2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅰ）（解析版）.pdf

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1、2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷(理科)(全国 I)一、选 择 题(共 12小题).1.已知集合 加=4 -工-20,N=-2,0,1,2,5,则 MA N=()A.0,1 B.-2,5 C.-2,2,5 D.0,1,22.若复数z=罂，则|z+l|=()2+1A.25 B.7 C.5 D.代3 .某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类，兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校6000名学生的选课情况进行了统计，如图，并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图.则下列说法错误的是()0*A.抽取的样本容量为

2、120B.该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050C.若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为3 6,则。=70D.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500 x-y-1404.若变量x,y满足约束条件0，则z=x+J V的最大值为()x+2y-l 40A.B.3-1 C.1 D.735.已知标=(-1,c o s d),B C=(2,0)，CD=(2,2s i n Cl),若A,B,。三点共线,则tana=)A.-2 B.C.D.22 26.如图，每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为“格点”，如果一个多边形的每一个顶点都在格点上，则称该多边形为“格 点 多 边 形189 9

3、年奥地利数学家匹克（P i c k）对格点多边形面积计算提出匹克定理，设格点多边形内部含有N个格点，边界上含有L个格点，则该格点多边形的面积5=+与 7在 矩 形A B C D内随机取一点，此点取自格点多边形M N P Q R内的概率为（）7.记S”为等差数列 斯 的前项和，若$6=3 （痣+3）,且“4=-1,则 斯 的公差为（）A.-2 B.0 C.2 D.48.设 a=l o g 64,b=ln2,C=TT0-2,则（）A.abc B.bac C.cba D.ca B=1 2 0 ,C,。是弦A B的两个三等分点，以A为左焦点，B,C为顶点作双曲线T.设双曲线T与弧窟的交点为E,则N A

4、 D E:/A D B=4 0 .若丁的方程为 J-1 (0)，则圆。的半径为(3/6A.3 V 2 B.M c.瓜 D.返3 2IT1 1 .已知函数/(x)=s i n 2 x+s i n (2 x+-)+1,则()3A.f(三 x)=f(-x)3 3TTB.(-0)是函数f (x)的一个对称中心C.任取方程/(x)=1的两个根X l,X 2，则|加-X 2|是 IT 的整数倍JTD.对于任意的 X l,X 2,X 3 G 0,f(X l)+/(X 2)2/(X 3)恒成立41 2 .已知函数/(x)=|2*-1|,g(x)=-N-2 x+l l,/?(x)jG)+g G+g f 一晨必则

5、以下关于X的方程(X)=&(%为整数)根的说法正确的是()A.当 k=2 时，方程有2个根B.当4 后 1 1 时，方程有4个根C.当女=7时，方程所有根的和为1D.当方程有两个根时，k=3二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分，共 20分。1 3 .(x-吃)6 的 展 开 式 的 常 数 项 是.X1 4 .如图，执行该程序框图，则输出s 的值为15.已知抛物线C：y=2px(p 0)的焦点为F,直线/：2x+2y-p=0与抛物线C交于A,B 两点，且尸|=1+|AQ,则|AB|=.16.设函数/(x)满足f (x)=x(/(x)-Inx),且f若不等式/(无)恒 成立，则 的 取 值

6、范 围 是.三、解答题:共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 2 1题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。17.如图，在平面四边形 A B CD 中，ZA B C=60 ,Z B A D=ZB CD=15 ,B C=2,C D=娓-近 连接A C.(1)求 BD；(2)设N8AC=a,Z C AD=p,求出空一的值.sm P18.N95型口罩，指可以对空气动力学直径物理直径为0.075用 0.020w的颗粒的过滤效率达到0.95以上的口罩.疫情发生后，全国祇5型口罩市场供应紧缺.某医疗科技有限公司立即扩大产能，在原来4生产线的基础上

7、，增设8生产线，为疫情防控一线供应医用N95 口罩.为了监控口罩生产线的生产过程，检验员每天需要从两条生产线上分别随机抽取口罩检测过滤效率.公司规定过滤效率大于0.970的产品为一等品，并根据检验员抽测产品中一等品的数量对两条生产线进行评价.下面是该检验员某一天抽取的20个口罩的过滤效率值：A 生产线口罩过滤效率序号过滤效率1 20.958 0.96730.9644 50.976 0.9566 70.973 0.96580.96890.972100.9738 生产线口罩过滤效率序号1 234 56 78910过滤效率0.978 0.9820.9740.966 0.9760.982 0.9770

