2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四）（含解析）.pdf

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1、2021年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（四）一、选 择 题（共12小题）.1.下列各数中，比-2 小的数是（）A.-3 B.-1 C.0 D.12.据不完全统计，截 至 2 0 2 0 年 4月 2号，华为官方应用市场“学习强国A P P”下载量已达 8 8 30 0 0 0 0 次.将 数 据 8 8 30 0 0 0 0 用科学记数法表示为（）A.0.8 8 3X 1 09 B.8.8 3X 1 0 8 C.8.8 3X I O7 D.8 8.3X I 063.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）4 .如图，在直角坐标系中，点尸（2,2）是一个光源.木杆A B 两端的坐标分别为（

2、0,1）,（3,1）.则 木 杆 在 x轴上的投影长为（)A.3 B.5C.6 D.75 .如图，与。相切于点C,OA=O B,。的直径为8,A 8=1 0,则O A的长为（）C.V39A.V5-V3=V2B.3疾乂2弧=6任D.V 4 1C.(2 亚 2=1 6D.317T7.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其 中 孙子算经中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为:今有若干人乘车，每 3 人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，求共有多少人？设有x人，根据题意可列方程为（）T HB.三3+2=2C.

3、432=D.3-2=x+98.按如图所示的运算程序，能使输出的结果是3 的 是（）A.x=,y=B.x=l,y=2 C.x=2,y=lD.x=2,y=29.某 班 1 7 名女同学的跳远成绩如下表所示:成 绩（加）1.5 01.6 01.6 51.7 01.7 51.8 01.8 51.9 0人数23234111这些女同学跳远成绩的众数和中位数分别是（）A.1.7 0,1.7 5 B.1.7 5,1.7 0 C.1.7 0,1.7 0 D.1.7 5,1.7 2 51 0 .如图，A B/CD,E F 与 A B,C。分别交于点G,H,NCHG 的 平 分 线 交 A B 于点若/E GB=5

4、 0 ,则NG M”的度数为（）A.5 0 B.5 5 C.6 0 D.6 5 1 1 .如图，在 ABC 中，AB=3,AC=4,B C=5,尸为边 B C上一动点，P E 1 A B E,PFLA C于尸，M 为 EF中点，则 A M的最小值为（）A.B.C.D.4 2 3 51 2 .如图，在平面直角坐标系中，四边形O 4 B C 是矩形，四边形A Q E F 是正方形，点A、D在X轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点 尸在A B上，点8、E在函数y=K（xx 0,k 0）的图象上.若正方形AOE尸的面积为4,且B尸=2 A F,则G的 值 为（）A.2 4 B.1 2 C.6 D.3

5、二、填 空 题（本大题共4 个小题，每小题3 分，共 12分）1 3.若 二 次 根 式 亚 有 意 义，则x的取值范围是.1 4 .在不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球和2个白球，搅匀后从中随机摸出2个球，则 摸 出 的 两 个 球 恰 好 是 一 红 一 白 的 概 率 是.1 5 .如图，矩形A 8 C D的对角线交于点O,以点A为圆心，A B的长为半径画弧，刚好过点O,以点。为圆心，。的长为半径画弧，交 AD 于点E,若A C=2,则图中阴影部分的面积为,（结果保留T T）1 6 .某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6 000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现

6、甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米.三、解答题(本大题共9 个小题，第 17、18、19题每小题6 分，第 20、21题每小题6 分,第 22、23题每小题6 分，第 24、25题每小题6 分，共 72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或

7、演算步骤)17.计算：|蒋|+(-l)2 0 +2 sin 3 0。-(V 3-V 2),18.先化简，再求值：其中=-2.x+l X-l 1-X19.如图，小东在教学楼距地面9 米高的窗口 C 处,测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37,旗杆底部B 点的俯角为45,升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放4 5 秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37-0.60,cos37 0.80,tan37-0.75)20.如图，在aA B C 中，A 8=A C,。是边BC延长线上一点，连接AD.AE/BD,ABAC=/D 4

