2021年河南省九师联盟高考（理科）数学联考试卷（2月份） （解析版）.pdf

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1、2021年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科）一、选 接 题（共12小题）.1 .已知 b w R,复数 z i=+i,Z2=2-bi（i 为虚数单位），若 二 Z2，则。+6=（）2.已知全集。=凡 集合 A=x|x W 3,B=x|x2-6 x+5 0,则(CRA)A 5=()A.1,3 B.(3,5 C.3,5)1,3)3 .若双曲线*2-号l（b 0）的虚轴长为J E，则其渐近线的方程是（）A.y=3x4 .下列说法正确的是（）A.工 1”的否定为“m X（J 1，xx0B.“A B”是“sinAsinB”的必要条件C.若 x l,则 N 2”的充分条件，贝 I U W 45 .已知

2、/（%）是定义域为R 的奇函数，当 x2 0时，/（尤）=2*-1.若/（x o）-l,则刈的取值范围是（）A.（-2,+8）B.（-8,-2）C.（-1,+8）D.（-8,-1）6 .为了计算5=3+3 3+3 3 3+3 3 3 3+3 3 3 3 3,设计了如图所示的程序框图，则和处的框内可以分别填入（）A.S=S+3X 10门和 i=i+2B.5=5+(10-1)+3 和 i=i+C.S=S+3X10qiH=i+3D.S=S+（IO1-1）+3 和，=计 17.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验

3、的积累和智慧.“二四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著 作 周牌算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的唇长损益相同（皆是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度）.二十四节气及唇长变化如图所示,相邻两个节气劈长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的辱长为一丈三尺五寸,夏至的号长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则号长为七尺五寸时，对应的节气为（）科长逐渐变小导长逐渐变大A.春分、秋分 B.雨水、处暑 C.立春、立秋 D.立冬、立夏8.函数/(x)=/|x+l|-N -2 x的图象大致为()A B上，且四边形D E F G

4、为矩形(如图所示)，当矩形DE F G的面积最大时，在ABC内任取一点，该点取自矩形Q E F G内的概率为()10.已知函数 f（x）=Asin（3 x+c p）+b（A0,3 0,|（p|0)的焦点为F,准线为/,过F的直线与抛物线C交于点A,B,与/交于点。，若 而=4而，AF=4,贝i j p=()A.2 B.3 C.4 D.612 .九章算术卷 五 商功中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马尸-A8 CZ)(如 图)，P AJ_平面ABC,P A=AB=1,A D=3,点E,尸分别在4 8,8 c上，当空间四边形P E尸。的周长最小时，直线P A与

5、平 面 所 成C.平 D.2正二、填 空 题(共4小题).13 .已知向量之，芯满足|；|=1,13=2，当12 w-1|=2 4 时，向量；，芯 的 夹 角 为.14 .已 知(1+x)(2 -x)9=ao+atx+a2JC2+,+aioxiO,贝i j a 1+“2+9=.15 .已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,底面半径为愿，高 为I,E和产是底面圆周上两点，则圆锥P 0的侧面展开图的圆心角为；P EF面积的最大值为.1 6.已知数列 3 是公差为d 的等差数列，设%=2-+2&2+2%+“+2%,若存在常数?,使得数列 Cn+M为等比数列，则 m 的值为.三.解答题，共70分。解答应写

6、出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.ZVIBC的内角A,B,C 的对边分别为m b,c.已知a=2,b=后,B=2A.（1）求 sinA；（2）求ABC的面积.1 8.如图是M 市旅游局宣传栏中标题为“2012 2019年我市接待游客人次”的统计图.根据该统计图提供的信息解决下列问题.（1）求 M 市所统计的8 年中接待游客人次的平均值和中位数;（2）由统计图可看出，从 2016年开始，例市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2021年 M 市接待游客的人次.参考公式：对于一组数据（

7、xi,yi）,（及，”），（X,”.）,其回归直线y=y+an _ _Z （x x）仇-y）的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 分 别 为：=-=b 11 （x x）2i=ln _ _E Xj y.-n x-yi=l _n 2 2，2一 *b xi-nxi=l参考数据：=x-20160 123y=y-630-300-120903301 9 .如图，在四棱锥P-A B C。中，四边形A B C。是梯形，AB/CD,C D=2 A B,点E是棱P C上的动点(不含端点)，F,Q 分别为BE,A。的中点.(1)求证：。尸平面尸C O；(2)若 平面 A B C。，A D L D

