(2 7 T H ,2 6 6 6 2 6 60 ,3兀、2 i r+)，2兀 T T若/(X1)=/(X2),则 1 +6 +2 +6 =2 n+?,.*.X|+X2 =-,226则/(X1+X

18、2)=/(上 工)=2 s i n 空1=1.6 6故选：C,二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分.9.“-粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2 0 0 0 多亿元的餐桌浪费,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了 9 0 位来店就餐的客人，制成如表所示的列联表，通过计算得到群的观测值为9.已知（烂6.6 3 5）=0.0 1 0

19、,P（K 2 1 0.8 2 8）=0.0 0 1,则下列判断正确的是（）认可不认可4 0 岁以下2 02 04 0 岁 以 上（含 40 岁）401 0A.在该餐厅用餐的客人中大约有6 6.7%的客人认可“光盘行动”B.在该餐厅用餐的客人中大约有9 9%的客人认可“光盘行动”C.有 9 9%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D.在犯错误的概率不超过0.0 0 1 的前提下，认 为“光盘行动”的认可情况与年龄有关解：心的观测值为9,且 P （心6.6 3 5）=0.0 1 0,尸（群1 0.8 2 8）=0.0 0 1,又：9 6.6 3 5,但 9 1 0.8 2 8,.有9 9%的

20、把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0。1 0 的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C正确，选项。错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为6 0 人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为*X 1 0 0%Q6 6.7%,故选项A正确，选项B错误，故选：AC.1 0.如图，在下列四个正方体中，4,8为正方体的两个顶点，M,N,P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线4 8 平面MNP的 是（）解：对于选项4,连结AE,B E,如图所示，因为M,N,P 为所在棱的中点，由中位线定理可得，AEMN,EB/NP,5.AEQBE=E,MN

21、CNP=N,AE,8Eu平面AE8,MN,NPu平面M N P,所以平面MNP平面AE8,因为ABu平面A E B,所以4 8 平面M N P,故选项A 正确；对于选项8,如图所示，因为M,N,P 为所在棱的中点，所以ANP B,且A N=P B,故四边形ANPB为平行四边形，故ABPN,因为ABC平面MNP,PNu平面M N P,所以AB平面M N P,故选项8 正确;图对于选项C,连结上底面的对角线交于点。，连结0 P,如图所示，因为M,N,尸为所在棱的中点，由中位线定理可得，ONHAB,因为ON与平面MNP相交，故 AB与平面NMP不平行，故选项C 不正确;N对于选项。，连结上底面的对角

22、线4 E,如图所示，因为M,N,P为所在棱的中点，所以A E M N,BE/PN,又因为 A E C B E=E,M N C P N=N,AE,8 E u 平面 A B E,PN,M N u 平面N M P,所以平面A B E 平面M N P,又 A 8 u 平面A B E,所以4 8 平面MNP,故选项力正确.1 1.已知P是双曲线E：式 _ 工：=1 在第一象限上一点，F i,6分别是E的左、右焦点,4 5 P A B 的面积为竽.则以下结论正确的是（）A.点 P的横坐标为K KB.ZFIPF20,n0,由 P B B 的面积为可得 即 =-1-,2 2由工！一-二 一=1,可得m=3,故

23、 A 不正确；4 5由 尸（3,与），且 R（-3,0）,尸 2 （3,0）,2可得2 P F.=1 2则 t a nZ F i P F 2=+8 ),兀 兀即 一 Z F P F i 0,2T可得t a nN 尸IPF2=1=，解得左（负的舍去），5 21 9匕则NF 平分线所在的直线的方程为y-尚得（x-3）,化为3 x-2 y-4=0,故。正确.故选：BC D.1 2.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数s i nh A=e-e和双曲余弦函数c o s h r=E*2 _ 等.双曲函数在物理及生活中有着某2 2些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链

24、线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是（）A ,co s h2x+s i nh2x=1B.y=co s h x 为偶函数，且存在最小值C.Vx o O,s i nh (s i nh x o)s i nh x osinh Xi-sinhx2D.Y x,X2 GR,且 X1#X2,-1xl-x2解：对 于 A：双 曲 正 弦 函 数 s i n h x=色:和 双 曲 余 弦 函 数 8$.=/二.满足2 2x -x x .-x 2 x ,-2 xu 2 ,2 _re -e 2-f e+e 、2 _

