2021年高中数学理科高考真题全国卷甲卷乙卷（卷一卷二）合集.pdf

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1、2021年高中数学理科全国卷甲卷乙卷（卷一卷二）合集2021年高中数学理科全国卷甲卷试卷与答案2021年高中数学理科全国卷乙卷试卷与答案绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集

2、合M =H（）v x v 4 ,N =v x ,则M N=（）A.x 0 x B.x x1 3/1 3 JC.1 x|4 x 5 j D.1 x|0 x 0,乙:是递增数列，则（）A,甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2 0 2 0 年 1 2 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4B,C三 点,且 4 8,C在 同 一 水 平 面 上 的 投 影 满 足 NACb =4

3、 5,Z ABC=a）.由 C点测得8点的仰角为1 5,8 8 与CC的差为1 0 0；由8点测得Z点的仰角为4 5,则 a C两点到水平面A 8 C 的高度差A 4 -C C 约为（&1.7 32）（）A12.设函数/(x)的定义域为R,7(%+1)为奇函数，x+2)为偶函数，当xe l,2 时,A.346 B.373(八万、-c os a9.若 a e|0,t a n 2a =-C.446，贝 ijt a n a=()D.473V 2 7 2 s i n aA.10.V 15 R 石-O.15-5将 4 个 1和 2 个 0 随机排成一行，12 V 59.-3则 2 个 0 不相邻的概率为

4、(2)D.亍4A.-B.-3 5C.一3D.11.己如/,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 A C _ L B C,A C =8 C=1,则三棱锥。一 ABC的体积为()A.V 27 3-D.12-12C叵4D.县Tf(x)=a x2+b.若 0)+3)=6,则/图=()二、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共 20分.2 r-113.曲线y=一 不 在 点(-L-3)处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _.%+214.已知向量4=(3,l),b =(l,O),c =a +H?.若 _ L c，则 4=.2 215.己知月，尸,为椭圆C：土+2 _=1 的两个焦点，P,。为

5、C上关于坐标原点对称的两16 4点，且|P Q|=|耳玛I，则四边形尸耳。鸟的面积为16.已知函数/（）=2（：0 5（如；+9）的部分图像如图所示，则满足条件4%0的最小正整数X 为三、解答题：共 70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 20 0 件产品，产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床1505020 0乙机床1208020 0合计27 0

6、13040 0（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?n(ad-be)2附：K2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.0 50 0.0 100.0 0 1k3.8416.63510.82818.已知数列 4 的各项均为正数，记 S,为%的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 4 是等差数列：数列 是等差数列；%=3%.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19 .已知直三棱柱A B C 4 AG中，侧 面 为 正 方 形，A B =B C 2,E,尸分别为A

7、C和 c q 中点，。为棱4 用 上 的 点.B F (1)证明：B F D E；(2)当耳。为何值时，面与面。尸石所成的二面角的正弦值最小？2 0.抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x 轴上，直线/：%=1 交 C于 尸，。两点，且O P L O Q.已知点(2,0),且0 与/相切.(1)求 C,M的方程；(2)设 A,4,是 C上的三个点，直线a 4 ,4&均与OM 相切.判断直线A 2 A 3与 OM的位置关系，并说明理由.2 1 .已知0 且 QW1,函数/(x)=(X 0).ax(1)当a =2 时，求“X)的单调区间;(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取

8、值范围.(-)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=2夜cos。.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设 点/直 角 坐 标 为(1,0),M为C上的动点，点P满足=，写出P的轨迹G的参数方程，并判断C与G是否有公共点.选修4-5：不等式选讲(10分)23.已知函数/(x)=|x-2|,(x)=|2 x+3|-|2 x-l|.(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；(2)若 x+a)2 g(x

9、),求a的取值范围.绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设 集 合 知=卜|0 x 4,N=4 x-x3，则M N=()A.X 0 X 3C.x|44x 5【答案】B【解析】【

10、分析】根据交集定义运算即可B.X-X3D.1 x|0 x 5|【详解】因 为=x 0 x 4,N =x|，4x 5,所以门 =卜|太 无 50%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68（万元），超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以

11、其相应频率然后求和所频 率，得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于后5 X组距.组距3.已知(l i z =3 +2 i,贝i j z=()A.-1-2/B.T +当 C2 2 2D.32【答案】B【解析】【分析】由已知得2=，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】(1-Z)2Z=-2Z Z=3+2Z,3 +2 z （3 +2 z）-z -2 +3 z ,3 .z =-=-=-=-l+-z.-2 z -21-i 2 2故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录表的数据 的满足L