8、.9740.9760.972(1)根据检验员抽测的数据，完成下面的2 X 2 列联表，并判断是否有95%的把握认为生产线与所生产的产品为一等品有关？生产线 产品是一等品 产品不是一等品 总计AB总计(2)将检验员抽测产品中一等品的频率视为概率，从 4 8 两条生产线生产的产品中各抽 取 1件，设 X 为其中一等品的件数，求 X 的分布列及数学期望.附：-1(呢 二 勺。)-,其中 na+h+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(心2屈)0.0500.0100.0013.8416.63510.8281 9.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。是边长为2 的菱形，Z C B A

9、 ,S A=S D=2,E,F 分别为SA,CO的中点.(1)证明：OE平面S2F：(2)若 S F=2,求二面角A-S 3-尸的余弦值.2 22 0 .已知F i,尸2分别为椭圆C：-X-i 7=1 (ab0)的左、右焦点，4为C的上顶点，A F1L A F2,且 A B B的面积等于1.(1)求C的方程；(2)若过点A的直线八交C于另外一点M,/i关于直线A F i对称的直线为/2,/2交C于另外一点N (异于点M),证明：直线MN过定点.2 1 .已知函数/(x)=e x-x-alive.(1)当a=-1时，证明：f(x)-1有解；e(2)若对任意：xe(1,+8),不等式/(x)恒成立

10、，求实数的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选 修 44：坐标系与参数方程_ s i n a2 2 .在直角坐标系X。)，中，曲线G的参数方程为|x=co s a (a为参数).以坐标y=s i n6的解集；(2)若 实 数 人 满 足3 a+4%=1 2,试比较1 1-7(x)与(a+1)2+按的大小，并说明理由.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 6()分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合用=小2-2 0,N=-2,0,1,2,5,则 M C N=()A.0,1

11、B.-2,5 C.-2,2,5 D.0,1,2 解：-1 或x 2,N=-2,0,1,2,5),.*.MAN=-2,5.故选：B.2 .若复数z=哈，则|z+l=()A.2 5 B.7 C.5 D.遍解：因为=2+4 i，所以 z+l =3+4 i,故+1 1*3 2 +4 2 =5.故选：c.3 .某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类，兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校6 0 0 0名学生的选课情况进行了统计，如图，并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图.则下列说法错误的是()A.抽取的样本容量为1 2 0

12、B.该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1 0 5 0C.若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为3 6,则a=7 0D.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1 5 0 0解：对于选项4：6 0 0 0 X 2%=1 2 0人，即抽取的样本容量为1 2 0,所以选项A正确,对于选项B：6 0 0 0 X3 5%X5 0%=1 0 5 0人，即该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约 为1 0 5 0人，所以选项B正确，对于选项C：由题意1 2 0 X 4 0%X a%=3 6,解得a=7 5,所以选项C错误，对于选项。：6 0 0 0 X (1 -3 5%-4 0%)=1 5 0 0人，即

13、该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1 5 0 0人，所以选项。正确，故选：C.x-y-4 .若变量x,y满足约束条件 x灯 0 ，则z=x+V的最大值为()x+2 y-l 4 0A.-1 -B.7 3-1 C.I D.7 3x-y-1 4 0解：约束条件 x4 y 0 对应的可行域如图；x+2 y-l 4 0当2=乂+依 泄 点8 (1,0)时取得最大值1,故选：C.5 .已知标=(-1,co s Cl),BC=(2,0)，CD=(2,2 s i n G),若A,B,。三点共线，则t a n a=()A.-2 B.-A C.D.22 2解：根据题意，AB=(-1,co s a),BC=(2,

14、0)，CD=(2,2 s i n a),则 而=(4,2sina),若 A,B,。三点共线，则 至 而，则有4 co s a=-2 s i n a,变形可得：t a n a=-2,故选：A.6 .如图，每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为“格点”，如果一个多边形的每一个顶点都在格点上，则称该多边形为“格 点 多 边 形 1 8 9 9 年奥地利数学家匹克（P i ck）对格点多边形面积计算提出匹克定理，设格点多边形内部含有N个格点，边界上含有L个格点，则该格点多边形的面积5=+与-L 在 矩 形 A B C。内随机取一点，此点取自格点多边形M N P Q R内的概率为（）解：SABCD=