25、e +e .co s h x+s i nh x-1-）+（-）-只有当x=0时，工 产.=1，但是对于其他的值不一定成立，故 A 错误；2对于&co s h（-x）=e eX=co s h x 故函数为偶函数，由于e*+ef=ey 2,2e故c oshx=g-?l，（当且仅当x=0 时，等号成立），故 B正确；对于C：函数y=e 和函数y=都为单调递增函数，所以 y=s i nh x 也为增函数,当 X。时，s i nh x o s i nh O=O,t _ -t令，=s i nh r o O,令 g （/）=s i nh/-t=e-e _+,2 x则g（t）=旦千-1*且-1=0，所以g （

26、f）在（0,+8）单调递增，所以 g （r）g（0）=0,所以 s i nh/r（F 0）,即 s i nh （s i nli r o）s i nh r（）,故 C 正确；对于。：不妨设X1 X2,所以 x i -X2 0,贝 ij-s-i-n-h-x-i-s-in-h-x-2 1,即 s i nh x i -s i nh 2 Xi -X2,xrx2由选项C 得：g（r）=s i m-f 在（0,+8）上单调递增，由于g（-）=-g。）所以函数g（7）为奇函数，所以函数的图像关于原点对称，在（-8,0）上单调递增，sinh x广sinhx2故Vx i,X2 GR,且 X|WX2,-1,故 正确

27、.xl-x2故选：BC D.三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.把答案填在题中的横线上.1 3.设x,y满足约束条件，x+y-4 0,2 x+y-60 ,则x-2 v的 取 值 范 围 为-2,4|y 0,解：由约束条件作出可行域如图,由图可知，4 (4,0),x+v-4=0联立I y ,解得A (2.2),2 x+y-6=0作出直线x-2 y=0,由图可知，平移直线至4时，x-2 y有最大值为4；至8时，下2 有最小值为2-2乂2=-2.X-2的取值范围为-2,4.故答案为：-2,4.1 4 .(x+上)5的展开式中，工的系数为V X X解：(x+-)5的展开式的通项公式

28、为：7 x令 5 -r=-1,解得 r=4,2所以的系数为C =5.x 0故答案为：5.1 5 .在三棱锥P-4 B C中，侧面P4 C与底面A B C垂直，NB 4 c=9 0 ,Z P C A=3 0 ,AB=3,P A=2.则三棱锥P-A B C的外接球的表面积为解：二 在三棱锥P-A B C中，侧面PA C与底面A B C垂直，NB A C=9 0 ,平面 PAC,NPC A=3 0 ,PA=2.设 PA C的外接圆的半径为r,外接圆圆心为0,则.巴。=2 解 得r=2,s i n3 0过。作 O Q J-平面 P A C,贝lj QOJLAB,外接球的半径为R,球心为0,R=百+仔

29、期)2=J(2)2+C|)2=|二外接球的表面积为4 nR 2=2 5 7i.故答案为：2 5 7r.P1 6.已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4,过点/(2,0)的直线与圆C交于P,Q两 点(点Q在 第 四 象 限).若N Q M O=2 N Q P。，则点P的纵坐标为解：圆C的方程为(x-2)2+(y -1)2=4,因为N Q M O=2/Q P O,由三角形的补角可知，N Q M O=/Q P O+N M O P,所以/Q P O=/M O P,故 O MP为等腰三角形，所以。例=MP=2,y +(Y-2 产=4 1设 尸(x,y),则y ,解得y=之(x-2)2+(y-l)

30、2=4 2所以点p的纵坐标为寺故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.1 7.在S f=2即+1;l og2(0,1 0,1+1 )2n-1;。+1 2 =斯4“+2,$2=-3,“3 =-4这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知单调数列。“的前项和为S”，且满足.(1)求 m 的通项公式；(2)求数列-斯 的前n项 和Tn.解：方案一：选条件(1)由题意，当”=1 时，a =S =2a +,解得 m=-l,当心 2 时,anS n-Sn-i=2a+l-2an-i-L化简整理,得。=2小-1,数列 “是 以-1为首项，2

31、为公比的等比数列，：.a=-12,=-2n t,nGN*.(2)由(1)知，2|)=2L1,则 Tn 1 l+2*21+322+n21,27,=P2+2*22+(n-1)2-l+/r2,两式相减，可得-7；=l+21+224+2n1-n-2ni_ on1-2=-(n-1)2/,-1,Tn(n-1)2,+l.方案二：选条件(1)依题意，由 k)g2(。飙+|)=2n-1,可得 OM+I=2 2 I,则 an+an+2=22n+,两式相比，可得二三2=4,anJ a -1,数列“的奇数项是以-1为首项，4 为公比的等比数歹IJ,又；aia2=22,.a 2=-2,数列 斯 的偶数项是以-2 为首项

