2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（5月份）（乙卷）附答案解析.pdf

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1、2021年超级全能生高考数学联考试卷（文科）（5 月份）（乙卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合/=处因 W 1 ,集合B=y|y=/,则4 n B =()A.-1,1 B.-1,2 C.0,2 D.0,12.设复数z满足3$-2 z =2+5i(i为虚数单位)，则|z|=()A.V5 B.2 C.V3 D.13.甲、乙、丙、丁四人等可能分配到4、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（）A.；B.；C.；D.16 3 N 64.函数y=2sin:+1的部分图象如图所示，则（次+2而）.荏=（）A.-10B.-5C.5D.105.设

2、等比数列 斯 的前几 项和为，且由+。3+。5=4,56=1 2,则$9=（）A.28B.36D.等 146C-6.某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了 6个数据:碰=鹫二/=獭 精 雁=蹴 滁=毅 瓯=僦.鼻=慨如执行如图所示的程序框图，那么输出的看是（）B.SC.著D.47.以点（-5,4）为圆心，且与窝轴相切的圆的方程是（）A.g:#翳 窜 一/金=B.笈一图 8#&婵#/出=喔C.有产需无甲一可产=酷 D.芸_ 常产署如瑞唠=修8 .函数/(X)=%2 -2 x -4仇X的单调递增区间是()A.(-8,-1),(0,2)B.(-1,0),(2,+8)C.(0,2)D.(2,4-0 0

3、)9 .已知a为第一象限角，y/3sina=cosa)则t a n ()A.2 +V 3 B.2-V 3 C.-V 3 +2 D.V 3 21 0 .直线y =2 x与抛物线W：y 2 =2 p x交于4,B两点，若|4 8|=遍，则A，B两点到抛物线W的准线的距离之和为()A.1 B.2 C.3 D.41 1 .正三棱柱4B C-4&G的底面边长和高均为2,点。为侧棱C G的中点，连接A D,B D,则点C 1到平面4 BD的 距 离 为()A.叱 B.在 C.立 D.叵2 2 2 21 2 .已知双曲线C：一(=l(a 0,b 0)的离心率为8，左、右焦点分别为6，F 2,点4在双曲线C上

4、的一点，若M F/=2|4尸2|,则COS4&AF2=()A-；B.；C.-i D.i二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)%2 y +5 0,1 3.设m为实数，已知由不等式组：3-%0,表示的平面区域为点集4由不等式：x2+y2 02 5表示的平面区域为点集B,若4UB,则实数m的 取 值 范 围 是.1 4 .若实数a、b、c、d满足(b -elna)2+(c-d+3)2=0(其中e是自然底数)，则(a -c)2+(b-d)2的 最 小 值 为 .1 5 .数列 册 的前n项和为%=n2+n +l,bn=(-l)nan(n e N*),则数列也 的前1 0项的和为1 6.正方体4 8

5、。一公8忑1。1为棱长为2,动点P,Q分别在棱B C,上，过点4,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,设B P =x,C Q=y,其中x,yG 0,2 ,下列命题正确的是.(写出所有正确命题的编号)当=0时，S为矩形，其面积最大为4；当x =y=l时，S的面积为点当x=1,y e(1,2)时，设S与棱G D l的交点为R,则RD1=4 一(；当y=2时，以 为 顶 点，S为底面的棱锥的体积为定值*三、解答题(本大题共7 小题，共 8 2.0分)17 .在A ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知卬且/C =|TT.cosB a 3(I)求角4 B的大小；(II)设函数/(%)

6、=sin(x+4)+c o s x,求/(x)在 上 的 值 域.18 .近年来，共享单车己经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方4PP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2 x 2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评15050200对车辆状况不满意6040100合计21090300(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？(2)为了回馈用户，公司通过4P

7、P向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用4Pp扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是3|，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X,求随机变量X 的分布列和数学期望.附：下边的临界值表仅供参考:P（R 2N k。）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.07 22.7 063.8 415.0246.6357.8 7 910.8 28(参考公式：依 一黑 黑)e+d)，其中+b +c +d)1 9.在P 0 1 A B,乙PCA =