15、4X5=20,根据题意可得N=1 0,L=5,所以S=N+与 _=0+导 =等，23该点取自格点多边形MNPQR内的概率为P=S _ 2 _23.SABZD 20 40故选：D.7 .记 S,为等差数列 斯 的前项和，若$6=3 （出+3），且“4=-1,则 斯 的公差为（）A.-2 B.0 C.2 D.4解：等差数列 m 中,5 6 =3（0 5+3）,且 44=-1,6 a +15d=3（a,+4d+3）则4,a|+3d=-l解得，d=-2.故选：A.8 .设=l o g6 4,b=ln2,c=n0-2,贝 lj（）A.a b c B.b a c C.c b a D.c a b解：由题意可

16、知=照64=学 3=孚2,ln6 ln6b=ln2=21n221ne21n2Ine26e2,.ln6 bf*a=log64 log66=1,ha1to=1,.cab,故选：B.9.某市在文化广场举办“爱我家乡，知我家乡”活动，需要对广场内的部分休闲石凳进行更换，为响应“厉行节约”的号召，市政公司打算旧物利用，将旧石凳打磨成球体，放置在附近的喷泉池中.已知旧石凳是由棱长为40c7的正方体经各棱中点切割下八个相同的四面体所得，如图所示.则打磨后的球体半径的最大值为（）解：打磨后的球体是石凳的内切球,C.D.正 方 体 A G 的棱长为40cm 则 截 去 的 一 个 正 三 棱 锥 的 体 积 为

17、 20X20X20=3 2-4-0-0-0-cm-35.3设正三棱锥的高为儿 x得X 2 0 X 2 g x孚h W当，解 得 =驾3可 得 打 磨 后 球 的 直 径 为 伤 常 在d-2 X当 巨 普 应，O O O球 的 半 径 为 空 运”，3故选：B.1 0.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题.如图，在圆。中，AB为其一条弦，Z A D B=1 2 0Q,C,。是弦A 8的两个三等分点，以A为左焦点，B,C为顶点作双曲线T.设双曲线T与弧猿的交点为E,则ZA DE=-ZA DB=4Q .若T的方程为弓-J=1 (a 0),则圆。的半

18、径为()3 a2 6A.3A/2 B.c.瓜 D.恪解：设双曲线T的焦距为2 c,圆。的半径为R,由题意可知,O A=cf CO=B O=a,则双曲线T的离心率为=2，c=2a,a又。2=。2+6，=c=2 2：.A B=3 7 2，在A D8 中，Z A D B=20 ,则|D4|=R=1 A B Isi n 60故选：CK11.已知函数/(x)=sin2x+sin(2x+-)+1,则()3B.(-,0)是函数/(x)的一个对称中心C.任取方程/(x)=1的两个根尤1,X2,则田-划是n的整数倍JTD.对于任意的 X,X2，%3 6 0,-,f(X1)+于(X2)2/(X 3)恒成立4解：函

19、数/(x)=sin2x+sin(2x+)+1=sin2x+si n 2 x+_c o s2 x+=3 2 2 si n 2 x+c o s2 x+l =Esi n(2 x-)+L对于A：当x=W-时，f(3)=V sin 尊+1=返+1 w 5y,故函数不关于=与-3 3 6 2 3对称，故A错误;对于 B：当 x=-时，/（-=V 3 s i n O+l=l.故（-*，0）不是函数/（x）的一个对称中心，故 3错误；JT对于 C 函数f（x）=1,即f（x）-1=0,整理得F s i n（2 x -）=0，即函数g（x）IT TT=E s i n（2x哈）和 =0,的交点为半个周期夕的整数倍

20、，故。错误；对于）：任意的 日0,时，则 2 x+：2,，TT所以 f（X）+f lx?）2（FsiiTy+l）=V+2,jff（x3X73sirr-+l=V3+l,即力宓13）如，故f（X I ）+f（X 2）K（X 3）恒成立，故。正确.故选：D.12.已知函数/（x）=|2*-1|,g（x）=-A2-2x+,h（x）j G+gG+gf 一式必 I,则以下关于x 的方程刀（x）=k（%为整数）根的说法正确的是（）A.当=2时;方程有2 个根B.当4女11时，方程有4个根C.当=7时，方程所有根的和为1D.当方程有两个根时，k=3解h(x)=f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)I =f(