8、C,P D=A D=A B=,元=3在，求二面角 P-B O-E92 0 .已知点A (-2,0),8 (2,0),动点S (x,y)满足直线A S与B S的斜率之积为-4.记4动点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么样的曲线；(2)设M,N是曲线C上的两个动点，直线AM与N 8交于点P,且N M 4 N=9 0 .求证：点P在定直线上；求证：直线N B与直线M B的斜率之积为定值.2 1 .己知函数/(x)=e-2ae x-(2+。)x(a G R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求证：当看a 刎 函 数/(x)有且只有三个零点.(参考数据:e-2.7 2,e

9、2=7.3 9,炉=2 0.0 1)（二）选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在平面直角坐标系中，直线/过点P （4,0）,倾斜角为a.以直角坐标系的坐标原点为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=8 si n（1）写出直线/的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线/与曲线C交于不同两点A/,N,求|P M|+|/W|的最大值.选修4-5：不等式选讲（本小题满分0 分）2 3 .设不等式|x-l|+2|x+l|W x+7的解集为M.（1）求

10、集合（2）设%是M中元素的最大值，正 数a,b,x,y满足a+b=x+y=m.求证：V a x Wby 3,又 B=x x2-6x+5W 0 =x|l W x W 5,所 以(CRA)QB=X3 0）的 虚 轴 长 为 则 其 渐 近 线 的 方 程 是（）A.y=3x B.y=C.y=当 D.y=-x2 22解：双曲线*2-勺1心 0）的渐近线方程为：y+bx,虚轴长为我，所以b=返，2_所以其渐近线的方程：）=冬故选：D.4.下列说法正确的是（）A.工 1”的否定为“m X o l,xx0B.“A 8”是“si nAsi nB”的必要条件C.若x l,则Na”是“l o g M 2”的充分

11、条件，则 W 4解：A.4 1 V x 1 的否定为“，因此不正确；Xx0j r j rB.取 A=2TT+-，B=-，满足 4 B,但是 si nAV si nB；6 3j r j r由 si nAsi nB,可取 A=-，B2TT+-,而 A 8”与“si nAsi nB”相互推不出，因此不正确：C.若x l,则N1的逆命题为：若N 2=x 4.由“x a”是“l o g以 2”的充分条件，则”2 4,因此不正确.故选：C.5.已知/(x)是定义域为R的奇函数，当x 2 0时，f(x)=2*-1.若/(x o)-1,则口的取值范围是()A.(-2,+8)B.(-8,-2)C.(-1,+8)

12、D.(一，-1)解：根据题意，设x 0,则/(-x)=2一厂1,又由/(X)为R上为奇函数，则/(x)=-/(-x)=1-2-S则/(x)2X-1,x0l-2-x.x-1对于/(x o)-1,有0l-2-x-lxQ-I ,即不等式的解集为(-1,+8),故选：C.6.为了计算5=3+33+333+3333+33333,设计了如图所示的程序框图，则和处的框内可以分别填入()A.S=S+3X10厂】和 i=i+2B.S=S+(10-1)+3 和/=/+lC.5=5+3X1011 z=z+3D.S=5+(10,I)+3 和 口+1解：对于 A,5=0,i=1S=3,Z=35=3+303,i=55=3

13、+303+30003,故 A 错误；对于 B,S=0,z=lS=3,i=2S=3+33,i=35=3+33+333,i=4S=3+33+333+3333,故 B 正确；对于 C,5=0,z=l,S=30,i=4,5=30+30000,故 C 错误;对于 ,S=0,/=1,S=0,i=2,S3,i=3,S=3+33,i45=3+33+333,i=55=3+33+333+3333,i=6故。错误.故选：B.7.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧.“二四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文

