2021年江苏省泰州中学高考数学四模试卷（解析版）.pdf

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1、2021年江苏省泰州中学高考数学四模试卷一、单项选择题(共 8 小 题).1.设集合 A=4x=2-1,?G Z ,B xx4n-1,n G Z ,则()A.A B B.B A C.A&B D.B eA92.设复数z=i+/(,是虚数单位)，则 复 数 三-(友)2在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在a A B C 中，若 A 3=l,3A C=5f s i i h 4=一,5则 瓦,正=()A.3B.3C.4D.44.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用8 5的水泡制，再等到茶水温度降至6 0 C 时饮用，可以

2、产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1而测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度 y随时间x变化的规律()9 0|1 3 4 5.v(m i n)A.y=mx2+n(m 0)B.y=m ax+n(z 0,0 a 0,a 1)D.ymXoaX+n(m 0,a 0,a#l)5.2019 年 10月 1 日 1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是

3、由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：甲不是军事科学院的；来自军事科学院的不是博士；乙不是军事科学院的；乙不是博士学位；国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的，学位是什么（）A.国防大学，研究生 B.国防大学，博士C.军事科学院，学士 D.国防科技大学，研究生6.六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（）A.48 B.72 C.90 D.1207.2020年 11月 2 4 日4 时 30 分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月 17日

4、凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使 得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可 以 用 公 式 我 计 算m火箭的最大速度口 （m/s）,其 中 vo（mis）是喷流相对速度，m （kg）是 火 箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，旦称为“总质比”.若 A 型火箭的m喷流相对速度为1000加s,当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为（）age的.434,0.301）A.4890/71/5 B.5790 m/s C.6219?/$D.6825m/s8.

5、已知抛物线C：x2=2py（p 0）的焦点为F,M（x o,微）为该抛物线上一点，若 以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A,ZA M F=20 ,过/且 与），轴垂直的直线/与 C 交于 G,，两点，Po为 C 的准线上的一点，G Po的面积为（）A.1 B.2 C.4 D.9二、多 选 题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分），在每小题所给出的四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得S 分，漏选得2 分，不选或错选得0 分.9.下列说法正确的是（）A.若 a b,c 0,则 a2c b,c 0,则。匕 3cC.若 a b a b b2D.函数y=X2+5 J w 一的最小值

6、是2V xJ+41 IT10.将函数），=2CO5+1图象上的各点的横坐标缩短到原来的卷,纵坐标不变，再向左平移令个单位，得到/（）的图象，下列说法正确的是（）兀A.点（丁，0）是函数/（外图象的对称中心6B.函数/（x）在（0,1）上单调递减C.函数/（工）的图象与函数g （x）=2s i n （2x+等）+1 的图象相同D.若 X I,X 2是函数/（X）的零点，则X L X 2 是 T T 的整数倍11.已知圆M：（x -3k）2+（y -4 A:-2）2=1+f c2,则下列四个命题中正确的命题有（）A.若圆例与y 轴相切，则卜=土返4B.圆 M 的圆心到原点的距离的最小值为金C.若直

7、线y=x 平分圆M 的周长，则 k=2D.圆 M 与 圆（x-3 Z）2+炉=4 4 2可能外切12.如图，在正方体4 B C D-4 B i C Q i 中，E 是 棱 的 中 点，P 是线段4c（不含端点）上的一个动点，那么在点尸的运动过程中，下列说法中正确的有（）A.存在某一位置，使得直线P E 和直线8囱相交B.存在某一位置，使得B C 平面4 EPC.点A,与点B i到平面P B E的距离总相等D.三棱锥C i-P B E 的体积不变三、填 空 题（本大题共4 小题，共 20.0分）13 .二项式（包-X 2）5的展开式中，x的系数为270,贝 l j a=.x14 .已知人为非零常

8、数，数列 斯 与 2%+入 均为等比数列，且“20 21=3,则 0=.15.现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其 比 值 为 丘 工，2（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形，(3)有一个内角为3 6的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得s i n l26 =.2 216.设双曲线工-4=1的左右两个焦点分 别 为 Q、Fi,P是双曲线上任意一点，过R16 b2的 直 线 与 的 平 分 线 垂 直，垂足 为Q,则 点。的轨迹曲线E的方程；M在曲线E上，点A

