2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（4月份）（甲卷）附答案解析.pdf

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1、2021年超级全能生高考数学联考试卷(文科)(4月份)(甲卷)a一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1 .已知集合/=x|y=l g(%1),Q=(yy=R为实数 集,则()A.p?Q B.P n Q =0 C.P U Q =Q D.CRP=Q2.若复数 z =(当)2019,|z|二()l-lA.-B.i C.1 D.2423.中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象 征 着B中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形4B C

2、C E内部任 C D取一点，则该点取自阴影部分的概率为()AB(金炉 C(-1尸 D 即-D4*4 4 4 44.已知函数/。)是定义在R上的奇函数，其导函数为尸(x),当x 0时，2/(乃+%/(为 0恒成立，则/(I),20 1 4/(7 20 1 4).20 1 5/(同1 5)在大小关系为()A.20 1 5/(7 20 1 5)20 1 4/(7 20 1 4)/(I)B.20 1 5/(7 20 1 5)/(I)20 1 4/(7 20 1 4)C./(I)20 1 5/(V 20 1 5)20 1 4/(7 20 1 4)D./(I)20 1 4/(7 20 1 4)20 1 5

3、/(7 20 1 5)5.A A B C中，AB=-2,AC =3,N B =6 0,贝i J c o s C =()A.在 B.+渔 C.一渔 D.在3-3 3 36.在等腰力B C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若s i n B =s i n A c o s C s i n C,且a =g，则A B C的面积为()A.辿 B.立4 4C.V 3 D.条件不足，无法计算7-21 0g62+log-8 5=()A.1 4B.-1 4C.1 2D.-1 29.已知向量a=（遮,1）,3=（0,1）=（6代），若+2方与下垂直，则：=（）A.-3 B.-2 C.1 D.-110.已知正三棱

4、锥V-48C的主视图，俯视图如图所示，其中IM=4,AC=2V 3,则该三棱锥的左视图的面积为（）11.双曲线窗:1 _与=与满/领，禹加吸的离心率为J i，抛物线/=当第 斜冲瞰与双曲线C的渐近线交于城图两点，殿 班（0为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为（）A.产=阖匿 B.龄 口 =4/C.D./=到 点 乳：12.关于x的方程Q/一 2%+4Q+3=0有一正、一负根的充要条件是A.-1 V Q 三 B.一。VQ VO C.0 a -D.-1 V Q 04 4 4二、单 空 题（本大题共4小题，共20.（）分）y 014.曲线/(x)=%2-2正在=1处 的 切 线 方 程 为.15

5、.椭圆C的中心在原点，焦点尸 2在x轴上，离心率为争过&的直线乙交。于4,B两点，且ABF?的周长为1 6,那么C的方程为.16.如图所示，在正方体A B C D-A B iG D i中，点E是边BC的中点.动点P在直线8。式除B,Di两点)上运动的过程中，平面CEP可 能 经 过 的 该 正 方 体 的 顶 点 是.(写出满足条件的所有顶点)三、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.设。为坐标原点，点P的坐标(x-2,x-y).(I)在一个盒子中，放有标号为1，2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求|OP|的最大值，并求事件|OP|取到最大值”

6、的概率；(H)若利用计算机随机在 0,3 上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率.18.如图,在正方体ABC。一 A/iC D i中,E,F分别是C G，8心 的中点.(1)求证：公尸平面力。出；(2)求二面角D iE-A-DC余弦值.19.在3Sn+i=Sn+1,a2=I；Sn+an=1；臼=1 an+1=2Sn+1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列 册 的前n 项和为S n，且满足.(1)求 即 的通项公式；(2)求 的。3 +a 3 a 5 +a 5 a 7 +的值2 0 .已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为它的一个顶点恰好是抛物

7、线/=-I 2 y 的焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M(?n,0)的直线I 与椭圆C 相切(m )2/1()2 9(乃成立，求实数k 的取值范围；(2)设直线八(功与曲线f(x)和曲线g(x)均相切，切点分别为4(%i，/(X i),B(X 2，g(X 2)，其中0 小 1：当 2 e 血时，关于x 的不等式(m&-1)+母7 1%-尢？0 恒成立，求实数a 的取值范围.2 2 .在直角坐标系x O y 中，以。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为P=麒，直线，的参数方程为；二;R S 禽“ad为参数，。W a ).(1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐

8、标方程，并说明曲线C 的形状；(2)若直线，经过点(1,0),求直线，被曲线C 截得的线段4 B 的长.2 3 .已知函数/(x)=|x +2|.(1)求不等式/(乃+/(%-2)f(2 a)恒成立，求a 的取值范围.参考答案及解析1.答案：B解析：解：,集合p=xy-lg(x-1)=x|x 1,Q=yy=2-m =Qo x 1,R为实数集，.p n Q=。.故选：B.先分别求出集合4和B,由此能求出结果.本题考查两个集合的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用.2.答案：C解析：解：复数Z=(1 2)2 0 1 9 =(3)2019=j2019=2)1

9、。9.j=(-1)1 0 0 9 .jl l 2|z|=1,故选：C.先利用尸=-1化简复数Z,再利用复数的模长公式计算即可.本题主要考查复数模长的计算，比较基础.3.答案：C解析：解：s讥36=cos54,2sinl80cosl8=4cos2180-3cos18。，化为：4sin218+2sinl80-r41=0,解得SE18。=罟不妨设4%=1 根据题意知，ABi a E2 s遇2E 2,.普=普=竽.&%=X SA 1 A 2E2=S2 w=i x l x l x Sin72.Q 为 1S”1/2 8I=$2=5,A2B1sin36.正五边形为B1G5E1的面积S 正 五 边 形 2c2

10、D2&的面积为S3，53 _(42%)2 _ 卢11)4S&A,B,E 2=S 4=1&瑶 Sm36。与3=5 X-sm72,在正五边形A B C D E 内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率=密 检=述 尹.S1 4故选：C.由s in 3 6。=c o s 5 4。，可得利用倍角公式可得：s in l8。=二.不妨设4第=1 根据题意知，49 可得4 1%=+I，4/1 =/=S2=-*4/1 4 2 8 1 s 讥3 6。.正五边形22N4 B 1 G D 1 E 1 的面积S 1，正五边形4 2 8 2 c 2。2/2 的面积为S 3,SA A B IE 2=S 4.S 3 =5 乂

11、与左乐产 sin72,在正五边形2 B C D E 内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率=黑型即可得出.本题考查了正五边形的性质、三角形的面积计算公式、相似三角形的性质、几何概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4.答案：D解析：本题考查利用函数的导数求函数的单调性，函数的奇偶性以及函数单调性的应用，属于较难题.构造函数g(x)=/(x),根据题意结合导函数和函数的奇偶性判断出函数g(x)在(0,+8)单调递增,然后根据单调性即可求解.解：已知函数/(X)是定义在R 上的奇函数，其导函数为尸(x),设函数 g(x)=x2f(x),g(x)=2 x/(x)+x2f(x)=x(2/

12、(x)+x f (x),因为当x 。时，2f(x)+xf x)。恒成立，所以当x 0,所以当x 0时，函数g(x)为单调递增函数.所以g(友 碉 5(V 2 0 1 4)g(l),H P 2 0 1 5/(V 2 0 1 5)2 0 1 4/(7 2 0 1 4)/(I).故选：D.5.答案：D解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.由已知及正弦定理可得5 讥。=竺 陋=立，又AB c=(k,V3)又 +2尤)1 2(a+2 b)-c=V3fc+3A/3=0k=3故 选 A10.答案：B解析：解：正三棱锥V-A

13、B C 的侧面是等腰三角形，底面是正三角形，底面上的高是3,所以V到底面的距离：V42-22=2V3;该三棱锥的左视图的面积：ix2 V 3 x2 V 3 =6.故选民由题意可知，几何体的侧面是等腰三角形，耍该三棱锥的左视图的面积，必须求出心1 在左视图的射影的长度，即求U到底面的距离.本题考查三视图求面积，空间想象能力，是中档题.11.答案：C解析：试题分析：由 =应 得，=22,02+廿=2 1 2/=无所以双曲线的渐近线为产=以，设4/多）,8（与,珀，则S 3 =-x 2 =4,。=2,将 J（2,2）的坐标代入抛物线方程得：2p=1.所以抛物线的方程为/=2x.考点：圆锥曲线.12.