14、化遗产代表作名录.我国古代天文学和数学著 作 周牌算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的唇长损益相同（辱是按照日影测定时刻的仪器，号长即为所测量影子的长度）.二十四节气及号长变化如图所示,相邻两个节气署长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的易长为一丈三尺五寸,夏至的号长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则唇长为七尺五寸时，对应的节气为（）A.春分、秋分 B.雨水、处暑 C.立春、立秋 D.立冬、立夏解：先取上半年进行研究，设 劈 影 长 为 等 差 数 列 公 差 为 d,则 ai=135,413=15,.二 应 1_ 0,13-1.*.=135-10(/?-1)=145-1

15、0/?,令斯=7 5,得”=7,由图知，=7对应的是春分，又因春分与秋分辱影长相同,故选：48 .函数f(x)=/|x+l卜-2%的图象大致为()解：函数的定义域为 x|x#-1 ,故选项C错误；当x=l时，f(l)ln2-3 0,故选项A错误；当 x f-1 时，/川x+l|-8,x2+2x-1,则/(x)-8,故选项 B 错误.综上，选项。符合题意.故选：D.JT9 .在 A B C中，N C=，A C=3,B C=4,点。，G分别在边A C,B C上，点E,尸在2内任取一点，该点取自矩形Q E F G内的概率为()A B上，且四边形。E F G为矩形(如图所示)，当矩形Q E F G的面

16、积最大时，在A B CA F HA.B.2 3解：由题意知A 8=5,A 8边上的高为.1 2n c*：D G/AB9：.,：.D G=1 2 55C.D.4 5,设。E=x,0 x 0,u)0,|(p|V-)的部分图象如图所示,给出下列结论：A=2,3=1,b=-1；A=o)=2,b=-1；点(等，-1)为f(X)图象的一个对称中心；f(x)在l 笫L,-2 伊 上 单 调 递 减.其中所有正确结论的序号是()由于x=微 时，y=-1为对称中心的纵坐标，TT TT函数f (x)的最小正周期7=4 义(g*)二兀，故 3=2,故错误，正确；由于函数的对称中心为(方-,-1),0故 函 数 的

17、对 称 中 心 为(;线 匚，-1),当=1时，函 数 的 对 称 中 心 为(器，-1),故错误；6根据函数的图像函数在 工，需 上单调递减，J T 7兀故函数的单调递减区间为k兀 节，J?+k冗(ZEZ),当=-2时，得到函数在-2*,上单调递减，故正确.故选：D.11.已知抛物线C V=2p x(p 0)的焦点为凡 准线为/,过尸的直线与抛物线C交于点A,B,与/交于点。，若 无=4而，H网=4,贝I p=()A.2 B.3 C.4 D.6解：如图所示：过点A作A M L准线/于N,过点B作准线L于M,则|A Q =|A N|,BM=BF,又因为而=4而，即I的=4|而|=4国 卜所以

18、co s/DB M噜4 所以 C O S/F A N 0，B D 4 4AH 1过 F 作 F H上A N,贝I J COSZFAN=-7-=4-A F 4由 A F=4 可得：A H=1,又因为A N=A尸=4,所以NH=4-1=3,即点尸到准线的距离为3,所以由抛物线定义可得p=3,故选：B.1 2.九章算术卷 五 商功中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现 有 阳 马 P-ABC。（如图），平面A8C,尸 A=AB=1,A D=3,点E,F分别在AB,B C上，当空间四边形P E F D的周长最小时，直线P A与平面P F D所成c乎D.2料解：把平面PA8沿

19、 A 8展开到与平面ABC。共 面 的 的 位 置，延 长 0 c 到，使得C D =1,则力尸=凡,：P D的长度为定值，.要使空间四边形P E F D的周长最小，只 需PE+EF+FD=PE+EF+/7)最小,当 P,E,F,。四点共线时，PE+EF+尸。最小.过点4 作尸的延长线于点G,连接PG,平面 ABC。，：.PADF,又 AGnPA=A,AG、PAu平面 PAG,二。口L平面PAG,.。尸 u 平面尸FD,平面PAG_L平面尸粒，过点A 作 AHJ_PG于H,.平面 PAGD 平面 P/*=P G,4H u平面 PAG,平面 PFD,：.ZAPG为直线PA与平面PFD所成的角，：