9、(8,0),B(5,6),则4的最小值.四、解 答 题(本 大 题 共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在A A B C中，AB=2,A C=3,。为8 c边上的中点.sin/BADsi nN D A C的值;(2)若N B 4 O=2 N O A C,求 A D18.已知%为等差数列，0,“2,。3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且0,4 2,4 3中的任何两个数都不在表的同一列.第一列第二列第三列第一行第二行 469第三行 1 287请从0=2,0 =1,切=3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列 “存在；并在此存在

10、的数列 “中，试解答下列两个问题(1)求数列%的通项公式；(2)设数列 儿 满足仇=(-1)n+a2,求数列 5 的 前 项 和7k1 9 .如图多面体A BC QEF中，面在面A BC Q,/X EA B为等边三角形，四边形A 8 C。为正方形，E F/B C,且 所=BC=3,H,G分别为C E,8 的中点.(1)求二面角C-F H-G的余弦值;A P(2)作平面F HG与平面A BC。的交线，记该交线与直线AB 交点为尸，写出箓的值(不AB需要说明理由，保留作图痕迹).2 0 .已知椭圆C：当卷=1 的右焦点为尸(1,0),且过点A (-2,0).bz(1)求 C的方程；(2)点 P、Q

11、 分别在C和直线x=4 上，OQ/A P,M 为 AP 的中点，求证：直线。”与直线。尸的交点在某定曲线上.2 1 .已知正三角形A 8 C,某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3,则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3,则按顺时针方向移动.设掷骰子次时，棋子移动到A,B,C处的概率分别为：P,(A),P.(8),Pn(C),例如：掷骰子一次时，棋子移动到A,B,C处的概率分别为P (A)=0,P i(B)=p(1)掷骰子三次时，求棋子分别移动到A,B,C处的概率尸3

12、(A),P3 (B),P3 (C)；(2)记 尸 (A)Pn(B)=bn,Pn(C)=C n,其 中 儿+C n=l,bn=Cn,求。8.1 n x2 2.已知函数f (x)=一哀a A.存在唯一的极值点回.e(1)求实数的取值范围；a x a x(2)若 X i,X2E(XO,+8),证明：l o g(4+x?)(X 乂 2)6 1+e z-参考答案一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合 A=Rx=2 -1,nGZ,B=x|x=4-1,C Z,则（）A.A B B.B 茎 A C.A eB D.B eA解：对

13、于A,当”=2 Z,k e Z 时，A=xx=4k-1,k&Z=B,当=2 k-1,依Z 时，A xx4k-3,keZ,集合A、B 的关系为8 些 A.故选：B.2 .设 复 数 z=l+i（i是虚数单位），则 复 数 上-（iz）2 在复平面内对应的点在（）ZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解：因为复数z=l+i,所以g 2=春心（1 皿2=（苦;%（旧2=2（1X）-（i2-2i+l2）=l+i+2i=l+3i,9故 复 数 且-（i z）2在复平面内对应的点为（1,3）,在第一象限.Z故选：A.3.在 A 8C 中，若 A B=1,A C=5,s i n A=,则

14、屈 菽=（）5A.3 B.3 C.4 D.4解：在 A B C 中，若 A 3=l,A C=5,s i n A=,可得 c o s A=土星，5 5所以A B A C=1X 5 X （-|）=4.D故选：D.4.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔所加测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度 随 时 间 x 变化的规律()A.ymx2+n(m0)B.y=max+n(wi0

15、 0a0,a I)D.ymogax+n(w0,a0,解：由题意知茶水温度y 随时间x 的增大而减小，在(0,+8)上是单调减函数，所以AC。中的函数都不满足题意，只有选项8 满足题意.故选：B.5.2019年 10月 1 日 1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：甲不是军事科学院的：来自军事科学院的不是博士；乙不是军事

16、科学院的；乙不是博士学位；国防科技大学的是研究生.则丙是来自哪个院校的，学位是什么()A.国防大学，研究生 B.国防大学，博士C.军事科学院，学士 D.国防科技大学，研究生解：由甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；由乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；由得到丙来来自于军事科学院；由来自军事科学院的不是博士和乙不是博士学位，得到甲是博士；由国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士.故选：C.6.六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两

17、辆车，则排法有（）A.48 B.72 C.90 D.120解：根据题意，分 3 步进行分析：将甲乙排好，有 2 种情况，在其余4辆车中任选2辆，安排在甲乙之间，有C 4 2 4 2 2=1 2种情况，将最后的两辆汽车安排这个整体的两端，有 2 种情况，则有2X 12X 2=48种排法；故选：A.7.2020年 11 月 2 4 日4 时 30 分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月 17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使 得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.若在不考虑空气阻力和地球引力的