12、 =5 +lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）1.2 5 9）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】分析】根 据 关 系，当L =4.9时，求出I g V,再用指数表示V,即可求解.【详解】由 L =5 +l g K,当 L =4.9 时，lg V =-0.1,_ L 1 1则 v =i（r=1 0 I。=。-o.8.,/1 0 1.2 5 9故选：C.5.已知，乃是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且 N片 桃=6 0。,|尸用=3|尸闾,则C的离心率为（）A.立 B.叵 C.J 7 D.V 1 32 2【答案】A【解

13、析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|耳|,|军|,结合余弦定理可得答案.【详解】因为归1=3忸用,由双曲线的定义可得|尸耳|一归闾=2归 耳=勿,所以|尸引=。,归耳|=3 a；因为/耳产乙=6 0。,由余弦定理可得4 c2=9/+0,乙：S,是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当q 0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 S,是递增数列时，必有%0成立即可说明q 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.【详解】由题，当数列-2,-4,-8,时

14、，满足4 0,但是 SJ不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若 S“是递增数列，则必有可 0成立，若。0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则4 0成立，所以甲是乙的必要条件.故选：B.【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程.8.2 0 2 0年1 2月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4B,C三点，且B,C在同一水平面上的投影A ,6 ,C 满足N A C B =4 5,Z ABC=a）.由C点测得8点的

15、仰角为1 5 ,8 8 与CC的差为1 0 0；由8点测得/点的仰角为4 5,则4c两点到水平面A H C 的高度差A 4 C C 约为（g a l.7 3 2）（）【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A B ，进而得到答案.A过C 作 C _ L 8?,过 3作 B J _ A 4 ，故 A 4 -C C =A 4 -(3 3 -B H)=A 4 -3 3 +1 0 0 =AD+1 0 0,由题，易知 4)5为等腰直角三角形，所以A 0=D B.所以 A 4 C C =0 3+1 0 0 =A 3 +1 0 0.因为乙B C H =15,

16、所以C =C 8 =%t a n 1 5 在qA 3 C 中，由正弦定理得：A B _ C _ 1 0 0 _ 1 0 0si n 4 5 si n 7 5 .t a n l5 0 c o sl5 .si n 1 5，/7 _ /y而 si n 1 5。=si n(4 5-3 0 )=si n 4 5 c o s 3 0 0 -c o s 4 5 si n 3 0 =-，所以A，B，夜1 0 0 x 4 x 27 6-7 2=1 0 0(百+1)7 2 7 3 所以 A 4 。=4 3 +1（乂区3 7 3.故选：B.【点睛】本题关键点在于如何正确将A 4 -C C 的长度通过作辅助线的方式转

17、化为A B +1 0 0.(jl c o s cc9.若a 引 O,；-|,t a n 2 a =，贝i j t a n a=()V 2 J 2-s i n aA.姮 B.g C.在1 5 5 3【答案】A【解析】八 工L 八 j一 g-s i n 2a 2 s i n a c o s 十 人心 qg.1（分析 由二倍角公式可得t a n 2a =-=-r ,再结合已知可求得s m a=-,c o s2a l-2s i n a 4利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】t a n 2a =-:-2-s i n a八 s i n 2a 2 s i n a c o s a c o s a/.t

18、 a n 2a =-=-=-c o s2a l-2s i n a 2-s i n a（八c 2s i n 6 z 1 .1-a e 0,/.c o s t z O,/.-：=-,解得s m a =一,I 2j l-2s i n2a 2-s i n a 4r-A/15 s i n a 5c o s（2=v l-s m a =-，?.t a n a -=-4 c o s a 1 5故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出s i n e.1 0.将4个1和2个0随机排成一行，贝I2个0不相邻的概率为（）1 2-2 4A.-B.-C.-D.一3 5 3

19、 5【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个。不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C；=5种排法，若2个0不相邻，则有C；=1 0种排法，1 0 2所以2个0不相邻的概率为-=-.5 +1 0 3故选：C.1 1.已如4 B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且A C _ L3C,A C =3 C =1,则三棱锥0ABC的体积为（）A&R百 C 6 D百12 1 2 4 4【答案】A【解析】【分析】由题可得aABC为等腰直角三角形，得出AABC外接圆的半径，则可求得。到平面A8C的距离，进而