21、X),f(x)g(X)L2g(x),f(x)g(x)-X2-2X+11,f(xXg(x)作出函数,y=/?（x）的图象如图所示:由图可知，当无=2时，方程有且只有一个根；当4 W A 1 1 时，方程有3个根；当=7时，方程有三个根，J2,X 3（X|X 2 0)的焦点为凡 直线/：2 x+2 y-p=0与抛物线C 交于A,B 两 点,且|8 F|=1+|AQ,则|A 8|=_&_.解：设 A(xi,yi),B(X 2,工)，f 2 _联立方程，y =2p x,消去y 整理可得：4 N-12*+p2=o,2x+2y-p=02所以X +x=3p,X X2二 号-又|8 F|=1+|AF ,即工2

22、 号=l+x 专，所 以 劝=1+联立方程，解得p=亚，4所以依8|=町+Xz+p=4p=加，故答案为：/2-16.设函数/(工)满足/(x)=x (/(x)T u x),且若不等式/(x)2 0 r 恒成立，则。的 取 值 范 围 是J 8,AJL，解：由题意得，xf(x)-fix)=InJC9 x0,.xf (x)-f(x)l n x,x2 一 丁令 他0=/立，则/?(x)=上空，x x当0c xV I时，h(x)l时，/?(X)0,函数/?(x)单调递增，故 h(X)min-h(l)f l,1):于(X)亦恒成立，.*.a C=360 -ZA B C-ZB A D-Z B C D 15

23、0 ,在A C。中,由正弦定理A Cs inN A D CC Ds inB在AABC中，由正弦定理.二。二1 号，s inZA B C s in a两式相除可得：色 耳-罂=等 匕 笔，s in 8 B C s inZA D C _所以 s in a _s i n/A B C.B C _ x 2 x 2 _ 2百 _ 3我道s inB s in/A D C C D 2 6 _V 2 V2 2所 以 些 哈 的 值 为 汉 史 迎.smp 218.N 9 5 型口罩，指可以对空气动力学直径物理直径为0.0 7 5口 W 0.0 20 因”的颗粒的过滤效率达到0.9 5以上的口罩.疫情发生后，全国

24、N 9 5型口罩市场供应紧缺.某医疗科技有限公司立即扩大产能，在原来A生产线的基础上，增设B生产线，为疫情防控一线供应医用 7 V9 5 口罩.为了监控口罩生产线的生产过程，检验员每天需要从两条生产线上分别随机抽取口罩检测过滤效率.公司规定过滤效率大于0.9 7 0 的产品为一等品，并根据检验员抽测产品中一等品的数量对两条生产线进行评价.下面是该检验员某一天抽取的20 个口罩的过滤效率值：A生产线口罩过滤效率序号 123456789 1 c l过滤效 0.9 58 0.9 67 0.9 64 0.9 7 6 0.9 56 0.9 7 3 0.9 65 0.9 68 0.9 7 2 0.9 7

25、3率B生产线口罩过滤效率序号 12345678gl0过滤效 0.9 7 8 0.9 8 2 0.9 7 4 0.9 66 0.9 7 6 0.9 8 2 0.9 7 7 0.9 7 4 0.9 7 6 0.9 7 2率(1)根据检验员抽测的数据，完成下面的2 X 2 列联表，并判断是否有9 5%的把握认为生产线与所生产的产品为一等品有关？生产线 产品是一等品 产品不是一等品 总计AB总计(2)将检验员抽测产品中一等品的频率视为概率，从 4,8两条生产线生产的产品中各抽 取 1件，设 X 为其中一等品的件数，求 X 的分布列及数学期望.附：J(2=-,其中=a+6+c+d.(a+b)(c+d)(

26、a+c)(b+d)P（烂2公）0.0 500.0 100.0 0 1ko3.8 416.63510.8 28解：（1）由题意可得2 X 2 列联表如下:所以有9 5%的把握认为生产线与所生产的产品为一等品有关.生产线 产品是一等品产品不是一等品总计A4610B9110总计 13720贝 i j v2/。(鱼又 9)2=5.49 53.8 41,10X10X13X 7（2）由题意可得X 的所有可能取值为0,1,2,所以X 的分布列为:P(X=0)10X-110_ 350P(X=l)=&-X-9+AXJ_=2 9.101010 10 50P(X=2)=_ X-9,910102550X012p329

