2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（九） （解析版）.pdf

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1、2021年江苏省南通学科基地高考数学全真模拟试卷（九）一、单项选择题（每小题5分）.1.已知集合人=卜|y=x?+2x+3 ,B=x|y=-=-,则 AAB=()A.2,3 B.2,3)C.(2,3D.(2,3)2.若复数z满足i z=4-3i,其中，为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为（）A.8B.10C.12D.144.17世纪初，约翰纳皮尔在研究天文学的

2、过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称 为17世纪数学的三大成就.在进行数据处理时，经常会把原始数据取对数后再进一步处理，之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是增函数，且取对数后不会改变数据的相对关系，也可以将乘法运算转换成加法运算，将乘方运算转化为乘法运算.据此可判断数221 （取 妒 0.3010）的位数是（）A.108 B.109 C.308 D.3095.在平面直角坐标系x O y中，直线3x+4y -5=0与圆（r 0）相交于A,B两点.若A B=2加,则圆的半径 为（）A.3 B.2 C.3 D.加6

3、.为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了 4次试验，测得的数据如表；零件数X （个）1357加工时间y （分钟）0.5a22.5若零件数X与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为二 ,则。j M O A M M X=（）A.1 B.0.8 C.1.0 9 D.1.57 .在矩形A BC。中，A C=1,AELBD,垂足为E,则（A D*A E）的最大值是)A 今 B-3 U*D 亨8.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x 2 0时，/(x)=2-2,则不等式/(x-1)2 f(x)的解集为()A.(-8,o jr n 1 1+5c.LO,l o g2-二、多项选择题(每小题5分).

4、B.(-8,l o g D.0,1)9.己知数列%,出“均为等比数列，则下列结论中一定正确的有()A.数列仅列”是等比数列B.数列 为+5 是等比数列,bnC.数列 1 g|上|是等差数列a”D.数列/g (晶按,)是等差数列2 21 0.已知方程工-y _=1 8 ，则下列说法中正确的有(1 6+k 9-k)2 2A.方程色y _=i可表示圆1 6+k 9-k2 2B.当人9时，方程一-二-=1表示焦点在x轴上的椭圆1 6+k 9-k2 2C.当-1 6VZV9时，方程二-J =1表示焦点在x轴上的双曲线1 6+k 9-k2 2D.当方程U-J =i表示椭圆或双曲线时，焦距均为1 01 6+

5、k 9-k1 1.已知函数/(尤)=2 s i n 2尤与g (x)=-2 c o s 2 r,则下列结论中正确的有()兀A.将y=/(x)的图象向右平移下个单位长度后可得到y=g (%)的图象4TTB.将y=/(x)+g (x)的图象向右平移了个单位长度后可得到y=f(x)-g(x)的图4象j rc.y=f(x)的图象与y=g (x)的图象关于直线XF 对称o兀D.y=f(x)+g (x)的图象与y=/(x)-g(x)的图象关于直线x 一丁对称41 2.若非负实数a,b,c 满足a+b+c=l,则下列说法中一定正确的有(),1 9A.2+b 2+c 2 的最小值为 B.(。+6)。的最大值为

6、Wo 9C.a c+6c+c a 的最大值为卷 D.的最大值为、三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.墨子经说上上说：“小故，有之不必然，无之必不然.体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指 的 是 逻 辑 中 的.(选“充分条件”必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空)1 4.已知抛物线Ci：y 2=-2px(p 0)的准线恰好与双曲线C2：号(。，b0)的右准线重合，双曲线C2 的左准线与抛物线G 交于P,Q两点，且双曲线C2 的右顶点到左准线的距离等于线段PQ的长，则双曲线C2的 离 心

7、率 为.1 5.掷铁饼者取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为：i r，掷铁饼者双手之间的距离约为殳反2“弓”所在圆的半径约为1.2 5 胆，则挪铁饼者的肩宽约为 m.(精确到0.0 1,)1 6 .已知正三棱柱A B C-A 山C i 的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱 柱 各 个 面 的 交 线 的 长 度 之 和 为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.在A,C,B成等差数列，a,b,c