18、理想状态下，可 以 用 公 式 人 计 算m火箭的最大速度u（血/s）,其 中 V O （m/s）是喷流相对速度，m （kg）是 火 箭（除推进剂外）的质量，M（必）是推进剂与火箭质量的总和，旦称为“总质比”.若 4 型火箭的m喷流相对速度为1000/H/5,当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为（）Qlge0.434,/g2po.301）A.4890/n/5 B.5790 m/s C.6219?/s D.6825/n/j解：根据题意，V =V。加用=1000X/500=1000X 1 或0-=1000 X T 昼2弋 6219mls,m Ige Ige故选：C.8.已知抛物线C：x22

19、py（p 0）的焦点为F,M（x0,微）为该抛物线上一点，若 以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A,/A 例尸=120。，过产且与），轴垂直的直线/与C 交于 G,H两点,Po为 C 的准线上的一点，GHPo的面积为（）A.1B.2C.4D.9解：过点M作轴，由抛物线的性质可得|例*=|加=1+导将M点坐标代入抛物线的方程，得初2=2 p ,即初2=0,不妨设M在第一象限，则 迎=日，所以由M=XO=4，因为NAMF=120,所以NBFM=30,所以 2|8/q=|MF|,所以2(2-)=小 与，解得P=3,2 2 2 2所以抛物线的方程为炉=6%2所以尸(0,y),准 线 的 方 程 为 尸

20、-多所以Po到直线G H的距离d=p=3,(3y=联立 2,解得x=3或-3,x2=6y所以 G(-3,3),(3,3),所以GH=6,所以 s2kGHPo=|GMd=63=9,故选：D.二、多 选 题（本大题共4小题，每小题5分，共20分），在每小题所给出的四个选项中,每题有两项或两项以上的正确答案，选对得5分，漏选得2分，不选或错选得0分.9.下列说法正确的是（）A.若 c 0,则2 cB.若。c /?2 c,故 A 错误;B.:a b,a3 b3,c 0,/.a3c b3c,故 8 正确；C.,：a b ab,ab b2,A a2 ab b2,故 C 正确；D-函数产卷J母 生=庐?74

21、T令对女+8),Mx+4 VxJ+4 v x+4由 函 数 尸 畔 在 生 2,+8）上单调递增，.“抄!，故。错误.故选：B C.1兀1 0.将函数y=2 c o sx+l图象上的各点的横坐标缩短到原来的微,纵坐标不变，再向左平移令个单位，得到了（）的图象，下列说法正确的是（）TTA.点（丁，0）是函数f（x）图象的对称中心6B.函数/（x）在（0,聆）上单调递减C.函数/（x）的图象与函数g （x）=2 sin（2 x+等）+1的图象相同OD.若 XI,X 2 是函数/(x)的零点，则 X L X 2 是 I T 的整数倍解：将函数y=2 c o sx+l 图象上的各点的横坐标缩短到原来的

22、纵坐标不变，可 得 y=2 c o s2 x+l 的图象；IT JT再向左平移W 个单位，得到/(x)=2 c o s(办:+?)+1的图象.12 6令尤=m,求得f(x)=i,故排除人.6在(0,5兀)上，2 x+工 (,ir),故/(X)=2 c o s(2X+?L)+1 单调递减.故12 6 6 6B正确.IT TT TT TTVf(x)=2 c o s(2 x+-)+l=2 c o s(-2x-)+l=2 sin-(-2x-)+l=2 sin,6 6 2 62兀(l r+)+l=g (x)，3显然，g(X)的 周 期 为 等故 C正确.1 I _ I I I I若加，X 2 是函数/(

23、x)=2 c o s(2 x+-)+1 的零点，贝!|c o s(2 x i+-)=c o s(2 x 2+-)6 6 6_ 1一5则 X I -X 2 是?或 芸 L的整数倍，故D不正确，3 3故选：B C.1 1.已知圆M:(X-3 A)2+(y-必-2)2=1+/，则下列四个命题中正确的命题有()A.若圆例与y 轴相切，则卜=土返4B.圆 M 的圆心到原点的距离的最小值为C.若直线y=x 平分圆M 的周长，则=2D.圆 M 与 圆(x -3k)2+y2=4 R 可能夕卜切解：圆M：(x-3%)2+(y-4 Z-2)2=1+R,故圆心坐标为(3k,4 k+2),半 径 为 五 定,对于A：