20、PD=PA+AD=-4,DD=2,Pz D DD 2：.CF=2,D F=A._ A D-C D_ 3X 1_ 3V5.A CJ i-,DF V5 5故选：A.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知向量；,芯满足|?|=1,|1=2,当|2之-寸，向量；,解：根据题意，设向量之，芯的夹角为仇向量之，芯满足英=1，后=2,且|2 2-与=2 ,则(2；-0 2=吟+32-4：5=8 -8cos0=12,解可得cos0=-pQJT又由 0W 6W n,则 9=、一,故答案为：亭.14.已矢口(1+无)(2-X)9=。0+。1 工+。2%2+0Gxi0,贝!I Q1+12+

21、。9二解：因 为(1+x)(2-x)9=ao+aIX+2X2+,+io%10,令 x=0 时，则 29=如,即o=512,令龙=1 时，贝！J 2=O+I+2+。10,又展开式的含视的项为C&(-x)9 Xx=4 ，己的夹角为一第-509所以aio=-L则 0+。2+。9=2-cio-ciio=2-512-(-1)=一 509,故答案为：-509.15.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,底 面 半 径 为 高 为1,E和尸是底面圆周上两点，则圆锥P。的 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为 兀 _；2：面 积 的最大值为2.解：圆锥的顶点为P,高 为1,底 面 半 径 为 所 以 母 线 长

22、 为/4（）2+F=2,所以圆锥侧面展开图是扇形，且扇形的圆心角为a=2K r=2 n /3=由于和F为底面圆周上两个动点，由于PE=P F,所以PEF为等腰三角形,计算尸 尸的面积为S=1-X2X2Xsin/EPF=2sin/EPF,2由于NEPFC(0,2冗-，所以当/E PF=，三PEF面积的最大值为2.故答案为：，而，2.16.已知数列 如 是公差为d的等差数歹U，设Cn=2a：+2a2+2%+2a、若存在常数z，a.使得数歹U Cn+为等比数列，则m的值为卫 一2d-l解：数列“是公差为d的等差数列，可得 d=an-an.,a.a-a,a.2%(1-2函)cn=2 +2 +2 +2l

23、-2dn/1 dnC f =i-+/72=加+.l-2d2 由l-2d l-2a：由于数歹U Cn+?为等比数歹U，a.a.所以 m+-0,即机=-.l-2d 2d-la.故答案为：与一.2d-l三.解答题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.A8C的内角4,B,C 的对边分别为m b,c.已知a=2,b=后,B=2A.(1)求 sinA；(2)求ABC的面积.解：(1)由正弦定理知，r=/不，sinA sino因为8=2 A,所 以，=卢=_，所以cosA=返，sinA sin

24、2A 2sinAcosA 4因为 AE(0,n),所以 s ir L 4=J iX =g .(2)由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA,所以 Z 2 4 粕)2+-2 粕整理得，2c2-5C+2=0,解得。=2 或右当 c=2=a 时，有 4=(7,因为8=1 4,所以A=C=工，所以sinA=返，与(1)中结4 2论相矛盾，不符合题意，故所以ABC 的面积 SA M C=-bcsinA=-X JE X-18.如图是M 市旅游局宣传栏中标题为“20122019年我市接待游客人次”的统计图.根据该统计图提供的信息解决下列问题.(1)求 M 市所统计的8 年中接待游客人次的平均值和中位数

25、；(2)由统计图可看出，从 2016年开始，市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2021年 M 市接待游客的人次.参考公式：对于一组数据(X I,%),(X2,竺)，(x,加)，其回归直线=X+y b an _ _ (x4-x)(y-y)的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 分 别 为：A =以,1 -X-1-=b n _X(x x)2i=ln工 X1yl-n x.y .1=1 -2，Lb,xi-nxi=l参考数据:x=x -2 0 1 60123y =y-6 3 0-3 0 0-1 2 09 03 3 01000笊位：万人次%090080070072

26、06005005104003003302001002012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份解：（1）平均数=(1 1 0+1 5 0+1 8 0+2 5 0+3 3 0+5 1 0+7 2 0+9 6 0)4-8=3 2 1 0 4-8=4 0 1.2 5,中位数=(2 5 0+3 3 0)+2=2 9 0；x=(0+1+2+3)小4=1.5,y=(-3 0 0 -1 2 0+9 0+3 3 0)+4=0,n,贝 仁 旦b(x j-x)(yi-y)n _Y,(Xi-x)2i=l=2 1 0,=V-,=0-2 1 0 X 1.5=-3 1 5,a y