8、成等差数列，s i n A=co s C 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在ABC中，角 A,B,C 的对边分别为m b,c,若 5sinA=3sinB,且求 si nA的值.18.已知等差数列 “的前项和为S”，且G+S3=20,S6=2S4.(1)求数列 为 的通项公式；(2)设数列 为 满足b i=4,且b+-bn=4an,求数列,的前n项 和Tn.19.近年来，手机行业的竞争已经进入白热化阶段，各大品牌手机除了靠不断提高手机的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，用“烧钱”来形容毫不为过.小 明对某品牌手机近5 年的广告费投入(单位：亿美元

9、)进行了统计，具体数据见表：年份代号x 1 2 3 4 5广告费投入 y 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6并随机调查了 300名市民对该品牌手机的喜爱情况，得到的部分数据见表：(1)求广告费投入y 与年份代号尤之间的线性回归方程;喜欢不喜欢5 0 岁以下市民505 0 岁以上市民6040(2)是否有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性？(3)若以这300名市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度的情况估计整体情况,则从这300名市民中随机选取3 人，记选到喜欢该品牌手机且50岁以上的市民人数为X.求 X 的分布列及数学期望E(X).附：回归直线中y=bx+an _ _ (x

10、 4-x)(y-y)=i=l 1n (xi-x)2i=la y bx,其中=a+b+c+d.n(a d-b c)2 K 2 nk2.7063.8416.63510.828P(K2，)0.1000.0500.0100.00120.如图，在四棱锥尸-ABC。中，PA_L 平面 ABC。，A D/B C,B C=2A D,A P=A B=A D=CD=2.（1）求证：平面P A C _L 平面P A 8；（2）若 E为棱P B 上 一 点（不与P,8重合），二面角E-CO-尸的 余 弦 值 为 军 求2 2 FT2 1 .在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆 三 座 l（ab 0）的离心率为华，

11、两条准线a b 2之 间 的 距 离 为 芈 .（I）求椭圆c 的方程；（2）设椭圆C的上顶点为8,过 点（-1,-1）的直线/与椭圆C相交于M,N两 点（点M,N分别位于第一、第三象限），若直线8M与 BN的斜率分别为h,h,求&2 的取值范围.2 2 .已知函数/（x）=x -s i a r co s x -alnx,QWR.TT TT（1）当“=0时，求曲线y=f（x）在点（*y,六 ）处的切线方程；（2）若 f（m）=f（/?）,0 t n a.参考答案一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .己知集合人=卜|丫

12、=乂2+2*+3 ,B=x|y-y；_,则AA8=()A.2,3 B.2,3)C.(2,3 D.(2,3)解：-九=(x+1)2+2 =九22 ,8=x|x V 3 ,；.A n B=2,3).故选：B.2 .若复数z满足i z=4-3 i,其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解：因为i z=4-3 i,所以2=生 江=-3 -4i,1其对应的点(-3,-4)在第三象限.故选：C.3 .哈六中开展劳动教育，决定在5月1 2日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去

13、两名学生，则不同的分配方案种数为()A.8 B.1 0 C.1 2 D.1 4解：根据题意，分2种情况讨论：小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，有C?i=2种分配方案，小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩 下2人去另一个植树点，有G K 2 i=6种分配方案，则一共有2+6=8种分配方案；故选：A.4.1 7世纪初，约翰纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称 为1 7世纪数学的三大成就.在进行数据处理时，经常会把原始数据取对数后再进一步处理，之所以这样做是基于对数函数在其定义域

14、内是增函数，且取对数后不会改变数据的相对关系，也可以将乘法运算转换成加法运算，将乘方运算转化为乘法运算.据此可判断数2 2 1 (取 3 比0.3 0 1 0)的位数是()A.1 0 8 B.1 0 9 C.3 0 8 D.3 0 9解：记 =2 2 叫V 2 =1 0 2 4,：.lgN=/g 21 0 2 4=1 0 2 4/g 2 心 1 0 2 4 X 0.3 0 1 0=3 0 8.2 2 4,：.N 0m-224e(1 0 3 0 8,i03(),.T 0 3 0 8 是一个3 0 9 位数，1 03 0 9是最小的3 1 0 位数，且 N为整数，.2 2 1 的位数 3 0 9.

