2021年河南省新乡市高考数学摸底试卷（文科）.pdf

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1、2021年河南省新乡市高考数学摸底试卷（文科）（2月份）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1.已知集合4=加3%1 ,8 =划3-3*0 ,则4。0：;?8)=()A.x|-1 x 2)C.x|l x 2 D.x|l%22.设(一1+2i)x =y 1 6i,x,y W R,则y i|=()A.6 B.5 C.4 D.33.设 等 差 数 列 的 前 H 项和为Sn,若的=11,S8=8 0,贝 b i o =(A.21B.20C.18D.164.函数/（乃=甯 的 图 象 是（）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5 道题，每答对一

2、题得20分，答错得。分.已知每名同学至少能答对2 道题，得分不少于60分记为及格，不少于8 0分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（）A.该次课外知识测试及格率为9 0%B.该次课外知识测试得满分的同学有30名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名6.己知向量N=（6,8）,b=（2,1）-则五+3在苍方向上的投影为（）B.8D-T如图，在正三棱柱A B C-aB iG中，A B=1,=百，点。是侧棱BBi 的中点，则直线G。与平面A B C 所成角的余弦值为（：A,3C.红8.已知函数

3、/（x）=c o s（2久+0）（兀W 0 S兀）的图象向右平移5个单位长度后，与函数g（x）=s i n 2x 的图象重合，则/（x）的单调递减区间为（）A.kjt+,kn+(/c G Z)C.ku+(C 兀 +至I (k e Z)B./C T T ,/C T T +-(/c 6 Z)D./C7r-p f c 7r +5(f c e z)C.371+3D.4兀 +310.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的怎:盘全书中提出一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34.这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列 a j 满足的=

4、。2=1，册+2 =%+即+1 5 6 7+），则该数列的前1 0 0 0 项中，为奇数的项共有（）A.3 3 3 项 B.3 3 4 项 C.6 6 6 项 D.6 6 7 项1 1 .已知抛物线C：y2=4 x,过点（2,0）的直线/交C 于 A,B 两点,则直线OA,O B（。为坐标原点）的斜率之积为（）A.-8 B.-4 C.-2 D.-11 2 .设函数/（x）是定义在R上的奇函数,函数/（X）的导函数为1（x）,且当x e 0,+8）时，/（x）s in x 11 3 .已知实数x,y 满足1 ，则z =3 x-y 的最小值为_ _ _ _ _ _ .(y 0 对任意x G R 恒

5、成立，则实数a的 最 小 值 为 .三、解答题(本大题共7小题，共 82.0 分)1 7 .在A A B C 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，且bc o s 4 =c-立 a.2(1)求角B;(2)若A A B C 的面积为2 遍，8 C 边上的高4 H =1,求c.1 8.某商店在2 0 2 0 年上半年前5 个月的销售额如表所示:月份12345销售额(千元)81 31 72 22 5(1)若从这5 个月中随机选取1 个月计算销售纯收入，求选取月份的销售额不低于2万元的概率；(2)求销售额y(千元)关于月份x的回归直线方程,并预测该商店2 0 2 0 年上半年的销售总额.附：回归

6、直线:一 ；丫 上:的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=不 二 甲,a=y DX r a%2 O-n xz uy bx-19.点 E,尸分别是正方形A B C D的边A B,B C的中点，点M在边A B上，且AB=3A M,沿 图 1 中的虚线E,E F,尸。将ZkAOE,4BE F,ACOF折起使A,B,C 三点重合，重合后的点记为点P,如图2.(1)证明：PF 1 DM-.(2)若正方形A B C D的边长为6,求点M 到平面D E F的距离.20.已知动点P到点(-痣 0)的距离与到直线=-争勺距离之比为当(1)求动点P的轨迹C 的标准方程.(2)过点8(4,0)的直线/交C 于 M,N

7、 两点，已知点B(2,1),直线BM,B N分别交x 轴于点E,F.试问在x 轴上是否存在一点G,使得瓦屋不+福.乔=0?若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.第 4 页，共 19页21.已知函数/(x)=e*-k(Znx+1).(1)设x=3是f(x)的极值点，求的值，并求/(x)的单调区间.(2)证明：当0 k 0.22.在极坐标系中，点4(1,8(1,勺，曲线C：p=2sin(8+9.以极点为坐标原点,极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)在直角坐标系中，求点A,B 的直角坐标及曲线C 的参数方程；(2)设点尸为曲线C 上的动点，求|P川2+|尸 引 2的取值范围.23.(