20、求得体积.【详解】AC_L8C,AC=3C=1,.&A3C为等腰直角三角形，二 人 台;血，则，A3C外接圆的半径为之，又球的半径为1,2设。到平面ABC的距离为d,则1=2?所以 ABC=S(z-/lo C 32 12故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数“X)的定义域为R,/(%+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xel,2时,【答案】D【解析】【分 析】通 过/(X+1)是 奇函数和/(X+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式/(x)=-2 d+2,进而利用定义或周期性结论，即可得到答案

21、.【详解】因为/(x+1)是奇函数，所以/(-x+l)=-/(x+l)口；因为/(x+2)是偶函数，所以“+2)=+2)口.令x=l,由得：/(0)=-/(2)=-(4。+/?),由口得：因为/(0)+/(3)=6,所以一(4a+，)+a+Z?=6=a=-2,令x=0,由得：1)=-/(1)=/(1)=0=匕=2,所以/(x)=_ 2 f+2.思路一：从定义入手.所以同一（|）=|.思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数/（X）的周期7 =4.故选：D.【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分

22、，共20分.2r-11 3.曲线）一 在 点（T-3）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x+2【答案】5 x-y+2=0【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.【详解】由题，当x=l时，丁 =-3,故点在曲线上.求导得:2(x+2)-(2x-l)5(x+2)2(x+2)2所以 y L=_ i=5 .故切线方程为5 x-y +2=0.故答案为：5 x-y +2=0.1 4.已知向量a =(3,l),b =(l,O),c =a +A 7?.若a _ L c，则氏=【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量d的坐标，利用向量的数量积为零求得我的

23、值【详解】a =（3,=（1,0）,;.C =a +妨=（3+%,1）,6ZC,.-.6ZC=3（3+Z:）+1X1 =O,解得左=一日，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量，=（X，X），q=（%，）垂直的充分必要条件是其数量积玉+y%=。-2 21 5.已知耳，居 为椭圆C：二+二=1两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两16 4点，且|PQ|=|耳 闾，则四边形WQK的面积为.【答案】8【解析】【分析】根据已知可得PG瑞，设1尸 1=根,1尸 1=,利用勾股定理结合加+=8,求出机，四边形尸耳。鸟面积等于加，即可求解.【详解】因为

24、P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|H I，所以四边形P Q鸟为矩形，设|P|=m,P F2=n,则z +=8,m2 +n2-48,所以 6 4=（m +）2 =m2+2mn+n2=48+2mn,痴=8,即四边形P片Q 6面积等于8.故 答 案：8.1 6 .己知函数/（x）=2 c os（a）x+o）的部分图像如图所示，则满足条件/（幻 一/1一?/（幻 的最小正整数x为.【解析】【分析】先根据图象求出函数 X)的解析式，再求出/(-彳),/()的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知一T =2=，即7=4巴=乃，所 以/=2；4 1 2 3 4

25、c o.,_ ；_ _ _ r-/t n 冗 兀 7T由五点法可得2+=；7,即0=；所以由(/(X)y)(/(%)-/(y)0 可得/(x)1 或/(X)0 ；因为/(1)=2 c os(2-不)2 c os =1,所以,方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)0,即c os(2 x-)(),k n+x k n +,k e Z ,令人=0,可得乙 x至，3 6 3 6可得x的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/*)0,又/(2)=2COS4 J k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)7 5%；6 0%；(2)能.【解析

26、】【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率 为 当 =75%,200120乙机床生产的产品中的一级品的频率为=60%.200,400(150 x80-120 x50)2 400 K2=-乙=?106.635,270 x130 x200 x200 39故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.1 8.已知数列4 的各项均为正数，记S,为&的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列4 是等差数列：数列 是等差数列；=3q.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析【

27、解析】【分析】选作条件证明时，可 设 出 疯，结合“的 关 系 求 出，利用4 是等差数列可证%=3 q；选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出 ,结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出 =5+人，结合4,S“的 关 系 求 出，根据4=3 4可求力，然后可证4 是等差数列.【详解】选作条件证明：设 店=a +优。0),则S,=(an+b2,当=1 时，4=5=(+/?；当之2时，=S _ S“_+一(一。+匕)2 =a(2,7 Q+2Z?)；因为%也是等差数列，所以(a+b)2=Q(2a Q+2 b),解得6=0；所以4=片(2-1),所以。2=36.选作条件证明：因为4=3，4是