15、故选：D.5 .在平面直角坐标系x O y中，直线3 x+4y -5=0 与圆x2+y2=r2(r 0)相交于A,B两点.若AB=2&,则圆的半径广为()A.3 B.2 C.D.&解：圆/+炉=3(r 0)的圆心为。(0,0),|-5 1圆心0到直线3 x+4y -5=0的距离=7二=T=1,又A B=2 后，.、2=1 2 +(6)2 =3,则 =百(r 0).故选：C.6 .为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了 4 次试验，测得的数据如表;零件数X (个)1357加工时间y(分钟)0.5a22.5若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为了封3 6 X+0 or则。=()

16、A.1 B.0.8 C.1.0 9 D.1.5解：誓1=4,_0.5+a+2+2.5 a+5y=4=丁这组数据的样本中心点是（4,毕），7y=0.36x+0.01,把样本中心点代入得，-=0.36X4+0.01.4可得=0.8.故选：B.7.在矩形A8CD中，AC=1,A E L B Df垂足为E,则（蕊 标）（瓦 以）的最大值是（）A.焉 B.C.返 D.返27363解：如图，设N C4B=C 如(0,90),则由 AC=1,A E B D,得 A8=cos0,AD=sin0,AE=sin0cos6,所 以 庙 H)五)=(sin0cos0)2sin20=_-s in2 0 X 2COS29

17、 X s in2 1/sin 0+2co s20+si n2 9、3_ 4万(3-)27)当且仅当0小。=2cos20,即tan8=加 时，等号成立.故选：A.8.若函数/（x）为定义在R 上的偶函数，当x 2 0 时，/G）=2厂 2,则不 等 式/（工-1）训（x）的解集为（）A.（-8,0B.(-8,logc.0,logg吗 D.0,1)解：因为函数/(x)为定义在R上的偶函数，当x 2 0时，/(X)=2,-2单调递增，所以f (x)=23-2,因为/(x-1)(x),所以 2i l-222(2W-2),即 2厂“-2*1+2,0,当x W O时，可化为2 2 0,成立，当 0 cx

18、1 时，2，-2户1+220,即 2r-2x+l 20,令 t=23 则所以 L 1 0,即 P-L 1 0,t解 得it 4土 2,所以 o 9时，方程二二口表示焦点在尤轴上的椭圆16+k 9-k2 2当-1 6 k 16+女 工 2-9,所以方程不表示圆的方程，故 A16+k 9-k不正确;2 2B 中，当无9时，方程色-J 因 为 16+Z 9-k,所以方程表示焦点在x轴上16+k 9-k的椭圆，故B正确；2 2C 中，当时，方程工-。口中，16+k 0,9-k 0,方程表示焦点在x16+k 9-k轴上的双曲线，所以C 正确；2 2。中，当方程-J表示椭圆或双曲线时，焦距均为10,所以。

19、正确;16+k 9-k故选：B CD.1 1.已知函数f(x)=2s i n 2x与g (x)=-2co s 2x,则下列结论中正确的有()A.将y=/(x)的图象向右平移十个单位长度后可得到y=g (x)的图象TTB.将y=f (x)+g(x)的图象向右平移一1个单位长度后可得到y=/(x)-g(x)的图象JTc.y=f(X)的图象与y=g(X)的图象关于直线XJ-对称O兀D.y=f(x)+g(x)的图象与y=/(无)-g(x)的图象关于直线x-对称JT解：.,函数/(x)=2s i n 2x,g(x)=-2co s 2x=s i n (2x -,TT故将y=r(x)的图象向右平移N 个单位

20、长度后可得到y=g(X)的图象，故A正确；由题意，y=f(x)+g (x)=2s i n 2r -co s 2i=2/s i n ,y=f(x)-g (x)=2s i n 2r+co s 2x=2/2si n (2jd：),故将y=f(x)+g(X)的图象向右平移十个单位长度后可得到y=2&s i n-等)的图象，故B错误；由于f=2&s i n (-2x+-)W g (x),故 C错误；当 工=当 时，y=fCx)+g(x)=2 M s i n (2x-?-)=2,y=f (x)-g (x)=2&=2,4 4JT故 它 们 的 关 于 直 线 对 称 故0正确故选：A D.1 2.若非负实数