24、圆 M 与 y 轴相切，圆心(3 k,4 Z+2)到)，轴的距离d=1+涓 即13kl=V 1+k2,解得：卜=+返，故 A正确；4对 于 B ：圆 心 (3 k,4 k+2 )到原点的距离 d=J（3k）2+（4k+2）2=业&+套）2嘿樽卷,故8正确；对 于C：若直线y=x平分圆，故 圆 心（3 k,4 Z+2）在直线），=x上，满 足3 k=4 k+2,解得k=-2,故C错误；对 于D：圆（x-3&）2+=4后 的 圆 心 为（3&,0）半径为|2例，当两圆相外切时，满足V（4 k+2）2=1 4 k+2|=l 1+k2+1 2 k|化简为弘2+8%+3=0,由于（）,所以存在无值,故。

25、正确.故选：A B D.12.如图，在正方体AB8-4 BCQI中，E是棱4B i的中点，P是线段4 c（不含端点）上的一个动点，那么在点P的运动过程中，下列说法中正确的有（）A.存在某一位置，使得直线P E和 直 线 相 交B.存在某一位置，使得B C平面A E PC.点4与点B到平面P B E的距离总相等D.三棱锥C i -P B E的体积不变解：选项A：P是线段4 c（不含端点）上的一个动点，P E A平面而E比 B B i,由异面直线的判定定理可知P E与直线B B i异面，所以不存在某一位置，使得直线P E和直线8所相交，故选项A不正确；选项3，连接E D交AC于点尸,，面A P E

26、即为面A O E,此时8 C A）,而8 a t平面A DE,A D u面A D E,所以B C平面AD E,即8 c平面A E P,故选项B正确；选项C：如图过点A）与点B i作平面P B E的垂线,垂足分布为H,H x,有畛A i M E,所以即点4与点B到平面P B E的距离总相等，故选项C正确；选项 ：因为V C j-P E E =V p-C B E，S z k C B E为定值，连接3C交8 c l于点F,连接E F,而4C E凡4 C C平面G B E,E F u平面G B E,所以AC平面CiB E,所 以P到平面CiB E的距离为定值,所以三棱锥Ci-PBE的体积不变，故选项。

27、正确.故选：B CD.三、填 空 题（本大题共4小题，共20.0分）13 .二项式（包-X?V 的展开式中，x的系数为2 7 0,则 4=3 .X解：二项式（包-X?）5的展开式通项公式为戊-1）犷 5,X 令 3 r-5=l,求得，=2,故X的 系 数 为 c 菅。3=2 7 0,则 4=3,故答案为：3.14.已知人为非零常数，数列 如 与 2 小+均为等比数列，且“2 0 2 1=3,则 0=3 .解：因为数列 加 与 2 3+入 均为等比数列，所 以（2an+X）2=（2an_1+X）（2an+1+X）-S-an2=an_!an+1得 2 a“=斯.1+%+i,故数列 小 也为等差数列

28、,不难得数列“为非零常数列，则 0=42 0 2 1=3.故答案为：3.15.现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其 比 值 为 叵 1,2（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形，（3）有一个内角为3 6 的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得s i n l2 6 =近 口 .4 解：如图，等腰三角形A B C,N A B C=3 6 ,AB=B C=m A C=h,取AC中点。，连接B Q,可得且打后-1,a 2b由 题 意 可 得.Z A B C 2 b 1

29、 V 5-1 1 V 5-1.s i n 2-2 2=4所以c os/A B C =l-2 s i n 2/C =1-2(与)2=夸 乜,所以 c os 3 6 =,1,4所以 s i n l2 6。=c os 3 6 0 =-4故答案为：乏2.2 216.设 双 曲 线 红-4=1的左右两个焦点分别为尸卜尸2,P是双曲线上任意一点，过 Q16 b2的直线与N H P F 2的平分线垂直，垂足为。，则点。的轨迹曲线E的方程 f+y2=i 6 :M在曲线E上，点A (8,0),B(5,6),则与A M+I 8 M的 最 小 值3 片.2 2解：双曲线三-J=1的。=4,延长Q。与P后的延长线交于

30、“，连接O。，1 6 b2由P。为/Q P B的平分线，且 为 边 上 的 高，可得 PB H为等腰三角形，则I P尸i|=|P，l，由双曲线的定义可得I尸 -|PF 2|=2”，即有|尸2 77|=|尸4|-|PF2|=|PF|-PF4=2a,由O Q为2 H的中位线，可得|0。|=/研=。=4,可得Q的轨迹方程为圆/+y=1 6；设 M(x,y),设 T(a,b),且|AM =I力W|，可得Y(x-8)2+y 2=2 4(x-a 产+旧 山)2,平方可得 x2+y2-1 6 x+6 4=4 (x2+y2-lax-I by+cfi+b2),化 为/+炉=鲍 也 广 逛 ），+旌量Zlk l,