8、4PCB,平面P C C，平面4 B C这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.问题：已知在三棱锥P-4 B C中，。为4 B的中点，,A C=B C=2.(1)证明：P C I AB；(2)若P C =2,Z.PCB =/.A CB=90 ,E为线段P B上一点，且E B =3 P E,求二面角。-C E-8的余弦值.20 .已知椭圆C的中心为原点，焦点F 尸2在坐标轴上，其离心率为号，且与x轴的一个交点为(1,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知椭圆C过点(0,日)，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线I,&,尸2到，的距离分别为dd 2.探究：d i d 2是

9、否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆山/+政2=1在其上一点(&,y )处 的 切 线 方 程 是+nyQy=1)；(3)求(2)中右+刈 的取值范围.21 .已知函数f(%)=4x x2 I nx.(1)若/(%)在%=%1，%=%2(%1 H%2)处导数相等证明:/Q1)+/(%2)工 5 +仇2(2)若对任意ER,直线y =k x +ni与曲线y =/(%)有唯一公共点，求实数m的取值范围22.在直角坐标系中，圆G：刀2+、2=1经过伸缩变换|；;；后得到曲线。2,以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线，的极坐标方程为

10、c os。+sin。=y.(I )求曲线C 2的直角坐标方程及直线/的直角坐标方程;(口)在。2上求一点“，是点M到直线，的距离最小，并求出最小距离.2 3.已知函数/(x)=|x-5|+|x+4|.(1)求不等式/(x)12的解集；(2)若关于x的不等式f(x)-2_3。_ 1 0恒成立，求实数a的取值范围.参考答案及解析1.答案：D解析：解：A=(x-1 x 0,A n B=0,1.故选：D.可以求出集合4 8,然后进行交集的运算即可.考查描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算.2.答案：A解析：解：设2=。+6，(a,b R),则2=Q bi,v 3z 2z=2+

11、53:.3(a bi)2(a+bi)=Q-5bi=2+5 1,即；二 z=2 i9A z=G+(-2)2=V5.故选：A.根据已知条件，结合共辗复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解.本题考查了共甄复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.3.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁四人等可能分配到4、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，基本事件总数n=C1Al=36,甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数巾=受 胆=6,则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为P=1-=1-=|.T L oo o故选：D.基本事件总数n=3 6,甲、乙两人在同一工厂工作包含

12、的基本事件个数m=废 心=6,由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人不在同一工厂工作的概率.本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.答 案:D解析：根据根据函数y=2 s i n卷+1 的部分图象，求得4、B 的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得要求式子的值.本题主要考查正弦函数的图象特征，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题.解：根据函数y=2 s i ny+1 的部分图象，令2 s i n+l=l,得s i n/x=O,由 五 点 作 图 法 知=兀，故x=2,二4(2,1).令+1 =-1,求得s i n/x=-1,求得x=3,故

13、 8(3,1).(0A +20B)-A B=(8,-1)-(1,-2)=8 +2 =1 0,故选：D.5.答案：D解析：解：等比数列 即 的前n项和为%,且由+(1 3 +(1 5 =4,5 6 =1 2,可得%+axq2+%q 4=4,可得(%+aq2+a1(74)(l-q2)=4(1 q2),即由(1 -q 6)=4(1 -q2),S6=1 2,可得飞=1 2,i-q解得q =2,at=卷,所以S#一 2 =%9 1-2 3故选：D.利用已知条件求解首项与公比，然后求解S 9 即可.本题考查等比数列的求和公式以及通项公式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.6.答案：D解析：试题分析

14、：本程序框图的算法是统计礴中大于6 0 的个数，因此最后输出的是第=4.7.答案：A解析：试题分析：直接求出圆的半径，即可得到满足题意的圆的方程解：以点(-5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的半径为：4；所以所求圆的方程为：(x+5/+(y-4=1 6.故选A考点：直线与圆点评：本题是基础题，考查直线与圆相切的圆的方程的求法，注意求圆的半径是解题的关键8.答案：D解析：解：/(x)=X2 2x 4lnx,4 f(x)=2%2-x 0,由尸(x)=2x-2 0,x 0,得%2 0,x 0解得x 2.涵数/(%)=x2-2x-4)x的单调递增区间是(2,+8).故选。.由/(X)=-2x 4Znx,