21、a,。，c,满足+c=l,则下列说法中一定正确的有()1 9A.。2+62+2的最小值为瓦 B.(a+b)。的最大值为w3 9C.a c+b c+ca的最大值为D.的最大值为卷o 9解：因为a2+b2+c2aln-ac+bc,当 且 仅 当 时 取 等 号，所以 2a2+2b2+2c22ah+2ac+2bc,所以 34+362+3*2(a+b+c)2=1,故屏+庐匕.2的最小值得，A正确；0因 为(+/?)C=(1 -C)C=(2=1,当且仅当1 -c=c,即 c=时取等号，即(a+。)c的 最 大 值B正确；4同 A,1=(a+b+c)2 2 3QC+3/?C+3CQ,所以ab+ac+bc-

22、9当且仅当a=b=b时取等号，C正确；o令瓜=X,丘=力所以+1A/C=(1 -b-c)Vb+V c=(1 -x2-y2)+x2y=x-x3+xy(x -y)/3一x 2 9 3=x_ 3x&x-x +xw-r x -：-4 4Q 3令 f(x)=x -,O W x W 1,4则f，(X)=1#，4易得，当。X 争寸，f(x)0,函数单调递增，当 日 启 1 时，f(x)0)的准线恰好与双曲线Ci-.-%=1 (a 0,b0)的右准线重合，双曲线C2的左准线与抛物线Cl交 于 P,。两点，且双曲线C2的右顶点到左准线的距离等于线段PQ的长，则双曲线C2的 离 心 率 为 3.解：抛物线Cl：V

23、=-2p x (p 0)的准线为户导由题意可得六由 可设 P （-得，p），Q （-舁，-#，9 2 2ty=-2px则|P Q|=2p,2 n由题意可得a+3_=a彩=2,3即有aP 9。=铲则 e=3.a故答案为：3.1 5.掷铁饼者取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻 画 的 是 一 名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为：i r，掷铁饼者双手之间的距离约为主返i r，“弓”所4 4在圆的半径约为1.25m,则挪铁饼者的肩宽约为0.39叭(精确到0.0 1 W则 0 A2-H 3B2=A B2./A 0

24、B哈,li7 1 5 5 7 1从而弓形所在的弧长为：2 4 8C J T T T J T所以其肩宽为与一一1 X2十=0.39/w.故答案为：0.39.1 6 .已知正三棱柱A8C-4BCi的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为2 n .解：正三棱柱A8C-A山iG的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线如图，是两个半径为2的圆的:的弧长，如图A i B与A i C,两部分，所以以点4为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为：y X 4 T T=2 n.故答案为：2 7 r.力四、解答题：本题共6 小题，共

25、70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .在A,C,8成等差数列，“，6,c成等差数列，s i n A=c o s C这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.问题：在 A B C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若5 s i n A=3s i n B,且,求s i n A的值.解：选4 C,8成等差数列，因为 A+B+C=n 且 A+B=2C,所以 C=6 0 ,B=1 2 0 -A,因为 5 s i n A=3s i n B=3s i n (1 2 0 -A)=&0,c o s A 9,所以s i n A=豆；38选，b,c成等差数列，2h=a+cf因为 5

26、s i r b 4=3s i n 8,由正弦定理得5=3。，5 _ 7故 c=a，o O2 5 a 2 4 9 a 2 2,2 ,2 _ 2 -Q-4Q-a由余弦定理得c o s A=-=-,因为A W(0,7 T),2 b c 5 a 7 a 1 4_z 3 3所以 s i n A=1 4J T选s i n A=c o s C=s i n (-C),兀 兀所以 A=-C A+-C=n,n i 1冗 一 兀即 A+C=-或 A -7 T 兀 e若 A+C=-,8=-则 s i n 8=b因为 5 s i n A =3s i n B=3,2所以 s i n A=,bT T O T T若 A =O

27、-,则 5=n -A -0=-2 A，q兀因为 5 s i i L 4 =3s i n B=3s i n (三-2 A)=-3c o s 2 A=-3(1-2 s i n2A ),整理得 6 s i n2A -5 s i n A -3=0,解得s i n A=1幼2l(舍)，此时不存在.1 2 1 21 8.已知等差数列 “的前项和为S,且S+S3=20,S 6=2 S 4.(1)求数列 斯 的通项公式;(2)设数列 瓦 满足4=4,且瓦+i-瓦=4斯，求 数 列.1 的前n项 和Tn.解：(1)设等差数列 斯 的公差为4,2+53=20,56=254,+4+3 0+3=20,6 m+/=2