8、 E,连接CE交 于 点 F.(1)若/。=36,求N B 的度数；(2)若 C4 平分N B C E,求证：ABD丝ACE.21.某学校准备成立男女校足球队，为了解全校学生对足球的喜爱程度，该校设计了一个调查问卷，将喜爱程度分为4（非常喜欢）、B（喜欢）、C（不太喜欢），。（很不喜欢）四种类型，并派学生会会员进行市场调查，其中一名学生会会员小丽在校门口对上学学生进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图所给信息解答下列问题：（1）在扇形统计图（图1）中C所 占 的 百 分 比 是；小丽本次抽样调查的人数共有 人；请将折线统计图（图2）补充完整；（2）为了解少数学

9、生很不喜欢足球的原因，小丽决定在上述调查结果中从“很不喜欢”足球的学生里随机选出两位进行回访，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位学生恰好是一男一女的概率.22.小 张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同.（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元.则大本作业本最多能购买多少本？23.如图，A B是。的直径，点E为线段。8上 一 点（不 与O,8重合），作ECLOB,交0。

10、于点C,作直径C,过点C的切线交。B的延长线于点P,作AFJ_PC于点凡连接CB.（/）求证：A C平分NE4B；（2）求证：B C1=C E*C P；(3)当AB=4且吟=巧时，求弦B C与其所对的劣弧前所组成的弓形面积.x z l T C(1)求点A的坐标;(2)设抛物线的顶点为P,点B是第一象限抛物线上的一动点，若SAOBP=2SAOAP,求证：点B总在一条直线上运动；(3)若”=1,直线y=x+4与抛物线交于点”，N,点C是x轴下方抛物线上的一点，连 接CM交y轴于点E,直线。交y轴于点F,交抛物线于点。(。在N左 侧)，ZN M D=N N M C,求gETF+0 的值.O E-O

11、F2 5.定义：若函数y=/+b x+c (c 4 0)与x轴的交点A,B的横坐标为必，XB,与y轴的交点C的纵坐标为，若XA,XB中至少存在一个值，满足XA=y c (或XB=y c),则称该函数 为 函 数”.如 图，函数y=f+2r-3与x轴的一个交点A的横坐标为-3,与y轴交点C的纵坐标为-3,满 足 用=,则 称 尸 片+2x-3为“M函数”.(1)判断y=/-4 x+3是 否 为 函 数”，并说明理由；(2)请探究“M函 数 y=+bx+c(c WO)表达式中的与c之间的关系；(3)若 尸 小 的+=掾B.在华C.4 2=3x-9D.羡2=笠()解：设有x 人,依题意，得：p 2=

12、2 建3 2故选：C.8.按如图所示的运算程序，能使输出的结果是3 的 是()A.x=l,y=B.x=l,y=2C.x=2,y=1D.x=2,y=2解：4、把 x=l,y=l 代入运算程序得：0+1=1,不符合题意;B、把 x=l,y=2 代入运算程序得：4-2=2,不符合题意;C、把 x=2,y=l 代入运算程序得：1+1=2,不符合题意；D、把 x=2,y=2 代入运算程序得：1+2=3,符合题意.故选：D.9.某 班 1 7 名女同学的跳远成绩如下表所示:成 绩（m）1.5 01.6 01.6 51.7 01.7 51.8 01.8 51.9 0人数23234111这些女同学跳远成绩的众

13、数和中位数分别是（）A.1.7 0,1.7 5 B.1.7 5,1.7 0 C,1.7 0,1.7 0 D.1.7 5,1.7 2 5解：由表可知，1.7 5 出现次数最多，所以众数为1.7 5；由于一共调查了 2+3+2+3+1 +1+1=1 7 人，所以中位数为排序后的第9人，即：1.7 0.故选：B.1 0 .如图，AB/CD,E F 与 AB,CO 分别交于点G,H,N C 7/G 的 平 分 线 交 AB于点若NE G B=5 0 ,则/GM H 的度数为（）A.5 0 B.5 5 C.6 0 D.6 5 解：AB/CD,：.Z E H D=ZEGB=50 ,，N C，G=1 8 0

14、 -Z /D=1 8 0 -5 0 =1 3 0 .:H M 平分 NCHG,：.Z C H M=Z G H M=ZCHG=65 .2:A B a CD,：.Z G M H=ZCHM=65 .故选：D.1 1 .如图，在 A B C 中，A B=3,A C=4,BC=5,P 为边 B C 上一动点，PE_LAB 于 E,PF_ LA C 于 凡 M 为 EF中点，则 AM 的最小值为（）A解：.在ABC 中，48=3,AC=4,BC=5,.-.AB2+C2=BC2,即/BAC=90.又.PE_LAB 于 E,PF LAC F,四边形AEPF是矩形，：.EF=AP.是 EF的中点，：.AM=EF