32、，4 为公比的等比数歹综合可得，数列%是以-1为首项，2 为公比的等比数列,-1 2一|=-2,r l,nGN*.(2)由(1)知，-na=-n*(-2-1)=n*21,则 Tn=1 l+2*21+322+n2,1,27,=l2+2*22+(n-1)2n+rf2,两式相减，可 得-北=1+2+22+2 7-2”1 一严=，-2”1-2=-(7 2 -1 )2,1-1,:.Tn(n-1)2+1.方案三：选条件(1)依题意，由斯+1 2 =。,a+2,可知数列“为等比数列，设等比数列 小 的公比为“，S o=a1(l+q)=-3则 2，a3=a 1 二-4化简整理，得为2-4 4-4=0,解得-y

33、(舍去)，或夕=2,一 4 一 。1=2=-1，Q:.dn=-l*2z r,=-21,EN*,(2)由(1)知，(-2M-1)=n*2,r则 Tn=1 1+2*2,+3*22+n*2n-1,2 4=1 2】+2 22+(H-1)2-i+2”,两式相减，可得-=1+2422+2 1 -力2”1-9n=-2”1-2=-(n-1)2 -1,:.Tn=(-1 )2+1,1 8.在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a+b=ccosB-bcosC.(1)求角C 的大小；(2)设 C。是 ABC的角平分线，求证：上 二C A C B C D解：(1)因为 +b=ccos8-cosC

34、2 2 2 2 2 2所以由余弦定理可得a+J=c旦士二卜一-a+b-c,整理可得a2+bi,02=-,2 a c2 a b所以cosC=a2+b2-c2 ab2ab 2ab12因为 C*E(0,IT),所 以 c=等(2)证明：根据题意作力EA C,交BC于点E,如图所示:：。=亭，CO是ABC的角平分线,71ZACD NBCD=,3又因为OEAC,jr所以 NCDE=ZACD=,jr所以N D C E=/C D E=？-,可 得 为 等 边 三 角 形,所以 CD=DE=CE,又因为EAC,所以黑谭即誓噜又因为CO为角平分线,所 以 星=些，可得BCYE=区 _匚 里AC AD CE CD

35、 AC两边同时除8 C,可得票 3，则CD BC BC AC BC D C BC AC所以：777+7=A,得证.CA CB CD1 9.如图，在三棱台 ABC-AiBCi 中，AAi=ACi=CG=l,AC=2,ACLAB.(1)求证：平面 ACCiAi_L平面 ARBiAi；(2)若/BAC=90,A 8=l,求二面角 A-C 的正弦值.,4.以、ARC【解答】(1)证明：由题意可知，四边形A 4 C C 是等腰梯形,过点4 作 A Q LA C 于点D,过 G 作 CiELAC于点E,则AD=EC=/(AC_ACP=1，AD 1所以cosN A AD=.-y,1 nA 乙所以N4 AO=

36、60,则 A D=AA*sinZ A AD=V 32，所以 AICAI4+C/M乌 产+得)2=3,则 4 A C 中，A A i2+A Q=4=A a,所以 A 4 C 为直角三角形，且乙4 Ale=90,所以 AiC_LA4 i,因为 AiCLLAB,AAiCAB=A,A 4,ABu平面 ABBA,所以A C,平面ABB A,因为AiCu平面AC C A,所以平面ACG4 J_平面ABB A-,(2)解：因为 A8LAC,ABlAiC,A|CAAC=C,A C,ACu平面 ACGA”所以 AB_L平面 ACGA,又 AOu平面 ACGAi,所以 A8_LAi。,过点A 作直线Ai。，以点A

37、 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则 B(l,0,0),C(0,2,0),A1(0，/，,C j。，所以前=(-1,2,0),c7c=(0,y,零)，设平面8B Q C 的一个法向量为孟=(x,y,z)，则有4m*BC=0m-C1C=0-x+2y=0啕喙=。令 Z=l,则 丫=，X=2&，所以、=(2畲，M，1)，由(1)可 知,4c L 平面ABBiA,MXn=2AC=(0,3,-加)为 平 面 ABBAi的一个法向量,所以cos-m.n _35/_近 _JI m I I n I 4 X 2瓜 4所以二面角A-BBi-C 的余弦值为4故二面角A-B B i-C的正弦值为J 1-(1)2