8、1)己知a+b+c=1,证明：(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2 2 日.(2)若对任意实数x,不等式|%-可+|2x+l|?|恒成立，求实数。的取值范围.第 6 页，共 19页答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合4=x|3 x 1=x|x 0=xx 1,所以 CRB=X|XN 1),所以4 n(CRB)=X|1 W x 2.故选：C.化简集合A、B,根据补集和交集的定义计算即可.本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.2.【答案】B【解析】解：(1+2i)x=y 1-6i,x,y E R,x+2xi=y 1 6i,fo X-1，解得x=-3,y=4,6|x-y i|=|-3-4

9、i|=J(-3尸+(-4-=5.故选：B.推导出-x +2xi=y-1-6 i,利用复数相等的定义列出方程组，求出x=-3,y=4,由此能求出|x-yi.本题考查向量的模的求法，考查向量相等、向量的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题.3.【答案】A【解析】解：等差数列 即 的前项和为Sn，a5=11,S8=80,+4d=11等 d=80解得%=3,d=2,a10=0i+9d=3+18=21.故选：A.利用等差数列的通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第10项.本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题.4.【

10、答案】A【解析】解：函数/(%)=甯 是偶函数，排除B,C 选项.x当0 V%V 1时，y=ln|x|0,.y=|a|=y/36+64=10，五+石在五方向上的投影为：公 富=胃=8.|a|10故选：B.第8页，共19页可得出五+B 的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算求出0 +K).a 的值，并求出|矶的值，根据向量投影的计算公式即可得出2 +坂 在日方向上的投影.本题考查了向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.7 .【答案】D【解析】解：因为平面4 B C 平面4B1G，所以直线G D与平面A B C所成的角，即是直线G

11、。与平面4816所成的角，因为B B i 1 平面平面4/16，所以N D C B 即是直线QD与 平 面 所 成 的 角,百 r-设其大小为8,则ta n =些=工=更，BiQ 1 2所以c o s O=r X/a=.Vl+ta n20 7故选：D.根据直线与两平行平面的成角相等，求出正切值再求余弦值判断.本题考查了正三棱柱性质，考查了直线与平面成角问题，属于基础题.8 .【答案】C【解析】解：函数/(x)=c o s(2 x+卬)(一兀p 兀)的图象向右平移工个单位长度后，可得y=c o s(2 x-g +s)的图象，O所得图象与函数g(%)=S 讥2%的图象重合,一:+0 =一/，8 =

12、c o s(2x 一款令2/C TT 2X 2kn+冗,求得/n r 4-%则4 0 4 =称,卜0 3 =色，所以-k0 B ,1X 兀2 X1兀2设直线A 8的方程为：%=m y 4-2,并代入抛物线方程消去x可得：y2-4my-8 =0,所以y/z=-8，则%6 2=喑=4,所以*。力,k B=T V =T =-2,xlx2 4故选：c.设出点A,8的坐标，由此即可求出直线0 4,0 8的斜率之积，再由已知设出直线A B第1 0页，共1 9页的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率之积的关系式即可求解.本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题.1

13、2 .【答案】B【解析】解：令g(x)=/(x)(c o s x-e),则g (x)=f(x)(-sinx)+(cosx-e)f (x)0,故g(x)在 0,+8)单调递增,函数f (x)是定义在R上的奇函数，-/(一 一)=-/(%)，故 g(%)=/(x)c o s(x)e=_ f(x)(c o s x e)=g(x),故g(x)是 K上的奇函数，故g(x)在 R单调递增，故g(0)=0,故x 0 时，g(x)0,x 0 时，g(x)0,而对于V x eR,都有c o s x e 0,即/(X)(c o s x e)0,B P/(x)0,令g(x)0,E P/(x)(c o s x-e)0

14、,此时x 0.H P/(|a x2)f(x-3),所以|a/2 x -3 对任意x e R恒成立，当x =0 时，不等式成立；当X*0 时，不等式等价于a (管).数，令。=旨，d=空 三 弃 旭=令g(x)0，可得0 V%6，令g(x)0,可得 6,所以g(%)在(0,6)上单调递增，在(-8,0),(6,+8)上单调递减，当 (-8,0)时，g(x)%-3对任意X e R恒成立，当X =0 时，不等式成立，当XH0时，分离参数可得a 2(等)m a x，令9(乃=等，利用导数求出g(x)的最大值，即可得解.本题主要考查不等式恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，以及导数的应用,考查转化

15、思想与运算求解能力，属于中档题.1 7.【答案】解：(1)因为b c o s H =c 所以由正弦定理可得s i n B c o s A =sinC sinA =s i n(A +B)-sinA =sinA cosB+cosA sinB-与stnA,可得 4 c o s B =2sinA 因为s i m 4力0,可得c o s B=3，2所以由B(0,兀)，可得B=，.因为A B C的面积为2遍，B C边上的高力H =l,在8 48中，可得。=装 而=砾=2,BH=Vc2-A H2=V22-l2=V3.所以2遮=1 a c s i n B =3 x (遥 +”C)x 2 x：,解得H C =3