15、=AP.2 2因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于孕，5：.AM 的最小值是5故选：D.12.如 图，在平面直角坐标系中，四边形Q4BC是矩形，四边形AOEF是正方形，点A、D在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，点尸在AB上，点 8、E 在函数y=K(xx0,k 0)的图象上.若正方形4OEF的面积为4,且 BF=2A居 则&的 值 为()解：；正方形AOE尸的面积为4,正方形ADEF的边长为2,：.BF=2AF=4,AB=AF+B尸=2+4=6.设8点坐标为（J,6）,则E点 坐 标（f+2,2）,；点、B、E在反比例函数y=K的图象上，X:k=6t=2（f

16、+2）,解得，=1,k=6.故选：C.二、填 空 题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）1 3 .若二次根式亚M T有意义，则x的取值范围是 三一解：.二次根式岳五有意义，：.2x-1 2 0,解得：故答案为：X卷.1 4 .在不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球和2个白球，搅匀后从中随机摸出2个球，则摸出的两个球恰好是一红一白的概率是4.一5一解：列表如下：红红红白白红（红，红）（红,红）（红，白）（红,白）红（红,红）（红，红）（红，白）（红,白）红（红，红）（红，红）（红,白）（红,白）白（白，红）（白，红）（白,红）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）由树

17、状图知，共有2 0种等可能结果，其中摸出的两个球恰好一红一白的有1 2种结果,摸出的两个球恰好一红一白的概率为圣=1，2 U 5故答案为：01 5 .如图，矩形A B C O的对角线交于点O,以点A为圆心，A 8的长为半径画弧，刚好过点O,以点。为圆心，。0的长为半径画弧，交4。于点E,若A C=2,则图中阴影部分的JT面积为（结果保留几）DE解：四边形ABC。是矩形,：.OA=OC=OB=ODf*：AB=AOf ABO是等边三角形，NBAO=60,：.ZEDO=30,VAC=2,：.OA=OD=i9图中阴影部分的面积为：6 0 X兀x J 3 0 X x360 360 4JT故答案为：.41

18、 6.某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2 倍原路返回，1 分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区.甲、乙两人相距的路程y（米）与 甲 出 发 的 时 间 分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时.，乙距 公 司 的 路 程 是 1 5 0 0 米.解:设甲开始的速度为“Cm/min）,则甲后来的速度为2 a（血加

19、），由题意可得，9+6 0-（8 a-2 a）2a a解得，4=500,设乙的速度为6 Cm/min),由甲乙相遇知,(9-h+2a-1=(9-1)aA/?=1 0 0 0,甲乙相遇时乙距公司的路程为：(9-鬻X 1 0 0 0=3 0 0 0,5 0 0甲到达小区的时间为：里 幽=1 2 (min),5 0 0甲到小区时，乙距公司的路程为：3 0 0 0-l O O O x A x (1 2-9)=1 5 0 0 (/),2故答案为：1 5 0 0.三、解答题(本大题共9 个小题，第 17、18、19题每小题6 分，第 20、21题每小题6 分,第 22、23题每小题6 分，第 24、25题

20、每小题6 分，共 72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)1 7.计算：|-y|+(-1 )2 0 2 1+2 s i n 3 0 0 -(V 3-V 2)-解：原式=-1+2 义 -11 8.先化简，再求值:士-J)其中 x=-2.x+l X-1 l-x1 12x+l X-1(x-l)-(x+l).l-x(x+l)(x-1)2_ -2 .x(x+l)(x-l)21x+l 当x=-2时，1 9.如图，小东在教学楼距地面9 米高的窗口 C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为3 7 ,旗杆底部3点的俯角为4 5 ,升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.2 5 米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并

21、在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据:s i n 37 *0.6 0,c o s 37 七0.8 0,t an 37 g0.7 5)解：在 RtBCO 中，8。=9 米，NBC=45。，则 BZ)=CQ=9 米.在 RtZViCQ 中，C=9 米，NAC=37,则 A=CDtan37 七9X0.75=6.75(米).所以，AB=AD+BD=15.75 X.整个过程中旗子上升高度是：15.75-2.25=13.5(米)，因为耗时45s,所 以 上 升 速 度 丫=冬=0.3(米/秒).45答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.2 0.如图，在ABC