15、知/(x)=2x 2 x 0,由/(x)=2x 2 ：0,%0,能求出函数f (x)=x2 2x 4/nx的单调递增区间.本题考查函数的单调递增区间的求法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用.9.答案：B解析：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键.由a为第一象限角，确定出三的范围，进而确定出tan5大于0,已知等式整理求出tana的值，利用二倍角的正切函数公式化简求出tan三的值即可.解：r a为第一象限角，2kn a 0,2已知等式Vasina=co sa,整理得：tana=:.2 ；益=,即taM-+2V3

16、tan-1 =0,l-tan2-3 2 22解得：tan5=2一遍，故选：B.1 0.答 案:c解析：解：直线y=2%与抛物线W：y?=2 p%交于8 两点，联立直线与抛物线方程0 2=2：，解得与=0，物=或不妨设4 点的横坐标为o,8 点的横坐标为也即4(0,0),B 0 P),v A B =V5，二4 B 2 =(7+p 2 =5,解得p =2,A,B 两点到抛物线”的准线的距离之和为葭+=3.故选：C.由直线y=2 x与抛物线W：好=2%交于a,B两点，可得联立直线与抛物线方程，2：2 短，解得X1=O,x2=l，再结合勾股定理和抛物线的性质，即可求解.本题主要考查了直线与抛物线的综合

17、应用，以及抛物线的性质，需要学生较强的综合能力，属于中档题.1 1.答案：C解析：本题考查空间中点、线、面间的距离，训练了利用空间向量求点到面的距离，考查运算求解能力，是中档题.取 的 中 点 0,分别以。当、0 c l 所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，求出平面4 8。的一个法向量，再求出”的坐标，即可求得点G 到平面4 B 0 的距离.解：如图，建立空间直角坐标系。-xyz,。为的中点，由已知,得4(一1,0,2),8(1,0,2),D(0,V 3,l)(0,7 3,0)，A B =(2,0,0).A D=(1,V 3,-1)设平面48。的法向量为五=(x,y,z),由 竹 熏=亭 n

18、,取 1，可得丘=(0，L遮)，又以方=(0,0,1)点Q到平面48。的 距 离 为 需1 =今故选：C.12.答案:D解析：解：|/&|=2|4引,点4在双曲线的右支上，-AFX-AF2=2AF2-AF2=AF2=2a,A AFX=4a,双曲线的离心率为V5,e=8，则 coszFiAF2二际+4电-Fl七22AF1AF216a2+4a2-4 c22x4a-2a20a2-4 c216a220 1 C2 5 1 o 51c 2-=-e=-x 3=一16 4 a2 4 4 4 4 4故选：D根据双曲线的定义结合余弦定理进行转化求解即可.本题主要考查双曲线的性质以及余弦定理的应用，根据条件结合双曲

19、线的定义建立方程关系是解决本题的关键.13.答案：0,刍解析：本题考查线性规划的应用.x 2y+5 2 0,画出不等式组3-%0,和不等式/25表示的平面区域，数形结合可得结果.mx 4-y 0解：画出不等式：/+y 2 4 2 5表示的平面区域,%-2y+5 0,不等式组：3-x NO,表示的平面区域，如图,mx+y 0因为4 G B,直线0=mx+y 的斜率为-m,由图可得一6 -p所以M的取值范围是 05.故答案为 0,)14.答案：!解析：解：(b-elnd)2 4-(c-d 4-3)2=0,:.b=elna,d=c+3,设函数、=?)%,y=%+3,(a-c)2 4-(b-d)2表示