14、答案:B解析：本题考查了一元二次方程的根的情况，涉及二次函数对称轴，两根之积小于0,得到不等式组，得到结果.解：丫 a/2x+4a+3=0有一正、一负两根,&力0A=4-4a(4a+3)0,0 a-1 a -a G3-a 0.4故选B.13.答案：2y 0解析：解：如图即为满足不等式组2 x-y-4 0由一 y 一 4=o得4（2,。）.由图易得：当x=2,y=0时x+y有最大值2.故答案为2.先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案.在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域=求出可行域各个角点的坐标n将坐标逐一

15、代入目标函数n验证，求出最优解.14.答案：x-y-2=0解析：解：/(乃=/一 2发的导数为/。)=2%一专，可得f(x)在x=1处的切线斜率为k=1,由切点(1,一1),可得切线的方程为y+1=%-1,即为-y 2=0.故答案为：x y-2=0.求得/Q)的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得切线的方程.本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.15.答案：立+日=116 8解析：解：设椭圆的方程为m+3=l(a b 0)a2 离心率为立，.=立，得 注=立 2 a 2 a2 2 7又.过&的直线L交C于a,B两点，且力8 尸 2的

16、周长为16，根据椭圆的定义，得|AB|+AF2+BF2=(|4 0|+AF2)+(|B&|+BF2)=4a=16由此得到a=4,代入得b=2V1可得椭圆C的方程为1+=116 8故答案为：+=116 8根据椭圆的定义证出力BF2的周长为4a=1 6,得出a=4,结合离心率为日解出b值，即可得到所求椭圆C的方程.本题给出满足条件的椭圆，求椭圆的方程.着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题.16.答案：Ai，Blt D解析：本题考查正方体的结构特征及平面的基本性质，取BBi的中点F,取4 5 的中点M,5,B在平面MOEB的两侧，可得结论.解：取B B i 的中点F,则4，

17、D,E,F 四点共面，D i，B 在平面4DEF的两侧，故 与 平 面 相 交,满足题意；取&5 的中点M,则M,D,E,当四点共面，,8 在平面MCE/的两侧，故。声与平面相交，满足题意；。显然满足，所以动点P在直线B O 1(除B，5两点)上运动的过程中，平面D E P可能经过的该正方体的顶点是4,B i，D.故答案为17.答案：解：(/)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别为,Q，y)(14)(L 2)(1.3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P Q 2,x-y)(-110)(-1,-1)(-1,-2)(0,1)(0.0)(o,-i)(1,2)(L I

18、)(L 0)OP1V 2V 5101V 5V 21共9种.由表格可知|0P|的最大值为遥设事件4 为“|0P|取到最大值”，则满足事件4 的(X,y)有(1,3),(3,1)两种情况，2 P(4)=3()设事件B 为“P 点在第一象限”若 其 所 表 示 的 区 域 面 积 为 3 x 3 =9,r o%0-y 0即如图所示的阴影部分，其区域面积为1 x 3-l x 1=|；.P(B)=518解析：(I)记先后抽到的两张卡片的标号为(x,y),列出所有情形，然后分别求出|0 P|的值，从而得到最大值；()求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的

19、比值即可.本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率.18.答案：(本小题满分12分)证明：(1)不妨设正方体的棱长为1,以 方，DC，西为单位正交基底建立空间直角坐标系D-x”,-1-1则4(100),0式0,0,1),F(-,l,l).4/(p 1；0),AD；=(1,0,1)，DE=(0,1,|),设记=(居2)是平面4。1后的一个法向量，n-ADy=%+z=0则 一 亦 i 八，令z=2,得元=(2,1,2),(4分)n DrE=y z=02故五41尸=0，二 记又&F

20、 仁平面4。花，二七尸/平面.(7分)解：(2)平面AQ E的一个法向量元=(2,1,2),平面力DC的一个法向量记=(0,0,1).(9分),、nm cos =8|/n|2 _ 2174+1+4 3二 面 角 4 一 DC余弦值为意.(12分)解析：(1)不妨设正方体的棱长为1，以57,DC，西为单位正交基底建立空间直角坐标系D-x y z,由此能证明4#平面ADiE.(2)求出平面ADiE的一个法向量元=(2,1,2),平 面 的 一 个 法 向 量 记=(0,0,1),由此求出二面角D iE-4 一 DC余弦值.本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面

21、间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.19.答案：解：若选：(l)3 Sn+i=Sn+l,当n=l.时,3 s 2=S i+1,即3 ai +3。2 =%+1，因为。2 =3 所以当n N 2 时，3 S n=S n_i +l ，3 S n+i =S 九 +1，一并化简可得，3 即+1=即，即 手=gan J又宣=3所以干 I，n W N *,U j o C Ln 3所以数列 即 是以5 为首项，3为公比的等比数列，所以 a n =($n.(2)G2n-la2n+l=所以+a 3 a 5+a 5 a 7+Cl2n-la2n+l=(|)4+(|)8+(|)4 n_