31、3 3 -32 2由于M在圆N+V=1 6上，可 得 竺 坦=0,萼=0,6 4-4 a -4b二3 3 3解得4=2,b=0,则T（2,0）,连接7K 可 得T,M,8三点共线，即有gAM+|8M =|TM+|B M取得最小值|7同=亚 寿 居 群=3捉，故答案为：/+y 2=1 6,3,$/5.四、解 答 题（本大题共6 小题，共 70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 7.在 AB C中，A B=2,A C=3,。为8 C边上的中点.(2)若/a 4 O=2/O A C,求 A D解：（1）在a A B C中，AB=2,A C=3,。为B C边上的

32、中点,根据面积相等，yAB-ADsinZBAr=yAC-ADsinZCAE.故=答 搀AB 2(2)Z B A D=2 Z D A Cf 得 sinN34=sin2NQAC=2sinNOACcosNOAC,Q所以 cos Z D A C=,4所以 cosZB A D=2cos2Z D A C-1=,8在三角形 AB。中，B D2=4+A D2-2-2AD82CQ2=9+Ap2-23AOa,4由 8=C D,上式化简得故 AD=.41 8.已知%为等差数列，at,。2,。3分别是表第一、二、三行中的某一个数，且 0,。2,B中的任何两个数都不在表的同一列.第一列第二列第三列第一行第二行 469第

33、三行 1287请从G=2,m=l,0 =3 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列 3 存在；并在此存在的数列 “中，试解答下列两个问题(1)求数列 斯 的通项公式；(2)设数列/“满足5=(-I)”2,求数列 d 的前项和6.解：(1)若选择条件0=2,则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列 斯 都不存在，若选择条件0 =1，则放在第一行的第二列，结合条件可得41=1,42=4,43=7,则an=3n-2,则 neN*,若选择条件m=3,则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列 都不存在，综上可得an=3n-2,则 EN*,（2）由（1）知，b=（-1）用（3-2）2,当为

34、偶数时，:.=+岳+仇=0 2 -曲+底 0 42+,+-12-a，/，=（。1+。2）+（3+。4）（。3 -。4）+（入1-斯），o z=-3 （。1+,。2+.。3.+。）、=-3 X-n-（-l-+-3-n-2-）=_ -9-n-9+l 3nt22 2当为奇数时，Tlt=T,i-+bn=-（n -1）2+3 （n -1）+（3 -2）2=-n2-2,222 2-yn2 n为偶数 1 _ /Nn为奇数1 9.如图多面体A8C OE尸中，f f i E 4 B A B CD,F AB为等边三角形，四边形AB C。为正方形，EF/B C,且 尸=+。=3,H,G分别为C E,8 的中点.（1

35、）求二面角C-F H-G的余弦值；（2）作平面F H G与平面A B C Q的交线，记该交线与直线A B交点为P,写出空的值（不AD需要说明理由，保留作图痕迹）.解：（1）取4 8、F B的中点，分别记为O、K,连接AK,OF,OG,E 4 B为等边三角形，四边形4 B C O为正方形，：.FOA B,B C1A B,.平面 FAB_ L面 A B C D,且平面 F A B A A B CDA B,尸Ou平面E 4 B,BC u平面ABC。，FO_ L平面ABC。，8 C _ L平面尸班，又。G 8 C,，OG J_平 面/8 A,故。8、O G、0尸两两相互垂直.以。为坐标原点，分别以OB

36、、O G、O F所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则 F(0,0,),G(0,2,0),C(1,2,0),E(0,3,折，H(,返)，K(,0,返)，2 2 2 2 2FH=(y -|-FG=(0,2,V 3),又 AK_LFB,A K L B C,且尸BCBC=B,.AKJ平面尸BC,故 平 面 丽 B 的一个法向量为标=(-1,0,亨)，设平面尸HG的一个法向量为；;=(x,y,z)，7.而 xy应z=0 广 一i 2.2 2 2，取z=2 ,得n=(-9,3,27 3).n*FG=2y-V 3z=0由图可知，二面角C-FH-G 为锐二面角，记为8,一 一 27 J则 c os e