28、(4”“、二%),2 2解得：。1=3,cl=2.。=3+2(n-1)=2+1.(2)设数列 瓦 满足b i=4,且5+i-仇=4。=8拉+4,则 儿=(bn-bn-)+(bn-1 -bn-2)+(历-力I)+bi=4(2-1+2-3+.+3)+4=4=(n-D(2 n-：L+3)+4=4 层.2.，二-1 _ _ _ _ _ _L _)bn-l 4 n 2-1 2 2 n-l 2 n+l,数 列S r 的 前“项和身 一击)=|(i-Pn ，N o o N n J.Zn 1 N-J)=-2 _2 n+l 2 n+l 1 9.近年来，手机行业的竞争已经进入白热化阶段，各大品牌手机除了靠不断提高

29、手机的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，用“烧钱”来形容毫不为过.小明对某品牌手机近5年的广告费投入(单位：亿美元)进行了统计，具体数据见表:年份代号X12345广告费投入y5.86.67.28.89.6并随机调查了 300名市民对该品牌手机的喜爱情况，得到的部分数据见表:喜欢不喜欢50岁以下市民5050岁以上市民6040(1)求广告费投入y与年份代号x之间的线性回归方程；(2)是否有99%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性？(3)若以这300名市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度的情况估计整体情况,则从这300名市民中随机选取3人，记选到喜欢该品牌手

30、机且50岁以上的市民人数为X.求X的分布列及数学期望E(X).附：回归直线中y =b x+a,b=(x x)2i=l K2=(a+Fb)n(a d-b c)?_ _ _ _ _ _ _,(c+d)(a+c)(b+d)其中=a+b+c+d.k2.7 0 63.8 4 16.6 3 5 1 0.8 2 8P(心2)0.1 0 00.0 5 00.0 1 0 0.0 0 1-1解：(1)由题意可知x*X(l+2+3+4+5)W，b 1y*X(5.8+6.6+7.2+8.8+9.6)=7.&D5 _所以 (X j-x)=4+l+0+l+4=l C，i=l5 _ _E(X1-x)(y _-y)=(-2)

31、x(-1.8)+(-l)x(-1)+Q X (-0.4)+l x 1.2+2 x 2=9.i=l所以 (x4-x)(y-y)=i=l 1n (xi-x)2i=l9.8To=0.9 8,故=-、=7.6 -0.9 8 X 3=4.6 6,a y b x(2)补充完整的2X2列联表如下:所以广告费投入y与年份代号x 之间的线性回归方程为y=0.9 8 x+4.6 6；喜欢不喜欢总计5 0 岁以下市民1 5 05 02 0 05()岁以上市民6 04 01 0 0总计2 1 09 03 0 0所 以 jz 2 n(a d-b c)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)3 0 0 X (1 5 0

32、 X 4 0-5 0 X 6 0)2 3 0 0 X 3 0 0 0 X 3 0 0 0 心、-=-=/.1 4 3 0.0 3 5,2 0 0 X 1 0 0 X 2 1 0 X 9 0 2 0 0 X 1 0 0 X 2 1 0 X 9 0故有9 9%的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性；(3)由题意可知，X 的可能取值为0,1,2,3,从 这 3 0 0 名市民中随机抽取1 人，是喜欢该品牌手机且60=1丽7，所以 P(X=0)=(1*)3=催，D 1ZDP(X=l)=C；X(l 1)2 x*黑，b bP(X=2)=C gX (1 4)X 4)2=磊 b b J.N3岁以

33、上的市民的概率为故 X 的分布列为：X 0 1 2 3P _ 6 _48_ J 2 _ _ _125 125 125 125因为X B(3,),51 2所以E(X)=3 义?=3.b 52 0.如图，在四棱锥P-A B C D 中，PA_L平 面 A8CO,AD/BC,=CD=2.BC=2AD,AP=AB=A。(1)求证：平面PACJ_平面尸A8；(2)若 E 为棱P 8 上 一 点(不与P,B 重 合)，二面角E-p 的余弦值为旦z,求14【解答】(1)证明：取 8 c 的中点M,连结AM,因为 A力 BC,BCIAD,所以 AOMC,AD=MC,所以四边形AMC。为平行四边形，所以 AM=