27、bA所以线性回归方程为y=2l0 x-3 1 5,所以在2 0 2 1 年时工=2 0 2 1 -2 0 1 6=5,所以y=2 1 0 X 5 -3 1 5 =7 3 5,预测2 0 2 1 年 M 市接待游客的人次为7 3 5+6 3 0=1 3 6 5 万.1 9.如图，在四棱锥P-A 8 C O 中，四边形A 8 C O 是梯形，AB/C D,C O=2 4 8,点 E是棱PC上的动点（不含端点），F,Q分别为AQ的中点.（1）求证：Q P 平面P C D；(2)若 P O _L 平面 A B C。，A Q _L O C,P D=A D=A B=,p c=3 p g,求二面角 P-8

28、O-E的余弦值.【解答】(1)证明：取 BC中点M,取 A D 中点0,连接/、MQ,所以 MF/PC,又因为四边形A2CQ是梯形，AB/C D,所以MQC。，M F C M Q=M,MFUMQu平面 MFQ,P C C D C=C,P C、OCu平面 PCD,所以平面MFQ平面PC),因为QFu平面MFQ,所以QF平面PCD.(2)解：因为尸。，平面48C,所以P C A O,POLC。，又因为AOLOC,所以D4、D C、DP两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐如下：9 2D(0,0,0),B(1,1,0),P (0,0,1),(0,)3 3D B=(1，1，0),

29、DP=(0,0,1),DE=0-4,T),o o设平面3。尸与平面BOE法向量分别为一=(x,y,z),：=(，v,w),DB-m=x+y=0 人 一 八 DB wn=u+v=0DE n,令 y=-1,=(1,-1,1),2 V6cos=迎 旧3所以二面角P-B D-E的余弦值为返.3Q2 0.已知点A (-2,0),B(2,0),动点S (x,y)满足直线A S与B S的 斜 率 之 积 为 记动点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么样的曲线；(2)设M,N是曲线C上的两个动点，直线A历 与N 8交于点P,且NMA N=9 0 .求证：点户在定直线上；求证：直线N 8与

30、直线M B的斜率之积为定值.【解答】1解：(1)由题意可得：吃 卷=与(x卉2)，x+2 x-2 42 2化简可得：半1 G卉 2)，所以曲线C的中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，不含4,B两点;(2)证明：由题设知，直线MA,N B的斜率存在且不为0,设直线4M的方程为x=-2 (f 0),由A ML A N,可知直线NA的斜率为kN A=7,方程为x=-y-2 1tx=q1y _ 2o联立方程，2，消去x整理可得：(4户+3)产+1 2=0,I 4 3 1所以直线NB的斜率为相片正处则直线N B 的方程为：y=5-(x-2)，代入x=)-2,解得x=-1 4,4 t故点尸在直线x=-1 4

31、上；由 ，得九*所 以 与 人/加/腮 =(等 X (4)吟，Q结合kN A f c v M=1 9得血 k i g p i I -为定值，BID IMD 6即直线NB与直线MB的斜率之积为定值.2 1.已知函数/(x)=ex-2ae x-(2+。)x(ER).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)求证：当 4 a 多寸，函数/(X)有且只有三个零点.5 2(参考数据:e=2.7 2,e 2=7.3 9,0 2 0.0 1)解：(1)/(x)=ex+2ae x-(2+)(e-2)(e*-a)xe若 a W O,由 *-2=0,解得：x=/?2,由，(x)0,解得：x0,解得：xlril,故/(

32、x)在(-8,尻2)递减，在(加2,+8)递增，若。0,由/(%)+0,解得：尤=加2 或当 0 V V2 时，由，(x)0,解得：lnax 0,解得：x/2 或 x2,+o o)递增，当。=2时，/(x)20在 R上恒成立，故/(x)在 R上单调递增，当 2 时，由，(x)0,解得：ln2x 0,解得：或 x VM2,故/(x)在(ln2,/na)递减，在(-8,/2),U na,+)上单调递增；综上：当 a WO,7(x)在(-8,加 2)递减，在(仇2,+8)递增，当 0 2时，f(x)在(2,I na)递减，在(-8,勿2),U naf+)上单调递增.(2)证明：由(1)知，当寸，f(