16、百，可得a =B H +H C =4百，在A 4B C中，由余弦定理可得b =yja2+c2-2accosB=J(4V3)2+22-2 x 4 V 3 x 2 X y =2巾.【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合s i n A H O,可得c o s B的值，结合8(0,兀)，可得B的值.(2)在中，由己知利用三角函数的定义可求c,利用勾股定理可求B”的值，进而根据三角形的面积公式可求H C的值，从而可得“，在A B C中，由余弦定理即可求得b的值.本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转

17、化思想，属于中档题.1 8.【答案】解：(1)因为这5个月中销售额不低于2万元的只有4月和5月，所以所求概率P =|.(2)x =|x (1 +2+3+4+5)=3,y =1 x (8 4-1 3+1 7+22+25)=1 7,乙%=1 x 8+2x 1 3+3x 1 7+4x 22+5 x 25 =298,=l2+22+32+42+52=5 5,第1 4页，共19页b298-5X3X1755-5x32=4.3,a =y b x =1 7 4.3 x 3=4.1*故销售额y（千元）关于月份的回归直线方程为y =4.3X+4.1.当x =6时,y =4.3 x 6+4.1 =29.9（千兀）故该

18、商店20 20 年上半年的销售总额为8+1 3+1 7+22+25 +29.9=1 1 4.9千元，即1 1.49万 元.（注：单位写千元或万元都可以）【解析】（1）利用古典概型概率公式求解即可.（2）求解样本中心坐标，回归直线方程的系数，得到回归直线方程，然后代入x =6,求解预报值即可.本题考查古典概型的概率的求法，回归直线方程的求法与应用，是中档题.1 9.【答案】（1）证明：由题意可知，在翻折前，BF 1 BE,C F 1CD,因为翻折后点4,B,C三点重合，重合后的点记为点P,所以PF 1 PE,PF 1 P D,又P E n P O =P,PE,P C u 平面尸。E,所以 尸 _

19、 1 _ 平面。：,又 D M u 平面尸DE,所以P F J.DM；（2）解：在翻折前，可 求 得=2,A E =BE =BF =C F =3,A D=C D=6,所以E F =3 四，D F =D E =3 6，所以 D E F 为等腰三角形，则%的=x J（3 遮/一（雷 尸=*在R t a P E D 中，PD=6,PE =3,所以。上=x 6 x 3 =9,设点P到平面。四 的 距离为d,则由等体积法可得“=/-P E D，所以gxgd =：x9x3,解得d=2,设点M 到平面D E 尸的距离为/?,因为嗡=；=g,解得/!=；,PE 3 a 3所以点M 到平面D E F 的距离为|

20、.【解析】（1）根据翻折前与翻折后不变的量得到P F 1 P E,PF L P D,由线面垂直的判定定理得到P F 1 平面P C E,从而证明PF1DM；（2）利用翻折前后不变的量，分别求出A D E F 和A P E D 面积，然后利用等体积法/“E F =VF_P ED,求解即可.本题考查了线面垂直的判定以及点到面距离的求法，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于中档题.20.【答案】解：（1）设P（x,y）,由题意可得J(x+佝2+y2=|x +9|.当,两边平方得/+2y/6x+6+y2=(x2+y)整理得:/+f=2,即9+?=i.(2)当直线/与x 轴

21、不重合时，设直线/的方程为=m y -4,M Q i，%),N(x2fy2联立2+4；2 _ 8，得(n+4)y 2 _ 8 ny +8 =0,所以=6 4n2-3 2(n2+4)=3 2(n2-4)0,解得T I 2,8 n 8%+刈=诉,%、2=而,所以直线B M的方程为y +1 =黑。+2）,令y =0 得X =濯 T,即E（巴 誓 ，），同理可得F坐标（空誓0）,Z 2+1设存在满足题意的点G（t,0）,布=（掾F +2，】）=璘 导 1），前=（+孙=管/】），T，）=（f产，），不=（一，。）=（若誉=0），y z+i所 以 融 疗+海 加=曼1二 切 怨 I 1 上 +他?二强n