34、QC=2,则 AM=aBC,所以 AB_LAC,因为 PA_L平面 A8C,ACu平面 ABC。，所以 PA _ L AC,又 AB,PAu平面 PAB,A B H P A=A,所以 AC_L平面 PAB,又ACu平面P A C,所以平面PAC,平 面PAB-,(2)解：由(1)可知，AB,AC,AP两两互相垂直，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则B(2,0,0),C(0,a/3 o),D(-l,V3,0),P(0,0,2),设 丽=人而，ov入，故 二(，1，夷令t=苒，则 1，因为二面角E-C D-P的余弦值为皂Z,所以|cos b 0）的离心率为华，两条准线a b 2之间

35、的 距 离 为 呼 .（1）求椭圆C的方程;（2）设椭圆C的上顶点为B,过 点（-1,-1）的直线/与椭圆C相交于M,N两 点（点M,N分别位于第一、第三象限），若直线8M与B N的斜率分别为h,ki,求木依的取值范围.解：（1）因为椭圆的离心率为堂,2两条准线之间的距离为呼,所以a-2na2 *4 8 7 3 .解得。2=4,2,=-2所以椭圆的方程为j y 2=.4 （2）点 8 （0,1）,设 点（-1,设直线/的方程为 y=Z(j c+1)-1,M(x i,y i),N (M”，因为点例，N分别位于第一、第三象限,c 32八2a=b +c按=1,-1)为点P,右顶点A (2,0),所以

36、T=2,kA P=-1 _1-1-2-T所以看攵 2,y=k(x+l)-1联立x2 2 1T y =1得(1+4R)/+(8/-8Z)x+4N-跳=0,在2 8k2-8k所以 Xl+X2=-1+4小4k2-8k,X X 2=-k1+4储y i+y 2=Z (xi+1)-+k(X2+I)-i=k(X1+X2)+2A-2=k (-8k2-8kl+4k2+2 k-2-2k-2l+4k2yij2=fc(xi+1)-lJt(X 2+I)-1=F (xi+1)(X 2+I)-k(xi+1 )-k(X 2+I)+1=N x i X 2+&2(X 1+X 2)+N -左(X l+X 2)-2k+l=N x i

37、 X 2+(k2-k)(X 1+X 2)+k2-2k+=/.与心 孥 1&2 _ k)(-)+F -2k+l+4k l+4kJ_-3k2-2k+ll+4k2 ki=knM=y r l y2-l，kz k B N=,X1 x2时、L A yl-1 y 2 T 丫d 2-1+了 2)+1所以 k k z-k -=-Xi x2 x/29-3k-2k+l 2k-2,-2_-2+1=l+4k l+4k”-9-4k-8kl+4k2 k2-4k+44k2-8kk-2=41(12-),(1V Y 2),4 k 35 1 9所以一 W-针 y）处的切线方程;（2）若 f On）=f（n）,0 m a.解：（1）

38、当=0 时，y=f（x）=x-siivrcosx,导数为 f（x）=1 -cos2x+sin2x,ITIT TT可得切线的斜率为，（）=1-0+1=2,且/（丁）=亏，JT 冗所以切线的方程为丁-彳=2（X-）,即为 y=2x-；（2）证明：由题意可得r （x）=1-cos2x-,X若。0；设 g(x)=x-sin2x-x2,x 0,贝 Ug(x)=1 -cos2x-2x,令 h(x)=gf(x)=1 -cos2x-2x,h1(x)=2sin2x-20,所以 g(x)在(0,+)递减，又 g(0)=0,所以 g(x)VO 在(0,+)恒成立，从而 g(x)在(0,+8)递减，从而？-，-sin2m 4w n2/-/又由/(?)=/(),可得 机-sin77?cos/n-alnmn-sin/zcosz?-alnn,所以机-/sin 2 r卷 sin2=a (勿团-.(2)由可得 a(Inm-Inn)/n2-ri2.n/2 _ 2 又因为所以二nl n m -I n n，因此要证 iri1+n2a=afn /2 _ 2 只需证明户+2q丹二n 2l n m -I n n2(-)2-1即证/()2-2-0,n (工 产+12设，(力=/m-2(二1)-,0 /0,t+1 t(t+l)2所 以(t)在(0,1)上为增函数，又因为0 V (四)2 1,所以H (四)2)同获证.