33、x)在U na,加2)递减，在(-8,历0),(/2,+8)递增，故/(外的极大值是(加a),f(x)的极小值是/(历2),而/(x)极 大 值=/(/)=。-2-(2+。)I na,令 g (。)=a-2 -(2+)I na(2 w W工),贝(Jg (。)=-2+乳】1.,5 2 a令 m(。)=2+alna(Z w a W工)，贝!J ()=1+lna 1 +ln=ln-/z 1 =0,5 2 5 5故 机(a)在 佟，占上单调递增，5 29 9 9 9故 加(Q)2 m ()=2+/7 2 -lneOf5 5 5 5故g ()0,即/(历a)0,2 2 2 2 2又当2w“W蝙，-ln

34、 lnlnaln0,B P lna&(-1,0),5 2 2 e 5 2又/(-2)=e-2-2ae2+2(2+a)=2 (1-e2)a+e-2+4,该式关于 a 单调递减，故 2 (1 -e 2)+e-2+4W2 (1 -2).，“=线之 线,+=2 5-4e 2 5 5 J 5 5 50,故/(-2)0,:f(x)在(-8,in a)单调递增，且/(-2)f(bia)0,故函数/(外 在 区 间(-8,in a)上有且只有1个零点，f(x)极 小 值=/(加2)=2-a-(2+。)ln2=-(1+加2)a+2-2ln29令力(a)=-(1+勿2)a+2-2ln2(),显然力(a)单调递减，

35、5 2故/?()2-(2+)ln2=(1 -/2)(1 -/n J 2)=0,5 5 5 2 5故f Q2)0,：f(x)在(bui,历2)单调递减，且/(而)/(/2)-2 (-2+D x/e 2 -4=/-5e 2 -60,f(%)在(M 2,+8)上单调递增，且/(历2)/(2)0,故函数/(x)在(M 2,+8)上有且只有1个零点,综上：当当W a W 5时，函数”X)有且只有1个零点.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在平面直角坐标系中，直线/过点尸(4,0)

36、,倾斜角为a.以直角坐标系的坐标原点为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=8 s i n&(1)写出直线/的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线/与曲线C交于不同两点M,N,求I P M+伊川的最大值.解：(1)直线/过点P (4,0),倾斜角为a,转换为参数方程为：卜=4+t c o s 0 (,I y=t s i n C l为 参 数)，曲线C的极坐标方程为p=8 s i n 9,整理得p2=8 p s i n 0,x =P c o s 8根据，y=P s i n 9,转换为直角坐标方程为N+(y-4)2-1 6.,x2+y2=P 2Y=4+t c

37、 o s a(，为 参 数)，代入好+(y -4)占1 6,y=t s i n a得到尸+8 (c o s a-s i n a)什1 6=0,(M和N点对应的参数为力和力)，所以+勿=8 (s i n a-c o s a),t ti=1 6,TT由于直线/与曲线交于两点M和M 得到号-0,/2 0,兀故|P M+|P 2=|1 1 +t 2 I=1 1 +t 2二 W s i n(a当a 彗 二 时，I P M+I P M的最大值为&后.选修4-5：不等式选讲(本小题满分0 分)2 3 .设不等式|x -l|+2|x+l|x+7的解集为M.(1)求集合M;(2)设m是M中元素的最大值，正 数a,b,x,y满足a+b=丹，x+y=m.求证：oV ax Wb y V i r-3 x-1,x-l【解答】解：|x-l|+2|x+l|=x+3,-1 x l当时，原不等式化为-3 x-l Wx+7,得-2 W x W-l；当-1 l时，原不等式化为3 x+l Wx+7,得1XW3.综上，不等式|x-1|+2仇+l|Wx+7的解集M=-2,3；(2)证明：由(1)得,m=3,贝!|a+6=l,x+y=3,由a,b,x,y都是正数及基本不等式，_ _ _ _ x _ _ _ y可得当且仅当a=3,Q工，等号成立,；a+b=l,3以上两式相加,m2 -T1唔 抵I故 WbyV3=V ir-