28、等差数列，所以公差d =2-=2 ,所以 S =na+1)d=rra,即 ys=yan,因为77一=m(+1)一 瓶 =用,所以 底 是等差数列.选作条件证明：设=+。3 0),贝!l S =(+/?)，当九=1 时，4 =S =(a +b/.当之2时，an=Sn Sn_=(。力 +匕)2 一=。(22 a +27 7)；因为。2=3。1,所以a(3 a +2)=3(a +Z?)2,解得。=0或 匕=一?；当6 =0时，c i =a2,an=2(2n-l),当2 2时，4-%=2/满足等差数列的定义，此时 4为等差数列；当人=时，Js-an+b=an-a,E=0 x(l-a)+2xl+lx(-

29、2)=0,所以B W D E.(2)设平面ObE的法向量为m=(x,y,z),因 为 所=(-l/,l),O E =(l-a,l,2),-x+y+z=0(1-Q)X+y-2z=0令z=2 a,则加=(3+a,2-a)因为平面6C G 4的法向量为区4=(2,0,0),设平面BCC41与平面。防的二面角的平面角为。，Im-BAl 6 3则|cos 6=-；T=-/=/,，.|力阚 2xV2a1 2 3-2a+14 j2a2-2a+14127当。=不 时，2/一2a+4取最小值为二，223 y/6此时cos。取最大值为27 3.m EF=0,即m DE-0所以此时用）=1.2【点睛】本题考查空间向

30、量的相关计算，能够根据题意设出。（凡0,2）（OWaW2）,在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步.2 0.抛物线C的顶点为坐标原点。焦点在x 轴上，直线/：x=l 交 C于 P,。两点，且O PX.O Q.己知点M（2,0）,且oM 与/相切.（1）求 C,OM 的方程；（2）设 4,4,4是 C上的三个点，直线44,AA均与Q M 相切.判断直线4 4 与 Q 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）抛物线C:y 2=x,M方程为（x 2）2 +y 2=i；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与x=l 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设

31、出P,。坐标，由即可求出P；由圆A f 与直线x=l 相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑A4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 4A2,4 4 3,4 4 3 斜率存在，由4,4,人 3 三点在抛物线上，将直线44,44,A 2 A 斜率分别用纵坐标表示，再由A4,44与圆M相切，得 出 必+必与%的 关 系，最后求出M点到直线A2 A 3 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线C:y 2=2 p x（p O）,P（l,）o）,Q（l,-y o），OPOQ,:.OP OQ=-yl=X-2 p =0,:.2p=l,所以抛物线C的方程为丁=X,M（0,2）j M与x=l

32、相切，所以半径为1，所以”的方程为（x 2）2 +V=i；（2）设 4（%乃），4（/,当），413，%）若A4斜率不存在，则AA?方程为x=i或*=3,若A&方程为 =i,根据对称性不妨设A。），则过4与圆M相切的另一条直线方程为y =l,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在4 3,不合题意；若4 4方程为X=3,根据对称性不妨设A （3,G）,4（3,J）,则过A 1与圆相切的直线4 A 3为y-J 5 =4（X-3），又 k=口.=1 =1 _ 好,Y 7乂 长/4 ,仄 ，乃u，玉一毛 x+%J 3 +%3马=o,4（o,o）,此时直线A 4,&4关于x轴对称，所以直线44与圆相切

33、;若直线斜率均存在,则 A,A21 7.1 1，攵A A 3 _ ，攵4 4 -7M+必 M+%+%所以直线44方程为y-y =-（工一司）,y +%整理得 x-(y+%)y+x2 =，同理直线44的方程为x-（必+%）+必必=o，直线A24的方程为x-（%+%）y +为必=o，2+yty21K A 2与圆M相切，L Z=1 /l +(X +必)整理得（代-1）货+2必当+3-才=0，4 A 3与圆”相切，同理（必2-1）犬+2%+3 ；=0所以为，%为方程（犬-1）9+2先 什3-4=0的两根,M 到直线4A3 的距离为：|2 +L|2 +%为 1.犬-1J l +(%+%)2 1 1 +(