22、二 一2.=0(1 +1)(、2 +1)卬 1 +1)(%+1)所以(九%一2)(九t 2)y 2 t 4 +(政2 2)(n t 2)%t 4 =0 所以(2招 2nt ri)y1y2 (nt +6 n 2C 4)(%+y2)+4t +1 6 =0,所以(2/271 t 4n)n2+(nt +6 7 1 2t 4)(九;：/+4t +1 6 =0,整理得一4n2-n2t+4 +1 6 =0,BP-n2（t +4）+4（t +4）=0,彳 导（4-n2）（t +4）=0,因为九 一 2或几 2,所以4 一九2。0,所以t =-4,当直线/与x 轴重合时，M,N 为 C的左右两个顶点,设M（-2

23、夜,0）,/V（2V 2,0），则后与M 重合，F与 N 重合，所以E（-2夜,0）,F（2鱼,0），第1 6页，共1 9页取t =4,则G(4,0),BE =(2-2 ,1)，乔=(2+2应,1)，GE=(4-272,0).#=(4+3 鱼,0)，所 以 屁-G F +G E -=(2-2位)(4+2近)+(2+3 72)(4-2&)=0.满足题意,综上存在满足题意的定点G(-4,0).【解析】设 P(x,y),由题意可得JQ+通)2+y 2=|x +竽 .争化简即可得出答案.(2)分两种情况：当直线/与x 轴不重合时，当直线/与x 轴重合时，BE -GF +GE -而=0，即可得出答案.本

24、题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.2 1.【答案】解：(i)/(x)=蜡一三由题意得，f(3)=e3-=0,所以k =3 e 3,f(x)=ex -,r(乃=蜻+，因为x 0时，/=ex+-0恒成立，所以/(%)在(0,+8)上单调递增，当X T 0时，/(%)T -8,尸(3)=0,当OV%3时，/(%)0,函数f(X)单调递增，则”为的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+8)；(2)/。)=姬 一 3 f(x)=ex+,当O v k V e,/(%)0恒成立，f(%)在(0,+8)上单调递增,当 0时，(%)T 8,当 T +8 时，

25、T +8,=e -f c 0,k所以三 殉 e (0,+o o),使得/(&)=0,即e*。=,XO故当0 V%V&时，/(%)%0时，/(x)0,函数/(%)单调递增，故当x =Xo 时，函数取得最小值/(Xo)=ex -k(lnx0+1)=ex+kln-k,XO=+kln-k =-4-kin fc(x0 Ink)k,xQ k x0=k(x0+)-k(l+Ink),因为广 0,所以Xo 所以/G o)2 k-k(lnk+1)=f c -kink=fc(l -Ink),因为0 k 0,所以k(1-Ink)0,所以/(&)0,即f。)1n m 0.所以y(x)o,得证.【解析】(i)先对函数求导

26、，然后结合极值存在条件可求鼠代入后结合导数与单调性关系可求；(2)要证/(%)0,只要证明/(x)m in 0,然后结合导数与函数性质可求.本题主要考查了导数与函数单调性及极值关系的应用，还考查了利用导数及函数的性质证明不等式，体现了转化思想的应用.x=pcosd2 2.【答案】解：(1)点A(1 5),B(1 卷)根 据 卜=p s 讥。，转换为直角纵坐标为4 日 X2+y 2 =p 28(0.1).x=pcosdy=psind 转换%2 +y 2 =p2为直角坐标方程为(X-f)2+(y-i)2=1,x =+cosa：(a 为参数).y =-4-sinax =-4-cosa:(a 为参数)

27、，y =-4-sina设点 P 弓 +cosa,|+sina),所以|P A|2 俨用2 的=3 +y3cosa-sina=3 +2 co s(a +),由于CO S(Q+)e -1,1 ,故3 +2 co s(a +7)6 1,5 .6第1 8页，共19页故|P A|2 +|P B|2 的取值范围为 1,5 .【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学

28、生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.2 3.【答案】解：(1)由柯西不等式可得，(I2+I2+l2)(a +2 +(b+2)2+(c+2)2 2 (a +2 +b+2 +c+2)2 =7?=4 9,即为(a +2 尸+(b+2/+(c+2)2 2?(当且仅当a =b=c=：取得等号)；(2)对任意实数x,不 等 式-a+|2 x +1|恒成立，即为|(|久-a|+|2 x +l|)7 nm，11 1 11由|久 一a|+2x+1|x CL+|x +-1+|x +-1 N x a x -+|-4-1=|a +：|(当且仅当X=-:时取得等号)，所以|%-a|+|2 x +1|的最小值为|a+：|,则|a +：|2|,解得a 2 1 或a W-2.则实数a的取值范围是(一 8,-2 u l,+o o).【解析】(1)运用柯西不等式即可得证；(2)由题意可得|(|x -a|+|2 x +l|)mi n,由绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围.本题考查不等式的证明和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.