20、y=em%上的点到直线y=x+3上的点的距离平方,对于函数y=elnx,y=?令 y=?=1 得X=e,曲线y=elnx与y=x+3平行的切线的切点坐标为(e,e),所以切点到直线y=x+3即x-y+3=0的距离为d=当,所以(a-c)2+(b d)2的最小值为(当2=故答案为：由已知得到b=elna,d=c+3,构造函数y=elnx,y=%4-3,得到(a-c)2+(b-d)2的表示y=e/nx上的点到直线y=%4-3上的点的距离平方；求出曲线y=e仇%与y=%+3平行的切线的切点，利用点线距离公式得到答案.本题考查的是通过构造函数，将代数问题转化为几何问题，点到直线的距离公式，是一道中档题

21、.15.答案：9解析：解：由5九=彦+九+1,可得的=Si=3,7 1 3 2时，C Ln Sn n-1=九 2+7 1 +1(T I 1)2 (?1 1)1 2几，则%=(J i)n.(2n),n T则数列 b。的前10 项的和为 3+4 6+8 10+12 14+16-18+20=1 4-2 x 4 =9.故答案为：9.运用数列的递推式：凡=1时，CZ1=S1，n 2 2 时，cin=Sn-S n _ i，可得数列 a“的通项公式，求得bn,再由数列的并项求和可得所求和.本题考查数列的递推式的运用，数列的并项求和，考查化简运算能力，属于基础题.16.答案：解析：解：当x=0时，点P与点B重

22、合,.-.AB 1 P Q,此时-S为矩形，当点Q与点Ci重合时，S的面积最大，S=2 x 2V2=4近.故错误;当x=L y =1 时，叩为小 BCQ 的中位线,PQBQ,；BC1/AD1,:.ADZ/PQ,：.S 为等腰梯形 4PQ%,过P作PE 1 A 4于E,PQ=V2,ADy=2&,AE=当，AP=后：.PE=言，:S梯 形位Q%=JXAB由图可设S与DD1交于点F,可得D】FCG，G Q R sA D/R,携=鬻K r4 _ ,CQ=y,则GQ=2 y,RDi=4-故正确；当y=2时，以名为定点，S为底面的棱锥为名 一 A PCH,VB 1_A PC 1H=2 5 _&G H=2X

23、|X|X2X2X2=|,故正确；故答案为：.由题意可知当,y变化时，S为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可.本题考查了立体几何的截面面积的相关知识点，以及棱锥体积公式.17.答案:(本题14分)解：(I)，,强=L由 正 弦 定 理 得 力=滔，即sin24=sin2B,cosB a cosB sinA可得：4=B或4+B=(舍去)，=|TT,则4=8=也(11)函数/(%)=sin(x+.)+cosx=V3sin(x 4-而正弦函数y=8sin(x+在与自，上单调递增，在覃 争，单调递减 函数/(X)在 一 号 上的最小值为争最大值为代即/在V，勺上的值域哼，.解析：(I)利用正弦定理以及

24、两角和与差的三角函数，求出4 8的关系，即可求解4 B的大小；(II)化简函数/(X)=sin(x+4)+cosx的表达式，通过函数在-也守上的单调性，即可求解函数的值域.本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角函数的单调性与最值，考查计算能力.18.答案:解：(1*2 =n(ad-dc)2(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)300 x(150 x40-60 x50)2210 x90 x200 x100 7.1429 八，7,1429(1,1,0),4(2,0,0),E(0,i,1),c T =(1,1,0).方=(0 3,|),设平面CED与平面CEB成角大小为。，平面CEB单位法

25、向量为k=(1,0,0)，平面CED法向量为元=n-CD=0，n-CE=0，于是有Ox+y +|z =0,lx+ly +Oz=0,解得元=a(3,-3,1),单位法向 量 论=春=盍(3,-3,1)，由图可知，二面角D CE-B为锐二面角，则其余弦值为cos。=|汨 底|=|(1,0,0)(盍(3，-3,1)|=言=噜二面角D-C E-B 的余弦值为源.19解析：(1)根据直线与平面位置关系给出证明；(2)建立空间直角坐标系，用向量运算求解即可.本题考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算方法，属较难题.20.答案：解：由题，：=J1 _ 妤=tn (1=因为椭圆C与x轴的一个交点为(1,