22、中，A B=A C,。是边8 C 延长线上一点，连接AD AE/BD,NBAC=ZDAEf连接CE交 AO于点E(1)若NZ)=36,求 的 度 数；(2)若 C4 平分N B C E,求证：4 3 0 名ACE.解：(1)-A E/B D,：./D A E=N D,.,ZD AE=ZBACf：.ZD=ZBAC=36,9：AB=ACf：.ZB=ZAC B,.ZB=y(1800-ZBAC)=yX(180-36)=72.（2）证明：；C 4 平分N B C E,：.ZB CA =ZA CE,：Z B=Z A C B,：.N B=ZA CE,：Z B A C=ZDA E,；.N B A D=N C

23、A E,在A B。和 A C E中，zZB A D=ZC A E A B=A C ，ZB=ZA C EA A B D A A C E（A S A）.2 1.某学校准备成立男女校足球队，为了解全校学生对足球的喜爱程度，该校设计了一个调查问卷，将喜爱程度分为A （非常喜欢）、8 （喜欢）、C（不太喜欢），D（很不喜欢）四种类型，并派学生会会员进行市场调查，其中一名学生会会员小丽在校门口对上学学生进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图所给信息解答下列问题：（1）在扇形统计图（图1）中C所 占 的百分比是2 2%；小丽本次抽样调查的人数共有5 0人;请将折线统计图（图

24、2）补充完整；（2）为了解少数学生很不喜欢足球的原因，小丽决定在上述调查结果中从“很不喜欢”足球的学生里随机选出两位进行回访，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位学生恰好是一男一女的概率.四种类型占调查总人数的百分比扇形统计图图 1四种类型人数的折线统计图图2解：（1）在扇形统计图中C所占的百分比是：1-2 0%-52%-6%=2 2%；小丽本次抽样调查的共有人数是：鬻=50 （人）；20%不太喜欢足球的男生有：50 X2 2%-5=6 （人），很不喜欢足球的男生有：50 X6%-1=2 （人），补图如下：小人数6BCD喜欢程度四种类型人翻的折线统计图男故答案为：2 2%,50；（2）

25、根据题意画图如下:共有6种情况，是一男一女的有4种情况,故所选出的两位学生恰好是一男一女的概率是2 2.小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵 0.3元，已知用8 元购买大本作业本的数量与用5 元购买小本作业本的数量相同.(1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元？(2)因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2倍，总费用不超过1 5元.则大本作业本最多能购买多少本？解：(1)设小本作业本每本x元，则大本作业本每本(x+0.3)元，解得：x=0.5,经检验，x=0.5是原方程的解，且符合题意，.+0.3=0.8.答：大

26、本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元.(2)设大本作业本购买 7 本，则小本作业本购买2 根本，依题意,得：0.8m+0.5X 2 m l 5,解得：加W普.:机 为正整数，的最大值为8.答：大本作业本最多能购买8 本.2 3.如图，4 8 是 的 直 径，点 E为线段0 8 上 一 点(不 与 O,8 重 合)，作 E C L 08,交。于点C,作直径C。，过点C的切线交。8 的延长线于点P,作 4尸，尸 C于点F,连接C B.(/)求证：AC平分/F A 8；(2)求证：B 0=C E,C P；(3)当 AB=4 旦 普=总 时，求弦BC与其所对的劣弧祕所组成的弓形面积.BZr-/

27、【解答】证明：(1):尸尸是切线，:.0C1PF,VAF1PF,：.AF/OC.：.ZFAC=NAC。，：OA=OC,：.ZOAC=ZACOf：.ZFAC=ZCABf 即 AC 平分NE48；(2)：OC=OB,：.ZOCB=ZOBC,尸尸是0。的切线，CE1AB,：.ZOCP=ZCEB=90,：.ZPCB+ZOCB=90,/BCE+/OBC=90,ZBCE=/BCP,C是直径，：.ZCBD=ZCBP=90,:CBEsM PB,.C B g m F，:.BC2=CECP；(3)作 8M_LP/于 M.贝|JCE=CM=CF,设 CE=CM=CF=3a,PC=4af PM=a,VZM CB+ZP