38、2 0.已知椭圆E：上 了 卷=1 (心。0)的左、右顶点分别为4(-&,0),A2 (我,az bz0),上、下顶点分别为田，B 2,四边形4&A2 B1的周长为4 y.(1)求E的方程；(2)设P为E上异于A,A2的动点，直线Ai P与y轴交于点C,过4作4。幺2,与y轴交于点。.试探究在x轴上是否存在一定点Q,使 得 亚 而=3,若存在，求出点。坐标；若不存在，说明理由.解：(1)由已知可得=加,且8 (0,b),则 四 边 形 的 周 长 为4尸 不=以 反，所以b=l，2 6所以E的方程为：-1 _+y2=1；(2)设点尸(m,),则有在+2层=2,则 Z：ALP=-,所以直线 A

39、P 的方程为：y=(X-H/2)令x=0,解得y=0万 二,即C(0,m+V 2 AZP=B所以直线4P的方程为：,=消 万(x z历)，令x=0,解 得 旷=二 ,即。(0,二),所以。(0,地3)，m-v 2 m-v 2 m-v 2设点 Q (s,0),贝l j Q C=(-s,，Q D=(-s,所 以 瓦 丽=s2-f 7 =3)m -2所以S 2=3考 匕=3 -与/=3+1=4,m -2 m -2所以s=2,故存在点。满足题意，此时点。的坐标为（2,0）或（-2,0）.2 1.从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款

40、年利率为1.68%,有效期一年，服务期间客户账户余额须不少于5 0万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%,存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单,年利率为3.84%,起点金额1000万 元.（注：月利率为年利率的十二分之一）已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；（2）公司决定将550万元作协定存款，于20211月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日

41、常开销.将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩 余（500-x）万元作结构性存款.求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息：假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据 专 业 机 构 评 估，该 笔 投 资 到2 0 2 1年 底 将 有60%的 概 率 获 得（-3+0.02/+0.135X）万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保30000本.问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大,并求最大值.解：（1）设恰有3个股东选择同一种产品的事件为4,由题意可知，5个股

42、东共有45种选择，而恰好由3个股东同时选择同一种产品的可能情况为CM（A：+A；）种,，C e-（A1+Ad）所以 P（A）=U-_ 45128（2）2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为：（550+500+100+50）+50 X&；器=（-5C5 U-X 11+50）XQ.0014=4.69（万元）；由条件可知，高新项目投资可得收益频率分布表为:投资收益f _ x3 2,n而+0.02x+0.135x0-0.27xP 0.6 0.2 0.2所以高新项目投资所得收益的期望为：3E(t)=(一扁+0.02 x2+0.135x)X 0.6+OXQ.2-0.2X0,27:ouuu u=-0.

43、00002.r3+0.012x2+0.027x,所以存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为：L(x)=-0.00002X3+0.012X2+0.027X+0.036 X(500-X)+0.018*x+4.69=-0.00002x3+0.012x2+22.69(0W xW 500),所以，(x)=-0.00006(x2-4 0 0 x),令 L(x)=0,解得 x=400 或 x=0,由 Z;(x)0,可得 0 x 4 0 0,由 L(x)0,可得 400 x 0,解得：x0 或 x -2,令/(x)0,解得；-2 x 0,故/(x)在(-8,-2)递增，在(-2,0)递减，在(0,+8)递

44、增，故 x=-2 时，/(x)取极大值，于(x)的 极 大 值 是-2)=皂一 0，而/(0)=-10,故/(x)只 有 1个零点；(2)若/nx有 意 义,则x0,由 2lnx+x lnx2+lnex In(x2ev),故原不等式等价于x2ex-1 aln(x2ev),令 t=x2ex,贝 lj f-1 alnt,由 知：x0 时，f (x)/(0),即 AV-I A-I,故x2铲 0,即 怎(0,+8),t-1 a lnt,即 t-a lnt-(0,+)时恒成立，令 g (z)t -1,则 g (f)=1-且 g(1)=1-/n l -1 =0，若a W O,则g (r)0在 比(0,+8)时恒成立，g(?)在(0,+8)单调递增，：.t&(0,1)时，g (r)0,令 g G)=0,解得：t=a,：.t&(0,a)时，g(r)0,g(f)递增，(z)若0 0 恒成立，(n)若 a=l,则 g (f)ming(1)=0,g(r)2 0,(7)若a 0,则g在(1,a)上单调递减，r e (1,a)时，g (力 g (1)=0,不满足g (r)2 0恒成立，综上：a=l时，符合题意，故 的取值范围是“.