27、950502550252 9 0 QE(X)=0X HX+2 X 三=1.3.1 9.如图，在四棱锥S-A 8 C C 中，底面A B C D 是边长为2的菱形J TZ.CBA-,SA=SD3=2,E,F分别为S A,CO的中点.（1）证明：O E 平面S 8 F；（2）若 S F=2,求二面角A-S B-尸的余弦值.【解答】（1）证明：取 SB的中点M,连接EM,FM,:E,尸分别为 SA,C 的中点，：.EM/AB/DF,EM=AB=DF,2四边形OEM尸为平行四边形，J.DE/FM,又 D E,平面SBF,FMu平面5BF,E平面 SBF.（2）解：取 AD 的中点O,连 接 OC,OF

28、,jr 菱形 A 8CO 的边长为 2,且NCBA=,0F=1,0 C=,OCAD,3：SA=SD=AD,：.OSAD,0 S=,:SF=2,：.SF2=OS2+OF2,即 OS LOF,：.OC,OD,OS两两垂直，故以。为原点，0 3 OD,OS所在直线分别为x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0,-1,0）,5（0,0,百），8（73-2,0）,F（返，,，0）,2 2*-S B=（如,），A S=（0，1，F），S F=（亨，y-正），设平面S4B的法向量为7=（X，y，z）,则 之 二 ,即 伴：2y，z=0,lm-AS=0 y g z=0平面S8F的法向量为n=

29、(十，1，V30 l-H n|x椁藐 3 7，二面角A-S B-尸为锐角，令 z=l,贝!x=-l,y=-，_ V3 1)同理可得，COS jp,由图可知，故二面角A -S B-F的余弦值为义弊.372 22 0.已知尺分别为椭圆C：X y=1 C a b 0)的左、右焦点，A为 C 的上顶点,A FiVA Fi,且AAB 的面积等于1.(1)求 C 的方程;(2)若过点A的直线八交C 于另外一点M,八关于直线AFi对称的直线为/2,/2交 C 于另外一点N(异于点M),证明：直线MN过定点.解：(1)由题意可知S/xag n=-a2=l所以。=&，又 b=c,且匕2+，=白 2,所以b=c=

30、l,2 c所以椭圆方程为三_+y 2二2(2)证明：A(0,1),设 M(xi,yi),N(及，”)，/i：y=&ix+l,h：y=k2x+,y=kx+1联立 1 2，得(l+2k+)x2+4kix=0,x q 2_i 1l T+y T-4.l-2 k f%】二 o-yi=不，1+2 k 1 1+2 kJ因为/i与h关于直线y=x+对称，设点尸到直线八的距离为力，到直线/2的距离为由，所以力=必，得 klk2=l,同理x-4k 1-22%；+2 V2-冬y2-y i _ k h i 吟不一，l-2 k f所以直线MN的方程为y-1+2 k；所以 y=-I k、-3,kK 1所以直线MN恒过定点

31、(0,-3)kj+lkl4kl(x+5-)1+2 kf2 1.已知函数/(x)=e x-x-alnx,(1)当a=-1时，证明：/(x)-1有解；e(2)若对任意：xE(1,+),不等式/(x)Wk恒成立，求实数。的取值范围.【解答】(1)证明：当。=-1时，/(x)=ex-x+lnx,定义域为(0,+8),f(x)=-X-1+工,/(x)=e-VX X当在(0,1)时，f(x)0,f(1)=-0,所以1),使得/(x o)0,当 在(x o,1)时，(x)/(i)=-1,e所以/(X)-I有解，取x e (x o,1)即可.(2)解：/解)0,h(x)单调递增，xe(e,+),h(x)6的解

32、集；（2）若实数a,b满足3 a+4 8=12,试比较11-7（%）与（。+1）2+的大小，并说明理由.4-2x,xC 1解：(1)函数 f(x)=x-l|+|x -3|,故 f(x)=3当 x V l 时，4-2x 6,解得x V-1；当1W%W3时,2 6,无解;当 x 3 时，2x-4 6.解得 x 5.综上所述，不等式/(x)6的解集为 x|x 5 ；(2)设点尸(a,b),因为3 a+4 b=12,所以点P在直线3 x+4 y -12=0上,小3-1 2|、2 八设 M (-1,0),则|PM?=(+1)2+b2 (t5 o)-9，又一(x)冽(x -1)-(x-3)|=2,所以 11-f(x)W9,故(a+1)2+坟2 -/(%).