37、=|c os|=|若:1=1 丁+3|=釜1；lAK l-lnl 7 3 W 1 0 2 6 8(2)延长尸”交 BC的延长线于7,连接TG并延长交AB于 P,交 D 4 的延长线于Q,则T Q为平面F H G与平面A B C D的交线，由比例关系可得券=.AB 6zA2 22 0.已知椭圆C：弓女=1(a b 0)的右焦点为尸(1,0),且过点A(-2,0).(1)求 C 的方程；(2)点 P、Q 分别在C 和直线x=4 上，OQ/AP,例为 AP的中点，求证：直 线 OM与直线。产的交点在某定曲线上.解：(1)由题意可知：A(-2,0)为椭圆的左顶点，故 a=2,又 F(l,0)为 C 的

38、右焦点，所以-%2=i,于是按=3,2 2故椭圆c的方程为：+2 _=4 3（2）证明：设 尸（x o,笫）G oW 2）,则M （2三，），2 2直线AP的斜率=*,XQ+2X OQ/A P,所以直线0Q的方程为y=一殉+2令 x=4 得 Q (4.,OM=C4yox0+22 2又尸在椭圆C上，所以町 了0 代 入（*）得：4守T而 同=0，所 以。例_1 _尸。，故直线O M与F Q的交点在以。尸为直径的圆上，且该圆的方程为：（x-）2+y2=即直线。用 与直线F。的交点在某定曲线（x-）2+y2=i.21.己知正三角形AB C,某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子，规定：每掷一次骰子

39、，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3,则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3,则按顺时针方向移动.设掷骰子次时，棋子移动到A,B,C处的概率分别为：P“（A）,P（B）,Pn（C）,例如：掷骰子一次时，棋子移动到A,B,C处的概率分别为P （A）=0,P t（B）=p Pi（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A,B,C处的概率臼（A）,P 3（B）,尸3（C）；（2）记 Pn（A）C l n t Pn（B）bni P”（C）=C n,其中“+6 +C n=1 ,b“=C,求”8.解：（1）.设掷骰子”次时，棋子移动到A,B,C

40、处的概率分别为：Pn（A）,P“（B）,Pn(C),p3(B)=(1 4)xi 4p3(o=(1 4)xi 4(2).=C n,即。-1 =c -1,2 2,又b n至(a mi+C hi)，.，7 22 时b =(a 1 +c 1)=(a 1+b 1)，n Z k vn-lz 2、nT n-1z又 dn-i+b”-i+c”-1 =1,可得 2b+bn-1 =1,由bW总卷子得可得数列 b n 4 是首项为1，公比为高的等比数列，1 1 1 n T 1 1 n-1乂 a 二l-2 b =1-2 三 工,(丁)二三1-(一3)1口 1 1 o 0 Z o /2 2.已 知 函 数/(幻=存在唯一

41、的极值点xo.e(1)求实数的取值范围；(2)若X i,X26(xo,+),证明：l o g(X +x?)(X X 2)百 1+e【解答】(1)解：函数的定义域为(0,+8),d-a l n x 12_,令g(x)=-a l n x，axe若a=0,则/(x)0,f(%)在(0,+)上递增，不合题意；若 VO,g(X)=-厂，令 屋(X)=0,得 x=0,x a/.g(x)在(0,)上递减，在(，*冷)上递增，a ag()=-a-a l n(-)=-a (l+l n(-)a a a(i)若 l+l n(-L)0，即-e，V0 时，g(x)=-a l n x O,f7(x)(，/(1)在a x(

42、0,+8)上递增，不合题意；()l+l n(-)0,即 V-e 时，g()C,a a又g(x)=-a l n x(-4=+2 a)，则 g()0,x x vx Vx 7 x 4 a：.g(x)在(0,+8)上有两个变号零点，:.f(%)有两个极值点，不合题意；当 0时，g (x)=-%L 0,g(e)=e-l 0,f(x)0,当 xW (xo,+8)时，g(x)0,f(x)l,Vxi xo,X 2 X 0,A/i xi 0,/zi X 2 0,I n(X 1+X 2)0,由(1)可知，函数/(x)在(xo,+8)上递减，/./(X I )f(X l+X 2)，f(X 2)f(X 1+X 2),l n x j l n(x j+x2)l n x2 l n(x+x2)即-a-x-V a，X +a x?a x?a x+a x 2e e e e.lnxl+：*-nx2 .e 1+ea X?町 lnxl x2 、-a xi -a x2l n(x1+x2)ea xi x2 ln(xi+x2)/-a x1-a x2l o g(xi+xj(X i X 2)e+e