26、0)，则若a=l,则岳=也 则椭圆C方程为/+2y2=i；若b=1,则a?=2,则椭圆C方程为/+匕=1.2故所求为/+军=1或/+艺=1;2 2(2)因为椭圆C过点(0净,故椭圆C方程为炉+2川=故 且&(今 0),尸 2弓,0)设P Q n,?i),则/的方程是zn%+2ny=1,则d.d=管mT|=I 加2.1 2 Vm2+4n2 Vm2+4n2 m2+4n2因为-1 m o,故d i d2=l-2-m2m2+4n2又因为巾2 +2 彦=1,代入可得/3 2=点 故 d d 2 为定值也(3)由题%+d7 产m-I|2 2 2 Vm2+4n2 Vm2+4n2 Vm24-4n2 Vm2+4

27、n2 Vl+2n2因为0 n2 0jX l X-1 且1 U0；I xlx2 2 I 4二 f(%i)+/(x2)=(4 x 1 x f -lnxr)+(4X2 x f Z n x2)=4(X1+X2)-(*1+%2)2+2x2-ln(Xi%2)=Q i +x2 2)2+5 +ln2 4 一 2 加 时，g(x)0 在(0,+8)恒成立，即g(x)在(0,+8)单调递减，此时对于m e R,g(x)在(0,+8)上有且只有一个零点；当k 4 -2夜 时，令g(%)=0 B|1 2 x2+(k-4)x +1 =。的两根为a,。(0 a 0)；a+S=.,邓=I；。a 当 0恒成立即可；二丁(0=

28、3二 (y)=|+|/n 2 -m 0；-m 0-04；代入/(%)+f(%2)化简即证;(2)由于直线y =依+Tn与曲线y =/(%)有唯一公共点，即转化为g(x)=/(%)一(依+TH)在(0,+8)上有且只有一个零点，又因为当-0时，则g(%)T +8,当 T +8时，g(%)T-8;g(%)在(0,+8)内存在零点；故证明其唯一性即可.2 2.答案：解:(I)；后得到曲线。2，!”一1 ，代入圆G：x2+y2=l W：+1=1,(y =-y故曲线C 2的直角坐标方程为叱+T =1 ；9 4直线I的极坐标方程为c o s。+sine=pcosO +psind=1 0,即 4-y 1 0

29、=0,(I I)将直线+y -1 0=0平移与。2相切时，则第一象限内的切点M满足条件,设过M的直线为x +y +C =0,(X+y+C=0则由y 2 得：1 3%2 +1 8。+9。2-36=0,(d-=1I 9 4由4=(1 8 C)2-4 x l 3 x (9 C2-36)=0得：C=7 1 3,故-等或，=-甯(舍 去)，则y=誓,即M点的坐标为(警，警)，则点M到直线，的距离d=丑修V2解析：(I)由总二孩后得到曲线C 2,可得：卜一:代入圆Cl：x2+y2=l,化简可得曲线C2的(y=z y (y=2y10直角坐标方程，将直线的勺极坐标方程为cos。+sin。=寸化为：pcosO+

30、psin。=1 0,进而可得直线I的直角坐标方程；(口)将直线+-1 0 =0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案.本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档.23.答案:解：原不等式等价于=+4 2 12或 古鲁：4 2 12或*1。+4)“2,解得X 蓝或X G 0或 当或X 0恒成立等价于/(x)m 讥 2】-3a+1,即(K-5|+|x+4|)m i2 21-3a+l因为|x-5|+|x+4|(x-5)-(x+4)1=9,所以9 之 2113。+1,得2 3 a w 8,得l-3 a S 3,解得a 2-|.故实数a 的取值范围是 一|,+8).解析：【试题解析】(1)去掉绝对值符号，转化不等式为不等式组，然后求解即可.(2)不等式/(x)-21-3a _ 1 0恒成立等价于/(x)m 讥 2】-3a+1,利用绝对值的几何意义求解函数的最小值，然后求解指数不等式，推出a 的范围即可.本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力.