22、 G)l-.)4 _ 1-3-44-1-(5)4 -80若选：(1)因为S t +a”=1,当7 1 =1时，可得由=当n 2时，Sn_ i +an_ i =1，Sn+an=1，-并化简可得2a“=an_1；即 夫=?所以数列数列 an 是以 为首项，3为公比的等比数列，所以的=(”.(,)a2n-la2n+l=(2)4n,所以。通3+a 3 a 5+a 5 a 7+a2n-ia2n+i=(1)4+()8+(1)4 n=i-(y =若选：(l)a i =1,dfi+i=2Sn+1,当zi =1时，a2=2s l +1=3,当nN 2时，an=2Sn_ i +l ，an+1=2Sn+1,-并化简

23、可得a.+i =3an,即 詈=3,又含=3,所 以 黑=3,n N*,所以数列 an 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an=3.(2)a2n-la2n+l =34 n,所以 (23+a 3a 5 +a 5 a 7 +0,联立直线/与椭圆方程，消去y 得：(3+4f c2)%2 8 k2m x+4k2m2 36=0,直线Z 与椭圆C 相切，=64k 47n2-4(3+4f c2)(4k27 n2-36)=0,化简，得巾2=白+12,k2令 丫 =/c(%m)中 =0,得 丫=k m,即N(0,/c m),SHOMN=而=1/c(+12),SXOMN=(+1 2k)$x l 2 k=6V

24、3当且仅当=12k 即k =理时等号成立，k 2v m h(x)g(x),知：ex kx-V 1 Inx,令p(%)=-kx 1 0,对 G(0,+oo)恒成立,p(0)=0,p(x)=ex k,ex 1,当k 0,p(x)p(0)=0成立，当k 1,p(%)0,x Ink 0,p(x)0,0 x Ink,.x=Ink,p(lnk)0不成立，fc 0),q，(x)=空，当 6(0,时，q(%)0；当工(?2,+8)时，q，(x)V 0,q(x)max=q(e2)=%：.k N 展;故：实数k的取值范围是琮1.(2)由已知：f(x)=ex,g(x)=：，证明：由y ei=eX1(l-/)得：/i

25、(x)=eX1x+(1 z)eX 1,由y lnx2=(x 外)得：%(X)=x+Znx2 1,x2 x2故(CX1=&,le%1(l%!)=lnx2 10 x2 ln x2-1 0.eX1(l xx)故：Xi 1：|(/n x2-1)x-x l n x,在 尤 exi 1 恒成立，设G(x)=x xlnxQx eX1 1)Gz(x)=Inx ex*(l-x j,:eZ1(l Xi)=lnx2 1 0,Q -v*-1,a f c x 4-1 Inx.分别令p(%)=ex-kx-1 0,q(x)=哼i (x 0),根据函数的单调性求出k的范围即可；(2)结合题意得到f%，求出短隈1-巧)e”】1

26、),根据函数的单调性求出G(%)的最大值，从而求出Q的范围即可.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题.22.答案：解：曲线C的极坐标方程为0=需,即为Ss幽2=4p c os9,化为直角坐标方程为：y2=4x,表示顶点在原点，焦点为(1,0)的抛物线；(2)直线I的参数方程为:Z +tsina(t为参数，0 W a 兀).化为普通方程为：y=tana x +1,(0 a TT),由于直线/经过点(L0)，则tc ma =-1.即直线1：y=1 x,代入抛物线方程：y2=4%,消去y,得/6x +l=0,设 则 1 +%

27、2=6,=1，则+(-1)?%x2|=V2-+三)2 4%I%2=V2-V62 4=8.解析：(1)运用X =p c osdy=psind,即可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出顶点和焦点；(2)化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到斜率，再联立抛物线方程，消去y,得到x的方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到所求值.本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长的方法，考查运算能力，属于中档题.23.答案：解：(1)不等式/(*)+)(*-2)x +l,即为|x +2|+|x|x +l,等价为仔/4或厂：/(2 4或 产

28、:/4，(x +2+x x +l+2 x x +l I x 2 x f(2a)恒成立，即有|x +a +2|+|x +2|2a +2|恒成立，由|x +a +2|+x+2 x+a+2-x-2=a,当且仅当(x +2)(x +2+a)0时,取得等号，可得|2a+2|a|,即为(3a+2)(a+2)S 0,解得-2 a -I，则a的取值范围是-2,一 皂.解析：(1)由题意可得|x +2|+|x|2a+2|恒成立，等价为(|x+a+2|+|x +2|)mm 2|2a+2|,由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，由绝对值的解法可得所求范围.本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想和转化思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题.