34、_ _ 7V /-1一，及;+“犬+1 一17(!2-1)2+4/代+所以直线4 4 与圆M 相切；综上若直线A4,44与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.【点睛】关键点点睛：(1)过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标(或横坐标)表示,将问题转化为只与纵坐标(或横坐标)有关；(2)要 充 分 利 用 的 对 称 性，抽象出%+%，%,%与%关系，把%，%的关系转化为用J i 表示.2 1.已知。0且 awl,函数/(x)=二(0).ax(1)当a =2 时，求/(x)的单调区间;(2)若曲线y =/(x)与直线y =l 有且仅有两个交点，求。的取值范围.【答案】o,A上单调递增;+8 1

35、上单调递减；(2)(l,e)u(e,+8).【解析】【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；(2)利用指数对数的运算法则，可以将曲线y =/(x)与直线y =l 有且仅有两个交点等价转化为方程=有两个不同的实数根，即曲线y =g(x)与直线y =-有两个交点，x a Ina利用导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到0等：,发现这正好是0 g(a)g(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到a的取值范围./、x2、2 2 2*工2.2 山2 x*2v(2-x l n 2)【详解】(1)当a =2

36、时，x)=J 7，/(x)=-r+-=-京-,2(2X)4令/x)=o得=三，当ox 0,当x三 时，/(x)0,I n 2 I n 2 I n 2回函数/(力 在(o,专 上单调递增；*，+)上单调递减；(2)/(X)=1 6 ZA=xa。入1 1 1 4 =4 1 1 1 1=,设函数且(入)=：,a x a x则 g(x)=J?，令g(x)=O 得x =e,在(0，e)内g(x)0,g(x)单调递增;在(e,+o o)上 g(x)=竟 有 两个交点的充分必要条件是0呼 (,这即是0 g(a)/2 c o s 0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点/的直角坐标为(1,0),

37、M为C上的动点，点尸满足A P =，写出尸的轨迹G的参数方程，并判断C与G是否有公共点.【答案】(X-？+y 2=2；(2)尸的轨迹G的参数方程为卜=3一e +2 c o s (=2 s in 6为参数)，C与G没有公共点.【解析】【分析】(1)将曲线C的极坐标方程化为2 2=2应 c o s。，将=以第。,y =夕5由。代入可得；(2)设P(x,y),设M(夜+&c o s。,夜s in 6),根据向量关系即可求得尸的轨迹G的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】(1)由曲线C的极坐标方程2=2行c o s 6可得P之=2也0 c o s 6,将=2 8 5。,丁 =2 5由

38、。代 入 可 得+y 2 =2后%,即(x-血J +y 2 =2,即曲线C的直角坐标方程为(X 夜+2=2；(2)设尸(x,y),设A/(J 5 +&c o s e,夜s in。)AP=yf2AM.二(x -1,y)=夜(&+近 c o s 8 -1,&s in 6)=(2 +2 c o s 0-夜,2 s in 8),=2 +2 c o s，-&f x =3-忘+2 c o s 6则，即 ，y =2 s in 6 y=2 s in 0故P的轨迹C1的 参 数 方 程 为3一 行+2 c o s(。为参数)y =2 s in 6曲线c的圆心为(J 5,o),半径为、方，曲线G的圆心为(3-&,

39、o),半径为2,则圆心距为3-2夜，3-2后 2【解析】【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=/(x)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过4卜寸a的值可求.,f2-x,x 2【详解】(1)可得/(幻=%一2=2 A*Y T T-1 1 2 J 4 -I ki l-4:3-4,x 23 1g(x)1 2 x +3 1 -12x-1|=4 x +2,-x -l 2V4:/,水)I2 1./_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a X4 3 V o 1 2 3 6 厂/-I /-2-/-J-1-4 -

40、(2)f(x+a)=x+a-2 t如图，在同一个坐标系里画出龙)心(可图像，y =/(x+4)是y =x)平移了同 个单位得到画出函数图像如下:则要使/(x +a)2 g(x),当 y =/(x+a)过需将N=/(x)向左平移，即。(),4 1时，|,+。一2|=4,解得 或一 2 (舍去),)2 2 2则数形结合可得需至少将 =/(X)向左平移y 个单位，.a N 日.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，

41、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 2 (z+z)+3(z-f)=4+6 i,则 z=().A.l-2 iB.l+2 iC.1+i D.1-i2 .已知集合 S=s|s=2 n+l,nEZ,T=t|t=4 n+l,n Z ,则 S C T=()A.0 B.SC.T D.Z3 .已知命题p：3 xER,sinx l；命 题