28、=90,NP+NPBM=90,.,/M C B=NPBM,C D 是直径，BM.LPC,/CM B=NBM P=90,:/BM C s/PM B,.B M _C M 丽 前*,/B M V3.tanZBCM=-,C M 3A ZBCM=30，：.ZOCB=/O B C=N8OC=60,4 8=4 正，:BC=O C=O B=2M，弦BC与其所对的劣弧崩所组成的弓形面积=6 ：7 X 1 2-返 X 12=2TT-3 M.360 42 4.己知抛物线y u ar2-2ax（a 0）与 x 轴交于点A.（1）求点A 的坐标;（2）设抛物线的顶点为P,点 B 是第一象限抛物线上的一动点,若 S&OB

29、P=2S&OAP,求证：点 B 总在一条直线上运动；（3）若a=l,直线y=x+4与抛物线交于点/，N,点 C 是 x 轴下方抛物线上的一点，连 接 CM交 y 轴于点E,直线。M 交 y 轴于点F,交抛物线于点。（在 N 左侧），ZN M D=N N M C,求 E-U F+4的值.0E-0F解：（1）令 y=0,即得 ax1-20r=0,cix(x-2)=0,.x=2,A坐 标 为(2,0)；(2)易知P点横坐标为-A l,J.yp=a-2a=-a,设 8 为 Gnf am2-2am),而 尸 为(1,-a),:.当直线BP设为y=kx+b时，j k m+b=am2-2 air f D1

30、k+b=-a 令-得 k(n?-1)=am2-2am+a=a(ni2-2机+1)=a(m-1)2,若3在第一象限，则6 2,-IWO,:.k=a(加-1),b=-am,二.直线 3尸为(tn-a)x-am,设PB与x轴交于T,则T坐标即为a(m-1)x-cun=O的解，打为一 卫=,m-1S OPB=O T X(y-yp)=X-X (am2-2am+a)=-am(m-1),2 2 m-1 2SOAP=X OAXyp=-X2Xa=a,若 S&OBP=2 SDOAP,则有 2a=-cim On-1),2得m2 一m=4,B坐标可写成(m9 4a-a m),而 4。-am=a(4-勿 2),.B 在

31、直线(4-x)上；(3)联立 y=/-2x 与 y=x+4,得 为=4,X2=-1,:N为(-1,3),M 为(4,8),过 作轴，过 E、M 各作y 轴与工轴垂线，相交于点儿 直线NM为 y=x+4,:/GMN=4HMN=45,若/DMN=NNME,则 NGM/=NEM，且NMG/=N =90,:丛MGFSAMHE,.M G =M H而 MG=EH=Xm=4,：.GFX MH=MG X HE=16,：.GF=OG-OF=S-OF,：.MH=OE+S,：.(8-OF)(OE+8)=16,：.OE-OF=OE-OF ,8 一6，.OE-OF+6=E，OF+(OEOF),OE-OF8 82 5.定

32、义：若函数y=x2+bx+c(cW O)与 x 轴的交点A,3 的横坐标为由，XB,与 y 轴的交点 C 的纵坐标为y c,若心，初中至少存在一个值，满足用=yc(或加=y c),则称该函数 为“M函数”.如 图，函数y=/+2 x-3与x轴的一个交点A的横坐标为-3,与y轴交点C的纵坐标为-3,满 足 后=,则 称 尸 +友-3为“M函数”.(1)判断y=f-4x+3是 否 为 函 数”，并说明理由：(2)请 探 究 函 数 y=x2+bx+c(c W O)表达式中的匕与c之间的关系；(3)若 尸/+b x+c是M函 数 ，且N A C 8为锐角，求c的取值范围.解：(1)y=(-4x+3是

33、函数”，理由如下：当 x=0 时，y=3；当 y=0 时，x=l 或 3,：.)=-4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3,.丫=9-4X+3 是“M 函数”：(2)当x=0时，y=c,即与y轴交点的纵坐标为c,y=j c2+b x+c 是函数”，；.x=c 时，y=0,即(c,0)S y+bx+c _ h,代入得：0=c 2+b c+c,；.0=c (c+6+l),而 c W O,/.b+c=-1 ；(3)如图1,当C在了轴负半轴上时,图1由（2）可得：c=-b-即 y=x1+bx-b-,显然当x=l时，y=0,即与x轴的一个交点为（1,0）,则乙4c 0=45,.只需满足 NBCO4 5 ,BP B O 0,且 cWl；当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c 0,且cr 1.