42、q：VxER,e|x|l,则下列命题中为真命题的是()A.pA q B.-ipA qC.pA -iq D.-i(pVq)4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是()l+xA.f(x-l)-l B.f(x-l)+lC.f(x+l)-l D.f(x+l)+l5 .在正方体A BCD-A BCD 中,P 为 B D的中点，则直线P B与 A D 1 所成的角为()6 .将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A.6 0 种 B.1 2 0 种C.2 4 0 种 D.4 8

43、0 种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移g个单位长度，得到函数丫=5 门-?的图像，则 f(x)=()A-sin(匀 B.sin(；+JC.sin(2%-)D.sin(2 x+J8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1 个数，则两数之和大于:的概率为()49.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点 E,H,G 在水平线A C上，D E和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，G C和 EH 都称为“表目距”，G C与 EH 的差称为“表目距的

44、差”。则海岛的高A B=().A：表高表日距的差BD :表表日高距X表的距差 一丰表 问吉C：誓 熟+表 距表目距的差n 表高表跑走而D：而福表距1 0.设a W O,若 x=a 为函数f(x)=a(x -a)2(x-b)的极大值点，则().A：a bC：a b bD：a b a2H.设B 是椭圆C：J +g=l(ab0)的上顶点，若 C上的任意一点P都满足|P B|2 b,则C的离心率的取值范围是().A：惇 1)B：川C：(。靖 (0,i 12.设a=2In 1.01,b-In 1.02,c-V104-1,贝1 J ().A：a b c B：b c aC：b a c D：c a 0)的一条

45、渐近线为Bx+m y=O,则 C的焦距m为.1 4 .已知向量 a=(1,3),b=(3,4),若(a-、b)_L b,则入=。1 5 .记4 A BC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为遥,B=6 0 ,a+c=3 a c,贝 U b=1 6 .以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写出符合要求的一组答案即可）.（第16庵图）三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1 7-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、2 3题为选考题，考生根据要

46、求作答。（一）必考题：共6 0分。1 7 .（1 2 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为无和歹，样本方差分别记为s：和s22旧设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5（1）求后 y,S i2,s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果9-

47、元2 2用1,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8.(1 2 分)如图，四棱锥P-A BC D 的底面是矩形，P D，底面A BC D,P D=D C=1,M 为BC 的中点,且 P BJ_A M,(1)求 BC；(2)求二面角A-P M-B的正弦值。(第18题图)1 9.(1 2 分)记 S .为数列 a j的前n 项和，b.为数列 S J的前n 项和，已知:+白二2.Sn bn(1)证明：数列 bn 是等差数列；(2)求 既 的通项公式.20.(1 2 分)设函数f (x)=ln (a-x),已知x=0 是函数y=x f (x)的极值点。(

48、1)求 a；(2)设函数 g (x)证明：g (x)0)的焦点为F,且 F与圆M：x?+(y+4)?=1 上点的距离的最小值为4.(1)求 P;(2)若点P 在 M 上，P A,P B是C的两条切线，A,B是切点，求A P A B的最大值.(二)选考题：共 1 0 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 一 4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系x Oy 中，0 C的圆心为C (2,1),半径为1.(1)写出O C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点F (4,1)作0 C的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建

49、立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.23 .选修4 5：不等式选讲(10分)已知函数 f (x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=l 时，求不等式f (x)2 6 的解集；(2)若 f (x)2 a，求 a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(理)一、选择题1.设2(z+z)+3(z z)=4+6 i,则 z=()A.1-2/B.l+2zC.1+zD.1 z答案：C解析：设 z=a,则 z=a 胡,2(z+z)+3(z z)=4a+6bi=4+6z,所以 a=1,b=,所以z=l+i.2.己知集合 S=S|S=2+1,GZ,7=，|r=4+l,e Z ,则

50、S T=()A.0B.Sc.TD.Z答案：c解析：s=2 +1,n eZ ；当 n=2k,L e Z时，S=s|s=4A+l,A eZ；当 =2A+1,AwZ时，5=|S =44+3 6 2 .所以7 0 5,ST=T.故选C.3.已知命题,s in x v l；命题q：V xcR,加2 1,则下列命题中为真命题的是()A.p/qB.-ip/qc.D T p 7 G答案：A解析：根据正弦函数的值域s i n x e-1,1,故 土 w R,s i n x y=s i n(x +横坐标变为原来的2倍 y=sin(l x+-).故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1 个数，则两数之和